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Las bolas de Villar (Rubenman)
La profesora hace salir a Villar a la tarima y le entrega una bolsa con diez bolas idénticas numeradas
del 0 al 9 ambos inclusive, para que éste tome dos de ellas y las oculte al resto de la clase. Los
alumnos han de adivinar qué dos bolas esconde el compañero.
La profesora llama a Jaimito y le explica que puede decir hasta un máximo de 5 secuencias de
números y en cada una de ellas no puede haber números repetidos (no ayudan mucho). Una vez
completadas esas cadenas y después de procesar esa información, el elegido comunicará a su amigo
un valor global conjunto, a modo “10221”, que nos indicaría ordenadamente cuántos aciertos hay en
cada una de esas filas cantadas.
Con el dato numérico que le facilite Villar al final de la quinta secuencia y la inestimable ayuda de
un lápiz y papel, ¿Sería capaz Jaimito de acertar, con total seguridad y en un solo intento, qué dos
bolas oculta Villar?. Habrá que razonar la respuesta convenientemente.
SOLUCIÓN
Primer intento.
Cómo los números de las bolas de Villar pueden ser cualesquiera voy a buscar soluciones
que partan de una simetría, con la esperanza de que me lleven a una solución general que sea
equivalente para todos los casos. Voy a llamar a las cinco secuencias A, B, C, D y E. Si coloco una
bola en dos de las diez secuencias observo que puedo colocarla de diez formas diferentes: AB, AC,
AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE y DE. Pero también puedo aprovechar esto para colocar cada una de
las diez bolas de esas diez formas: la 0 en A y B, la 1 en A y C, etcétera. De forma gráfica se puede
representar así:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A B
X X
X
X
X
X
X
X
C D E
X
X
X
X
X
X
X X
X
X
X X
¿Esto resuelve nuestro problema? Desgraciadamente no, hay combinaciones de bolas que
ofrecen el mismo resultado. 0 y 7 dan 11110, pero ese resultado también lo dan 1 y 5 o 2 y 4.
Segundo intento
Observo que si pongo cada bola en tres de las secuencias también tengo diez maneras de
colocarla. Así que de forma similar al intento anterior coloco cada una de las bolas de una de las
diez maneras posibles. La nueva tabla queda así:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
X
X
X
X
X
X
B
X
X
X
X
X
X
C D E
X
X
X
X X
X
X
X X
X X
X
X
X X
X X X
De nuevo nos encontramos con el mismo problema: hay combinaciones que dan el mismo
resultado. Por ejemplo, 0 y 9 dan 11211, igual que 3 y 7.
Tercer intento
En los dos primeros intentos encuentro algo interesante: si sumo los valores de A, B, C, D y
E obtengo siempre el mismo resultado, 4 en el primer intento y 6 en el segundo. Esto me lleva a una
nueva idea, si los números del 0 al 4 los coloco en dos secuencias y los del 5 al 9 en tres, la suma
me va a dar información de la solución. Es decir, si A+B+C+D+E=4 podré asegurar que los
números están en el grupo {0,1,2,3,4}, si la suma es 6 están en el grupo {5,6,7,8,9} y si es 5 habrá
uno en cada grupo. Ahora solo hay que buscar la forma de colocarlos para que no haya resultados
repetidos.
Empiezo con los números del 0 al 4. Busco que las secuencias sean simétricas de modo que
en todas haya la misma cantidad de números. Como cada número aparece dos veces eso me da dos
números en cada secuencia, que coloco de forma simétrica así:
0
1
2
3
4
A B
X X
X
X
C D E
X
X
X
X
X X
Ahora hago lo mismo con los números del 5 al 9 pero haciendo que cada número aparezca
tres veces, con secuencias de tres números. Tengo diez combinaciones a elegir, así que he de
descartar cinco. ¿Cuáles? Como creo que la peor solución que puedo obtener es 11111, que podría
venir de muchas combinaciones de números diferentes, voy a evitarla. De modo que de las diez
formas de colocar los números descarto las cinco que son complementarias de la que he usado con
los números del 0 al 4. Es decir, como el 0 está en A y B, ningún número estará en C, D y E. Las
cinco combinaciones que quedan las asigno así:
5
6
7
8
9
A B
X X
X
X
X
X
C D E
X
X X
X X
X
X
X X
Por tanto, ya tengo colocados los números en las cinco secuencias:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A B
X X
X
X
C D E
X
X
X
X X
X
X
X
X
X
X X
X
X X
X X
X
X
X X
Las secuencias son A:01569, B:02578, C:13678, D:24679 y E:34589. Debo comprobar que
son válidas, es decir, que cada par de números da una solución diferente. Primero voy a ver qué
solución da cada número por separado usando de nuevo la última tabla:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
X
X
X
X
X
B C D E
X
X
X
X
X
X
X X
X
X
X X
X X X
X X
X
X X
Solución
11000
10100
1010
101
11
11001
10110
1110
1101
10011
Ahora se suman las soluciones de cada par de números para ver la que dan conjunta:
5
11001 5
10110 6
1110 7
1101 8
10011 9
11000
0
22001
21110
12110
12101
21011
10100
1
21101
20210
11210
11201
20111
1010
2
12011
11120
2120
2111
11021
101
3
11102
10211
1211
1202
10112
11
4
11012
10121
1121
1112
10022
4
11000 10100 1010 101
11
0
1
2
3
4
11000 0
21100 12010 11101 11011
10100 1
11110 10201 10111
1010 2
1111 1021
101 3
112
11 4
6
11001 5
10110 6
1110 7
1101 8
10011 9
11001 10110 1110 1101 10011
5
6
7
8
9
21111 12111 12102 21012
11220 11211 20121
2211 11121
11112
Observo que no se repite ningún resultado así que la solución es válida. Para que Jaimito
pueda saber cuáles son las bolas de Villar mira el valor global conjunto, digamos 10211 y suma sus
dígitos: 1+0+2+1+1=5. Busca en la tabla correspondiente al 5 el número 10211 y lo encuentra en la
intersección del 3 y 6, que son por tanto los números buscados.
Mmonchi