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TRABAJO Y ENERGÍA
1.- CONCEPTO DE ENERGÍA
La energía es una de las magnitudes físicas más importantes y sobre todo más
familiar, ya que se nos ha metido en nuestras vidas hasta tal punto que es
imprescindible en nuestra civilización. Su diversidad es cuanto a su producción, a su
transformación y a la forma de utilizarse hace que su definición no sea fácil. Sin
embargo, todos tenemos ideas claras de cuándo un cuerpo o un sistema de cuerpos
posee o no energía.
En física denominamos energía a la capacidad que tienen los cuerpos de producir
transformaciones, como por ejemplo trabajo y calor.
Si de un sistema se puede obtener un trabajo es que tiene energía. Otra característica
de la energía es que puede presentarse de muy diversas formas y transformarse de
unas a otras. En mecánica únicamente se van a considerar dos tipos de energía:
cinética y potencial. Aunque sólo vamos a considerar la energía mecánica existen
muchas clases de energía (luminosa, calorífica, eléctrica, sonora, nuclear…) En la
definición que hemos dado de energía se establece claramente la relación entre los
conceptos trabajo y energía. Cuando un sistema realiza un trabajo sobre el exterior lo
hace a costa de su energía, que disminuye; cuando su energía se agota totalmente ya
no puede ceder más trabajo al exterior. También es posible el razonamiento inverso: si
se realiza trabajo sobre un sistema desde el exterior, la energía del sistema aumenta.
2.- CONCEPTO DE TRABAJO
Cuando de un sistema se transfiere energía a otro y, como consecuencia de dicha
transferencia, se produce un desplazamiento en el segundo sistema, se dice que se ha
realizado un trabajo. Es decir, el trabajo no es más que un proceso de intercambio de
energía mediante el cual se produce un cambio de posición en uno o varios cuerpos.
Pero, para que se produzca un desplazamiento en un cuerpo que se encontraba en
reposo es necesaria la acción de una fuerza. Por este motivo se define el trabajo,
matemáticamente, como el producto escalar del vector fuerza por el vector
desplazamiento.
⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ | ⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ |
De acuerdo con la definición de trabajo podemos sacar las siguientes conclusiones:
- La única fuerza que interviene en el trabajo es la componente según la dirección del
desplazamiento
- Cuando la fuerza que se ejerce es perpendicular al desplazamiento el trabajo
realizado es nulo
- Si no existe desplazamiento el trabajo es nulo, por más que actúe la fuerza
- El trabajo pude ser positivo o negativo, según que el objeto se mueva en el mismo
sentido o en sentido opuesto a la fuerza aplicada.
La unidad de trabajo en el sistema internacional es el julio (J). Se define como el
trabajo realizado al desplazar un cuerpo, ejerciendo una fuerza de 1 N una distancia
de 1 metro en la dirección en que actúa la fuerza.
Cuando son varias las fuerzas que actúan sobre un mismo cuerpo, entonces el trabajo
realizado por dichas fuerzas al desplazar el cuerpo es el mismo que el que realizaría la
resultante de todas ellas. La razón es bien sencilla: podemos imaginar que cada una
de las fuerzas que actúan realiza su “trabajo particular” al desplazar el cuerpo entre las
posiciones inicial y final, de modo que el trabajo total es la suma de los trabajos
efectuados por cada una de ellas. Es decir:
W = W 1 + W 2 + W 3 + …+ Wn
Si F1 , F2, ...,Fn son las fuerzas que actúan mientras el cuerpo se desplaza r,
entonces:
W = F1 r F2r Fnr = ( F1+F2+...+Fn )  r
Ahora bien, la suma vectorial de todas las fuerzas es justamente la resultante de todas
ellas. Por tanto, el trabajo efectuado por esas fuerzas equivale al trabajo realizado por
la resultante de todas ellas:
1.- Calcula el trabajo que realiza cada una de las fuerzas que actúan cuando se sube
un cuerpo de 3 Kg. de masa, con velocidad cte., por una rampa inclinada 30 º, si se
desplaza 3 m sobre ella. El coeficiente de rozamiento con el plano es 0,2.
Solución: 22,05 J la componente tangencial del peso, 15,28 J la fuerza de rozamiento
y 37,33 J la fuerza impulsora.
3.- LA POTENCIA
Cuando contratamos los servicios de una empresa de mudanzas, lo que más nos
interesa es la rapidez con que se lleva a cabo el trabajo. Seguramente no estaríamos
demasiado satisfechos si el empleado de la mudanza se presentase en casa con
nuestro frigorífico al cabo de cinco años. Ahora bien, si solo hubiésemos contratado un
“trabajo”, desde el punto de vista estrictamente físico, no tendríamos derecho a
quejarnos, pues la mudanza, aun después de cinco años, se ha llevado a cabo.
Como se ha visto en el ejemplo anterior, a menudo no nos interesa tanto el trabajo que
se lleva a cabo como la rapidez con que se realiza ese trabajo.
Llamamos potencia a la rapidez con que se realiza un trabajo. Así pues:
La unidad de potencia en el SI es el vatio (W), que se define como la potencia
desarrollada cuando se realiza el trabajo de 1 julio en 1 segundo: 1W = 1 J/s. También
se emplea como unidad el caballo de vapor: 1 CV = 735 W.
2.- Cierto automóvil que circula a 129 Km/h está sometido a una fuerza de fricción con
la carretera de 211 N y a una fricción con el aire de 830 N. ¿Qué potencia debe
desarrollar en esas condiciones para mantener esa velocidad? Expresa el resultado en
kilovatios y en CV
Solución: 37267,8 w y 50,7 CV.
4.- ENERGÍA CINÉTICA: TEOREMA DEL TRABAJO
La energía cinética mide la capacidad que poseen los cuerpos para realizar trabajo por
el hecho de moverse. Todo cuerpo en movimiento posee energía cinética.
Sabemos que si sobre un cuerpo de masa m, que se mueve con velocidad v0, actúa
una fuerza F constante.
transcurrido un tiempo t su velocidad habrá variado
v = v0 + a·t
La distancia recorrida en ese tiempo es:
s – s0 = v0·t + ½ a·t2
Suponiendo que el cuerpo se mueve en la dirección y sentido de la fuerza, el trabajo
realizado por esta es:
W = F·(s – s0) (consideramos s0 = 0)
Teniendo en cuenta la segunda ley de Newton
(
)
(
)
2
Donde el término mv /2 recibe el nombre de energía cinética. La expresión anterior
constituye el teorema del trabajo o de las fuerzas vivas.
“El trabajo realizado por la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo se invierte en
modificar su energía cinética”
Si el trabajo realizado por la fuerza es nulo, la energía cinética del cuerpo no varía, y
se mantiene su velocidad. Esto es lo que ocurre cuando la fuerza resultante es nula
(principio de inercia) o cuando esta es perpendicular a la velocidad (fuerza centrípeta).
En cualquier otro caso el trabajo realizado sobre el cuerpo por la fuerza resultante se
invierte en modificar su energía cinética. Si el trabajo es negativo, la energía cinética
del cuerpo disminuye. El cuerpo realiza trabajo, disminuyendo la energía cinética en
una cantidad igual al trabajo realizado. De ahí que afirmemos que la energía cinética
es la capacidad que posee un cuerpo, debido a su movimiento, de realizar trabajo. La
energía cinética se mide en julios.
3.- Un coche de 1200 Kg. que se desplaza por una carretera plana y sin rozamiento a
una velocidad de 72 Km/h acelera hasta alcanzar una velocidad de 25 m/s.
a) ¿Qué energía cinética posee inicialmente?
b) ¿Qué trabajo realiza el motor cuando aumente su velocidad?
Solución: 240000 y 135000 J.
5.- ENERGÍA POTENCIAL. FUERZAS CONSERVATIVAS
El teorema del trabajo es general sea cual sea la naturaleza de la fuerza resultante. En
ocasiones es conveniente considerar el trabajo que realiza cada una de las fuerzas
que actúan sobre el objeto. De esta forma se ponen de manifiesto los diferentes tipos
de energía. Vamos a distinguir entre dos tipos de fuerzas: fuerzas conservativas y
fuerzas no conservativas.
5.1.- Fuerza conservativas
A las fuerzas que tienen la propiedad de devolver el trabajo que se realiza para
vencerlas se las denomina fuerzas conservativas. Una fuerza es conservativa si, al
actuar sobre un cuerpo que sigue una trayectoria cerrada (volviendo a su posición
inicial), realiza un trabajo total nulo.
Elevamos un cuerpo de masa m cierta altura h por encima de su posición inicial,
aplicando para ello una fuerza igual en módulo a su peso y en sentido opuesto. De
este modo el cuerpo asciende con velocidad constante y no varía su energía cinética.
El trabajo realizado por la fuerza peso cuando el cuerpo asciende por efecto de la
fuerza F es
⃗ ⃗
y es negativo porque la fuerza peso y el desplazamiento tienen sentido opuesto
Pero si una vez situado el cuerpo a una altura h dejamos de aplicar la fuerza F, el peso
devuelve este trabajo en el descenso
De esta manera el trabajo total en los trayectos de subida y bajada es:
Así pues, la fuerza peso es una fuerza conservativa. Cuando actúan fuerzas cuya
naturaleza es igual a la fuerza peso (conservativas) el trabajo realizado para vencerla
no se pierde. Podemos decir que se encuentra almacenado dando lugar a un tipo de
energía que denominamos energía potencial.
El trabajo realizado por la fuerza peso cuando el cuerpo se desplaza desde un punto
situado en h1 hasta un punto situado en h2 es:
Cada uno de los términos de la forma m·g·h recibe el nombre de energía potencial
gravitatoria, Ep. Podemos escribir:
Esta relación puede generalizarse para cualquier fuerza conservativa
En general, para una fuerza conservativa, podemos definir la energía potencial de la
forma:
Debemos hacer algunas precisiones sobre la energía potencial gravitatoria:
Al tomar como expresión de la energía potencial gravitatoria el valor mgh, estamos
considerando que dicha energía potencial varía con la altura. Sin embargo, no
tenemos en cuenta la variación de g con la altura, por lo que dicha expresión debe
restringirse a pequeñas alturas sobre la superficie terrestre, en las que el valor de g se
supone prácticamente constante.
Establecer mgh como la expresión de la energía potencial gravitatoria significa que
hemos fijado arbitrariamente un “valor cero” de energía potencial para una altura h = 0.
Se suele considerar como cero la energía potencial del suelo donde llevamos a cabo
el experimento. Sin embargo ese criterio es totalmente arbitrario. La razón de esta
elección arbitraria es que en kla mayoría de los casos solo interesa medir variaciones
de energía potencial.
La energía potencial puede ser tanto positiva como negativa, dependiendo de dónde
situemos el nivel cero de altura.
5.2.- Energía potencial elástica
Supón que disponemos de un muelle elástico de masa despreciable, apoyado sobre
una superficie horizontal. Lanzamos sobre él un objeto con cierta velocidad. Considera
despreciable el efecto del rozamiento. En el instante inicial, el objeto posee cierta
energía cinética. Cuando entra en contacto con el muelle, las fuerzas que actúan
sobre el objeto son el peso, la reacción normal y la fuerza elástica que el muelle opone
al objeto. Las dos primeras, al ser perpendiculares al movimiento, no realizan trabajo
sobre el objeto. El trabajo resultante será debido únicamente a la fuerza elástica del
muelle.
A medida que transcurre el tiempo, el muelle se va comprimiendo, a la vez que el
cuerpo se va frenando, llegando a detenerse.
La energía cinética del cuerpo se ha gastado en vencer la resistencia del muelle. La
fuerza elástica del muelle realiza un trabajo negativo que reduce a cero la energía
cinética del cuerpo. Sin embargo, este trabajo no se ha perdido, ya que a partir de ese
momento, la fuerza elástica realiza un trabajo, ahora positivo, sobre el objeto,
comunicándole de nuevo energía cinética. Cuando el cuerpo alcanza la posición
original, tendrá la misma velocidad que al principio, y por tanto posee la misma energía
cinética.
“La fuerza elástica devuelve el trabajo realizado contra ella. Es una fuerza
conservativa”
Observa que el trabajo total realizado por la fuerza elástica en el trayecto de ida y
vuelta es nulo: negativo a la ida positivo a la vuelta.
Las fuerzas elásticas son fuerzas conservativas. Por tanto, admiten una energía
potencial, es decir, una función Ep que depende únicamente de la posición, de forma
que la diferencia entre la energía potencial de dos puntos coincide con el trabajo
realizado por la fuerza elástica cuando el objeto se desplaza de un punto a otro
Las fuerzas elásticas responden a la ley de Hooke:
La energía potencial elástica viene dada por la expresión:
4.- Al colgar un cuerpo de 10 Kg. de un muelle vertical se produce un alargamiento de
7,2 cm. Calcula:
a) La constante elástica del muelle
b) La energía potencial elástica almacenada
Solución: 1361,1 N/m y 3,53 J.
6.- LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA
Galileo observó que un péndulo simple siempre ascendía en sus oscilaciones hasta la
misma altura. Lo que más llamó la atención era que seguía ocurriendo lo mismo
incluso cuando se anteponía un obstáculo en el recorrido del hilo; este veía
interrumpido su recorrido, pero la bola (cuerpo suspendido del péndulo) ascendía
hasta la altura original.
En el ejemplo el sistema tiene inicialmente una energía potencial que se va perdiendo
a medida que la bola desciende. Sin embargo, conforme desciende, su energía
cinética va aumentando hasta alcanzar un valor máximo, que luego empieza a
disminuir cuando la bola inicia el ascenso. El movimiento continúa hasta recuperar la
energía potencial inicial.
En este ejemplo podemos observar que, a pesar de las transformaciones, la energía
del sistema se mantiene constante. Pero, ¿esto ocurre bajo cualquier circunstancia?
Seguramente hayas llegado a la conclusión de que el péndulo oscilaría de forma
indefinida si no existiese fricción con el aire.
Las fuerzas bajo cuya acción se conserva la energía mecánica del sistema se
denominan fuerzas conservativas.
Las fuerzas bajo cuya acción se disipa o se pierde la energía mecánica del sistema
(rozamiento) se denominan fuerzas no conservativas o disipativas.
La suma de la energía cinética y potencial de un cuerpo, suma denominada energía
mecánica (Em), es constante.
Supongamos que sobre un cuerpo únicamente actúan fuerzas conservativas, siendo F
la resultante de todas ellas.
Cuando el cuerpo se desplaza de una posición A con energía cinética Ec(A) a otra B,
con energía cinética Ec(B), el trabajo realizado por F viene dado por:
y al ser F conservativa
Igualando las dos expresiones anteriores:
Ec(A) + Ep(A) = Ec(B) + Ep(B)
Em(A) = Em(B)
5.- Un cuerpo de 200 g de masa está sujeto a un muelle y apoyado sobre un plano
horizontal. La constante del muelle es de 2000 N/m. Separamos el conjunto 10 cm. de
la posición de equilibrio y lo soltamos. Despreciando el rozamiento, determina:
a) La velocidad del cuerpo cuando pasa por la posición de equilibrio
b) La velocidad del cuerpo cuando se encuentra a 5 cm. de la posición de equilibrio
c) La velocidad del cuerpo cuando alcance la posición extrema.
Solución: 10 m/s, 8,66 m/s y 0.
6.- Un cuerpo de 0,5 Kg de masa se deja caer desde una altura de 1 m sobre un
pequeño resorte vertical sujeto al suelo y cuya constante elástica es k = 2000 N/m.
Calcula la deformación máxima del resorte.
Solución: 7 cm.
7.- Haciendo uso del principio de conservación de la energía calcula la velocidad con
que llega al suelo un objeto que cae desde una altura h
Solución:
√
8.- En lo alto de un plano inclinado se coloca un cuerpo que se desliza por el plano por
su propio peso. Calcula la velocidad con que llega al suelo considerando el rozamiento
nulo.
Solución:
√
7.- GENERALIZACIÓN DEL TEOREMA DE
CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA
Existen fuerzas que no son conservativas, como los rozamientos, que hacen que no se
pueda aplicar el teorema de conservación de la energía, ya que no puede definirse
una energía potencial asociada a las fuerzas no conservativas.
Si sobre un cuerpo actúan fuerzas conservativas y no conservativas al desplazarse de
A a B, el trabajo resultante Wr, presentará dos contribuciones:
- Trabajo realizado por las fuerza conservativas Wc
- Trabajo realizado por las fuerzas no conservativas Wnc
Teniendo en cuenta el teorema del trabajo
y recordando que para las fuerzas conservativas se cumple
Resulta
Ec(B) – Ec(A) = Ep(A) – Ep(B) + Wnc
(Ec + Ep)B – (Ec + Ep)A = Wnc
Vemos que la energía mecánica Ec + Ep varía en la cantidad Wnc. El trabajo realizado
por las fuerzas no conservativas constituye una transferencia de energía. El cuerpo
“ha perdido” cierta cantidad de energía. La energía que se pierde por rozamiento se
transforma en calor.
9.- Lanzamos hacia arriba por un plano inclinado 30 º un objeto de 2 Kg. de masa, con
una velocidad inicial de 5 m/s. Tras recorrer 2 m sobre el plano, el cuerpo se detiene,
regresando posteriormente al punto de partida.
a) Calcula el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano
b) Determina la velocidad con que llegará al punto de partida
Solución: 0,012 y 4,38 m/s.
10.- Un cuerpo desciende por un plano inclinado 30 º y coeficiente de rozamiento 0,2,
recorre 2 m sobre él y después entra en una superficie horizontal de idéntico
coeficiente de rozamiento. Calcula:
a) Velocidad del cuerpo cuando llega al final del plano inclinado
b) Distancia que recorre sobre el plano horizontal hasta detenerse
Solución: 3,58 m/s y 3,27 m.
PROBLEMAS DE TRABAJO Y ENERGÍA
1.- Un cuerpo de 4 Kg. de masa se mueve hacia arriba por un plano inclinado 20 º
respecto a la horizontal. Sobre el cuerpo actúan las fuerzas siguientes: una horizontal
de 80 N, una paralela al plano de 100 N en el sentido del movimiento y la fuerza de
rozamiento de 10 N. El cuerpo se traslada 20 m a lo largo del plano. Calcula:
a) El trabajo que realiza cada fuerza
b) El trabajo resultante
Soluciones: a) 2000, 1503,5 y 200 J; b) 3303,5 J.
2.- Un muchacho desplaza un cuerpo de 10 Kg., inicialmente en reposo, una distancia
de 5 m., tirando de él con una fuerza de 30 N paralela a la dirección de
desplazamiento. El coeficiente de rozamiento del cuerpo con el suelo es 0,2.
Determinar:
a) El trabajo realizado por el muchacho
b) El trabajo realizado por el rozamiento
c) El trabajo resultante
d) La velocidad que posee el cuerpo una vez recorridos los 5 m
Solución: 150 J, 98 J, 52 J y 3,22 m/s.
3.- Un vehículo de 1000 Kg. de masa está subiendo una cuesta con una inclinación de
10º. La velocidad es de 72 Km/h. Cuando faltan 100 m para llegar a la cumbre se le
acaba la gasolina.
a) Determina la velocidad que poseerá al llegar a la cumbre (si es que llega).
Considera despreciables los rozamientos.
b) Si el coeficiente de rozamiento con el suelo es de 0,2, calcula de nuevo la velocidad
con la que llegará a la cumbre.
Solución: 7,74 m/s y no llegará
4.- Desde una altura de 1 m, se deja caer un cuerpo de 50 g sobre un muelle elástico,
de 10 cm. de longitud y cuya constante elástica es 500 n/m. Calcula la máxima
deformación que experimentará el muelle, en ausencia de rozamiento.
Solución: 4,4 cm.
5.- Se deja caer deslizando por un plano inclinado 30º un cuerpo de cierta masa,
partiendo del reposo. El coeficiente de rozamiento es 0,2. Calcula la velocidad que
poseerá el cuerpo cuando haya recorrido 3 m sobre el plano, aplicando la
conservación de la energía.
Solución: 4,38 m/s.
6.- Un cuerpo de 50 Kg. de masa se hace deslizar sobre una superficie horizontal, con
una velocidad de 10 m/s. El cuerpo acaba por detenerse, debido al rozamiento, tras
recorrer una distancia de 200 m. Calcula:
a) La variación de energía cinética experimentada por el cuerpo. ¿En qué utiliza esa
energía el cuerpo?
b) La magnitud de la fuerza de rozamiento que actúa sobre el cuerpo, supuesta
constante.
Solución: -2500 J y -12,5 N.
10.- Sobre un cuerpo de 2 Kg. de masa actúa una fuerza constante de 20 N, a lo largo
de una superficie horizontal, haciendo que el cuerpo se desplace 5 m, partiendo del
reposo. Entre el cuerpo y la superficie existe un rozamiento cuyo coeficiente es 0,2.
Determina:
a) La velocidad que poseerá el cuerpo en el instante en que deje de actuar la fuerza
b) La distancia que recorrerá hasta pararse, medida a partir del instante en que deja
de actuar la fuerza.
Solución: 8,97 m/s y 10,26 m.
11.- Desde lo alto de un plano inclinado de 2 m de longitud y 30º de inclinación se deja
resbalar un cuerpo de 500 g al que se imprime una velocidad inicial de 1 m/s.
Supongamos que no existe fricción en todo el recorrido:
a) ¿Con que velocidad llegará a la base del plano?
b) Si al llegar a la superficie plana choca contra un muelle de constante k = 200 N/m,
¿qué distancia se comprimirá el muelle?
Solución: 4,54 m/s y 22,7 cm.