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Transcript
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
(UNEFA)
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
a = b +c
2
2
CURSO DE INDUCCIÓN UNIVERSITARIA
(EJERCICIOS)
UNEFA. Ejercicios de Geometría y Trigonometría.
1.1.
•
1-1
Generalidades
Demostrar el Teorema “Dos ángulos adyacentes son suplementarios”.
B
A
C
O
Hipótesis: ∠AOB y ∠BOC son ángulos adyacentes.
Tesis: ∠AOB + ∠BOC = 180°
Demostración: ∠AOB + ∠BOC = ∠AOC
∠AOC = 180°
•
Demostrar el Teorema “Los ángulos opuestos por el vértice son iguales”.
A
C
D
O
B
Hipótesis: ∠AOC y ∠BOD son ángulos opuestos por el vértice
Tésis: ∠AOC = ∠BOD
•
Si el ∠AOD es recto, y ∠AOB = 2x, ∠BOC = 3x, y ∠OCD = 4x; ¿cuánto
vale cada ángulo?
D
C
B
O
•
Expresar los siguientes ángulos en Radianes:
o 80° 34’ 21”
21” = 0,35’
34,35’ = 0,5725°
S = 80,5725°
Ing° Luis Castellanos (Versión 1.10)
A
UNEFA. Ejercicios de Geometría y Trigonometría.
1-2
R
S
2.3,1416rad .80,5725°
=
⇒R=
⇒
2π _ rad
360°
360°
R = 1,4063 rad
o 65° 17’ 49”
o 45° 29’ 33”
o 30° 48’ 51”
•
Expresar los siguientes ángulos en Grados Sexagesimales (°,’,”):
o 2,35 rad
360°.2,35rad
S
R
=
⇒S=
⇒ S = 134,64°
2.3,1416rad
360°
2π
•
o
0,785 rad
o
1,963 rad
o
2,208 rad
Expresar en Grados, Minutos y Segundos:
o 134,64°
Minutos (M) = 134,64° – 134,00° ⇒ M = 0,64°
M = 0,64°/min x 60 min ⇒ M= 38,4’
Segundos (S) = 38,4’ – 38,00’ ⇒ S = 0,4’
S= 0,4’/seg x 60 seg ⇒ S = 24”
134,64° = 134° 38’ 24”
o 135,47°
o 205,23°
o 89,95°
•
Halle los complementos de los siguientes ángulos:
o 67° 35’ 40”
90° = 89° 59’ 60”
89° 59’ 60”
67° 35’ 40” –
22° 25’ 20”
Ing° Luis Castellanos (Versión 1.10)
UNEFA. Ejercicios de Geometría y Trigonometría.
1-3
o 18° 27’ 31”
o 36° 52’ 5”
o 48° 39’ 15”
•
Halle los suplementos de los siguientes ángulos:
o 35° 43’ 26”
180° = 179° 59’ 60”
179° 59’ 60”
035° 43’ 26 –
144° 17’ 34”
o 78° 13’ 39”
o 92° 15’ 43”
o 123° 9’ 16”
1.2.
Ángulos formados con dos rectas paralelas cortadas por una secante.
•
Demuestre el Teorema “Dos rectas de un plano, perpendiculares a una
tercera, son paralelas entre sí.”
A
C
D
E
F
B
Hipótesis: AB ⊥ CD ; AB ⊥ EF .
Tésis: CD || EF .
•
Demuestre el Postulado de Euclides “Por un punto exterior a una recta,
pasa una sola paralela a dicha recta”.
Sea AB la recta dada, y E el punto exterior. Por E trazamos AB ⊥ EF ,
y en E trazamos también CD ⊥ EF .
Por el Teorema anterior, AB || CD .
•
Demuestre el Corolario “Dos rectas paralelas a una tercera, son
paralelas entre sí.”
Hipótesis: AB || CD ; AB || EF .
Ing° Luis Castellanos (Versión 1.10)
UNEFA. Ejercicios de Geometría y Trigonometría.
1-4
Tésis: CD || EF .
•
Demuestre el Corolario “Si una recta corta a otra, corta también a las
paralelas a ésta.”
•
Demuestre el Corolario “Si una recta es perpendicular a otra, es también
perpendicular a toda paralela a esta otra.”
•
Si AB || CD , y SS ' es una secante y 1 = 120°.
Hallar los otros ángulos.
S
1
2
A
B
4
5
3
6
C
D
8
7
S’
•
Dados AB || CD , EF || GH y ∠EMN = 60°; hallar ∠HPD.
E
A
G
M
N
C
D
Q
F
1.3.
•
B
P
H
Problemas aplicando Teorema de Pitágoras
Halle los valores que faltan, aplicando Teorema de Pitágoras (a =
Hipotenusa):
o a=6, b=3, c= x
Ing° Luis Castellanos (Versión 1.10)
UNEFA. Ejercicios de Geometría y Trigonometría.
1-5
a2 = b2 + c2 ⇒ c2 = a2 – b2 ⇒ c2 = 62 – 32 ⇒ c2 = 36 – 9 ⇒
c2 = 27 ⇒ c=
27 ⇒ c= 5,19
o b=10, c=6, a=x
o a=32, c=12, b=x
o a=32, c=20, b=x
•
Calcule la altura de la Estación Final de un Teleférico, si hace un
recorrido de 8 Kms hasta la Estación Inicial, y se sabe que dicha
Estación Inicial se encuentra situada a 6 Kms desde la Base de la
Estación Final, empleando Teorema de Pitágoras.
•
Calcule la longitud de una rampa, sabiendo que su altura es de 25
metros y la distancia en línea recta sobre el pavimento es de 35 mts.
•
Halle gráficamente el punto G (Baricentro) del siguiente triángulo:
G
•
Halle gráficamente el punto O (Ortocentro) del siguiente triángulo:
•
Halle gráficamente el punto I (Incentro) del siguiente triángulo:
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UNEFA. Ejercicios de Geometría y Trigonometría.
1-6
•
Halle gráficamente el punto K (Circuncentro) del siguiente triángulo:
•
Demuestre el Teorema “La suma de los ángulos internos de un triángulo
vale dos ángulos rectos”.
Hipótesis: Sean ∠A, ∠B y ∠C los ángulos interiores del ∆ ABC
Tesis: ∠A + ∠B + ∠C = 180°
•
Sea ∆ ABC un triángulo equilátero. ¿Cuánto valen cada uno de sus
ángulos interiores?
1.4.
Semejanzas de Triángulos
•
Si ∠1 = ∠2 y ∠3 = ∠4, demostrar que ∆ ABC = ∆ ABD
•
Si AC = AD y ∠1 = ∠2, demostrar que ∆ ABC = ∆ ABD
•
Si AC = AD y BC = BD , demostrar que ∆ ABC = ∆ ABD
C
A
1
3
2
4
B
D
•
Si AB || CD , demostrar que: ∆ ABC = ∆ ACD
•
Si AB = CD y AD || BC , demostrar que: ∆ ABC = ∆ ACD
D
A
C
B
Ing° Luis Castellanos (Versión 1.10)
UNEFA. Ejercicios de Geometría y Trigonometría.
•
•
1-7
Si BD ⊥ AC , ∠ADB = ∠CDB y AD = CD ; demostrar ∆ ABD = ∆ CBD
Si BD ⊥ AC , ∠BAD = ∠BCD; demostrar ∆ ABD = ∆ CBD
A
D
B
C
•
Sean dos triángulos ∆ ABE ∼ ∆ CDE; si CD = 3 m, EC = 4 m y EB = 12 m.
Calcule AB .
A
B
E
•
C
D
Sean dos triángulos ∆ ABC ∼ ∆ CDE; si AC = 3 m, AD = 2 m y AB = 4 m.
Calcule DE .
C
A
B
D
Ing° Luis Castellanos (Versión 1.10)
E
UNEFA. Ejercicios de Geometría y Trigonometría.
•
1-8
Sean dos triángulos ∆ ACD ∼ ∆ ABE; si BE = 3 m, BC = 18 m y AB = 2 m.
Calcule CD .
D
E
A
•
•
B
C
Sean dos triángulos ∆ ACD ∼ ∆ ABE; si CD = 80 m, BE = 6 m y AB = 9 m.
Calcule BC .
Sean dos triángulos ∆ ACD ∼ ∆ ABE; si CD = 120 m, BE = 8 m y AB = 12
m. Calcule BC .
D
E
A
B
Ing° Luis Castellanos (Versión 1.10)
C
UNEFA. Ejercicios de Geometría y Trigonometría.
2-1
2.1. Superficies, Áreas y Volúmenes
•
Halle las siguientes rectas, respecto a una circunferencia:
o Tangente
o Normal
Tangente
o Cuerda
o Diámetro
o Arco
•
Halle la menor distancia del punto a la circunferencia, si:
o Dista 2 cm. del centro de una circunferencia de 6 cm. de
diámetro
Si trazamos un radio desde el centro, pasando por el punto
hasta la circunferencia, tenemos que r = 3 cm.
Como el
segmento radio-punto mide 2 cm., dista 1 cm. de la
Circunferencia.
o Dista 3 cms del centro de una circunferencia de 4 cm de
diámetro
•
Los radios de 2 circunferencias son 10 y 16 cm. Hallar la distancia
entre sus centros si las circunferencias son:
o Concéntricas
o Tangentes Interiores
o Tangentes Exteriores
•
Halle el área de los siguientes Polígonos:
o Rectángulo con base igual a 15,38 cm. y altura de 3,5 cm.
a = b x h Î a = 15,38 cm x 3,5 cm Î a= 53,83 mt2
o Rectángulo cuya diagonal mide 10 mt. y su altura 6 mt.
o Cuadrado cuyo lado mide 8,62 mt.
o Cuadrado cuya diagonal mide 4 2 mt.
o Paralelogramo cuya base mide 30 cm. y su altura 20 cm.
o Triángulo equilátero de 8 cm. de lado.
o Triángulo cuyos lados miden 6, 8 y 12 cm.
•
Dado el área de los siguientes polígonos, halle sus dimensiones:
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UNEFA. Ejercicios de Geometría y Trigonometría.
2-2
o Rectángulo de 288 mt2, y su base es el doble de la altura.
a = b x h Î 288 mt2 = 2.h x h Î 144 mt2 = h2 Î h = 12 mt.
b = 2.h Î b = 24 mt.
o Rectángulo de 216 mt2, y su base es 6 mt. mayor que su
altura.
o Rectángulo de 96 mt2, y 44 mt. de perímetro.
o Cuadrado con área de 28,09 mt2
•
Calcule el área de la parte rayada:
D
C
o
A
4 mt
B
a1= π r2 Î a1= 3,1416 x (4 mt)2 Î a1= 50,2655 mt2
a2= l2 Î AC 2 = AB 2 + BC 2 Î (8 mt)2 = 2. l2 Î l2 = 32 mt2
at = a1 - a2 Î at = 50,2655 mt2 - 32 mt2 Î at = 18,2655 mt2
C
D
C
o
A
10 mt
A
•
10 mt
o
10 mt
12 mt
B
B
Halle el área de los siguientes sólidos:
o Esfera de 10 cm. de diámetro.
a = 4 π r2 Î a = 4 x 3,1416 x (5 cm.)2 Î a = 314,16 cm2
o Lata de refresco de 11 cm. de alto y 7 cm. de diámetro.
o Vaso cónico de 8 cm. de diámetro y 10 cm. de altura.
o Cubo de 12 cm. de lado
•
Halle el volumen:
o Esfera de 10 cm. de diámetro.
Ing° Luis Castellanos (Versión 1.10)
UNEFA. Ejercicios de Geometría y Trigonometría.
2-3
4
4
π r3 Î v =
π (5 cm.)3 Î v = 523,5988 cm.3
3
3
v=
o Lata de refresco de 11 cm. de alto y 7 cm. de diámetro.
o Vaso cónico de 8 cm. de diámetro y 10 cm. de altura.
o Cubo de 12 cm. de lado
2.2. Polígonos y Paralelogramos
•
Halle la suma de los ángulos interiores de:
o Cuadrado
S
i
= 180°(n − 2) Î Si = 180° (4-2) Î Si = 360°
o Octágono
o Pentágono
o Triángulo
•
Cuál es el polígono cuya suma de ángulos interiores vale:
o 540°
S
i
= 180°(n − 2) Î 540° = 180° (n-2) Î
540°
= n -2 Î
180°
n = 3 + 2 Î n = 5 Î Pentágono
o 1260°
o 1800°
•
Halle el valor de un ángulo interior de:
o Hexágono
i=
180°(n − 2)
180°(6 − 2)
720°
Î i=
Î i=
Î i = 120°
n
6
6
o Dodecágono
o Decágono
•
Cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior mide:
o 60°
i=
180°(n − 2)
180°(n − 2)
Î 60° =
Î 60° n = 180° n – 360° Î
n
n
360° = 180° n – 60° n Î 360° = 120° n Î n= 3 ∴ Triángulo
o 90°
Ing° Luis Castellanos (Versión 1.10)
UNEFA. Ejercicios de Geometría y Trigonometría.
2-4
o 135°
•
Halle el valor de un ángulo exterior de un:
o Octágono
e=
360°
360°
Î e=
Î e = 45°
n
8
o Decágono
o Polígono regular de 20 lados
•
Cuál es el polígono cuyo ángulo exterior vale:
o 120°
e=
360°
360°
360°
Î 120° =
Î n=
Î n= 3 ∴ Triángulo
n
n
120°
o 60°
o 90°
•
Calcule el número de diagonales que ser pueden trazar desde cada
vértice de un:
o Pentágono
d=n-3Îd=5–3Îd=2
o Octágono
o Decágono
•
Cuál es el polígono en el que se puede trazar el siguiente número
de diagonales desde cada vértice:
o 3
d = n-3 Î 3 = n-3 Î n = 6 ∴ Hexágono
o 6
o 9
•
Calcule el número total de diagonales que se pueden trazar en un :
o Octágono
D=
n(n − 3)
8(8 − 3)
40
Î D=
Î D=
Î D = 20
2
2
2
o Decágono
o Polígono de 20 lados
Ing° Luis Castellanos (Versión 1.10)
UNEFA. Ejercicios de Geometría y Trigonometría.
•
2-5
Cuál es el polígono en el que se puede trazar el siguiente número
total de diagonales:
o 14
14 =
n(n − 3)
Î28 = n (n-3) Î 28= n2–3n Î n2–3n–28 = 0
2
Por ecuación de 2do Grado; x1= 7 y x2 = -4
Î n = 7 ∴ Eptágono
o 20
o 27
Ing° Luis Castellanos (Versión 1.10)
UNEFA. Ejercicios de Geometría y Trigonometría.
3-1
3. Gráficos de relaciones trigonométricas, Identidades y
Ecuaciones Trigonométricas, Teoremas del Seno y del Coseno.
3.1.
Funciones Trigonométricas.
•
Representar, en un sistema de ejes coordenadas, los puntos:
o A (4, 2)
A
o B (-3 , 3)
x
o C (-7, -2)
o D (5, -4)
•
y
En el siguiente triángulo, calcule las funciones trigonométricas de los
ángulos B y C, si b = 2 cm. y c = 4 cm.
C
a
b
B
c
A
Primeramente se calcula el valor de a.
a2 = b2 + c2 Î a2 = 22 + 42 Î a2 = 20 Î a = 2 5
sen B =
b
1
2
Î sen B =
Î sen B =
a
2 5
5
⎡ 1
⎢
⎣ 5
sen C =
c
4
2
Î sen C =
Î sen C =
a
5
2 5
⎡ 2 5 2 5⎤
=
⎢
⎥
5 ⎦
⎣ 5 5
tan B =
b
2
1
Î tan B =
Î tan B =
4
2
c
tan C =
c
4
Î tan C =
Î tan C = 2
2
b
sec B =
a
2 5
5
Î sec B =
Î sec B =
c
4
2
sec C =
2 5
a
Î sec C =
Î sec C =
2
b
5
Ing° Luis Castellanos (Versión 1.10)
5
5⎤
=
⎥
5 ⎦
5
UNEFA. Ejercicios de Geometría y Trigonometría.
sen B = cos C =
5
2 5
1
; cos B = sen C =
; tan B = cot C = ;
5
5
2
cot B = tan C = 2; sec B = csc C =
•
3-2
5
; csc B = sec C =
2
5
Dados los Puntos siguientes, calcular las Funciones Trigonométricas
del ∠XOA:
o A (2, 3)
o A (-1, 4)
o A (3, -4)
o A (-1, -3)
•
Calcule el valor de las siguientes expresiones:
o 5 sen2 45° + 8 cos2 30°
sen 45° = √2 /2; cos 30° = √3 /2
5 x (√2 /2)2 + 8 x (√3 /2) 2 = (5 x ½ ) + (8 x ¾) =
5 12 17
+
=
2
2
2
o 3 sen 30° + 6 cos2 45°
o 5 tan2 45° + 2 sec2 45°
o 4 cos 60° + 5 csec 30°
•
Calcular las otras funciones, sabiendo que:
o sen x =
1
2
cos2 x = 1 – sen2 x Æ cos2 x = 1 – ( ½ )2 Æ cos2 x = ¾ Æ
cos x =
3
3
Æ cos x =
2
4
1
3
1
senx
Æ tan x = 2 Æ tan x =
Æ tan x =
tan x =
cos x
3
3
3
2
1
3
1
cot x =
Æ cot x = 1 Æ cot x =
Æ cot x =
tan x
3
3
3
Ing° Luis Castellanos (Versión 1.10)
3
UNEFA. Ejercicios de Geometría y Trigonometría.
1
1
Æ csec x =
Æ csec x = 2
1
senx
2
csec x =
sec x =
3-3
2 3
2
1
1
Æ sec x =
Æ sec x =
Æ sec x =
cos x
3
3
3
2
o cos x =
1
5
o tan x =
3
4
o cot x =
3
2
3.2. Relaciones Fundamentales entre las Funciones Trigonométricas e
Identidades Trigonométricas.
•
Probar las siguientes Identidades Trigonométricas:
1 − cos 2 x
o sen x =
csc 2 x
4
sen 2 x
sen4 x = 1 Æ sen4 x = sen2 x . sen2 x Æ sen4 x = sen4 x
1
sen 2 x
•
o
sen.x − cos x
1
= 1−
sen.x
tan .x
o
cos x
= sen.x
cot .x
o
tan x
= sec .x
sen.x
Calcular las Funciones Trigonométricas de los ángulos (a+b) y (a-b)
sabiendo:
o sen a =
o cos a =
2 13
3
; cos b =
5
13
5 41
5 61
; cos b =
41
61
Ing° Luis Castellanos (Versión 1.10)
UNEFA. Ejercicios de Geometría y Trigonometría.
o sen a =
3-4
2 5
2
; cos b =
5
2
o tan a = ½ ; cot b = ¼
•
Halle seno, coseno y tangente de los siguientes ángulos, aplicando
suma y diferencia de ángulos:
o 105°
o 75°
o 15°
•
Probar las siguientes Identidades:
o cos (a + 45°) x sen (a + 45°) = ½ x (2cos2 a -1)
o cos (a + b) x cos b + sen (a + b)x sen b = cos a
•
Dados los siguientes valores, calcular seno, coseno y tangente de
los ángulos dobles respectivos:
o a = 45°
o b = 60°
o c = 120°
•
Probar las siguientes identidades:
o tan x . sen 2x = 2 sen2 x
o cos 2 a = cos4 a – sen4 a
•
o
sen2α
= tan α
1 + cos 2α
o
2
= sen 2 β
cot β + tan β
Dados los siguientes valores, calcular seno, coseno y tangente de
los ángulos mitad respectivos:
o a= 30°
o b= 45°
•
Resolver los siguientes Triángulos Rectángulos:
o b = 50; c = 40
o a = 30; b = 25
o c = 60; C = 28° 30’
Ing° Luis Castellanos (Versión 1.10)
UNEFA. Ejercicios de Geometría y Trigonometría.
3-5
o a = 4 ; B = 62° 30’
3.3. Resolución de Triángulos Oblicuángulos
•
Resolver los siguientes Triángulos Oblicuángulos, aplicando las
Leyes del Seno, Coseno y/o Tangente:
o a = 41; b = 19,5; c = 32,48
o a = 5,312; b = 10,913; c = 13
o a = 32,45; b = 27,21; C = 66° 56’
o b = 50; c = 66,6; A = 83° 26’
o a = 41; B = 27°50’; C = 51°
o a= 78,6; A = 83°26’; B = 39°13’
•
Halle el área de los Triángulos Oblicuángulos anteriores.
3.4. Variaciones y Gráficas de Funciones Trigonométricas. Ecuaciones
Trigonométricas.
•
Resuelva las siguientes Ecuaciones Trigonométricas:
o sen α + 1 = cos α
sen α + 1 = 1 − sen 2α
(sen α + 1)2 = ( 1 − sen 2α )2
sen2 α + 2sen α +1 = 1 - sen2 α
2sen2 α + 2sen α = 0
sen2 α + sen α = 0
sen α (sen α + 1) = 0
sen α = 0 Æ α = 90°
sen α = -1 Æ α = 270°
o cos (40° - a ) = cos a
o 2 sen x = 1
o 2 cos x . tan x – 1 = 0
o 4 cos2 x = 3 – 4 cos x
o 3 cos2 x + sen2 x = 3
o 2 sen2 x + sen x = 0
Ing° Luis Castellanos (Versión 1.10)