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TEMA 1: NÚMEROS REALES 1.1 Numeros racionales Ejemplo: 2 21 42 . . . . . . . . . Entonces puedo expresar el "2" de infinitas formas, siendo su fracción generatriz la que es irreducible. En nuestro caso 2 Otro ejemplo de número racional es 14 78 21 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 24 32 Siendo en este caso 78 la fracción generatriz Volvemos al 2 21 2 1 2 2. 0 que es un número decimal exacto pues la división es exacta, es decir el resto es cero. Volvemos al 78 0. 875 que es un número decimal exacto pues la división es exacta, es decir el resto es cero. Cojemos 73 2. 333 3 que es un número decimal periodico puro pues la tiene un bloque de cifras que se repite indefinidamente a continucacion de si mismo justo después de la coma. Cojemos 143 0. 214 285 714 285 71que es un número decimal periodico mixto pues hay cifras entre la coma y el bloque de cifras que se repite indefinidamente a continucacion de si mismo. De igual forma hemos de ser capaces de transformar un número decimal en una fracción. Vamos a hacerlo para un número decimal exacto: 4. 56 456 114 25 100 Vamos a hacerlo para un número decimal periódico puro: 2. 34343434. . . . . . . . Llamamos N 2. 34343434. . . . . . . . Multiplicamos N por 100, pues tiene dos cifras de periodo: 100N 234. 343434. . . . . . . . Es decir, hemos obtenido otro número decimal periódico puro con el mism periodo que el dado. Esto hace que cuando restemos el mayor del menor, me desaparezcan los periodos: 100N 234. 343434. . . . . . N 2. 34343434. . . lo que nos da 99N 232 N 232 2. 343 434 343 434 3 99 Vamos a hacerlo para un número decimal periódico mixto: 3. 157777777. . . . . . . . Tenemos dos cifras de anteperiodo (15) y una cifra de periodo. Llamamos N 3. 157777777. . . . . . . . Multiplicamos N por 100, pues tiene dos cifras de anteperiodo: 100N 315. 7777777. . . . . . . . También multiplicamos N por 1000 pues tenemos dos cifras de anteperiodo y una de periodo. 1000N 3157. 777777. . . . . . . . Es decir, hemos obtenido dos números decimales periódicos puros con el mismo periodo. Esto hace que cuando restemos el mayor del menor, me desaparezcan los periodos: 1000N 3157. 777777. . . . . . . . 100N 315. 7777777. . . . . . . . → 1000N − 100N 3157 − 315 Asi, al restar en columna nos da 900N 2842 N 3. 157 777 777 777 8 Tareas 20-09-12: todos los ejercicios de la página 10 900N 2842 2842 900 1421 450 1.2 Números irracionales. Números reales. Ejemplos de números irracionales 1 Da ejemplos de números que sean irracionales: a) − 3 − 1. 732 050 807 568 9 → es un número irracional pues tiene infinitas cifras decimales sin que aparezca un periodo. En general todas las raíces no exactas son números irracionales. b) 7 2. 645 751 311 064 590 590 5 → es un número irracional pues tiene infinitas cifras decimales sin que aparezca un periodo. c) 6 6 1. 348 006 154 597 277 667 4 → es un número irracional pues tiene infinitas cifras decimales sin que aparezca un periodo. d) 3. 141 592 653 589 793 238 5 → es un número irracional pues tiene infinitas cifras decimales sin que aparezca un periodo. e) 0. 10100100010000. . . . . . . . . . . . . . → es un número irracional pues tiene infinitas cifras decimales sin que aparezca un periodo. f) 9. 1234567891011121314. . . . . . . . . → es un número irracional pues tiene infinitas cifras decimales sin que aparezca un periodo. Ejemplo de valores absolutos Calcula el valor absoluto de los siguientes números: a) |3| 3 pues 3 o b) |−11| 11 pues −11 0 2 Comprueba la verdad de las propiedades del valor absoluto: a) Los ejemplos del apartado anterior confirman que el valor absoluto de un número no nulo es mayor que cero. b) |3 −11| |−33| 33 Por otro lado tenemos que: |3| |−11| 3 11 33 Entonces podemos concluir que: |3 −11| |3| |−11| c) |3 −11| |−8| 8 Por otro lado tenemos que: |3| |−11| 3 11 14 Entonces podemos concluir que: |3 −11| ≤ |3| |−11| Tareas 20-09-12: todos los ejercicios de la página 11. 1. 1.3 Representación de números reales Tareas para casa: 21-09-12 todos los ejercicios de la página 12. Se entregarán en hoja aparte con nombre y apellidos. 1.4 Aproximaciones de un número real. Errores. Ejemplos de redondeo de números irracionales: Redondea 3. 141 592 653 589 793 238 5 a los siguientes ordenes: a) a las décimas: 3. 1 b) a las milésimas: 3. 142 c) a las cienmilésimas: 3. 14159 d) a las diezmilésimas: 3. 1416 Ejemplos de errores cometidos al redondear un número irracional: Calcula los errores cometidos en cada uno de los redondeos del apartado anterior: a) a las décimas: E | − 3. 1| 4. 159 265 358 979 323 846 3 10 −2 En este caso la aproximación ha sido por defecto pues − 3. 1 4. 159 265 358 979 323 846 3 10 −2 0 b) a las milésimas: E | − 3. 142| 4. 073 464 102 067 615 373 6 10 −4 En este caso la aproximación ha sido por exceso pues 2 − 3. 142 − 4. 073 464 102 067 615 373 6 10 −4 0 Vamos a calcular a partir de los errores absolutos obtenidos anteriormente los correspondientes errores relativos. | − 3. 1| 1. 323 935 283 024 891 823 3 10 −2 a) a las décimas: E r | − 3. 142| b) a las milésimas: E r 1. 296 623 894 702 899 716 7 10 −4 El error relativo es mayor en las décimas. Tareas para casa: 21-09-12 todos los ejercicios de la página 13. Se entregarán en hoja aparte con nombre y apellidos. 1.5 Suma y producto de números reales Tareas para casa: 24-09-12 todos los ejercicios de la página 14. Se entregarán en hoja aparte con nombre y apellidos. 1.6 Potencias de números reales Ejemplo de las propiedades de las potencias Aplica las propiedades de las potencias en las siguientes expresiones: a) 2 3 5 3 2 5 3 3 3 4 3−1 4−2 2 2 b) 2 6 5 2 7 3 2 6−3 7 3 2 3 7 3 2 2 7 2 5 −3 3 −3 2 7 2 5 3 −3 25 7 3 5 3 5 3 18 c) 6 5 18 5 6 5 3 Tareas para casa: 24-09-12 todos los ejercicios de la página 15. Se entregarán en hoja aparte con nombre y apellidos. 1.7 Radicales Ejemplo Realiza las siguientes operaciones: a) 3 24 − 3 375 3 54 3 250 3 23 3 − 3 3 53 3 2 33 3 2 53 23 3 − 53 3 33 2 53 2 83 2 − 33 3 Tareas para casa: 24-09-12 todos los ejercicios de la página 17. Se entregarán en hoja aparte con nombre y apellidos. 1.8 Intervalos y entornos Ejemplos de entornos e intervalos, junto con su representación Define y representa los siguientes conjuntos numéricos: a) −, 4 x ∈ R/x 4 serían todos los números reales tales que x es menor que 4. Es un semirrecta. b) −10, x ∈ R/x ≥ −10 serían todos los números reales tales que x es mayor o igual que -10 Es un semirrecta. c) 5, −11 No es nada pues el extremo inferior ha de ser más pequeño que el superior. d) −3, 2 x ∈ R/ − 3 x 2 serían todos los números reales tales que x es mayor que -3 pero más pequeño que 2. Es un intervalo abierto e) 5, 16 x ∈ R/5 ≤ x ≤ 16 serían todos los números reales comprendidos entre 5 y 16 incluyendo a estos. Es un intervalo cerrado. f) E−3, 0. 5 x ∈ R/−3 − 0. 5 x −3 0. 5 x ∈ R/ − 3. 5 x −2. 5 −3. 5, −2. 5 3 Es el entorno abierto de centro -3 y radio 0.5 g) E4, 0. 75 x ∈ R/4 − 0. 75 ≤ x ≤ 4 0. 75 x ∈ R/3. 25 ≤ x ≤ 4. 75 3. 25, 4, 75 Es el entorno cerrado de centro 4 y radio 0.75 Tareas 25-09-12 todos los ejercicios de la página 18 Tareas 25-09-12 todos los ejercicios de la página 19 Ejercicios finales del Tema 31 Di si los siguientes números son naturales, enteros, racionales o reales: a) 28 4 es un número natural, por lo tanto es entero, es racional y por último es real. 7 b) −12 es un número entero, es racional y por último es real. c) − 1 − 0. 04 es un número decimal exacto por lo tanto es una fracción, es decir, es un número 25 racional y por último es real. 1 9 1 3 4 0. 8 es un número decimal exacto por lo tanto es una fracción, es decir, d) 5 5 25 es un número racional y por último es real. e) 19 es un número natural, por lo tanto es entero, es racional y por último es real. f) − 1 es un número irracional pues la 24 no es una raiz exacta. Por lo tanto sólo es real 24 Tareas para casa 27-09:32, 33 34 Halla un número fraccionario comprendido entre 21 y 22 31 31 Buscamos fracciones equivalentes a las dadas que no tengan numeradores consecutivos. Elegimos el 4 porque me apetece: 21 21 4 84 31 31 4 124 22 22 4 88 31 4 124 31 Ya tenemos dos fracciones que no tienen numeradores consecutivos. Una solución sería: 84 87 88 124 124 124 Tareas para casa 27-09:35, 36, 37 38 Calcula de forma exacta el resultado de: 0. 12121212. . . . . . . −2 0. 11111. . . . . . . −0. 0202020202. . . . . . 0. 03333333. . . . . Tenemos que encontrar la fracción generatriz de todos los números decimales periódicos que aparecen. a) 0. 12121212. . . . . . . 12 − 0 12 4 99 99 33 1 − 0 1 b) 0. 11111. . . . . . . 9 9 2 − 0 c) 0. 0202020202. . . . . . 2 99 99 d) 0. 03333333. . . . . 3 − 0 1 90 30 Por lo tanto: 0. 12121212. . . . . . . −2 0. 11111. . . . . . . −0. 0202020202. . . . . . 0. 03333333. . . . . 4 − 2 1 − 2 1 40 − 2 11 − 2 11 330 33 9 99 99 30 99 330 9 51 18 17 17 20 51 2 −2 − − − − 3 99 330 99 110 110 110 110 330 11 Tareas 27-09-12: 39 NOTA: Fracción generatriz de un decimal exacto: en el numerador se escribe el número decimal sin 4 coma y, en el denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga. Fracción generatriz de un decimal periódico puro: en el numerador se escribe el número sin coma hasta el final del periodo y se le resta la parte entera; en el denominador se ponen tantos nueves como cifras tenga el periodo. Fracción generatriz de un decimal periódico mixto: en el numerador se escribe el número sin coma hasta el final del periodo y se le resta la parte entera y el anteperiodo; en el denominador se ponen tantos nueves como cifras tenga el periodo y tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo. 40 Desarrolla el valor absoluto de las siguientes expresiones omitiendo los valores absolutos. a) |2x − 4| x x Sabemos que |x| |2x − 4| x if x ≥ 0 −x if x 0 2x − 4 x if 2x − 4 ≥ 0 −2x − 4 x if 2x − 4 0 3x − 4 if 2x ≥ 4 −2x 4 x if 2x 4 3x − 4 if x ≥ 4 3x − 4 if x ≥ 2 2 −x 4 if x 2 −x 4 if x 4 2 Tareas 28-09-12: el resto de los ejercicios del 40, 41 42 Representa los siguientes números reales. e) 5 Buscamos cuadrados que al sumarlos me de 5. 5 1 4 12 22 Entonces 5 1 2 2 2 Aplicando el Teorema de Pitágoras, 5 será la hipotenusa de un triángulo rectángulo de cuyos catetos miden 1 y 2. Tareas 28-09-12: el resto de los ejercicios del 42, 44 45 Escribe aproximaciones por exceso y por defecto con tres cifras decimales de los siguientes números. b) 2 2 1. 681 792 830 507 429 086 1 1 2 2 2 22 1 2 1 1 22 22 1 2 22 222 22 24 224 24 1 1 1 1 1 1 1 3 4 23 Otra forma de hacerlo sería: 2 2 2 22 2 21 4 2 3 2 2 Utilizando la calculadora tenemos que: 4 2 3 1. 681 792 830 507 429 086 1 → por exceso por defecto 1. 682 1. 681 Tareas 28-09-12: el resto de los ejercicios del 45, 46, 47, 48, 49 50 Calcula los errores absoluto y relativo que se cometen al tomar 3.29 como valor de 23 . 7 23 23 2300 3 329 2303 3 E 3. 29 − − − 7 7 700 700 100 700 700 3 E r 700 3 23 3 7 3 7 700 700 23 2300 23 7 Tareas 01-10-12: 50, 51, 52, 53, 54. 55 Calcula 2 3 con tres decimales mediante aproximaciones sucesivas. 5 3 1. 732 050 807 568 877 293 5 Tomo el redondeo de 3 con dos cifras decimales: 1. 73 2 1.73 3. 317 278 183 257 766 799 Tomo el redondeo de 3 con una cifra decimal: 1. 7 2 1.7 3. 249 009 585 424 942 090 4 aproximaciones de 2 aproximaciones de 3 1 3 2 21 2 1. 7 3 1. 8 2 1.7 2 1. 73 3 1. 74 1. 732 3 1. 733 2 1.73 2 2 1.732 2 3 3 4 3 2 1.8 3. 2 2 3 3 22 2 2 3 3. 5 3 2 1.74 3. 32 2 3. 34 3 2 1.733 3. 322 2 3 3. 324 2 1.7 3. 249 009 585 424 942 090 4 ≈ 3. 2 2 1.8 3. 482 202 253 184 496 556 5 ≈ 3. 5 2 1.73 3. 317 278 183 257 766 799 ≈ 3. 32 2 1.74 3. 340 351 677 713 477 426 ≈ 3. 34 2 1.733 3. 324 183 446 374 591 214 1 ≈ 3. 324 2 1.732 3. 321 880 096 363 576 566 6 ≈ 3. 322 56 Halla las siguientes multiplicaciones y divisiones con radicales: 3 22 4 x x2 3 1 x 12 x3 x 41 x 4 − 3 d) 3 x 3 x 3 x 3 x x3 9 − 4 5 5 12 x 12 12 x 12 x Tareas 01-10-12: todos los ejercicios que faltan del 56 57 Halla las siguientes sumas y restas de radicales: d) 2 3 24 − 1 3 81 3 375 2 3 2 3 3 − 1 3 3 3 3 3 5 3 3 2 3 2 3 3 3 4 4 3 3 3 3 3 − 3 5 3 − 5 3 8 − 9 30 3 3 2 2 3 6 3 29 3 3 6 Tareas 01-10-12: todos los ejercicios que faltan del 57 58 Simplifica el valor de las siguientes expresiones. x x 1 2 h) − 2− 2 1 2 1 2 − 4−1 2 2 1 2 − 3 2 2 2 Aplicamos el cuadrado de la diferencia: a − b a 2 − 2ab b 2 2 12 − 2 7 4 − 3 2 1 2 3 2 3 2 2 1 4 − 2 2 3 2 3 2 1 4 − 3 2 6 4 Tareas 02-10-12: todos los ejercicios que faltan del 58. 59 Simplifica las siguientes expresiones: 2 2−3 2 23 2 b) 2 2 − 3 2 Se puede hacer aplicando: el cuadrado de la diferencia 2 2 suma por diferencia: a − ba b a − b Vamos a intentarlo de otra manera: Sacaremos factor común, 2−3 2 2 2−3 2 23 2 2−3 2 4−6 2 23 2 2−3 2 6−3 2 12 − 6 2 − 18 2 3 2 3 2 12 − 24 2 9 2 2 6 12 − 24 2 9 2 12 − 24 2 18 30 − 24 2 Tareas 02-10-12: todos los ejercicios que faltan del 59. 60 Racionaliza los denominadores de las siguientes expresiones 6 6 2 3 −3 2 6 6 6 6 2 3 −6 6 3 2 f) 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 −3 2 2 3 − 3 2 12 18 − 18 12 22 3 2 − 32 2 2 12 9 2 − 18 4 3 12 3 2 − 18 2 3 43−92 12 − 18 36 2 − 3 36 2 − 36 3 −6 2 − 3 6 3 − 6 2 −6 −6 Tareas 02-10-12: todos los ejercicios que faltan del 60. 61 Dados los intervalos A −2, 4 y B −1, 6, calcula: a) A B −2, 6 La unión se define como los elementos que pertenecen a A o a B. Es decir, los que están en A o en B. b) A ∩ B −1, 4 La intersección se define como los elementos que pertenecen a A y a B. Es decir, los elementos que están a la vez en A y en B. Tareas 02-10-12: 62,63 64 Expresa en forma de intervalo y de entorno los siguientes conjuntos de números reales: d) |x 2| 2 |x − −2| 2 3 3 Aqui tenemos el conjunto x ∈ R/|x 2| 2 x ∈ R/|x − −2| 2 3 3 2 2 2 2 2 x −2 E −2, −2 − , −2 x ∈ R/ − 2 − 3 3 3 3 3 Tareas 04-10-12: todos los ejercicios que faltan del 64 65 Escribe en notación científica los siguientes números: f) −0. 00000000123 −1. 23 10 −9 Tareas 04-10-12: todos los ejercicios que faltan del 65 66 Halla los siguientes productos y cocientes dando el resultado en notación científica. 10 23 5. 6 10 −12 10 23−12 5. 6 10 11 5. 6 d) 3. 5 10 22 0. 43 10 22 3. 5 10 22 4. 3 10 21 3. 5 0. 43 10 22 11 10 5. 622 5. 6 3. 93 10 11−22 1. 424 936 386 768 447 837 2 10 −11 3. 93 10 3. 5 0. 43 3. 93 5. 6 3. 93 1. 424 936 386 768 447 837 2 Tareas 04-10-12: todos los ejercicios que faltan del 66, 67, 69, 70 68 Una habitación con forma de ortoedro de base cuadrada y altura la mitad del lado de la base se pinto en tres días. Se pintaron las cuatro paredes y el techo. En el primer día se pintó la tercera parte de la superficie; en el segundo, la mitad de lo que quedada, y en el tercero los 15 m 2 que faltaban para acabar el trabajo. a) Calcula la superficie total de la habitación y la superficie que se hizo cada día. Llamamos x al lado de la base cuadrada. Por lo tanto, la altura del ortoedro será x . 2 En total pintamos cuatro paredes iguales y el techo (que coincide con la base). La superficie de una de las paredes es: x x 12 x 2 2 2 La superficie del techo es: x x x La superficie total será: 4 12 x 2 x 2 42 x 2 x 2 2x 2 x 2 3x 2 el primer día se pintó la tercera parte de la superficie: 13 3x 2 x 2 7 el segundo, la mitad de lo que quedada: 12 2x 2 x 2 el tercero los 15 m 2 que faltaban para acabar el trabajo (3x 2 − x 2 − x 2 x 2 : 15 x 2 x 15 La solución es que la base vale 15 Entonces la superficie total será: 3x 2 3 15 45 m 2 Cada día se pintaron: 15 m 2 pues todos los días se pintó la misma superficie. b) Calcula las medidas de cada una de las paredes y el volumen con la precisión adecuada. 15 m por lo que la superficie es: 1 15m 2 Las paredes tienen de longitudes 15 m y 2 2 15 El volumen es área de la base por la altura: 15 15 15 15 m 3 2 2 Como trabajamos en el mundo real vamos a tomar 15 3. 872 983 346 207 416 885 2 ≈ 3. 87m medida de la base. Por lo tanto el volumen será: 3. 87 3 1 28. 980 301 5 ≈ 28. 98m 3 2 Tareas 05-01-12: 71, 73, 76, 77, 78, 80, 81, 83, 72 Una empresa elabora latas de conserva con forma cilíndrica de dimensiones 5 cm de radi de la base y 10 cm de altura. Tras un estudio de mercado, decide cambiar la forma de las latas: serán ortoedros de base cuadrada y de altura el doble del lado de la base. ¿Cuáles serán las dimensiones de la nueva forma si la capacidad debe de ser la misma? Establece la solución con la aproximación que consideres oportuna. Volumen de la lata: área de la basealtura 5 2 10 250cm 3 Volumen del tetrabrik: área de la basealtura x 2 x x 3 (ortoedro) 1 Como los volúmenes han de ser iguales: 250 x 3 x 3 250 250 3 9. 226 350 743 220 142 095 5 ≈ 9. 2cm Asi trabajaremos en mm. Las dimensiones serán 9. 2cm para el lado de la base y 18. 4 para la altura de la lata. 74 Una empresa A cobra por el alquiler de una furgoneta 80 euros diarios. Otra empresa B cobra por el mismo alquiler 60 euros al día. Pero a esta cantidad se le deben añadir 200 euros independientemente del tiempo que se contrate. ¿A partir de cuántos días es más económica la segunda empresa? Escribe la solución en forma de desigualdad y de intervalo. fijo empresa A 0 empresa B 200 diario total x días 80 80x 60 200 60x Igualamos: 80x 200 60x, Solution is: 10 Alquiler de la furgoneta 80x if 0 x ≤ 10 200 60x if 10 ≤ x 80x if x ∈ 0, 10 200 60x if x ∈ 10, 8