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TEMA 1: NÚMEROS REALES
1.1 Numeros racionales
Ejemplo:
2  21  42 . . . . . . . . .
Entonces puedo expresar el "2" de infinitas formas, siendo su fracción generatriz la que es
irreducible.
En nuestro caso 2
Otro ejemplo de número racional es 14
 78  21
 28
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
24
32
Siendo en este caso 78 la fracción generatriz
Volvemos al 2  21  2  1  2  2. 0 que es un número decimal exacto pues la división es exacta,
es decir el resto es cero.
Volvemos al 78  0. 875 que es un número decimal exacto pues la división es exacta, es decir el
resto es cero.
Cojemos 73  2. 333 3 que es un número decimal periodico puro pues la tiene un bloque de cifras
que se repite indefinidamente a continucacion de si mismo justo después de la coma.
Cojemos 143  0. 214 285 714 285 71que es un número decimal periodico mixto pues hay cifras entre
la coma y el bloque de cifras que se repite indefinidamente a continucacion de si mismo.
De igual forma hemos de ser capaces de transformar un número decimal en una fracción.
 Vamos a hacerlo para un número decimal exacto:
4. 56  456
 114
25
100
 Vamos a hacerlo para un número decimal periódico puro:
2. 34343434. . . . . . . .
Llamamos N  2. 34343434. . . . . . . .
Multiplicamos N por 100, pues tiene dos cifras de periodo: 100N  234. 343434. . . . . . . .
Es decir, hemos obtenido otro número decimal periódico puro con el mism periodo que el dado.
Esto hace que cuando restemos el mayor del menor, me desaparezcan los periodos:
100N  234. 343434. . . . . .
N  2. 34343434. . .
lo que nos da 99N  232  N  232
 2. 343 434 343 434 3
99
 Vamos a hacerlo para un número decimal periódico mixto:
3. 157777777. . . . . . . .
Tenemos dos cifras de anteperiodo (15) y una cifra de periodo.
Llamamos N  3. 157777777. . . . . . . .
Multiplicamos N por 100, pues tiene dos cifras de anteperiodo: 100N  315. 7777777. . . . . . . .
También multiplicamos N por 1000 pues tenemos dos cifras de anteperiodo y una de periodo.
1000N  3157. 777777. . . . . . . .
Es decir, hemos obtenido dos números decimales periódicos puros con el mismo periodo. Esto
hace que cuando restemos el mayor del menor, me desaparezcan los periodos:
1000N  3157. 777777. . . . . . . .
100N  315. 7777777. . . . . . . .
→
1000N − 100N
3157 − 315

Asi, al restar en columna nos da 900N  2842  N 
 3. 157 777 777 777 8
Tareas 20-09-12: todos los ejercicios de la página 10
900N
2842
2842
900

1421
450

1.2 Números irracionales. Números reales.
Ejemplos de números irracionales
1
Da ejemplos de números que sean irracionales:
a) − 3  − 1. 732 050 807 568 9 → es un número irracional pues tiene infinitas cifras decimales sin
que aparezca un periodo.
En general todas las raíces no exactas son números irracionales.
b) 7  2. 645 751 311 064 590 590 5 → es un número irracional pues tiene infinitas cifras decimales
sin que aparezca un periodo.
c) 6 6  1. 348 006 154 597 277 667 4 → es un número irracional pues tiene infinitas cifras decimales sin
que aparezca un periodo.
d)   3. 141 592 653 589 793 238 5 → es un número irracional pues tiene infinitas cifras decimales sin
que aparezca un periodo.
e) 0. 10100100010000. . . . . . . . . . . . . . → es un número irracional pues tiene infinitas cifras decimales sin
que aparezca un periodo.
f) 9. 1234567891011121314. . . . . . . . . → es un número irracional pues tiene infinitas cifras decimales sin
que aparezca un periodo.
Ejemplo de valores absolutos
Calcula el valor absoluto de los siguientes números:
a) |3|  3 pues 3  o
b) |−11|  11 pues −11  0
2 Comprueba la verdad de las propiedades del valor absoluto:
a) Los ejemplos del apartado anterior confirman que el valor absoluto de un número no nulo es
mayor que cero.
b) |3  −11|  |−33|  33
Por otro lado tenemos que:
|3|  |−11|  3  11  33
Entonces podemos concluir que: |3  −11|  |3|  |−11|
c) |3  −11|  |−8|  8
Por otro lado tenemos que:
|3|  |−11|  3  11  14
Entonces podemos concluir que: |3  −11| ≤ |3|  |−11|
Tareas 20-09-12: todos los ejercicios de la página 11.
1.
1.3 Representación de números reales
Tareas para casa: 21-09-12 todos los ejercicios de la página 12.
Se entregarán en hoja aparte con nombre y apellidos.
1.4 Aproximaciones de un número real. Errores.
Ejemplos de redondeo de números irracionales:
Redondea   3. 141 592 653 589 793 238 5 a los siguientes ordenes:
a) a las décimas: 3. 1
b) a las milésimas: 3. 142
c) a las cienmilésimas: 3. 14159
d) a las diezmilésimas: 3. 1416
Ejemplos de errores cometidos al redondear un número irracional:
Calcula los errores cometidos en cada uno de los redondeos del apartado anterior:
a) a las décimas: E  | − 3. 1|  4. 159 265 358 979 323 846 3  10 −2
En este caso la aproximación ha sido por defecto pues
 − 3. 1  4. 159 265 358 979 323 846 3  10 −2  0
b) a las milésimas: E  | − 3. 142|  4. 073 464 102 067 615 373 6  10 −4
En este caso la aproximación ha sido por exceso pues
2
 − 3. 142  − 4. 073 464 102 067 615 373 6  10 −4  0
Vamos a calcular a partir de los errores absolutos obtenidos anteriormente los correspondientes
errores relativos.
| − 3. 1|
 1. 323 935 283 024 891 823 3  10 −2
a) a las décimas: E r 

| − 3. 142|
b) a las milésimas: E r 
 1. 296 623 894 702 899 716 7  10 −4

El error relativo es mayor en las décimas.
Tareas para casa: 21-09-12 todos los ejercicios de la página 13.
Se entregarán en hoja aparte con nombre y apellidos.
1.5 Suma y producto de números reales
Tareas para casa: 24-09-12 todos los ejercicios de la página 14.
Se entregarán en hoja aparte con nombre y apellidos.
1.6 Potencias de números reales
Ejemplo de las propiedades de las potencias
Aplica las propiedades de las potencias en las siguientes expresiones:
a) 2 3  5 3  2  5 3
3
3
4
3−1
4−2
2
2
b) 2 6 5 2 7 3  2 6−3 7 3  2 3  7 3  2 2  7 2  5 −3  3 −3  2  7 2  5  3 −3
25 7 3
5 3
5 3
18
c) 6 5 18  5 6  5 3
Tareas para casa: 24-09-12 todos los ejercicios de la página 15.
Se entregarán en hoja aparte con nombre y apellidos.
1.7 Radicales
Ejemplo
Realiza las siguientes operaciones:
a) 3 24 − 3 375  3 54  3 250 
 3 23  3 − 3 3  53  3 2  33  3 2  53 
 23 3 − 53 3  33 2  53 2  83 2 − 33 3
Tareas para casa: 24-09-12 todos los ejercicios de la página 17.
Se entregarán en hoja aparte con nombre y apellidos.
1.8 Intervalos y entornos
Ejemplos de entornos e intervalos, junto con su representación
Define y representa los siguientes conjuntos numéricos:
a) −, 4  x ∈ R/x  4 serían todos los números reales tales que x es menor que 4.
Es un semirrecta.
b) −10,   x ∈ R/x ≥ −10 serían todos los números reales tales que x es mayor o igual que -10
Es un semirrecta.
c) 5, −11
No es nada pues el extremo inferior ha de ser más pequeño que el superior.
d) −3, 2  x ∈ R/ − 3  x  2 serían todos los números reales tales que x es mayor que -3 pero
más pequeño que 2.
Es un intervalo abierto
e) 5, 16  x ∈ R/5 ≤ x ≤ 16 serían todos los números reales comprendidos entre 5 y 16
incluyendo a estos.
Es un intervalo cerrado.
f) E−3, 0. 5  x ∈ R/−3 − 0. 5  x  −3  0. 5 
 x ∈ R/ − 3. 5  x  −2. 5  −3. 5, −2. 5
3
Es el entorno abierto de centro -3 y radio 0.5
g) E4, 0. 75  x ∈ R/4 − 0. 75 ≤ x ≤ 4  0. 75 
 x ∈ R/3. 25 ≤ x ≤ 4. 75  3. 25, 4, 75
Es el entorno cerrado de centro 4 y radio 0.75
Tareas 25-09-12 todos los ejercicios de la página 18
Tareas 25-09-12 todos los ejercicios de la página 19
Ejercicios finales del Tema
31 Di si los siguientes números son naturales, enteros, racionales o reales:
a) 28  4 es un número natural, por lo tanto es entero, es racional y por último es real.
7
b) −12 es un número entero, es racional y por último es real.
c) − 1  − 0. 04 es un número decimal exacto por lo tanto es una fracción, es decir, es un número
25
racional y por último es real.
1 9
 1  3  4  0. 8 es un número decimal exacto por lo tanto es una fracción, es decir,
d)
5
5
25
es un número racional y por último es real.
e) 19 es un número natural, por lo tanto es entero, es racional y por último es real.
f) − 1 es un número irracional pues la 24 no es una raiz exacta. Por lo tanto sólo es real
24
Tareas para casa 27-09:32, 33
34 Halla un número fraccionario comprendido entre 21 y 22
31
31
Buscamos fracciones equivalentes a las dadas que no tengan numeradores consecutivos. Elegimos
el 4 porque me apetece:
21  21  4  84
31
31  4
124
22  22  4  88
31  4
124
31
Ya tenemos dos fracciones que no tienen numeradores consecutivos.
Una solución sería:
84  87  88
124
124
124
Tareas para casa 27-09:35, 36, 37
38 Calcula de forma exacta el resultado de:
0. 12121212. . . . . . . −2  0. 11111. . . . . . . −0. 0202020202. . . . . .   0. 03333333. . . . .
Tenemos que encontrar la fracción generatriz de todos los números decimales periódicos que
aparecen.
a) 0. 12121212. . . . . . .  12 − 0  12  4
99
99
33
1
−
0
1
b) 0. 11111. . . . . . . 

9
9
2
−
0
c) 0. 0202020202. . . . . . 
 2
99
99
d) 0. 03333333. . . . .  3 − 0  1
90
30
Por lo tanto:
0. 12121212. . . . . . . −2  0. 11111. . . . . . . −0. 0202020202. . . . . .   0. 03333333. . . . . 
 4 − 2  1 − 2  1  40 − 2  11 − 2  11 
330
33
9
99
99
30
99
330
9
51
18
17
17
20
51
2
−2

−

−

−
 − 3

99
330
99
110
110
110
110
330
11
Tareas 27-09-12: 39
NOTA:
 Fracción generatriz de un decimal exacto: en el numerador se escribe el número decimal sin
4
coma y, en el denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga.
 Fracción generatriz de un decimal periódico puro: en el numerador se escribe el número sin
coma hasta el final del periodo y se le resta la parte entera; en el denominador se ponen
tantos nueves como cifras tenga el periodo.
 Fracción generatriz de un decimal periódico mixto: en el numerador se escribe el número sin
coma hasta el final del periodo y se le resta la parte entera y el anteperiodo; en el
denominador se ponen tantos nueves como cifras tenga el periodo y tantos ceros como cifras
tenga el anteperiodo.
40 Desarrolla el valor absoluto de las siguientes expresiones omitiendo los valores absolutos.
a) |2x − 4|  x
x
Sabemos que |x| 
|2x − 4|  x 
if x ≥ 0
−x if x  0
2x − 4  x
if 2x − 4 ≥ 0
−2x − 4  x if 2x − 4  0
3x − 4

if 2x ≥ 4

−2x  4  x if 2x  4
3x − 4 if x ≥ 4
3x − 4 if x ≥ 2
2 

−x  4 if x  2
−x  4 if x  4
2
Tareas 28-09-12: el resto de los ejercicios del 40, 41
42 Representa los siguientes números reales.
e) 5
Buscamos cuadrados que al sumarlos me de 5.
5  1  4  12  22
Entonces 5  1 2  2 2
Aplicando el Teorema de Pitágoras, 5 será la hipotenusa de un triángulo rectángulo de cuyos
catetos miden 1 y 2.
Tareas 28-09-12: el resto de los ejercicios del 42, 44
45 Escribe aproximaciones por exceso y por defecto con tres cifras decimales de los
siguientes números.
b) 2 2  1. 681 792 830 507 429 086 1
1
2 2  2 22
1
2
1
1
 22  22
1
2
 22  222  22  24  224  24 
1
1
1
1
1
1
1
3
 4 23
Otra forma de hacerlo sería:
2 2  2  22 2 21  4 2 3
2 2 
Utilizando la calculadora tenemos que:
4
2 3  1. 681 792 830 507 429 086 1 →
por exceso por defecto
1. 682
1. 681
Tareas 28-09-12: el resto de los ejercicios del 45, 46, 47, 48, 49
50 Calcula los errores absoluto y relativo que se cometen al tomar 3.29 como valor de 23 .
7
23
23
2300
3
329
2303
3
E  3. 29 −

−

−


7
7
700
700
100
700
700
3
E r  700  3  23  3  7  3
7
700
700  23
2300
23
7
Tareas 01-10-12: 50, 51, 52, 53, 54.
55 Calcula 2 3 con tres decimales mediante aproximaciones sucesivas.
5
3  1. 732 050 807 568 877 293 5
Tomo el redondeo de 3 con dos cifras decimales: 1. 73
2 1.73  3. 317 278 183 257 766 799
Tomo el redondeo de 3 con una cifra decimal: 1. 7
2 1.7  3. 249 009 585 424 942 090 4
aproximaciones de 2
aproximaciones de 3
1
3 2
21  2
1. 7 
3  1. 8
2 1.7  2
1. 73 
3  1. 74
1. 732 
3  1. 733
2 1.73  2
2 1.732  2
3
3
4
3
 2 1.8  3. 2  2
3
3
 22  2  2
3
 3. 5
3
 2 1.74  3. 32  2
 3. 34
3
 2 1.733  3. 322  2
3
 3. 324
2 1.7  3. 249 009 585 424 942 090 4 ≈ 3. 2
2 1.8  3. 482 202 253 184 496 556 5 ≈ 3. 5
2 1.73  3. 317 278 183 257 766 799 ≈ 3. 32
2 1.74  3. 340 351 677 713 477 426 ≈ 3. 34
2 1.733  3. 324 183 446 374 591 214 1 ≈ 3. 324
2 1.732  3. 321 880 096 363 576 566 6 ≈ 3. 322
56 Halla las siguientes multiplicaciones y divisiones con radicales:
3
22
4
x  x2
3 1
x 12
x3
x



 41  x 4 − 3 
d)
3 x
3 x
3 x
3 x
x3
9 − 4
5
5
12
 x 12 12  x 12  x
Tareas 01-10-12: todos los ejercicios que faltan del 56
57 Halla las siguientes sumas y restas de radicales:
d) 2 3 24 − 1 3 81  3 375  2 3 2 3  3 − 1 3 3 3  3  3 5 3  3 
2
3
2
3
3
3
4
4
3
3
3
3
3 −
3 5 3 
−
 5 3  8 − 9  30 3 3 

2
2
3
6
3
29
3

3
6
Tareas 01-10-12: todos los ejercicios que faltan del 57
58 Simplifica el valor de las siguientes expresiones.
x x
1
2
h)
− 2−
2
1
2

1
2
−
4−1
2
2

1
2
−
3
2
2
2

Aplicamos el cuadrado de la diferencia: a − b  a 2 − 2ab  b 2
2
  12  − 2 

7
4
−
3
2
1
2

3
2

3
2
2

1
4
−
2
2
3
2

3
2

1
4
−

3
2
6
4


Tareas 02-10-12: todos los ejercicios que faltan del 58.
59 Simplifica las siguientes expresiones:
2
 2−3 2 23 2 
b) 2  2 − 3 2
Se puede hacer aplicando:
 el cuadrado de la diferencia
2
2
 suma por diferencia: a − ba  b  a − b
Vamos a intentarlo de otra manera:
Sacaremos factor común,
 2−3 2 2 2−3 2  23 2

 2−3 2 4−6 2 23 2  2−3 2 6−3 2
 12 − 6 2 − 18 2  3 2  3 2  12 − 24 2  9
2
2


6
 12 − 24 2  9  2  12 − 24 2  18  30 − 24 2
Tareas 02-10-12: todos los ejercicios que faltan del 59.
60 Racionaliza los denominadores de las siguientes expresiones
6 6 2 3 −3 2
6 6
6 6 2 3 −6 6 3 2
f)



2
2
2 3 3 2
2 3 3 2 2 3 −3 2
2 3
− 3 2

12 18 − 18 12
22
3
2
− 32
2
2

12 9  2 − 18 4  3
12  3 2 − 18  2 3


43−92
12 − 18
36 2 − 3
36 2 − 36 3

 −6 2 − 3  6 3 − 6 2
−6
−6
Tareas 02-10-12: todos los ejercicios que faltan del 60.
61 Dados los intervalos A  −2, 4 y B  −1, 6, calcula:
a) A  B  −2, 6
La unión se define como los elementos que pertenecen a A o a B. Es decir, los que están en A o en
B.
b) A ∩ B  −1, 4
La intersección se define como los elementos que pertenecen a A y a B. Es decir, los elementos
que están a la vez en A y en B.
Tareas 02-10-12: 62,63
64 Expresa en forma de intervalo y de entorno los siguientes conjuntos de números reales:
d) |x  2|  2  |x − −2|  2
3
3
Aqui tenemos el conjunto x ∈ R/|x  2|  2  x ∈ R/|x − −2|  2 
3
3
2
2
2
2
2
 x  −2 
 E −2,
 −2 − , −2 
 x ∈ R/ − 2 −
3
3
3
3
3
Tareas 04-10-12: todos los ejercicios que faltan del 64
65 Escribe en notación científica los siguientes números:
f) −0. 00000000123  −1. 23  10 −9
Tareas 04-10-12: todos los ejercicios que faltan del 65
66 Halla los siguientes productos y cocientes dando el resultado en notación científica.
10 23  5. 6  10 −12
10 23−12  5. 6
10 11  5. 6
d)



3. 5  10 22  0. 43  10 22
3. 5  10 22  4. 3  10 21
3. 5  0. 43  10 22
11
 10  5. 622  5. 6  3. 93  10 11−22  1. 424 936 386 768 447 837 2  10 −11
3. 93  10
3. 5  0. 43  3. 93
5. 6  3. 93  1. 424 936 386 768 447 837 2
Tareas 04-10-12: todos los ejercicios que faltan del 66, 67, 69, 70
68 Una habitación con forma de ortoedro de base cuadrada y altura la mitad del lado de la
base se pinto en tres días. Se pintaron las cuatro paredes y el techo. En el primer día se
pintó la tercera parte de la superficie; en el segundo, la mitad de lo que quedada, y en el
tercero los 15 m 2 que faltaban para acabar el trabajo.
a) Calcula la superficie total de la habitación y la superficie que se hizo cada día.
Llamamos x al lado de la base cuadrada.
Por lo tanto, la altura del ortoedro será x .
2
En total pintamos cuatro paredes iguales y el techo (que coincide con la base).
La superficie de una de las paredes es: x  x  12 x 2
2
2
La superficie del techo es: x  x  x
La superficie total será: 4  12 x 2  x 2  42 x 2  x 2  2x 2  x 2  3x 2
el primer día se pintó la tercera parte de la superficie: 13  3x 2  x 2

7
el segundo, la mitad de lo que quedada: 12  2x 2  x 2
el tercero los 15 m 2 que faltaban para acabar el trabajo (3x 2 − x 2 − x 2  x 2 
: 15  x 2  x   15
La solución es que la base vale 15
Entonces la superficie total será: 3x 2  3  15  45 m 2
Cada día se pintaron: 15 m 2 pues todos los días se pintó la misma superficie.
b) Calcula las medidas de cada una de las paredes y el volumen con la precisión adecuada.
15
m por lo que la superficie es: 1 15m 2
Las paredes tienen de longitudes 15 m y
2
2
15
El volumen es área de la base por la altura: 15  15 
 15 15 m 3
2
2
Como trabajamos en el mundo real vamos a tomar 15  3. 872 983 346 207 416 885 2 ≈ 3. 87m
medida de la base.
Por lo tanto el volumen será: 3. 87 3  1  28. 980 301 5 ≈ 28. 98m 3
2
Tareas 05-01-12: 71, 73, 76, 77, 78, 80, 81, 83,
72 Una empresa elabora latas de conserva con forma cilíndrica de dimensiones 5 cm de radi
de la base y 10 cm de altura. Tras un estudio de mercado, decide cambiar la forma de las
latas: serán ortoedros de base cuadrada y de altura el doble del lado de la base. ¿Cuáles
serán las dimensiones de la nueva forma si la capacidad debe de ser la misma? Establece
la solución con la aproximación que consideres oportuna.
Volumen de la lata: área de la basealtura   5 2  10  250cm 3
Volumen del tetrabrik: área de la basealtura x 2  x  x 3 (ortoedro)
1
Como los volúmenes han de ser iguales: 250  x 3  x  3 250  250 3  9. 226 350 743
220 142 095 5 ≈ 9. 2cm
Asi trabajaremos en mm.
Las dimensiones serán 9. 2cm para el lado de la base y 18. 4 para la altura de la lata.
74 Una empresa A cobra por el alquiler de una furgoneta 80 euros diarios. Otra empresa B
cobra por el mismo alquiler 60 euros al día. Pero a esta cantidad se le deben añadir 200
euros independientemente del tiempo que se contrate. ¿A partir de cuántos días es más
económica la segunda empresa? Escribe la solución en forma de desigualdad y de
intervalo.
fijo
empresa A
0
empresa B 200
diario total x días
80
80x
60
200  60x
Igualamos: 80x  200  60x, Solution is: 10
Alquiler de la furgoneta
80x
if 0  x ≤ 10
200  60x if
10 ≤ x

80x
if x ∈ 0, 10
200  60x if x ∈ 10, 
8