Download Jimnez L. Jimnez M. Pereira J. y Soto E. 2013

UNIVERSIDAD NACIONAL
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
ESCUELA DE MATEMÁTICAS
FACTORES QUE IMPACTAN NEGATIVAMENTE EL APRENDIZAJE DE LA
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS: EL CASO DE UN GRUPO DE DÉCIMO
AÑO DE UN COLEGIO ACADÉMICO DE LA REGIÓN ATLÁNTICA
Trabajo final de graduación sometido a consideración del Tribunal Examinador de
la Escuela de Matemática como requisito parcial para optar al grado de
Licenciatura en la Enseñanza de la Matemática
Jiménez Montero Luis Fernando
Jiménez Montero Mainer
Pereira Alvarado Juan Carlos
Soto Cascante Emanuelle
2012
Campus Omar Dengo
Heredia, Costa Rica
RESUMEN
El propósito general de este trabajo radicó en analizar el impacto de factores
negativos en el aprendizaje de la factorización de polinomios en un grupo de
estudiantes de décimo año de un colegio académico de la Región Atlántica. La
investigación se llevó a cabo en un colegio de esta zona con una población
participante formada por un grupo de estudiantes de décimo año.
Existen diversos factores determinantes en la no consecución de un aprendizaje
significativo en el tema de factorización de polinomios, mismos que se presentan
como obstáculos o factores negativos los cuales no permiten al estudiante
asimilar de forma adecuada el tema en cuestión.
Para tal fin se recopiló información acerca los estudiantes sobre su percepción en
cuanto al desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje; de igual forma se
analizaron las principales limitantes de índole conceptual vislumbradas a partir de
tipos de errores comúnmente presentados por parte de los estudiantes en la
ejecución de pruebas concernientes al tema de factorización de polinomios. Estas
permitieron establecer una clasificación acerca de los factores que afectan de
forma negativa el aprendizaje del tema factorización de polinomios.
El análisis de la información se fundamenta en el paradigma Naturalista y el
enfoque cualitativo. La investigación responde al tipo multimetódica, lo que implica
un enfoque interpretativo hacia su objeto de estudio, o sea, el análisis de la
realidad en su contexto natural.
Para esto se utilizaron técnicas como la
entrevista en profundidad, el diario reflexivo, la observación no participante y el
diferencial semántico. Además, se utilizó como método el estudio de caso y se
elaboró la descripción de las respuestas de acuerdo con la información aportada
por estas técnicas e instrumentos; se organizaron haciendo énfasis en aquellas
más representativas para la presente investigación y relacionadas con los
objetivos propuestos.
De la información recopilada y procesada se obtuvo una serie de hallazgos a
partir de los cuales se logra determinar la existencia de diversos factores que
afectan de forma negativa el aprendizaje del tema factorización de polinomios,
entre estos un ambiente físico inadecuado con una ventilación inexistente, aulas
en mal estado, así como el equipamiento y contaminación sónica durante el
trabajo en el aula. A su vez, se determinó la disposición escasa por parte de los
estudiantes para comprometerse con el trabajo realizado, reflejado en malos, o
inexistentes hábitos de estudio.
Asimismo, se logra determinar que la construcción del conocimiento se da
principalmente por imitación, ya que la tarea principal del docente es la resolución
de ejemplos que le mostrarán al estudiante la forma que la que deberá resolver
los demás ejercicios asignados. En el plano académico se logra determinar que
existen una gran cantidad de errores clasificados en este trabajo, mismos que son
representativos en las pruebas realizadas y que impiden a los estudiantes ser
capaces de finalizar la tarea de forma satisfactoria; se destaca como uno de los
errores más comunes el uso inapropiado de un método de factorización.
Estos factores inciden, de forma relevante, apreciable, destacada y prominente en
el aprendizaje de los estudiantes, presentándose como obstáculo importante en
su desenvolvimiento académico. El conocimiento de los mismos le permite a los
docentes, al Ministerio de Educación Pública y a los involucrados en el proceso de
enseñanza y aprendizaje establecer diversas técnicas, estrategias o planes que
tengan en su haber el conocimiento acerca de los mismos, de forma tal que se
pueda evitar su efecto o disminuir su intensidad.
Este proyecto de graduación fue aprobado por el Tribunal Examinador de la
Escuela de Matemática de la Universidad Nacional, como requisito parcial para
optar al grado de Licenciatura en la Enseñanza de la Matemática.
________________________________
Presidente del Tribunal Examinador
________________________________
Tutor
________________________________
Asesora
________________________________
Asesora
________________________________
Graduando
________________________________
Graduando
________________________________
Graduando
________________________________
Graduando
Tabla de contenidos
Tabla de contenidos ................................................................................................ i
Índice de figuras ..................................................................................................... v
Índice de tablas.......................................................................................................vi
CAPÍTULO I ............................................................................................................ 1
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ..................................................................... 1
CAPÍTULO I ............................................................................................................ 2
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ..................................................................... 2
1.1.
Introducción ............................................................................................... 2
1.2.
Estado de la cuestión ................................................................................ 3
1.2.1 Metodología y enseñanza de la factorización de polinomios .................. 3
1.2.2. Uso de Tecnologías de la Información en la enseñanza del tema
factorización ................................................................................................... 21
1.2.3. Problemas en la enseñanza del álgebra y la factorización ................... 30
1.3. Descripción del problema ........................................................................... 34
1.4. Pregunta de investigación .......................................................................... 35
1.5. Propósitos de la investigación .................................................................... 35
1.5.1. Propósito general ................................................................................. 36
1.5.2. Propósitos específicos ......................................................................... 36
1.6. Justificación ................................................................................................ 37
CAPÍTULO II ......................................................................................................... 41
MARCO TEÓRICO ............................................................................................... 41
CAPÍTULO II ......................................................................................................... 42
MARCO TEÓRICO ............................................................................................... 42
2.1. Programa de Estudios de Matemática del MEP ......................................... 42
2.1.1. Objetivos del Programa de Estudios .................................................... 44
2.1.2. Destrezas del Programa de Estudios ................................................... 46
2.2. Perspectiva pedagógica ............................................................................. 47
2.2.1. Constructivismo .................................................................................... 48
2.2.2. Aprendizaje significativo ....................................................................... 49
2.2.3. El papel del docente ............................................................................. 51
2.3. Importancia del álgebra .............................................................................. 55
2.4. Factorización de polinomios ....................................................................... 56
i
2.4.1. Factor común ....................................................................................... 58
2.4.2. Factorización por fórmulas notables ..................................................... 58
2.4.3. Agrupación ........................................................................................... 59
2.4.4. Diferencia de cuadrados ...................................................................... 60
2.4.5. Factorización por inspección ................................................................ 60
2.4.6. Combinación de métodos ..................................................................... 61
2.5. Estilos de aprendizaje ................................................................................ 61
2.5.1. Características de los estilos de aprendizaje ....................................... 62
2.6. Matemática emocional ................................................................................ 64
2.7. Estrategias didácticas para la enseñanza de la ffactorización.................... 67
2.7.1. Lápiz y Papel (L/P) ............................................................................... 68
2.7.2. Uso de la calculadora ........................................................................... 69
2.7.3. Método geométrico ............................................................................... 70
2.8. Problemas encontrados en el aprendizaje de la factorización o el álgebra 71
2.9. Abordaje del análisis de datos .................................................................... 75
CAPÍTULO III..................................................................................................... 78
MARCO METODOLÓGICO............................................................................... 78
CAPÍTULO III ........................................................................................................ 79
MARCO METODOLÓGICO............................................................................... 79
3.1. Paradigma y tipo de investigación .............................................................. 79
3.2. Método........................................................................................................ 81
3.3. Participantes ............................................................................................... 82
3.4. Papel de los investigadores en la etapa de trabajo de campo y análisis ... 83
3.5. Entrada al campo ....................................................................................... 84
3.6. Técnicas de recolección de datos .............................................................. 85
3.6.1. Observación no participante ................................................................. 85
3.6.2. Diario reflexivo del docente .................................................................. 86
3.6.3. Entrevista en profundidad.................................................................... 87
3.6.4. Test .................................................................................................... 88
3.6.5. Documentos ......................................................................................... 89
3.6.6. Diferencial semántico ........................................................................... 90
3. 7. Sistematización y análisis de datos ........................................................... 91
3.7.1. Análisis de la observación no participante ........................................... 91
3.7.2. Análisis del diferencial semántico......................................................... 91
ii
3.7.3. Análisis del diario reflexivo ................................................................... 92
3.7.4. Análisis de los documentos .................................................................. 93
3.7.5. Análisis de la entrevista en profundidad ............................................... 93
3.8. Triangulación de los datos .......................................................................... 95
CAPÍTULO IV ....................................................................................................... 98
ANÁLISIS DE DATOS .......................................................................................... 98
Introducción ....................................................................................................... 98
4.1.
La enseñanza de la factorización de polinomios ..................................... 98
4.2.
El aprendizaje de la factorización de polinomios ................................... 105
4.3.
Errores de los estudiantes en el tema de factorización de polinomios .. 110
4.4.1. Análisis de las preguntas relacionadas con la factorización de
polinomios por medio de factor común......................................................... 111
4.4.2. Análisis de las ppreguntas rrelacionadas con la ffactorización de
ppolinomios por mmedio de aagrupación..................................................... 113
4.4.3. Análisis de las preguntas relacionadas con la factorización de
polinomios por medio de diferencia de cuadrados ....................................... 114
4.4.4. Análisis de las preguntas relacionadas con la factorización de
trinomios cuadrados perfectos ..................................................................... 116
4.4.5.
Análisis de las respuestas dadas según el modelo SOLO .............. 117
4.4. Factores que Iintervienen en el Aaprendizaje del tema de Ffactorización
de Ppolinomios ................................................................................................ 127
4.5.1.
Ambiente físico ................................................................................ 127
4.5.2.
Metodología Uutilizada por el Ddocente ......................................... 128
4.5.3.
Hábitos de estudio .......................................................................... 130
4.5.4.
Motivaciónhacia el tema .................................................................. 131
5.1. Hallazgos encontrados ............................................................................. 134
5.1.1.
Propósito 1 ...................................................................................... 134
5.1.2.
Propósito 2 ...................................................................................... 135
5.1.3.
Propósito 3 ...................................................................................... 136
5.1.4.
Propósito 4 ...................................................................................... 137
5.1.5.
Propósito 5 ...................................................................................... 137
5.2.
Recomendaciones ................................................................................. 139
Referencias......................................................................................................... 143
Anexo 1............................................................................................................... 150
Solicitud de permiso al Director .......................................................................... 150
Anexo 2............................................................................................................... 152
iii
Solicitud de permiso para los estudiantes........................................................... 152
Anexo 3............................................................................................................... 154
Prueba corta 1 .................................................................................................... 154
Anexo 4............................................................................................................... 157
Prueba corta 2 .................................................................................................... 157
Anexo 5............................................................................................................... 160
Guía para la observación de la clase .................................................................. 160
Anexo 6............................................................................................................... 171
Diferencial semántico.......................................................................................... 171
Anexo 7............................................................................................................... 174
Guía para la entrevista en profundidad ............................................................... 174
iv
Índice de figuras
Figura 1. Secuencias de Tunja ……………………………………………..………. 5
Figura 2. Otro caso de las secuencias de Tunja ……………….………..………. 6
Figura 3: Bloques de Dienes..………………………………………………...…….. 9
Figura 4. Bloques seccionados por la mitad ……………………………….……... 10
Figura 5. Construcción de Bloques de Dienes ………………………………..…... 10
Figura 6. Construcción de Bloques de dienes, continuación …………………… 11
Figura 7. Valores de los Bloques de Dienes..……………………………………… 11
Figura 8. Valores de los Bloques de Dienes, continuación………………………. 12
Figura 9. Áreas de los cuadrados ..…………………………………………..…….. 12
Figura 10. Factorización de polinomios ..…………….…………………….……… 13
Figura 11. Factorización de polinomios, continuación……………………..……... 13
Figura 12. Completando cuadrados ..………………….…………………..………. 14
Figura 13. Completando cuadrados, continuación ……..………………..………. 14
Figura 14. Completando cuadrados, completo .……………….………………….. 15
Figura 15. Completando cuadrados, cuadrado .…………………………………... 15
Figura 16. Expresiones usadas en el método de Peck y Jencks ……..…….….. 17
Figura 17. Conectar la multiplicación en aritmética y álgebra en el método
de Peck y Jencks, ……………………………..……….…………………………….. 18
Figura 18. Cuadrados perfectos ……………………………………………………. 20
Figura 19. Hallando ceros del polinomio, pantalla doble .………………………... 26
)(
( ))..………………..……. 27
Figura 20. Graficación de la expresión (
Figura 21. Pantalla de inicio función parabol.……………………………..………. 29
Figura 22. Parábolas obtenidas a partir de parabol..………………………………29
Figura 23. Factor Común mediante L/P ……………………………………………. 69
Figura 24. Calculadora gráfica .……………………………………………………... 70
Figura 25. Método Geométrico ………………………………………………………71
Figura 26. Solución de María para la factorización
del polinomio
……………………………………………... 111
Figura 27. Solución de Teresa para la factorización
del polinomio
……………………………………………... 111
Figura 28. Solución de José para la factorización
)
(
) ……………………….…………. 113
del polinomio (
Figura 29. Solución de Danilo para la factorización
del polinomio
………………………….………. 114
Figura30. Solución de Ana para la factorización
del polinomio
.…………………………………………………….. 115
Figura 31. Solución de Carmen para la factorización
del polinomio
……………………………………………….. 116
Figura 32. Solución de María para la factorización
del polinomio
…………………………………………….... 118
Figura 33. Solución de María para la factorización
)
(
)………………………………..... 119
del polinomio (
Figura 34. Solución de María para la factorización
del polinomio
………………………………..... 119
Figura 35. Solución de María para la factorización
v
del polinomio
………………………………......... 120
Figura 36. Solución de Pablo para la factorización
del polinomio
……………………………….................... 120
Figura 37. Solución de Pablo para la factorización
del polinomio
………………………………................................ 121
Figura 38. Solución de Pablo para la factorización
del polinomio
…………………………............ 122
Figura 39. Solución de Pablo para la factorización
del polinomio
…………………………................. 122
Figura 40. Solución de José para la factorización
del polinomio
…………………………........................... 123
Figura 41. Solución de José para la factorización
)
(
)………………........................... 123
del polinomio (
Figura 42. Solución de José para la factorización
del polinomio
……………….......................... 124
Figura 43. Solución de Carmen para la factorización
del polinomio
…………………………........................... 125
Figura 44. Solución de Carmen para la factorización
)
(
)……………….......................... 125
del polinomio (
Figura 45. Solución de Carmen para la factorización
del polinomio
…………………………........................... 126
Figura 46. Solución de Carmen para la factorización
del polinomio
…………………………........................... 126
Índice de tablas
Tabla 1. Objetivos referentes a factorización en el Programa de Estudios ..….… 45
Tabla 2. Procedimientos propuestos por el Programa de Estudios ……………… 46
Tabla 3. Rendimiento por asignatura, Bachillerato 2010 …………………..……… 65
Tabla 4. Técnicas de recolección de datos ………………………………..……… 96
Tabla 5. Hallazgos ……………………………………………………………………. 138
Tabla 6. Recomendaciones .…………………………………………………………. 142
vi
CAPÍTULO I
PLANTEAMIENTO
DEL PROBLEMA
1
CAPÍTULO I
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1.1. Introducción
Uno de los tópicos del álgebra caracterizada por el manejo exclusivo de
manipulaciones algebraicas, ejecutados a partir de reglas que generalizan los
procedimientos a seguir, es la factorización de expresiones polinómicas. En la
enseñanza tradicional las reglas dadas para este tema son reforzadas al ejecutar
una lista de ejercicios similares. Eso conlleva a que el estudiante aprenda de
memoria algoritmos, sin interpretación y compresión adecuada de lo que efectúa y
consecuentemente la desconexión con sus conocimientos previos.
Con esta forma de enseñanza son pocos los estudiantes que relacionan
sus conocimientos previos con los nuevos, distinguiendo las características de las
expresiones polinómicas a factorizar, logrando aplicar exitosamente el método de
factorización correspondiente. Los estudiantes que realizan la conexión con los
nuevos conocimientos son los que no tardan en confundir las reglas y las
transformaciones recién “aprendidas”, dando por válidas algunas que no lo son,
olvidando otras que sí son posibles y dando lugar, en definitiva, a una lista de
errores de cálculo algebraico. Estos aspectos estudiados evidencian un
tratamiento poco significativo para el estudiante, que impide entender las razones
que hacen lícitas o ilícitas las transformaciones de expresiones algebraicas, lo que
muestra una falta de comprensión de las propiedades y transformaciones posibles
de estos objetos matemáticos. Por otro lado, pueden existir factores que escapen
2
a lo meramente metodológico y que influyen de igual manera en el aprendizaje del
tema, como por ejemplo, ser el ambiente de aula y el contexto en el que el
estudiante se desarrolla, entre otros.
Por lo tanto, la investigación busca conocer aquellos factores, internos y
externos que impactan de forma negativa el aprendizaje de los estudiantes sobre
factorización de polinomios. Esto abrirá el camino para la elaboración de
metodologías y recursos den soporte a la tarea educativa, a sabiendas de otros
aspectos que pueden interferir en la enseñanza de esta temática.
1.2. Estado de la cuestión
1.2.1 Metodología y enseñanza de la factorización de polinomios
La factorización de polinomios es un tema correspondiente a la unidad de álgebra
en los Programas de Estudio del Ministerio de Educación Pública (MEP) del 2005.
La factorización de polinomios es indispensable en cursos de cálculo,
matemática básica y se utiliza frecuentemente en diversos procedimientos
algebraicos. Algunos de ellos son: la resolución de ecuaciones, el cálculo de
límites, demostraciones de identidades trigonométricas y logarítmicas, entre otros.
Este, por ser un tema de álgebra, está provisto de enormes bondades, entre
estas, su innegable abstracción, misma que permite el desarrollo de la capacidad
del pensamiento hasta los puntos más elevados a los que puede ser sometido el
ser humano.
3
Según el MEP (2005) “El aprendizaje de lo abstracto debe concebirse a
través de situaciones escogidas y la actividad constructiva del estudiante” (p.48),
lo que evidencia claramente la importancia que se le da al desarrollo del
pensamiento abstracto. El álgebra es una rama de la matemática que
ineludiblemente apunta al desarrollo de la capacidad de abstracción como el norte
a seguir. Al respecto el MEP (2005) señala que, “el valor formativo del álgebra es
incuestionable,
contribuye
a
desarrollar
capacidades
de
abstracción
y
generalización” (p.47). De esta manera se presenta de forma concisa al álgebra
como una rama de la matemática que debe ser abordada y que ocupa un lugar
privilegiado en el currículo matemático costarricense.
Una de las temáticas de mayor uso en los diferentes algoritmos algebraicos
es la factorización. De manera puntual, Gómez y Torres (1993) señalan que “una
alternativa para el proceso de enseñanza-aprendizaje de la factorización de
polinomios y las fracciones algebraicas” (p.68), en la cual aplican el método
heurístico para el diseño de un material didáctico, en donde el alumno construye
sus propias ideas y por ende el conocimiento mediante la presentación de
situaciones problemáticas concretas. En esta investigación de este reporte se
intenta evitar el método tradicional de enseñanza para la factorización de
expresiones polinómicas; para ello se apoyan en la aritmética, la geometría y la
teoría de conjuntos, haciendo uso del lápiz y papel para crear situaciones guiadas
por preguntas que van encauzando al alumno a una conclusión aceptable.
Por otra parte, Mason (1999) sugiere lo siguiente:
4
Un nuevo tratamiento de la factorización de expresiones algebraicas. El reto
es asegurar que a los alumnos se les invite a usar sus capacidades para
detectar patrones y expresar generalidad, de manera que se pueda llegar al
álgebra con una mente diferente ya que las expresiones que van a
manipular no son impuestas sino que son el resultado de una generalidad
hecha y no cálculos carentes de significado con letras que no tienen sentido
(p.233).
En la exposición de su artículo, este autor utiliza secuencias de casos
particulares de números enteros y expresiones algebraicas a los cuales llama
secuencias de Tunja. Con ellas logra desarrollar la capacidad de generalización
asociada a la capacidad de agrupar, ordenar y conjeturar, con la intención de que
los estudiantes descubran reglas de manipulación, de modo que las expresiones
sobre las que trabajan y las reglas que usen sean sus propias expresiones de
generalidad y no simplemente reglas dadas por el profesor o el texto. Con las
secuencias de Tunja se puede incitar a los estudiantes a observar cómo funciona
la factorización de expresiones algebraicas.
Se define una secuencia de Tunja como una secuencia de casos
particulares de una expresión algebraica. Las secuencias de Tunja invitan e
incitan a los estudiantes a detectar y expresar una generalidad que consiste en
enunciar que dos expresiones diferentes tienen el mismo valor, porque una
expresión se puede manipular hasta obtener la forma de otra. La figura 1 muestra
una secuencia particular de Tunja.
=
=
Figura 1. Secuencias de Tunja
Fuente: Mason (1999)
5
Se trata de que el estudiante analice los patrones mostrados en cada secuencia
de multiplicaciones y sea capaz de distinguirlos, de modo tal que logre predecir la
secuencia siguiente. La figura 2 presenta otro caso de secuencias de Tunja:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Figura 2. Otro caso de las secuencias de Tunja
Fuente: Mason (1999)
Existe un ligamen directo entre las secuencias de Tunja y la factorización. Las
secuencias de Tunja, a partir de ejemplos, permiten determinar un patrón que
dará paso a predecir cualquier otro resultado de multiplicaciones que cumpla con
el patrón establecido en la secuencia. Luego de que se es capaz de determinar
cualquier resultado de la secuencia, se podrá cuestionar si existe la posibilidad de
obtener la multiplicación que generó un determinado resultado, esto en esencia es
factorizar. Con el conocimiento del patrón que determina la secuencia, se es
capaz de encontrar el resultado de la multiplicación y viceversa. A partir de la
realización de varias multiplicaciones de binomios, los estudiantes deben
encontrar un patrón en los resultados de modo que con el resultado de la
multiplicación, puedan determinar los factores del producto.
6
Mason (1999), trabaja con expresiones de la forma:
1) (
)
= (
)(
) para valores específicos de
primero ambos positivos, luego uno negativo, y luego ambos negativos.
2) (
)(
) =
(
)
La primera es apta para apoyar la
factorización, mientras que la segunda lo es para apoyar el desarrollo de
expresiones con paréntesis.
3) (
)(
) =
(
)
Nótese que el término se puede
calcular como un solo número sin bloquear las capacidades de los estudiantes
para discernir el patrón o bien se puede presentar como la suma de dos términos
distintos
(
4)
)
= (
)(
) Este orden es más apto para apoyar
la factorización.
5)
(
) =
para valores cambiantes de
uno a la vez, dejando
los otros dos fijos.
6) (
)(
). Para varios valores fijos de a, b, c, d, como antes,
desarrollada como una expresión cuadrática completa con un término al cuadrado
o como un producto más una constante como en el caso 1.
Algunas de las aplicaciones de lo expresa anteriormente se exponen a
continuación.
En el siguiente ejemplo ilustrativo, efectúe las siguientes operaciones:
a.
(
)(
)=
=
7
b.
(
)(
)=
=
c.
(
)(
)=
=
Se esperaría que luego de haber efectuado varias multiplicaciones el
estudiante sea capaz de determinar un patrón a seguir, si no se logra determinar
el patrón se induce al estudiante a encontrarlo. Luego el estudiante deberá
conocer que las expresiones que están en el término intermedio y en el último
término guardan una relación (el término intermedio es resultado de la
multiplicación de los dos primeros términos, mientras el último término proviene de
la suma de los dos términos intermedio). Conociendo esta relación el estudiante
debería ser capaz de deshacer el resultado de la multiplicación, es decir
factorizar. Por ejemplo, se podría solicitar lo siguiente: Determine la multiplicación
que genera el siguiente trinomio
.
El estudiante tendría que dar como respuesta (
)(
), que es una
factorización del trinomio desarrollado.
Un abordaje diferente lo presenta Dreyfous (1996), quien sugiere trabajar
con materiales manipulables a partir de un modelo geométrico que relaciona el
área de rectángulos con la expresión factorizada de un polinomio cuadrático.
Recomienda como materiales manipulables los “Algeblocks” (un conjunto de
bloques) con los cuales los estudiantes pueden construir las reglas de
factorización.
8
Los “Algeblocks” o “Bloques de Dienes”, corresponden a figuras
geométricas (cuadrados, rectángulos y triángulos, entre otros), a las que se les
puede asignar una expresión algebraica como representación (por lo general
corresponden al área de ciertas figuras geométricas). Estas figuras se pueden
trabajar con material manipulable como cartulina, plástico o simples recortes en
una hoja de papel. Es importante mencionar que el trabajo con los bloques de
Dienes no podrá substituir la labor en el aula y el uso de otros procedimientos de
enseñanza, pero sí pueden ayudar a los estudiantes en las etapas iniciales de
construcción del conocimiento.
Figura 3: bloques de Dienes
Fuente: Mancera (1998)
En la figura 4 se presentan bloques seccionados por la mitad, que son útiles para
efectuar ciertos cálculos. Los mismos se presentan como ejemplo de los usados
para efectuar procedimientos de factorización.
9
Figura 4. Bloques Seccionados por la mitad
Fuente: Mancera (1998)
Cada docente puede elaborar sus propios bloques de acuerdo con el
planeamiento de su lección. Estos bloques son apropiados para trabajar reglas
aritméticas y algebraicas básicas, así como la factorización.
Para construir los Bloques de Dienes es importante hacer notar que el lado
del cuadrado pequeño es uno de los lados de las regletas (rectángulos) y el otro
lado del rectángulo es el lado del cuadrado mayor, como se muestra en la
5.
Figura 5.Construcción de Bloques de Dienes
Fuente: Mancera (1998)
10
figura
Otro detalle importante es que con los cuadrados pequeños no se puede
cubrir de manera exacta el largo de las regletas ni con las regletas se puede cubrir
de manera exacta los lados del cuadrado grande, como lo muestra la figura 6.
Figura 6. Construcción de Bloques de Dienes, continuación
Fuente: Mancera (1998)
A los Bloques de Dienes se les pueden asignar valores. Consideremos que
el cuadrado pequeño tiene una unidad de medida como longitud de su lado, luego
entonces su área será 1. Podemos considerar que de acuerdo con el color
estemos hablando de +1 o -1, como lo ilustra la figura 7.
Figura 7.Valores de los Bloques de Dienes
Fuente: Mancera (1998)
Si en los rectángulos la longitud de uno de sus lados es la unidad y
consideramos que el otro lado es x, entonces el área sería
11
= . Además
podríamos convenir que de acuerdo al color se haga referencia a +x o -x. Como lo
ilustra la Figura 8.
𝑥
𝑥
Figura 8. Valores de los Bloques de Dienes, continuación
Fuente: Mancera (1998)
En el mismo orden de ideas, el cuadrado mayor tiene como longitud de su
lado el lado mayor del rectángulo, o sea x, entonces con él se pueden representar
y de acuerdo al color
, correspondiente al área de cada cuadrado como se
muestra en la figura 9.
𝒙𝟐
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
Figura 9. Áreas de los cuadrados
Fuente: Mancera (1998)
A continuación, en la figura 10 se ilustra un ejemplo de factorización a partir
de Bloques de Dienes.
12
( 𝑥
)( 𝑥
)= 𝑥
𝑥
Figura 10. Factorización de polinomios
Fuente: Mancera (1998)
Podríamos plantearnos si con las piezas del resultado se puede construir
otro rectángulo que tenga diferentes dimensiones, esto es que los lados midan
diferente del rectángulo anterior, como lo muestra la figura 11.
𝑥
𝑥
Figura 11. Factorización de Polinomios
Fuente: Mancera (1998)
Después de muchos intentos veremos que la respuesta es no, lo cual
coincide con lo que sabemos respecto a la unicidad de la factorización completa
de polinomios; la diferencia es que aquí se hace plausible y el aceptarla es más
13
sencillo para quienes no conocen la demostración, si se realiza esta actividad.
Con los Bloques de Dienes también se puede factorizar por el método de
completar cuadrados como lo ilustra la figura 12.
𝑥
𝑥
Figura 12. Completando cuadrados
Fuente: Mancera (1998)
Tratando de conformar un cuadrado con dichas piezas obtendremos la figura 13.
𝑥
𝑥
Figura 13. Completando Cuadrados, continuación
Fuente: Mancera (1998)
14
Como no se puede formar el cuadrado solamente con esas piezas tendremos que
completarlo con 16 cuadrados pequeños, como se ilustra en la figura 14.
𝑥
𝑥
Figura14. Completando vuadrados, completo
Fuente: Mancera (1998)
Lo cual nos hace ver que dicho polinomio se puede obtener del cuadrado de otro
polinomio, como se ilustra en la figura 15.
𝑥
𝑥
= (𝑥
)
Figura 15. Completando cuadrados
Fuente: Mancera (1998)
15
Por otra parte, Peck y Jencks (1988) desarrollaron un enfoque de
enseñanza que ayuda a los estudiantes a realizar enlaces o conexiones explícitas
entre sus anotaciones aritméticas y no numéricas de álgebra, utilizando material
manipulable. Permite expresar el producto de dos números naturales y llegar a
generalizaciones que conllevan al uso de la variable y a la generación de una
expresión algebraica cuadrática factorizada. Peck y Jencks (1988) afirman que las
lecciones bajo este método “les permiten a los estudiantes comprender las partes
de la aritmética a profundidad, hallaron el álgebra correspondiente completamente
sensata y un producto natural de su propio pensamiento” (p.85). Con respecto al
profesor, ellos mencionan que “el papel del profesor de forma consciente es un
realizador de preguntas, una persona que explicará, no un juez sobre lo correcto
o incorrecto” (p.86).
Así los papeles tradicionales del profesor y estudiante se invierten, de igual
modo el docente recurre a materiales físicos para darle otro significado a
conceptos y prácticas matemáticas.
En el caso de la multiplicación, una recomendación en este método es la
utilización de papel de graficar y cintas de pegar por ambas caras para mostrar la
idea de “2 veces 4” (3 cuadrados vistos 2 veces). Seguidamente con el papel de
graficar, se subraya cada diez líneas, para modelar multiplicaciones de dos
dígitos.
Se podría multiplicar de esta forma
, esto en términos de transportar
líneas de los cuadrados debajo de la última línea subrayada hasta el final vertical.
Se plantea, como interrogante básica en el método, qué pasaría si los diez dígitos
16
no fueran iguales y si los dígitos de las unidades no sumaran 10. La figura 16
ilustra expresiones utilizadas en el método de Peck y Jencks.
(▭
(𝑥
) ∙ (▭
)(𝑥
)=▭
)=𝑥
▭
𝑥
Figura 16. Expresiones usadas en el método de Peck y Jencks
Fuente: Peck y Jencks (1998)
Figura 17:forma en que funciona el método de Peck y Jencks.
17
𝑥
(a)
en la flecha
(b)
=(
)
(
)
∆
∆
(∆
)(∆
(c)
)=∆
∆
Figura 17. Conectando la multiplicación en aritmética y álgebra en el método de
Peck y Jencks, primera parte.
Fuente: Peck y Jencks(1988)
18
En la parte (a) de la figura 17 los rectángulos en blanco representan cintas
que se pueden movilizar sobre la hoja cuadriculada, como se logra apreciar la
flecha señala un rectángulo de dimensión
, a partir de 3 cuadros vistos dos
veces. Si se quisiera representar otro producto como por ejemplo
, se tendría
que movilizar las cintas hasta observar 4 cuadros vistos 3 veces. En la parte (b)
de la figura 17 aparecen en una hoja cuadriculada con 624 cuadrados pequeños,
como se puede observar, se secciona un rectángulo de 80 cuadrados pequeños
para anexarlo a la parte superior de la figura y así formar 6 cuadros con 100
cuadrados pequeños. Es decir, 600 cuadrados pequeños. Se pudo constatar en la
figura que al hacer esto quedaban fuera de los 6 cuadrados grandes 24
cuadrados pequeños, es decir 624 cuadrados pequeños representando la
multiplicación de
. En la parte (c) de la figura 17 se pretende determinar el
área del rectángulo cuyo largo tiene de longitud ∆
longitud ∆
y cuyo ancho tiene de
, es decir el área del cuadrado sería (∆
)(∆
), pero esta área
debe ser igual a la suma de las áreas de las figura inmersas en el rectángulo
grande que sería ∆
∆
∆
= (∆
∆
)(∆
∆
=∆
∆
, de aquí se concluye que
), obteniendo así la factorización de ∆
∆
.
Con la utilización de este método, los estudiantes sean capaces de
manipular expresiones como(
)(
) ó (
)(
), imaginándose el
modelo del papel para graficar y añadiéndoles o removiéndoles lados. Como se
puede ver, Peck y Jencks (1988) hacen uso extensivo de cuadrados y triángulos
como primeros símbolos para números generales. Según estos autores, una de
las bondades de este enfoque es que los estudiantes estarán en capacidad de
19
“reunir variaciones de una operación o principio en grandes temas conceptuales y
tratarlos como manifestaciones de un solo concepto en lugar de como ideas
separadas” (p.89). Por ejemplo, tal generalización como:
=(
)(
=(
)(
)y
), son vistas como variaciones del mismo
tema conceptual.
En forma similar textos de secundaria promueven el uso o manipulación de
figuras geométricas concretas en la enseñanza de la factorización. Al respecto,
Meneses (2004) sugiere la utilización de figuras geométricas para la enseñanza
de factorización, esto especialmente en el método de factorización por cuadrados
perfectos, como se puede observar en la figura 18.
Figura 18. Cuadrados perfectos
Fuente: Meneses (2004)
es (
El área del cuadrado de lado
correspondiente de
) que es la factorización
, esta expresión a su vez representa de la
misma forma el área del cuadrado, pues este debe ser equivalente a la suma de
las áreas de los rectángulos y cuadrados comprendidos en el cuadrado de mayor
longitud.
20
Suma de las áreas de los rectángulos:
Suma de las áreas de los cuadrados:
De este modo se puede concluir que:
=
=
=(
)
1.2.2. Uso de Tecnologías de la Información en la enseñanza del tema
factorización
Una de las tendencias que ha tomado vigor en los últimos años, con respecto a la
enseñanza de la matemática, es el uso de nuevas tecnologías. Al respecto,
Avalos (2006) y
Villareal y Ortega (2006), proponen el uso de software
especializados como recursos a utilizar en la enseñanza de la matemática. Ellos
proponen que con su uso, algunos estudiantes reducen el tiempo que invierten en
hacer cálculos y operaciones, además, da la oportunidad para la reflexión en el
aula de matemática.
También reportaron que el aprendizaje matemático de los estudiantes
mejora; sin embargo, para que esto ocurra es fundamental que se induzca al
docente en la implementación del software como recurso didáctico en la
mediación pedagógica. Esta implementación conlleva a que el aprendizaje del
estudiante sea significativo. Entre los software recomendados se encuentra el
CabriGeometry Plus para la graficación de funciones cuadráticas y poder observar
las raíces del polinomio de segundo grado, de modo tal que con estas se puedan
obtener los factores del polinomio y por ende, la factorización.
21
Específicamente respecto a la temática de enseñanza de la factorización
Mejía (2004) menciona que, “se deben integrar ambientes de aprendizaje para la
factorización centrados en el uso de sistemas de álgebra computacional y
lápiz/papel, pues resultan significantes para los estudiantes” (p.8). Además,
recomienda el uso de técnicas tradicionales a partir de trabajos en lápiz y papel,
de forma conjunta con sistemas computacionales. Esto de modo tal que el
estudiante sea capaz de corroborar con un software sus respuestas y a la vez le
permite trabajar de forma interactiva.
Sánchez (1997), al referirse a la enseñanza de la factorización de
expresiones polinómicas y con el uso de las nuevas tecnologías de la información,
indica que el propósito es mostrar como la función de graficación de una
calculadora graficadora puede ser realmente útil para mejorar las conexiones de
conceptos relacionados con el proceso de factorización, ya que con la gráfica de
una función cuadrática se pueden obtener elementos que son parte de la
factorización de polinomios de segundo grado. Se vincula la gráfica de una
función cuadrática con factorización. Particularmente en el caso de las
intersecciones de la gráfica con el eje , en virtud de que las intersecciones con
este eje son los ceros del polinomio y a partir del teorema del factor se podrían
conocer los factores concernientes al polinomio.
Por otra parte, García y Mora (2002) inician su trabajo a partir del
planteamiento de una situación problemática en la que se hace uso de una
calculadora graficadora algebraica (TI 92), para determinar la resolución del
problema, permitiendo la exploración dirigida al descubrimiento y formulación de
22
conjeturas. Se utiliza la instrucción factor de la aplicación home de la calculadora
TI-92, que permite obtener los factores de un número entero, facilitándoles a los
alumnos el descubrimiento de características comunes que le dan la posibilidad
de plantear conjeturas. La experiencia permitió la participación activa de los
alumnos en la exploración matemática, en contraste a la recepción pasiva que
promueve un conjunto de hechos y algoritmos que conllevan a restricciones
impuestas por las dificultades de los cálculos manuales.
También, en la línea del uso de calculadoras algebraicas para la enseñanza
de la factorización, se encuentra Ruthven (1989) que presenta algunas
actividades con el uso de una calculadora graficadora algebraica. Una de estas
actividades se centra en la relación de la aritmética y la factorización algebraica;
evaluando diferentes valores de n para la expresión
, con a
fijos en una calculadora graficadora algebraica. Esto se vincula directamente con
el método de inspección utilizado particularmente para polinomios de grado 2 y
algunos trinomios de grado 4. Se pretende que al hacer variar los valores
de la
ecuación varíe así mismo la gráfica y, por lo tanto, los factores que son parte de la
factorización del polinomio. En este modelo se busca mostrar al estudiante como
un polinomio está íntimamente ligado a una ecuación, a la cual le corresponde
una factorización. El objeto es hallar patrones de comportamiento en los
resultados para dirigir al estudiante a predecir la factorización de la expresión.
También se muestra que utilizándose algunas funciones de manipulación
algebraica de una calculadora graficadora algebraica, como factorizar, expandir y
simplificar, se puede inducir a los estudiantes a obtener la expresión factorizada y
23
verificar la igualdad en expresiones como (
)(
) y
(
)
.
Se quiere que el estudiante, con las funciones de “expandir” de la calculadora
graficadora, logre obtener el resultado de una multiplicación de polinomios,
recreando esta acción por varias ocasiones. Luego se puede utilizar la opción
“factor” de la calculadora, de forma tal que el estudiante observe el proceso
inverso al efectuado con anterioridad. Esto le permitirá construir asociaciones y
detectar patrones, que a la postre le harán predecir algunos resultados pertinentes
en ejercicios de factorización.
Complementando
las
anteriores
actividades
con
el
uso
de
las
representaciones numéricas y gráficas se puede desarrollar el teorema del factor.
Entre las actividades propuestas con respecto al uso de calculadoras
graficadoras, por los autores citados con anterioridad, podemos mostrar el
siguiente ejemplo de unidad didáctica. Factorización de expresiones cuadráticas
con el uso de calculadoras graficadoras algebraicas (TI-92, Voyage 200).
Para la ejecución de esta unidad didáctica se asumieron algunos
conocimientos previos necesarios para el buen desarrollo y comprensión de estas
actividades como operaciones y propiedades de los números reales, manejo de
procedimientos simbólicos como producto de polinomios, ecuaciones y funciones
lineales, manejo del plano cartesiano y manejo de la calculadora graficadora
algebraica.
Para las actividades propuestas se determinaron los siguientes logros:
a.
Conexión de diferentes conceptos y procedimientos relacionados
con la factorización de expresiones polinómicas cuadráticas.
24
b.
Relación de las raíces o ceros de expresiones polinómicas
cuadráticas con sus factores.
c.
Análisis de familias de expresiones polinómicas cuadráticas
factorizables en los reales.
d.
La relación de los ceros o raíces con los factores de una expresión
cuadrática.
Indicadores de logro:
a.
Hallar los ceros o raíces de la parábola de la expresión factorizada
(
)(
b.
Describir los cambios gráficos de la expresión al variar r y s en la
).
expresión factorizada (
c.
)(
)
Determinar la información gráfica que suministran los factores en la
expresión factorizada.
Instrucciones:
a.
Pantalla doble: presione la tecla
y luego
. Seleccione
división de pantalla izquierda derecha (Split Screenleft-right). Después
seleccione gráficos (graph) en aplicación en división. 1 (o Split 1 App) y en
aplicación en división 2 (o Split 2 App) y en número de gráficas seleccione
2. No olvide que para aceptar los cambios además de seleccionarlos debe
presionar
. Obtenga una ventana de la siguiente forma (ver figura
19).
25
Figura 19. Hallando ceros del polinomio, pantalla doble
Fuente: Mejía (2004)
Nota: para desplazarse de una ventana a otra pulse
b.
Escriba una expresión de la forma (
)(
), grafíquela y realice
lo que se indica a continuación:
c.
Complete la siguiente expresión ( –
)( –
). Cada espacio
corresponde a uno de los valores de la abscisa del punto de corte de la
gráfica con el eje x.
d.
¿Cuáles
serían
cuadrática ( – )(
los
valores
de
r
y
s
de
la
expresión
) que usted dio?
e.
Desarrolle el producto de (
)(
).
f.
Grafique la expresión desarrollada obtenida (cambia el trazo de esta
expresión) ¿Qué observas? ¿Qué se puede decir de la expresión
factorizada y desarrollada?
Se muestra a continuación otra guía didáctica para factorización
desarrollada a partir del uso de calculadoras graficadoras TI-92 plus.
Expresiones cuadráticas factorizables
26
Indicadores de logro:
a.
( ( –
b.
Describir los cambios gráficos al variar a en la expresión factorizada
)(
) ) o desarrollada (
).
Obtener la información gráfica que suministran los factores en la
expresión factorizada.
c.
Reconocer gráficamente cuando una expresión es o no es
factorizable en los reales.
Instrucciones
d.
Utilizando la opción pantalla dividida en una grafique la familia de
parábolas
( – )(
(
)) donde
=
y en la otra
muestra las expresiones algebraicas en [ =]. (Y = Editor).
Instrucciones de la TI-92 PLUS
Aplicación
=
. aplicación gráficos
o selecciónelos en
La figura 20 muestra la graficación de cuatro expresiones en la calculadora
TI-92 PLUS.
Figura 20. Graficación de la expresión (
Fuente: Mejía (2004)
27
)(
(
))
Realice lo que se indica a continuación:
a.
Halle los ceros o raíces de todas las expresiones cuadráticas
anteriores.
b.
Describa lo que observa o sucede con las parábolas al variar a.
c.
Elija una de las expresiones cuadráticas factorizadas y efectué la
multiplicación indicada.
d.
Grafique la expresión cuadrática “desarrollada” anteriormente. Diga
qué observa y determine la relación de está gráfica con respecto a la
gráfica de la expresión factorizada.
e.
En la pantalla principal [
] digite parabol1( ) y presione
para ejecutar el programa parábola 1 (Ver Figura 19).
Instrucciones de la TI-92 PLUS
Aplicación
=
Aplicación gráficos
o selecciónelos en
Se presenta a continuación en la figura 21, la pantalla de inicio de la función
parabol.
28
Figura 21. Pantalla de inicio función parabol
Fuente: Mejía (2004)
Espere unos segundos, debe aparecer una parábola en la aplicación
[
] y en la otra ventana [ =] la expresión algebraica correspondiente.
Digite varias veces parabol 1 ( ) en [
] y obtenga sucesivamente varias
parábolas. Observe que algunas de ellas abren sus ramas hacia arriba y otras
hacia abajo (ver figura 22).
Figura 22. Parábolas obtenidas a partir de parabol
Fuente: Mejía (2004)
Realice lo que se indica a continuación:
a.
En cada una de las figuras anteriores (figura 19) diga si el signo de a
es positivo o negativo. ¿Por qué? ¿En qué afecta el valor de a en la
parábola correspondiente?
b.
Para facilitar los cálculos se han asignado como valores de a
solamente –1 y 1. Obtenga los valores tanto de los ceros o raíces (
29
)
como de a de la parábola que usted obtuvo anteriormente y grafique la
expresión
c.
=
(
)(
) con los valores que halló.
Observa y diga: ¿Cuál es la relación entre la gráfica que usted
obtuvo y la dada por el programa parabol1( )?
d.
¿Cuándo una expresión algebraica de segundo grado se puede
factorizar?
Las anteriores son algunas de las actividades propuestas relacionadas con
la factorización de expresiones polinómicas, en los que se muestran sus
diferentes tratamientos y relaciones con otros conceptos y procedimientos, desde
diferentes perspectivas de enseñanza.
1.2.3. Problemas en la enseñanza del álgebra y la factorización
La enseñanza del álgebra se ha convertido en una gran dificultad para los
estudiantes. Prueba de esto es la gran cantidad de teoremas que esta rama de la
matemática presenta o tal vez por la utilización de la capacidad de abstracción
que está presente indudablemente en el desarrollo de esta rama de la
matemática. Al respecto Palarea y Socas (1997), plantean ciertas interrogantes en
torno a la enseñanza del álgebra como:
¿Qué hace que la comprensión del álgebra escolar sea una tarea difícil
para los estudiantes?, ¿qué fuerza a muchos estudiantes a recurrir a la
memorización de reglas algebraicas?, ¿es la forma en la que es enseñada
el álgebra lo que causa que los estudiantes no le vean sentido?, ¿es
inapropiado el acercamiento de los estudiantes a las tareas algebraicas
para aprender la materia? (p.6).
30
Esto evidencia, de cierta manera, la existencia de una problemática en la
enseñanza del tema.
Por otra parte, Trejos (2008) hace de conocimiento el enorme problema que
se da en el paso del uso de la aritmética al uso del álgebra y asimismo evidencia
un problema conceptual en torno al concepto de variable.
Desafortunadamente el egresado de secundaria no distingue fácilmente
qué debe hacer ante una expresión con literales: algunos la operan
aritméticamente, otros despejan la incógnita, otros tantos usan alguna
fórmula que memorizaron, etc.; y son muy pocos los que realmente saben
qué procede en cada caso que se les presente, además de esta situación
otra dificultad que es más preocupante es el hecho de que al plantearles
una situación a resolver extraída de su realidad cotidiana no pueden
expresarla en leguaje matemático (p.1).
De la misma dirección entorno a la problemática de la enseñanza del
algebra Ramírez, Chavarría y Mora (2007), buscan conocer los errores
algebraicos más frecuentes en estudiantes de primer ingreso en el Instituto
Tecnológico de Costa Rica (TEC), evaluando temas como simplificación de
fracciones algebraicas, operaciones con fracciones algebraicas, ecuaciones y
factorización. Al respecto plantean cómo les interesa en la investigación dar
respuesta a la pregunta ¿Cómo evolucionan las formas de razonamientos que
muestran los estudiantes de primer ingreso universitario al realizar ejercicios de
álgebra, tales como la simplificación de expresiones, la resolución de ecuaciones
y la factorización?
En esta se muestran situaciones donde los sujetos generalizan resultados
sin percatarse que el domino de validez de los mismos es más reducido que el
contexto en donde lo están aplicando. Por esta razón, los errores que se
31
mostrarán son considerados como obstáculos epistemológicos que poseen los
sujetos participantes de este estudio. Entre los errores más frecuentes que
encontraron se destacan los concernientes al conocimiento previo para la
ejecución de procedimientos de factorización de polinomios, escasas bases en
leyes de potencia. Esto produce que el estudiante vea como válidas ciertas
expresiones a partir de un mal fundado razonamiento deductivo. Por ejemplo,
algunos estudiantes interpretan (
)
como
=
es decir, escribe
también asumen válida igualdades como la siguiente; (
)=
,
.
Otro de los errores cometidos es la simplificación de los sumandos del
numerador de una fracción racional con los del denominador como si estos fueran
factores. También propiamente en el tema de factorización, cuando se realiza la
agrupación se cambia de suma a producto considerando la igualdad
=(
)(
) como válida, se agrupan términos que no
poseen un factor común considerando como válida la igualdad
=(
)
(
)= (
)
(
). Otro de los errores
cometidos es la suma de monomios no semejantes y que en el caso de
factorización, sin razón alguna se iguala a cero el polinomio que se desea
factorizar, para tratarlo como a una ecuación.
Particularmente en el tema de factorización, Mejía (2004) menciona lo
siguiente:
Uno de los tópicos del álgebra caracterizado por el manejo exclusivo de
manipulaciones algebraicas de lápiz y papel, ejecutados a partir de reglas
que generalizan los procedimientos a seguir, es la factorización de
expresiones polinómicas. En la enseñanza tradicional las reglas dadas son
32
reforzadas al ejecutar una lista de ejercicios similares, conllevando a que el
estudiante aprenda de memoria algoritmos, sin la interpretación y sin la
compresión significativa de lo que efectúa, como también la desconexión
de los conocimientos previos que ya poseen (p.6).
Lo que el autor señala es una desvinculación entre la enseñanza tradicional
del tema factorización y los conocimientos previos que se deben tener al respecto.
Al respecto, es importante mencionar que para el aprendizaje de la factorización
es necesario poseer ciertos conocimientos previos que serán la base sobre la cual
se construya el nuevo conocimiento.
Al iniciar el estudio del tema los estudiantes deben manejar conocimientos
previos tales como leyes de signos en la división, máximo común divisor, múltiplos
de un número entero, concepto de factor, leyes de potencia y división de
monomios, entre otros. Cualquier carencia en alguno de estos conocimientos
puede dar al traste con la consecución de un aprendizaje significativo del tema en
cuestión, esto en virtud de que cada concepto es parte fundamental en el
aprendizaje algorítmico de la factorización de polinomios.
Por otro lado, Morales y Sepúlveda (2006) con respecto a la factorización,
hace explícito lo siguiente:
Existe consenso de que la factorización es uno de los temas del curso de
álgebra que más se dificultan a los alumnos: primero, porque el
reconocimiento del tipo de expresión algebraica ya implica dificultades
asociadas con la utilización de números, letras y signos de operación para
conformarlas, así como por la noción de variable; y segundo, porque aun
conociendo los diferentes métodos no saben cuál de ellos utilizar en un
determinado momento (p.1).
También Cruz (2008) propone una forma de encontrar dos números de los
cuales se conoce su suma y su multiplicación desde un entorno numérico y
33
geométrico, para a partir de ejemplos establecer generalizaciones útiles para
factorizar cualquier trinomio cuadrado, permitiendo así generalizar el método.
De este modo se puede observar que existen diversas formas de dar
tratamiento al tema de factorización, además de la gran importancia que trae
consigo el tema en el entorno de la enseñanza de la matemática. También se ha
identificado una problemática relativa a la enseñanza de la factorización de
polinomios, la cual se abordó, identificando factores que pueden afectar de forma
negativa el aprendizaje de la factorización de polinomios.
1.3. Descripción del problema
El problema objeto de esta investigación se ubicó en una problemática general
que alude al reconocimiento de factores que impactan negativamente el
aprendizaje de la factorización de polinomios, de estudiantes que cursan décimo
nivel en la educación secundaria. Esto se da porque el rendimiento académico en
esta área es deficiente. Presumimos que
algunos factores influyen
en su
aprendizaje. Por ejemplo, la actitud del estudiante y la mediación pedagógica,
entre otros. Esto según la experiencia de algunos docentes de secundaria y la
opinión de los mismos estudiantes que mencionan es un tema el cual presenta
dificultad en su aprendizaje.
Por lo tanto, al desarrollar esta investigación se buscó diagnosticar si estos
factores mencionados con anterioridad pueden ser un referente negativo en el
aprendizaje de la factorización de polinomios. Estos factores mencionados son
tan solo un ejemplo de la colección de factores que se encontraron al conducir
34
esta investigación. El contexto matemático utilizado en la factorización de
polinomios, mientras que el contexto social será un grupo de estudiantes de
décimo año de un liceo de la región atlántica.
1.4. Pregunta de investigación
El Tercer Informe Estado de la Educación (2011), señala que los docentes de
matemática “enfrentan problemas para implementar algunos temas del currículo
de secundaría. Esta situación concuerda con las reiteradas críticas que se
realizan desde las universidades, con respecto a la débil formación matemática
con que ingresan los estudiantes a la educación superior” (p. 329). Con el fin de
mejorar los procesos de enseñanza aprendizaje de la matemática, consideramos
necesario conocer los factores que impactan negativamente el aprendizaje de los
estudiantes participantes. Así, la presente investigación se centró en dar
respuesta a la siguiente interrogante: ¿qué factores impactan negativamente el
aprendizaje de la factorización de polinomios de un grupo de décimo de un
colegio de la Región Atlántica?
1.5. Propósitos de la investigación
La factorización de polinomios se presenta como un tema de suma importancia,
en virtud del uso que se le da al mismo en la matemática. Esta situación se puede
observar en la manipulación de diversas operaciones algebraicas. También está
presente como herramienta indispensable en diferentes temáticas relativas al
cálculo diferencial e integral, de ahí su relevancia.
35
Podemos encontrar de igual manera procesos de factorización en
estructuras algebraicas no tan comunes como en el álgebra matricial y el álgebra
booleana. Esto indica sin duda alguna la importancia académica del tema,
asimismo por su inherente naturaleza algebraica trae consigo el desarrollo del
pensamiento abstracto. En la presente investigación se persiguieron los siguientes
propósitos.
1.5.1. Propósito general
Del problema anterior surgió la necesidad y relevancia de desarrollar una investigación la
cual ayude en la comprender los factores negativos en el aprendizaje de la factorización
de polinomios. El propósito a continuación aclara el foco del estudio, objeto de esta
propuesta.
Identificar factores negativos en el aprendizaje de la factorización de polinomios
en un grupo de estudiantes de décimo año de un colegio académico de la Región
Atlántica.
1.5.2. Propósitos específicos
a. Describir el proceso de enseñanza de la factorización de polinomios
en un grupo de décimo de un colegio de la Región Atlántica.
b. Describir el proceso de aprendizaje de la factorización de polinomios
en un grupo de décimo de un colegio de la Región Atlántica.
36
c. Identificar
tipos de errores que presentan los estudiantes
participantes en el aprendizaje de la factorización de polinomios.
d. Establecer
las
limitaciones
conceptuales
que
presentan
los
estudiantes en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la
factorización de polinomios.
e. Clasificar los factores identificados que impactan negativamente el
aprendizaje de la factorización de polinomios de los estudiantes
participantes.
1.6. Justificación
La importancia de la presente investigación se puede adjudicar a la necesidad de
generar más conocimiento sobre algunos obstáculos o factores que impiden un
aprendizaje significativo en un tema de suma importancia en el currículo
matemático costarricense como lo es la factorización de polinomios.
Es en este sentido, como Demana y Waits (2000) nos explican:
Algunos reformadores han dicho que no es ningún requisito indispensable
el enseñar la factorización. Creemos que están equivocados. El tema
matemático de factorización es principal y de mayor importancia. Debe
permanecer en el plan de estudios. Sin embargo, en la factorización
pesaba una reserva mental o el ejercicio tedioso de papel y lápiz, que a
menudo escondieron la matemática subyacente, más bonita (p.52).
Por otra parte, el MEP (2005), en su programa de estudios plantea lo
siguiente: “en la Educación Diversificada, los estudiantes desarrollarán y aplicarán
habilidades mentales que les permitirán plantear razonamientos lógicos
matemáticos sólidos, que sustentan la formulación de hipótesis y la comprobación
de teorías” (p.17). Entre las habilidades mentales que se buscan promover se
37
encuentran la identificación, diferenciación, representación mental, transformación
mental, comparación, clasificación, codificación, decodificación, proyección de
relaciones virtuales, análisis, síntesis, inferencia lógica, razonamiento analógico,
razonamiento hipotético, razonamiento transitivo, razonamiento silogístico,
pensamiento divergente-convergente, conceptualización.
Muchas de estas habilidades se pueden desarrollar con un manejo
adecuado del algebra, en virtud de que esta rama de la matemática posee una
gran riqueza en el desarrollo del pensamiento abstracto y reflexivo.
Según el MEP (2011) acerca de los resultados en las pruebas nacionales
de bachillerato de la educación formal en la modalidad académica diurna, el
rendimiento académico del objetivo sobre factorización de polinomios en forma
completa, mediante la combinación de métodos fue de 61,4%, lo que evidencia
cierta deficiencia en la consecución de este objetivo.
En efecto, su importancia es tal que se encuentra inmerso entre los
contenidos de los programas de estudio de cursos de matemática básica o
matemática general para diversas carreras universitarias, lo que significa que los
estudiantes deben tener una preparación sólida de secundaria que les permita
enfrentar estos retos académicos de la mejor manera.
Conocer las experiencias vividas por los docentes o estudiantes en el
desarrollo del tema de factorización, permitirá ejecutar acciones para mejorar la
práctica educativa e incentivar el desarrollo del pensamiento matemático pues,
como indican Cantoral y Farfán (2004), “…el pensamiento matemático se
desarrolla entre los estudiantes en la medida en que ellos estén en condición de
38
tomar el control de sus propias actividades matemáticas organizadas por su
profesor” (p. 56).
Es decir, se requiere que el estudiante sea capaz de instrumentalizar su
aprendizaje, que logre llevar a cabo el desarrollo del conocimiento de forma
independiente pero de forma organizada por el docente. En la enseñanza y
aprendizaje de la factorización de polinomios, los estudiantes deben comprender
correctamente los términos factor, divisor, múltiplo, mínimo común múltiplo,
máximo común divisor, monomio, polinomio, binomio, trinomio cuadrado, raíz
cuadrada, factores primos y polinomio irreducible, entre otros. Todos estos
términos y conceptos le permitirán al estudiante construir su conocimiento en el
tema de factorización, pues los mismos se presentan como conocimiento previo e
indispensable en la enseñanza de la factorización. Así, ellos estarán en capacidad
de establecer relaciones entre conceptos y asociar ideas ya conocidas con las
nuevas del tema en cuestión.
Además de lo anterior, los estudiantes deben aprender a interpretar los
textos que leen o escuchan; deben comunicar correctamente los conceptos, las
ideas, las expresiones algebraicas y las estrategias a utilizar en el trabajo
matemático. La investigación busca servir como insumo académico, de forma tal
que se reconozcan aquellos factores que impactan negativamente el aprendizaje
de factorización. Precisamente bajo la premisa de ejecutar acciones que den
respuesta al problema, como la creación de metodologías didácticas planeadas
bajo el conocimiento de los factores que podrían influir de forma negativa en el
tema y la creación de una evaluación que considere claramente los problemas de
39
enseñanza que se dan en esta temática. Esto con el propósito de que el
planeamiento del docente en el tema esté explícitamente definido, en función de
estos factores.
Con la investigación se generó conocimiento sobre las dificultades que
presentan los estudiantes en el estudio del tema de factorización, cuyo propósito
era que los docentes conozcan dichos factores y así generen propuestas que
disminuyan el efecto de ellos.
40
CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO
41
CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO
En este apartado se presentan lineamientos teóricos que apoyan la presente
investigación. Se habla de los programas de estudios vigentes y las visiones
filosóficas que los sustentan, así como los objetivos referentes a factorización que
en ellos se encuentran. Se desarrolla brevemente el concepto del constructivismo
para aterrizar en el concepto de aprendizaje significativo y su importancia en el
proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática, así como del papel del
profesor en la clase y la importancia del aprendizaje del álgebra. También se
abordó el concepto de factorización de polinomios y algunos métodos para
factorizar polinomios. Luego se realizó una descripción de los diferentes estilos de
aprendizaje que presentan los estudiantes, además de la definición de
matemática emocional. Por último, se describen algunos problemas encontrados
en el aprendizaje de la factorización o el álgebra, algunas estrategias didácticas
para la enseñanza de la factorización, concluyendo con el análisis de errores
frecuentes presentados en el aprendizaje del tema de factorización de polinomios.
2.1. Programa de Estudios de Matemática del MEP
Los programas vigentes de estudio que rigen la educación general básica y el
ciclo complementario forman parte de la Política Educativa hacia el Siglo XXI.
Esta fue aprobada por el Consejo Superior de Educación en 1994 y se nutre de
tres visiones filosóficas: humanista, racionalista y constructivista.
42
Según el MEP (1994), los programas de estudios son humanistas porque
son
La base para la búsqueda de la plena realización del ser humano, de la
persona dotada de dignidad y valor, capaz de procurar su perfección
mediante la realización de los valores estipulados en la legislación
educativa, tanto los de orden individual como los de carácter social (p. 8).
Por lo anterior, la educación formal del país deberá tener entre sus
finalidades la búsqueda de la dignidad del ser humano. Sus avances procuran la
realización integral de las personas, no solo se trata de formar personas con
conocimientos académicos en las principales ciencias, o con una preparación
técnica importante. Abonado a estos conocimientos, se adiciona el respeto por el
ser humano y su posición en el mundo.
Por otro lado para el MEP (1994), está la visión racionalista porque
El reconocimiento de que el ser humano está dotado de una capacidad
racional que puede captar objetivamente la realidad en todas sus formas,
construir y perfeccionar de continuo los saberes y hacer posible el progreso
humano y el entendimiento entre las personas (p. 8).
En el proceso educativo se procura cultivar el pensamiento crítico en los
estudiantes. Se busca formar ciudadanos racionales, capaces de comprender el
mundo que los rodea y las situaciones en las que se encuentra inmerso.
Por ultimo para el MEP (1994) está filosofía constructivista siendo que
El esfuerzo en el actuar considerando que la educación debe partir desde
la situación cognoscitiva del alumno de su individualidad, de sus intereses
e idiosincrasia, por lo que debe reconocer la cultura específica del alumno
con sus respectivas estructuras de conocimiento ya formadas y emprender
una acción formativa del alumno y del conocimiento que los transforma
mutuamente (p. 8).
43
Al referirse al proceso de la enseñanza-aprendizaje de la matemática, el
Programa de Estudios de Matemática del Ciclo Diversificado del MEP (2005),
señala que la metodología usada “se basa en la construcción e investigación del
conocimiento, basado en las experiencias concretas, vivencias cotidianas, hechos
científicos y tecnológicos, de tal manera que el aprendizaje sea significativo para
el estudiante” (p. 31). En esta cita sobresalen dos conceptos, constructivismo y
aprendizaje significativo, los cuales se vinculan de tal manera formando relaciones
mediante situaciones de la vida cotidiana con lo que se obtiene un aprendizaje
significativo para el estudiante.
El programa anteriormente mencionado resalta la importancia del estudio
del álgebra. Se indica que su aprendizaje contribuye a desarrollar capacidades de
abstracción y generalización. Eso sí, se aclara que los contenidos de álgebra por
tratar se limitan a aquellos necesarios para el trabajo con funciones. En cuanto a
la forma de trabajo sugerida, se apunta hacia la inducción y deducción
experimental y creativa de procedimientos, evitando la memorización y aplicación
de recetas sin fundamentación; tal y como lo sugiere el MEP (2005) “lograr en el
estudiante razonamientos y conclusiones tiene mayor valor, que hacerlo
desarrollar un sin número de cálculos vacíos” (p. 43).
2.1.1. Objetivos del Programa de Estudios
En el apartado correspondiente a IX y X año del Programa de Estudios de
Matemática del Ciclo Diversificado del MEP (2005), los objetivos de aprendizaje y
44
contenidos referentes al estudio del algebra, se encuentran los siguientes (ver
tabla 1).
Tabla 1
Objetivos referentes a factorización en el Programa de Estudios de IX y X año
Objetivos
Efectuar la factorización
de polinomios en forma
completa.
Efectuar la factorización
de polinomios en forma
completa, mediante la
combinación de
métodos.
Efectuar la
simplificación de
expresiones
algebraicas
fraccionarias.
Contenidos
Factorización completa de polinomios
mediante:
a) Factor común (con una o dos variables).
b) Diferencia de cuadrados (en una
variable).
c) Trinomio cuadrado perfecto (en una
variable).
d) Combinación de factor común y
productos notables.
Factorización del trinomio de segundo grado
con una variable:
a) Fórmula general.
b) Inspección.
c) Fórmula notable.
d) Teorema del factor.
e) Usando la calculadora.
Factorización completa de polinomios de
tres y cuatro términos con una o dos
variables.
a) Factor común y fórmula notable.
b) Grupos y factor común.
c) Grupos y diferencia de cuadrados.
Concepto de expresión algebraica.
Simplificación de expresiones algebraicas
fraccionarias cuyo numerador y
denominador estén constituidos por
monomios, binomios y polinomios, de no
más de cuatro términos, con una o dos
variables.
Fuente: Programa de Estudios del MEP (2005).
45
Nivel
IX
X
X
2.1.2. Destrezas del Programa de Estudios
Las destrezas propuestas por el programa para la consecución de los objetivos
expuestos en la tabla 1 se presentan en la tabla 2.
Tabla 2
Procedimientos propuestos por el Programa de Estudios
Objetivo
Procedimiento
Reconocimiento del uso de diversos métodos para
factorizar trinomios de segundo grado con una
variable.
Reconocimiento del método de factorización por
agrupación para polinomios.
Determinación del proceso para factorizar un
polinomio.
Identificación y selección del método adecuado para
factorizar un polinomio.
Aplicación de uno o varios métodos para factorizar
polinomios.
Identificación de las expresiones algebraicas
racionales.
Determinación de un proceso para obtener, en
fracciones algebraicas, factores en el numerador y
en el denominador.
Transferencia del procedimiento de cancelación
(simplificación) en fracciones numéricas, a fracciones
algebraicas.
Simplificación de expresiones algebraicas racionales
utilizando la ley de cancelación.
Primero
Segundo
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Fuente: Programa de Estudios del MEP (2005).
Se puede observar que las destrezas propuestas (reconocimiento, identificación y
selección y aplicación) van de lo más simple hacia procesos más complejos. De
esta forma los conceptos, conocimientos y habilidades matemáticas serán
presentados a los estudiantes como un desarrollo y no como un conjunto de
46
reglas. Se procura lograr un aprendizaje matemático con significado para el
estudiante.
Según el MEP (2005), los estudiantes de décimo cuentan con los siguientes
conocimientos previos. En sétimo aprenden a resolver operaciones básicas con
números enteros, conocen las potencias con base entera y exponente natural, así
como las propiedades de las potencias (multiplicación de potencias de igual base,
división de potencias de igual base, potencia de un producto, potencia de una
potencia, potencia con exponente cero, potencia con exponente uno).
En octavo, los estudiantes aprenden a reconocer expresiones matemáticas
que corresponden a expresiones algebraicas, a determinar el valor numérico de
una expresión algebraica, a clasificar expresiones algebraicas en binomios,
trinomios o polinomios, a efectuar sumas, restas y multiplicaciones de polinomios,
a aplicar los productos notables, a resolver ecuaciones de primer grado con una
incógnita y a resolver combinación de operaciones con polinomios. En noveno, los
estudiantes son capaces de efectuar divisiones de polinomios en una o dos
variables.
Con estos conocimientos previos, los estudiantes están facultados para
estudiar el tema de factorización de polinomios.
2.2. Perspectiva pedagógica
En toda propuesta educativa, existe una determinada forma de entender el
aprendizaje y como consecuencia, una forma de entender la enseñanza. De esta
47
manera se delimita el escenario de los actores, tanto los estudiantes como de los
profesores.
2.2.1. Constructivismo
El constructivismo propone que los estudiantes construyan su propio conocimiento
logrando aprendizajes significativos. Según Kilpatrick (1990), citado por Larios
(1998),
El conocimiento es activamente construido por el sujeto cognoscente, no
pasivamente recibido del entorno. Llegar a conocer es un proceso
adaptativo que organiza el mundo experiencial de uno; no se descubre un
independiente y preexistente mundo fuera de la mente del conocedor (p.
10).
Por lo tanto, el estudiante tiene un papel activo en el proceso del
aprendizaje, es el encargado de crear su conocimiento. Para ello, las experiencias
y conocimientos previos son claves para lograr mejores aprendizajes. Los
estudiantes realizan diferentes conexiones cognitivas que le permiten utilizar
operaciones mentales y con la utilización de sus conocimientos previos puede ir
armando nuevos aprendizajes. El docente deberá brindar experiencias que
permitan al alumno aprender de manera activa. Larios (1998), señala que “el
individuo que aprende matemáticas, desde un punto de vista constructivista, debe
precisamente construir los conceptos a través de la interacción que tiene con los
objetos y con los otros sujetos” (p. 11).
La filosofía constructivista sugerida por el MEP (2005) está enfocada en la
resolución de problemas. El programa de estudios sugiere las siguientes
estrategias didácticas basadas en la resolución de problemas: trabajo en grupos,
revisión de resultados, discusión de resultados y medidas de apoyo. Se debe
48
desarrollar en el alumno un conjunto de habilidades cognitivas que les permitan
optimizar sus procesos de razonamiento. El docente fomenta la autonomía del
estudiante y desafía la indagación por medio de preguntas retadoras que motiven
a los estudiantes a reflexionar, a que aprendan a pensar.
2.2.2. Aprendizaje significativo
Según
Ausubel
(1973),
un
aprendizaje
es
significativo
cuando
“puede
relacionarse, de modo no arbitrario y sustancial (no al pie de la letra) con lo que el
alumno ya sabe” (p. 37). Es decir, un aprendizaje es significativo cuando los
nuevos conocimientos adquieren significado para el sujeto a partir de su relación
con conocimientos anteriores. De esta manera, el aprendizaje es más eficaz que
el aprendizaje memorístico.
Es importante que los contenidos de aprendizaje tengan significado para el
estudiante. El aprendizaje significativo se preocupa por los intereses y
necesidades que hacen que aquello que el alumno desea aprender posea una
aplicación y esta sea valiosa para él. De esta manera se desarrolla el interés por
el trabajo y las experiencias en el aula. Al respecto Coll (1988) explica que,
Hablar de aprendizaje significativo equivale, ante todo, a poner de relieve el
proceso de construcción de significados como elemento central del proceso
enseñanza-aprendizaje. El alumno aprende un contenido cualquiera - un
concepto, una explicación de un fenómeno físico o social, un procedimiento
para resolver determinado tipo de problemas, una norma de
comportamiento, un valor a respetar, etc.- cuando es capaz de atribuirle un
significado. De hecho, en sentido estricto, el alumno puede aprender
también estos contenidos sin atribuirles significado alguno; es lo que
sucede cuando los aprende de una forma puramente memorística y es
49
capaz de repetirlos o de utilizarlos mecánicamente sin entender en absoluto
lo que está diciendo o lo que está haciendo (p. 134).
De esta manera, el Programa de Estudios como justificación de por qué el
aprendizaje significativo indica que los “estudiantes solamente son capaces de
adquirir nuevos conocimientos cuando pueden establecer vínculos duraderos
entre los nuevos aprendizajes y los que ya saben; cuando consiguen modificar y
enriquecer sus esquemas cognoscitivos anteriores y cuando logran afrontar
nuevas situaciones de aprendizaje” (p. 31).
Por consiguiente, el aprendizaje es un proceso constante, en donde el
estudiante modifica sus esquemas mentales. Según Ausubel, Novak y Hanesian,
(1978), “el mismo proceso de adquirir información produce una modificación tanto
en la información adquirida como en el aspecto específico de la estructura
cognoscitiva con la cual aquella está vinculada” (p. 623). Desde este punto de
vista, se entiende por aprendizaje a la construcción de conocimiento en donde las
piezas encajan coherentemente con otras.
Entonces, para que se dé un aprendizaje significativo, es decir, un
aprendizaje que sea duradero en el tiempo, las estrategias didácticas utilizadas
deben tener conexión con las experiencias previas del estudiantado. Debe de ser
coherente con los aprendizajes previos y no ser presentado de forma aislada, sin
relación con los conocimientos del estudiante. Al respecto, Ballester (2002) señala
que “en la práctica docente es de vital importancia contemplar los conocimientos
previos del alumnado, para poder enlazarlo con las ideas nuevas y conseguir un
aprendizaje” (p. 16).
50
Para lograr que esta conexión sea exitosa en el estudiante, debe de existir
un proceso de construcción del conocimiento. El aprendizaje real se logra cuando
el alumno consigue relacionar el contenido enseñado con sus propios procesos
mentales. La mente de un alumno no es una vasija vacía, sino una suerte de
máquina que funciona con engranajes, en donde cada nuevo conocimiento debe
ser articulado por uno anterior y a la vez servir para generar nuevos
conocimientos.
2.2.3. El papel del docente
Es importante entender que la actividad en el aula es la principal en el proceso de
enseñanza-aprendizaje. Para lo cual el docente, como encargado de las
diferentes actividades que se desarrollan en el salón de clases, debe ser quien
guíe este proceso. Por lo tanto al profesor, según el MEP (2005), le corresponde
“facilitar el aprendizaje de los alumnos mediante estrategias que le permitan
desarrollar en ellos la capacidad para observar, para formular preguntas e
hipótesis, para relacionar y contrastar lo aprendido con conocimientos anteriores,
para integrar en esquemas lo que ya posee y para enfrentarse a las vicisitudes
que el mundo le tiene dispuesto a través de su existencia” (p. 32).
De esta manera, el docente requiere una actitud más reflexiva que le
permita organizar y desarrollar actividades que fomenten oportunidades de
aprendizaje. Será un facilitador, procurará que la participación del estudiante sea
constante y ágil. En la clase, tiene un papel de mediador en el aprendizaje de sus
51
estudiantes, debe hacer que el estudiante investigue, descubra, compare y
comparta sus ideas.
El docente es el responsable de decidir cuáles actividades puedan tener
gran influencia en la obtención de aprendizaje significativo del estudiante. A la vez
que las lecciones respondan a las creencias que el profesor tiene sobre la
matemática, su utilidad y sobre el proceso de enseñanza-aprendizaje. Con el fin
de entender las decisiones tomadas por el profesor en el aula, es necesario
conocer la concepción que este tiene sobre la enseñanza y aprendizaje de la
matemática. Según Contreras (1998) la concepción de un profesor en cuanto a la
enseñanza y el aprendizaje de la matemática son las perspectivas según el
investigador posee el profesor, después del análisis de las observaciones,
documentos, opiniones o de las respuestas a preguntas sobre su práctica
respecto a temas referentes a la enseñanza y el aprendizaje de la matemática.
Existen cuatro tendencias didácticas de los profesores; la tradicional, la
tecnológica, la espontaneísta y la investigativa. A continuación se realiza una
breve descripción de cada una de ellas.
Contreras (1998) explica que
La tendencia tradicional se caracteriza por el uso de la exposición magistral
como técnica habitual y uso del libro de texto como único material
curricular. El profesor sigue una programación prescrita de antemano,
externa a él y rígida, sin plantearse relaciones entre las unidades. La
asignatura está orientada básicamente a la adquisición de conceptos,
otorgándole una finalidad exclusivamente informativa, es decir, se pone en
conocimiento de los alumnos un cierto "panorama matemático" que se
espera que aprendan; presupone que dicho aprendizaje se realiza,
utilizando la memoria como único recurso, por superposición de unidades
de información. El alumno se hace con los conocimientos por el simple
hecho de que el profesor se los presente, manteniendo éste como
52
dinamizador ideal del aprendizaje la estructura de la propia asignatura,
plasmada en la programación (p. 34).
En esta tendencia los resultados del aprendizaje son responsabilidad del
estudiante, siendo el principal medio de aprendizaje llevar apuntes de todo lo que
el profesor transmite principalmente de forma verbal. La evaluación se realiza al
final de cada tema con el fin único de medir el aprendizaje como carácter
sumativo, basado en la capacidad de retener información a corto plazo, esto por
medio de exámenes escritos. El diagnóstico se basa en que los alumnos ya tienen
dominio de los contenidos que se han impartido anteriormente.
En cuanto a la tendencia tecnológica, según Contreras (1998)
El profesor no expone los contenidos en su fase final, sino que simula su
proceso de construcción, apoyado en estrategias expositivas, y sigue una
programación cerrada, con una secuencia que emana de los aspectos
estructurales de la disciplina. Interesan tanto los conceptos como los
procesos lógicos que los sustentan, por su eventual reproductibilidad y se
otorga a la asignatura, además de una finalidad informativa, un carácter
práctico que permita su aplicación en otros ámbitos de la matemática, otras
disciplinas o en la técnica. Presupone que el aprendizaje se realiza
utilizando la memoria, organizándose internamente según la lógica
estructural de la disciplina, por lo que, para aprender, al alumno le basta
entender, asimilar el conocimiento que proviene del exterior, siendo el
dinamizador ideal del aprendizaje la lógica de construcción de la propia
matemática (p. 35).
Por lo anterior, el alumno solo necesita entender y asimilar el conocimiento,
concordando con la característica de esta tendencia. El profesor elige el contexto
adecuado para la enseñanza y el estudiante debe reproducir los procesos que le
transmite el profesor con el fin de comprender mejor los conocimientos. La
evaluación se realiza mediante el examen en ciertos períodos de tiempo,
buscando el grado de operatividad de los contenidos. El diagnóstico se basa en la
53
detección de errores procedimentales, base para futuros procedimientos en el
aula, justo lo que buscamos con nuestro estudio.
Con respecto a la tendencia espontaneísta Contreras (1998) señala que
se caracteriza por una propuesta por parte del profesor de actividades de
manipulación de modelos, a través de las cuales se espera que se
produzca, eventualmente, un conocimiento no organizado. La programación
es un documento vivo que, por basarse en los intereses que, en cada
momento, manifiestan los alumnos y en la negociación con ellos, no
dispone de una organización inicial. No interesan tanto los conceptos como
los procedimientos y el fomento de actitudes positivas hacia el trabajo
escolar. La asignatura posee un carácter formativo, con objeto de servir de
instrumento para un cambio actitudinal del alumno (con respecto al
aprendizaje y la vida), así como para la adquisición de valores racionales
que le permitan conformar una actitud lógica ante los problemas cotidianos.
El profesor piensa que se aprende cuando el objeto de aprendizaje, que
surge aleatoriamente del contexto, posee un significado para el alumno,
produciéndose dicho aprendizaje (cuyo dinamizador ideal son los intereses
de los alumnos), de manera espontánea, cuando el alumno está inmerso en
situaciones que propician el descubrimiento (p. 36).
En esta tendencia se fomenta la participación en actividades de grupo. La
evaluación es usada para medir el grado de implicación del alumno en el
quehacer del aula. Los exámenes son vistos como una actividad que no enriquece
el conocimiento del alumno y en sus relaciones personales dentro del aula. El
diagnóstico se basa en descubrir el campo de intereses de los estudiantes.
La tendencia investigativa, según Contreras (1998)
Se caracteriza por la organización, por el profesor, del proceso que llevará
al alumno a la adquisición de unos conocimientos determinados, a través
de su investigación. El profesor dispone de una propuesta organizativa de
los elementos del programa, pero no está vinculado a un recorrido concreto.
Interesan tanto la adquisición de conceptos, como el desarrollo de
procedimientos y el fomento de actitudes positivas hacia la propia materia y
el trabajo escolar en general, siendo éstos (materia y trabajo escolar) los
que determinan el peso específico de cada una de las componentes
citadas. Existe una trama que vincula y organiza el conocimiento por la que
el profesor se mueve dependiendo de los intereses, nivel,..., de los
54
alumnos, siendo la finalidad última de la asignatura dotar al alumno de unos
instrumentos que le posibiliten el aprendizaje autónomo. Los objetos de
aprendizaje, además de poseer significado, tienen también la capacidad de
ser aplicados en contextos diferentes de donde fueron aprendidos,
adquiriendo así un carácter móvil a través de una red conceptual. El
profesor piensa que el aprendizaje se produce a través de investigaciones
que han sido planificadas por él, manteniendo como dinamizador ideal del
aprendizaje el equilibrio entre los intereses y estructura mental de los
alumnos y los de la Matemática (p. 38).
En esta tendencia, solo se produce aprendizaje si el alumno le otorga
significado a lo que aprende, siendo consciente de su propio proceso de
aprendizaje. El profesor despierta la curiosidad del estudiante encausándolo a la
investigación.
La evaluación es constante y permite monitorear el aprendizaje para
reconducirlo en el momento que así se amerite. Los exámenes tienen un doble
propósito, son una actividad individual que inserta en el proceso de creación de
conocimiento del estudiante y además, permiten el control de dicho proceso. El
diagnóstico tiene como fin poner de relieve todos aquellos aspectos del
conocimiento del alumno (conceptos, procedimientos, actitudes, teorías implícitas,
concepciones.) que, de una u otra manera, puedan interferir en el proceso de
enseñanza-aprendizaje.
2.3. Importancia del álgebra
Para Kaput (1995), citado por Mena y Villalba (2005),
La esencia del álgebra en el nivel secundaria es dinámica y
transformacional. El álgebra elemental implica acción: colectar términos
semejantes, factorizar, hacer desarrollos, solucionar ecuaciones, simplificar
expresiones, sumar sucesiones, graficar, etc. El álgebra elemental parece
55
ser una extraordinaria colección de procesos transformacionales. Todo lo
algebraico parece fluido y variable (p. 108).
De esta manera se refleja la importancia formativa del álgebra. Por medio
de su manipulación se pueden crear enlaces mentales que produzcan en el
estudiante aprendizajes significativos y a la vez ayuden a desarrollar sus
capacidades intelectuales.
Con respecto al tema de álgebra, una de las bases para la factorización de
polinomios, el MEP (2005) señala que su aprendizaje “contribuye a desarrollar
capacidades de abstracción y generalización” (p. 43). La abstracción le permite al
estudiante realizar una organización mental que va más allá de lo concreto,
logrando conceptualizar ideas u objetos mentales. La generalización se construye
sobre la base de un sistema de habilidades y una vez apropiada por parte del
estudiante este es capaz de resolver múltiples problemas particulares.
2.4. Factorización de polinomios
Al realizar una revisión en algunos libros de textos de álgebra, se encuentran
numerosas definiciones del término factorización de expresiones polinomios.
Algunas de estas definiciones son las siguientes:
a) Es el proceso que consiste en hallar los factores primos en que se
puede descomponer una expresión algebraica (Bedoya y Londoño,
1985, p. 138).
b) Es la operación inversa a la multiplicación (Barnett y Uribe, 1988, p.
83; Bellman, Chavis, Handin y Manred, 2000, p. 471).
56
c) Es convertir la expresión algebraica al producto de otras expresiones
algebraicas (Camargo García, Leguizamón y Sampier 2002, p. 139).
d) Es el proceso inverso de la multiplicación, en donde se dice que un
polinomio está completamente factorizado cuando está escrito como el
producto de sus factores primos (Barnett, 1978, p. 43).
Revisando las anteriores definiciones, al afirmarse que la factorización es
sólo hallar un producto de factores irreducibles, descarta la posibilidad de
equivalencias con otras factorizaciones de factores no primos. Convertir un
polinomio en forma de producto de expresiones algebraicas o considerarla sólo
como el proceso inverso de la multiplicación, no garantiza una factorización
completa de un polinomio. Por lo cual, para la elaboración de este trabajo se toma
la última definición presentada por Barnett (1978).
Un monomio es una expresión algebraica que combina constantes
(generalmente números) y variables (letras) únicamente por medio del producto y
de la potencia de exponente natural. Un polinomio es una expresión algebraica
que une monomios por medio de sumas y restas.
Así;
,
Asimismo,
y
son ejemplos de monomios.
y
son polinomios.
Si un polinomio se expresa como producto de dos o más factores
polinomiales se dice que está factorizado. En consecuencia, Schmidt (2011)
señala que “factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios
llamados factores, de tal modo que al multiplicarlos entre sí se obtiene el
57
polinomio original” (p. 2). Así pues, (
)(
) es una factorización de
, ya que al realizar la multiplicación de la primera expresión se
obtiene la segunda. De igual modo,
se puede expresar como el
producto de
y
por
. Entonces,
son factores de
.
Existen diferentes métodos para factorizar según sea las características del
polinomio. Algunos de estos métodos se describen a continuación.
2.4.1. Factor común
Schmidt (2011), al referirse a la factorización por factor común, indica “que debe
haber una variable o coeficiente numérico que se repite en todos los sumandos
del polinomio y el factor común será aquella variable común con el menor
exponente” (p. 3). Es decir; el factor común corresponde a la propiedad
distributiva de la multiplicación respecto a la suma: (
)=
Por ejemplo, en cada término del polinomio
monomio
es un múltiplo de este. Véase que
∙
(
∙
. Así, la factorización de
, el
=
∙
es
).
2.4.2. Factorización por fórmulas notables
Al cuadrado de un binomio es una expresión conocida como fórmula notable o
producto notable.
58
Por medio de la propiedad distributiva de la suma respecto a la
multiplicación se puede verificar los resultados:
(
) =(
)(
)=
(
) =(
)(
)=
Cabe aclarar que en el Programa de Estudios de Matemática del Ciclo
Diversificado del MEP solo se incluyen binomios grado dos en fórmulas notables.
Schmidt (2011), indica que “factorizar utilizando fórmulas notables o
productos notables es en realidad reconocer la forma de cada uno de los
componentes de un trinomio de grado dos” (p. 4). De esta manera, se observa
que el polinomio
Nótese
es de la forma
homólogamente a (
(
=(
que
) =
,
.
)
∙
∙
se tiene que
.
Entonces,
=
)
2.4.3. Agrupación
Este método es utilizado para factorizar polinomios que no tienen factor común.
En algunos casos es posible obtener la factorización de dicho polinomio,
realizando una "agrupación conveniente" de aquellos sumandos que poseen un
factor común. Por ejemplo, el polinomio
cuenta con la
característica mencionada. Para factorizarlo, se procede de la siguiente manera;
se agrupan términos con factores comunes:
59
=(
)
(
).
Luego se factoriza cada grupo con el fin de que los binomios resultantes
sean iguales y se pueda utilizar el método de factor común.
Entonces, (
que (
)
(
)=
(
)
) es común a ambos términos. Por lo tanto;
(
)(
(
(
). Nótese
)
(
)=
). De este modo, el polinomio queda factorizado:
=(
)(
).
2.4.4. Diferencia de cuadrados
Este método consiste en identificar la tercera fórmula notable; es decir,
(
)(
)=
.
Por consiguiente, el polinomio
puede reescribir de la forma (
)
y se factoriza como (
, como se
)(
).
2.4.5. Factorización por inspección
Este método se utiliza para factorizar trinomios de segundo grado con una
incógnita. Consiste en revertir el producto de esta forma:
(
)(
)=
(
)
Así, para factorizar el polinomio
( ∙
∙
)
(
IR .
se puede reescribir de la
siguiente manera:
( ∙ )
, con
∙ ).
60
=(
Entonces,
)(
).
2.4.6. Combinación de métodos
En ciertos casos, para la factorización completa de un polinomio, es necesario
utilizar más de un método. Por ejemplo, el polinomio
factor común
(
=
. Así;
tiene
). Nótese que el
trinomio resultante se puede factorizar por fórmula notable:
(
) . Entonces;
=
(
=
)
Revisados los métodos de factorización de polinomios, se continúa con la
revisión de los estilos de aprendizaje de los estudiantes.
2.5. Estilos de aprendizaje
Los estilos de aprendizaje son preferencias en el modo de pensar y de aprender
de las personas, la forma en que las personas perciben y procesan información.
La investigación de Salas (2008) sobre el cerebro concluye que “tiene dos
partes (hemisferios) que captan y transforman la realidad (experiencia e
información)” (p. 71). Además, que ambos hemisferios son importantes.
El autor se refiere a que el hemisferio izquierdo es el que percibe y procesa
la información de manera abstracta, verbal, simbólica y analítica. Funciona de
forma lineal y secuencia (razonadores); mientras que el hemisferio derecho
61
percibe y procesa la información de manera concreta, holística y espacial. Este
funcionamiento es analógico y sintético (intuitivo).
La captación puede ser aprensiva o comprensiva, por esta razón hay
individuos que sienten o sentimentalizan, mientras que otros piensan las cosas
racionalmente.
Según García y Justicia (1993) “el estilo de aprendizaje es el modo general
de cada persona para procesar la información que recibe del ambiente y para
enfrentarse a situaciones, en las cuales se desarrolla una estrategia para
solucionar problemas” (p. 55).
Existen diferentes formas en que las personas perciben la información. Así,
se puede hablar de la experiencia concreta, la conceptualización abstracta, de las
formas en que la persona transforma la experiencia y de la transformación vía
extensión.
2.5.1. Características de los estilos de aprendizaje
Según Salas (2008), “los diferentes estilos de aprendizaje tienen diversas
características que los distinguen, entre estos podemos mencionar las siguientes
categorías o tipos” (p. 91):
a) Estilo divergente
Habilidades para valorar. Las personas captan la información o experiencia por
acciones o actividades reales y concretas, transformadas por medio de la
reflexión. Se les llama divergentes o aprendices imaginativos por valorar las
62
informaciones y asumir una posición personal. Entre las características más
importantes están: buscar significado a las cosas, aprenden escuchando y
compartiendo ideas y se interesan por las personas y su cultura.
b) Estilo asimilador
Competencias para pensar. Las personas captan información de forma abstracta
y luego la transforman reflexivamente. No les gusta lo práctico o concreto. Se les
llama aprendices analíticos y se caracterizan porque buscan los hechos
comprobados y aprenden mediante ideas. Critican la información y recolectan
datos.
c) Estilo convergente
Habilidades de decisión. Captan la información de manera abstracta
(pensadores). Llamados aprendices de sentido común, se caracterizan porque
buscan la utilidad, aprenden por prueba de la teoría y necesitan ver las
experiencias.
d) Estilo acomodador
Habilidad para actuar. Captan la información de manera concreta y la transforman
activamente. Captan con los sentidos, someten a la prueba y luego a la acción
inmediata. Llamados aprendices dinámicos, se caracterizan porque buscan
posibilidades
desconocidas,
aprenden
por
ensayo
y
error,
así
como
autodescubrimiento y detestan la teoría.
Definitivamente, el aprendizaje de la matemática es un proceso en el cual
interviene una serie de factores de índole cognitivo que pueden ser artífices de la
63
consecución o asimilación de los contenidos matemáticos, como vimos
anteriormente los estilos de aprendizaje de nuestros estudiantes juegan un papel
importante, puesto que dependiendo del estilo de aprendizaje que algún
estudiante posea, se le facilitará aún más comprender la materia en cuestión.
La enseñanza en sí misma es un proceso que no solo está provisto de
factores meramente cognitivos, esto pues la materia prima con la que se trabaja
son seres humanos y por ende la enorme cantidad de variables que sobre este
actúan. De esta manera se deben considerar en el proceso de enseñanzaaprendizaje de la matemática aspectos emocionales o psicológicos de nuestros
estudiantes.
2.6. Matemática emocional
En los resultados de rendimiento académico de la educación secundaria es
frecuente encontrar bajo rendimiento en la asignatura de matemática en
comparación con las otras áreas del currículo. A manera de ejemplo, en el Informe
Nacional de Resultados de las Pruebas Nacionales de la Educación Formal 2010,
matemática es la asignatura con menor rendimiento. En la siguiente tabla se
muestra un resumen de los resultados.
64
Tabla 3
Rendimiento por asignatura, Bachillerato 2010
Asignatura
Promedio
90,90
92,88
76,96
87,59
87,20
83,70
90,20
85,27
92,33
Español
Estudios Sociales
Matemática
Biología
Física
Química
Francés
Inglés
Educación Cívica
Fuente: MEP 2011
Ante tal situación, la reacción social más común es la de victimización. Se aceptan
bajos resultados en matemática pues se da por sentado que esta disciplina es
“difícil”.
El aprendizaje de la matemática requiere de dedicación y esfuerzo. Es una
disciplina acumulativa al igual que sus dificultades. Las deficiencias de un nivel,
por ejemplo de primaria, representan grandes obstáculos en grados superiores.
Pero estas dificultades por sí solas no explican el rechazo de la cultura en general
hacia la matemática. Existen otros factores influyentes en que algunas personas
rechacen la matemática o que otras personas la adoren.
Al respecto, Hidalgo, Maroto, y Palacios (2005), señalan que el “gusto o
rechazo por las matemáticas puede ser entendido como la valoración promedio de
un conjunto de variables de naturaleza emocional, tales como el autoconcepto
matemático, la percepción de dificultad o las emociones asociadas más
65
frecuentemente con la materia” (p. 110).
Para estos autores, estas variables
actúan de diferente forma en cada individuo como factor de atracción o rechazo.
Por otro lado, Gil, Blanco y Guerrero (2005), sugieren que en el agrado
hacia la matemática influyen los siguientes factores: las actitudes hacia la
matemática, las destrezas matemáticas y los conocimientos matemáticos del
estudiante. El estudiante con un perfil positivo sobre estos factores muestra una
conducta positiva y de aceptación hacia la matemática. Por el contrario, aquellos
con un perfil bajo son más negativos hacia su aprendizaje y presentan mayor
rechazo hacia la disciplina en cuestión.
En muchos casos, el fracaso escolar en matemática se debe a actitudes
negativas originadas por factores ambientales y personales. La creencia en
algunos estudiantes de que la matemática es una materia abstracta con un alto
grado de dificultad provoca un rechazo y por ende, bajos resultados.
De esta manera, según Gil, Blanco y Guerrero (2005), se debe “promover
el cambio de actitudes, creencias y emociones de los estudiantes hacia la
matemática y su aprendizaje” (p. 27). El cambio de las actitudes negativas hacia
la matemática debe venir acompañado en un cambio de su imagen. En el caso
particular de la enseñanza del tema de factorización, el docente podrá revisar la
metodología didáctica con el fin de hacer accesible este conocimiento al
estudiante.
66
2.7. Estrategias didácticas para la enseñanza de la ffactorización
La factorización de polinomios puede ser vista como el aprendizaje de un conjunto
de reglas algorítmicas. De esta manera, el estudiante será capaz de expresar
polinomios como un producto separando este concepto y sus procedimientos de
otros conceptos como los ceros de una función. De manera inversa, estos
conceptos se pueden vincular favoreciendo un aprendizaje mejor integrado.
Con el fin de lograr una educación matemática efectiva donde el estudiante
interiorice el conocimiento, es necesaria la realización de representaciones
mentales en forma de redes, las cuales deben estar conectadas entre sí. Al
respecto Rico (2000) investigó sobre el carácter teórico de la representación de
los conceptos y procedimientos relacionados con la factorización. El reporta la
importancia de relacionar los conceptos matemáticos con la comprensión de los
nuevos conocimientos. Esta representación, según Kaput (1992) debe contemplar
“sistemas de reglas para identificar o crear caracteres, operar en ellos y
determinar relaciones entre ellos" (p. 523).
Las estrategias que un docente puede utilizar para lograr el aprendizaje
deseado en el estudiante son diversas, desde clases en que el docente presente
un producto ya realizado, hasta otras en donde el estudiante tendrá la oportunidad
de hacer sus propias suposiciones, conjeturas e hipótesis. De igual manera, el
nivel de conocimiento y de destrezas alcanzado por el estudiante puede estar
relacionado con las actividades que ha realizado en clases.
En consecuencia, la elección de la estrategia didáctica para la enseñanza
de la factorización puede influir en la forma en que, al final, el estudiante entienda
67
la factorización. Por tal razón, es importante conocer diferentes metodologías de
enseñanza para el tema, así como sus principales características.
A continuación se detallan las técnicas de enseñanza del tema de
factorización: lápiz y papel (L/P), geométrico, uso de la calculadora y Bloques de
Dienes.
2.7.1. Lápiz y Papel (L/P)
Para el uso de esta técnica el estudiante debe conocer y manipular las reglas de
factorización, para lo cual Gascón (1998) indica
Generalmente la enseñanza de la factorización en ambientes L/P, requiere
de reglas que clasifican los polinomios y necesitan de su manejo sintáctico,
que suele ser extraña y de difícil adquisición para la mayoría de los
estudiantes. En algunos casos, las reglas se construyen a partir de la
manipulación de rectángulos en cartulina, vinculando a tres sistemas de
representación, el de las figuras geométricas, el lenguaje natural y las
expresiones algebraicas, pero en otros casos, se trabajan con las
expresiones algebraicas olvidando otras representaciones y conexiones con
otros conceptos y procedimientos, promoviéndose la enseñanza de un
álgebra como un conjunto atomizado de conocimientos (p. 84).
De acuerdo con lo anterior, este método se basa en manipular las
propiedades algebraicas con el fin de expresar un polinomio como el producto de
factores. Por lo general, no se dan representaciones que ayuden al estudiante a
vincular el contenido con los demás conocimientos matemáticos.
En la figura 23 se muestra como se enseña el método de factorización por
factor común mediante la estrategia L/P.
68
Figura 23. Factor común mediante L/P
2.7.2. Uso de la calculadora
Esta técnica se desarrolla diferente a la de lápiz y papel. Al referirse al uso de la
calculadora se está refiriendo a otras funcionalidades de calculadoras simbólicas,
Moreno (2002) escribe que “su empleo se puede analizar como un instrumento de
amplificación” (p. 94), debido a que aumenta las posibilidades de razonamiento.
Además, nos ofrece la oportunidad de trabajar la matemática de una forma
distinta donde el estudiante tiene la posibilidad de comprobar resultados de
manera más rápida y acertada, lo que le permite dar mayor significado al
conocimiento adquirido.
El uso de la calculadora viene a complementar el trabajo que se hace en
L/P. Por medio de esta se puede obtener, de manera rápida, la representación
gráfica de un polinomio. Luego, el estudiante podrá comparar la factorización del
mismo y vincular ambos resultados. Así, el aprendizaje de la factorización se
relaciona con otras temáticas.
69
En la figura 21 se muestra la representación gráfica de una ecuación
cuadrática por medio de una calculadora, la cual el estudiante podría relacionar el
resultado de la factorización.
Figura 24. Calculadora gráfica
2.7.3. Método geométrico
Este método de factorización de polinomios permite al alumno estar en contacto
con objetos y así relacionarlos con las reglas de la matemática, al respecto
Morales (2006) menciona:
Factorizar una expresión algebraica geométricamente significa transformar
una figura lineal rectilínea utilizando el método de la geometría de cortar y
pegar, en un rectángulo de la misma altura o bien de igual base o cuadrado,
cuya área o producto de sus lados es la factorización de la expresión
algebraica (p. 90).
Lo que se trata de realizar con este método de factorización es que
mediante ideas geométricas representar expresiones algebraicas, lo cual nos da
como resultado dos o más polinomios de grado menor al polinomio original.
70
En la figura 22se muestra como, por medio de la representación geométrica
se factoriza el polinomio
.
Figura 25. Método geométrico
2.8. Problemas encontrados en el aprendizaje de la factorización o el álgebra
Los problemas en el aprendizaje de la matemática son muy comunes en todos
sus contenidos, los diferentes niveles de la educación secundaria. Con el fin de
minimizar esta problemática, es conveniente revisar la calidad y la cantidad de
instrucción que recibe el estudiante. Existe la posibilidad de que las dificultades de
los estudiantes se deban a la cantidad y al tipo de enseñanza a la que se expone.
Fernández, Llopis y Carmen (1999), indican que “para la enseñanza de la
matemática se deben considerar tres variables: los alumnos, los contenidos de la
matemática y las condiciones en que se enseña” (p. 6). Estas variables son
calificadas en causas internas y externas tipificándolas de la siguiente manera.
71
Causas internas:
a) Alteraciones en el desarrollo intelectual.
b) Alteraciones del lenguaje y la psicomotricidad.
c) Alteraciones neurológicas.
d) Perturbaciones emocionales.
Causas externas:
a) Problemas socio-ambientales.
b) Ausentismo escolar.
c) Enseñanza inadecuada.
En cuanto a la factorización, Morales (2006) la señala como uno de los
temas en los cursos de álgebra en donde a algunos estudiantes se les dificultan
más el aprendizaje debido a dos causas. En la primera, presenta al estudiante
dificultades para reconocer el tipo de expresión algebraica, ya que estas
expresiones están conformadas por números, letras y signos de operación,
además de que influye la noción de variable. En la segunda, al estudiante se le
dificulta reconocer cuál método utilizar para realizar la factorización, según la
expresión algebraica presentada. Todo esto puede representar confusión para el
estudiante.
Las dificultades y errores relacionados con la factorización de expresiones
algebraicas, según Socas (1997) pueden ser clasificadas en las siguientes:
72
a) Dificultades asociadas a la complejidad de los objetos de las
matemáticas.
b) Dificultades asociadas a los procesos de pensamiento matemático.
c) Dificultades asociadas a los procesos de enseñanza desarrollados
para el aprendizaje de las matemáticas.
d) Dificultades asociadas a los procesos de desarrollo cognitivo de los
alumnos.
e) Dificultades asociadas a actitudes afectivas y emocionales hacia las
matemáticas.
Todas estas dificultades se encuentran presentes en el proceso de
aprendizaje matemático. Es común que los estudiantes manifiesten estos errores
en la realización de prácticas.
Es importante mencionar que los errores se producen a partir de ciertos
obstáculos presentes durante el proceso de enseñanza y aprendizaje. Impiden
que el estudiante, a partir de conocimiento previo sólido, logre conocimiento
posterior a este.
Los obstáculos no son, los errores que ocurren al azar, sino más bien,
conocimientos que fueron válidos en una situación pero en otro contexto producen
error. Desde el punto de vista de Godino, citado en Ruiz (2006)
Un obstáculo es una concepción que ha sido en principio eficiente para
resolver algún tipo de problemas pero que falla cuando se aplica a otro.
Debido a su éxito previo se resiste a ser modificado o a ser rechazado:
viene a ser una barrera para un conocimiento posterior. Se revela por
medio de los errores específicos que son constantes y resistentes. Para
73
superar tales obstáculos se precisan situaciones didácticas diseñadas para
hacer a los alumnos conscientes de la necesidad de cambiar sus
concepciones. (p. 15)
Por lo tanto, el estudio de los errores que comenten los estudiantes durante
el proceso de aprendizaje es de suma importancia para el docente puesto que los
mismos permiten reflexionar sobre diversos aspectos relacionados con la tarea
escolar, como lo son el abordaje metodológico con respecto a alguna determinada
temática y la propuesta curricular, entre otros. Al respecto Socas (1997) señala
que:
El análisis de los errores tiene un doble interés: de una parte, sirve para
ayudar a los profesores organizar estrategias generales específicas para
conducir mejor la enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas, insistiendo
en aquellos aspectos que generan más dificultades, y por otra, contribuye a
una mejor preparación de estrategias de corrección de los mismos. (p.30)
En la práctica docente es común detectar un gran sinnúmero de errores,
tanto así que el docente durante su labor diaria es capaz de planificar su trabajo
plasmado en las estrategias metodológicas, en virtud de los errores identificados
validados por su experiencia personal.
Godino, Batanero y Font (2003) al respecto explican: “Hablamos de error
cuando el alumno realiza una práctica (acción argumentación, etc.) que no es
válida desde el punto de vista de la institución matemática escolar”.
Según Cordero (2006), “es común considerar que los errores en
procedimientos matemáticos de estudiantes de distintos niveles es normal por el
hecho de tratarse de matemática” (p. 82). Los docentes de matemática están
familiarizados con estos errores, por tal razón se anticipan al error antes que el
estudiante lo cometa.
74
En la práctica matemática es conveniente conocer los tipos de errores más
comunes para abordarlos, en el caso de esta investigación lo que interesa
conocer son los errores más frecuentes que comenten los estudiantes en el
estudio de factorización. Para elaborar este análisis se trabajara con el modelo
SOLO.
2.9. Abordaje del análisis de datos
El modelo SOLO (Structure of Observed Learning Outcomes) elaborado por
Biggs y Collis (1982). Este modelo tiene como fin describir procesos involucrados
en el aprendizaje, mediante categorías según el nivel de complejidad,
considerando tanto aspectos cuantitativos como cualitativos de los sujetos que se
enfrentan a un problema.
SOLO está dividido en cuatro categorías, las cuales se describen a
continuación:
a.
Preestructural: la tarea no es abordada adecuadamente, ya que los
estudiantes poseen información aislada que no tiene organización ni
sentido.
b.
Uniestructural: los estudiantes se enfocan en un aspecto relevante,
realizan conexiones simples y obvias pero no tienen una comprensión de lo
que hacen.
c.
Multiestructural: los estudiantes se enfocan en más de un aspecto de
la tarea, pero son tratados en forma independiente, ya que no los
relacionan entre sí.
d.
Relacional: los estudiantes integran diversos aspectos como un todo
coherente con estructura y significado.
75
Para efectos de esta investigación se trabajara el modelo SOLO con los
niveles mostrados anteriormente pero definidos a partir del tema de factorización
de polinomios, como se explica a continuación:
a.
Preestructural: los estudiantes en este nivel poseen información
aislada sobre la factorización de un polinomio, es muy común que no
identifican correctamente el método a emplear para la factorización o bien,
no tienen claro lo que significa factorizar un polinomio confundiendo la
tarea con resolver una multiplicación de polinomios. Esto, utilizando la
propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma, cuando
no es requerido. Además, muchos estudiantes muestran problemas al
trabajar con expresiones algebraicas, tales como sumar términos no
semejantes, por ejemplo.
b.
Uniestructural: los estudiantes poseen una conexión entre el método
de factorización son factor común y por agrupación. Sin embargo, muchas
veces realizan agrupaciones incorrectas que no generan un factor común,
por lo que muchas veces no logran terminar la tarea exitosamente.
También determinan un factor común inexistente. En el caso del método de
diferencia de cuadrados comúnmente se escribe solo el factor que presenta
diferencia. En los trinomios cuadrados perfectos o trinomios factorizables
por el método de inspección se utiliza solo la variable
aunque el
polinomio no sea expresado con esta. Identifican correctamente el método
a emplear para factorizar una expresión.
c.
Multiestructural: Los estudiantes realizan en forma correcta la
agrupación de los términos semejantes y la extracción del factor común en
cada una de estas agrupaciones; sin embargo, muestran inconsistencias
en su razonamiento que no les permite obtener la factorización correcta del
polinomio planteado. En el caso de trinomios cuadrados perfectos,
trinomios factorizables por el método de inspección y binomios que son
diferencia de cuadrados, son capaces de determinar los coeficientes que
componen a los factores, sin embargo se presentan problemas con el
76
factor literal que compone al factor. Se tiene claro a lo que hay que llegar
pero no como llegar.
d.
Relacional: Los estudiantes son capaces de reconocer el método
mediante el cual deben factorizar un polinomio, identifican una apropiada
forma en que se debe agrupar para obtener términos semejantes, de modo
que exista un factor común entre ellos. También logran determinar el factor
común correctamente. Son capaces de determinar los factores de los
trinomios cuadrados perfectos y de trinomios factorizables por el método de
inspección expresando así el polinomio planteado como el producto de sus
factores. En el caso del método de diferencia de cuadrados, son capaces
de determinar los factores en los que se puede descomponer al binomio,
esto colocando los signos de la forma adecuada.
En el aprendizaje de la matemática, los errores permiten ser usados como
medio para la profundización del conocimiento matemático. Con el cual podemos
tomar el error, en vez de rechazarlo, utilizarlo de manera motivadora al estudiante.
Por ejemplo, al identificar en qué consiste el error, el estudiante tiene la
posibilidad de corregirlo él mismo. Así, él participa activamente en el proceso de
aprendizaje. Por lo tanto, el estudiante podrá participar activamente en el proceso
de recuperación de sus propios errores.
Con el análisis propuesto en el presente capítulo, sobre aspectos referentes
al problema de investigación, se cuenta con las bases suficientes para abordar el
trabajo de campo y el análisis correspondiente.
77
CAPÍTULO III
MARCO
METODOLÓGICO
78
CAPÍTULO III
MARCO METODOLÓGICO
El presente capítulo muestra el diseño que se utilizó en esta investigación así
como la descripción de los participantes y las fuentes de información. También, se
detallan las técnicas de recolección de información. Además, se explica el trabajo
de campo que se realizó, los roles de los investigadores en las actividades que se
llevaron a cabo y el análisis de la información obtenida.
3.1. Paradigma y tipo de investigación
La investigación objeto de esta propuesta se ubica dentro del paradigma
naturalista, bajo un enfoque cualitativo, ya que como afirma Denzin y Lincoln
(1994)
La investigación cualitativa es multimetódica… implica un enfoque
interpretativo, naturalista hacia su objeto de estudio. Lo que significa, el
estudio de la realidad en su contexto natural, tal como sucede, intentando
sacar partido de, o interpretar, los fenómenos de acuerdo con los
significados que tiene para las personas implicadas (p. 54).
Al respecto, Taylor y Bogdan (1986) consideran que la investigación
cualitativa es “aquella que produce datos descriptivos: las propias palabras de las
personas, habladas o escritas y la conducta observable” (p. 20). Relacionado con
lo anterior, McMillan y Schumacher (2008) explican “La investigación cualitativa
consiste en un estudio en profundidad mediante el empleo de técnicas cara a cara
para recoger los datos de la gente en sus escenarios naturales” (p. 44). Con ello
79
se busca precisar la naturaleza de una situación tal y como transcurre en el
momento de estudio. Se trata de obtener una tajada de la realidad con respecto a
las variaciones o a las condiciones de una situación, en este caso; lo que ocurre
en un grupo de estudiantes de décimo, en lecciones de matemática, durante el
desarrollo de la unidad de factorización.
Siendo esta investigación centrada en el enfoque cualitativo, es importante
recalcar las características principales del mismo. Las consideraciones teóricas no
son la base de la investigación, se fueron construyendo paralelamente al trabajo
de campo ya que los hechos y los datos de la realidad son lo más importantes y
fueron guiados por la teoría.
El objetivo de la investigación cualitativa es la comprensión, centrando la
indagación en los hechos, en donde los investigadores adquieren un papel de
personas preparadas que se integran en la situación social del problema, desde el
inicio de la investigación, siendo su tarea principal, explicar las formas en que las
personas, en situaciones particulares, comprenden, narran, actúan y manejan sus
situaciones cotidianas. Por esta razón, no se podrán generalizar los resultados
obtenidos, solamente se generarán hipótesis que estarán limitadas en un tiempo y
espacio. Lo que si se podrá hacer es aplicar el principio de transferibilidad.
A partir de lo expuesto y con base en las características propias del
problema de investigación, se optó por un estudio fundamentado en el enfoque
cualitativo, dentro del paradigma naturalista, porque consiste en conocer, describir
e interpretar todas aquellas acciones y conocimientos provenientes de los
participantes, como actores principales de dicha investigación. Además, se
80
justifica el empleo del enfoque de tipo cualitativo porque, en relación con los
objetivos planteados, la observación y la opinión de los participantes constituye la
fuente
principal de información y, por ende, de los resultados. Como bien lo
afirma McMillan y Schumacher (2008) “La investigación cualitativa describe y
analiza las conductas sociales colectivas e individuales” (p. 400).
Los justificantes anteriores certifican que la formación matemática de la
sociedad es fundamental para el desarrollo del país. De ahí la importancia de
analizar factores negativos que impactan procesos de enseñanza y aprendizaje
algebraico, en el contexto de secundaria. Por lo cual, a continuación se explica el
método empleado durante la investigación.
3.2. Método
En la presente investigación se examinó un grupo de estudiantes, en un lugar y
tiempo determinados, empleando diversas estrategias para la recolección de
datos.
De esta manera se obtuvo, de diferentes fuentes del contexto, extensa y
variada información que permitió explicar a profundidad los factores negativos en
el aprendizaje de la factorización de polinomios, de estudiantes de décimo año de
la institución educativa.
Con el propósito de dar respuesta a los objetivos de la investigación, se
empleó el estudio de caso, contribuyendo a la obtención de los datos más
cercanos a la realidad del presente estudio.
81
Con respecto a dicho aspecto, los autores señalan, que la investigación
cualitativa, plantea un análisis de los datos recopilados a partir del estudio de
caso, los mismos se deben concebir independientemente del número de
participantes o escenarios de estudio.
A partir de la consideración de los objetivos de la investigación, se logra
constatar que el estudio de caso ayuda a entender una parte de la realidad
estudiada, como lo confiere Barrantes (1999), el estudio de casos es un proceso
de indagación que se caracteriza por el examen detallado, comprensivo,
sistemático y en profundidad, del objeto de estudio.
Resulta ser una forma de investigar útil para el análisis de problemas
prácticos y situaciones cotidianas, su producto final es una descripción del objeto
de estudio, en la que se utilizan técnicas narrativas y literarias para describir y
analizar situaciones.
Por otra parte, McMillan y Schumacher (2005), difieren la importancia de la
implementación del estudio de caso, que radica en el diseño cualitativo y prestan
atención específica, a las situaciones que pueden aprenderse de un caso simple o
ejemplo en acción, al mismo tiempo ofrece la posibilidad de ir más allá de la
experiencia descrita.
3.3. Participantes
Según Hernández, Fernández y Baptista (2006) “lo que se busca en la indagación
cualitativa es profundidad. Nos conciernen casos (participantes, personas,
82
eventos, etc.) que nos ayuden a entender el fenómeno de estudio y a responder a
las preguntas de investigación” (p. 562).
El grupo de investigadores estuvo formado por cuatro profesores de
matemática que se desempeñan profesionalmente en la misma región educativa.
Cada una de sus funciones es expuesta en el siguiente apartado.
Los participantes fueron un grupo de estudiantes de décimo año del colegio
académico de la Región Atlántica seleccionado de forma intencional. Para ello se
tomó en cuenta el horario y la disponibilidad de los investigadores, para asegurar
que estos pudieran realizar las observaciones. Se escogió uno de los grupos de
un profesor al cual llamaremos en adelante docente-investigador. Esta decisión
permitió mayor acercamiento con el grupo. Asimismo otro de los investigadores es
docente en la misma institución, lo que facilitó poder aplicar instrumentos en los
momentos indicados sin necesidad que los otros dos investigadores solicitaran
constantemente permisos en sus instituciones. En este sentido se indica a
continuación el papel que tuvo cada uno de los investigadores.
3.4. Papel de los investigadores en la etapa de trabajo de campo y análisis
Otros participantes importantes en el proceso de esta investigación fueron los
integrantes del seminario de graduación. Para Hernández, Fernández y Baptista
(2006) “los investigadores deben construir formas inclusivas y adoptar papeles
más personales e interactivos con ellos” (p. 585), por lo que es importante aclarar
de antemano el papel de cada uno de ellos.
83
El papel de los investigadores en cada una de las técnicas de recolección
de datos será expuesto en sus respectivos apartados.
La estructuración de cada uno de los propósitos fue confeccionada por todo
el grupo de investigadores donde cada investigador presentó un bosquejo de
ideas del propósito a tratar, las cuales fueron discutidas por el grupo, finalizando
con un resumen de ideas tomadas por uno de los investigadores, el cual creó un
primer avance que fue mejorado por sus compañeros. Cada uno de los objetivos
fue tratado de esa manera hasta concluir con lo que aparece en el documento
final.
3.5. Entrada al campo
McMillan y Schumacher (2008) dicen que “una autorización formal es esencial
para la moralidad de la investigación y para proceder a la entrada en el campo y
establecer el cometido de la investigación” (p. 445). Es por ello que, en el proceso
de esta investigación, antes de hacer ingreso al campo, se contó con la
autorización por escrito por parte del Director de la institución. Así como por parte
de los padres de familia de los estudiantes observados y del profesor responsable
del grupo participante, en la cual se indicaron algunos aspectos de importancia.
Por ejemplo, uso de video en el salón de clase en la entrevista para los
estudiantes escogidos, que se realizó según lo expuesto en el apartado de
Entrevista en Profundidad (Ver apartado 3.6.3.).
84
3.6. Técnicas de recolección de datos
Este estudio se enmarca dentro de procedimientos que guiaron la recolección de
datos requeridos, la cual
proporciona una descripción narrativa profunda y
detallada al final del proceso.
Por el tipo de investigación, las técnicas de recolección de datos se
caracterizaron con el objetivo de aportar elementos para el análisis e
interpretación de los fenómenos identificados, a partir de la realidad de los
participantes.
Con esto se establecieron para esta investigación las siguientes técnicas de
recolección de datos.
3.6.1. Observación no participante
Goetz y LeCompte (1988), indican que la observación no participante “consiste,
exclusivamente, en contemplar lo que está conteniendo y registrar los hechos
sobre el terreno” (p. 153).
A partir de lo anterior, se aclara que esta técnica permitió obtener
información de manera real y directa, en el contexto donde se desarrollaron los
hechos. Para ello, los investigadores se turnaron para que en las clases siempre
estuviera uno o dos de ellos y además no intervinieron en las lecciones donde
solo el docente-investigador participó en el desarrollo de estas.
Este tipo de observación permitió describir la metodología empleada por el
docente en el desarrollo de las lecciones así como la posición de los estudiantes y
85
sus actitudes en cuanto en el desempeño del trabajo de aula. Por ejemplo, la
forma en que se enfrentan a la conceptualización de los contenidos y actividades
desarrolladas en el proceso de enseñanza o su participación en la resolución de
problemas y ejercicios y aclaración de dudas con el profesor, entre otros
aspectos. Se realizaron las observaciones de todas las lecciones en que se
desarrolló el tema foco de esta investigación orientándose mediante la guía
presentada en el del anexo 6, basada en la tipificación realizada por Contreras
(1998) y sus indicadores en donde se tomaron en cuenta factores como
metodología, sentido de la asignatura, concepción del aprendizaje, papel del
estudiante, papel del profesor y evaluación. Esta guía no fue cerrada pues
permitió poder observar situaciones no previstas emergieron en el proceso así
como los comentarios del observador.
3.6.2. Diario reflexivo del docente
La escogencia del método en este proceso investigativo sugiere la importancia de
recoger la percepción del docente investigador sobre los acontecimientos,
mientras estos ocurren. Por esta razón fue fundamental que este docenteinvestigador manejara un diario reflexivo de cada encuentro con el grupo foco. El
diario reflexivo llevo la siguiente estructura propuesta por Díaz (1999).
¿Qué se hizo? Se inició con una descripción de lo más relevante en la
clase. Aquí se describieron las actividades realizadas por el docente y la
participación de los estudiantes.
86
¿Qué opinión tiene el docente sobre el desarrollo de la clase? Aquí el
docente-investigador dio se punto de vista acerca de lo ocurrido en la clase,
enfocándose en la actitud de los estudiantes, en la participación de estos, en
algunas dudas que ellos tuvieron, las cuales, ameritaron su comentario, en el
cumplimiento o no de lo establecido en el planeamiento, en factores externos que
influyeron en el desarrollo de la clase y en cualquier otro aspecto que el docenteinvestigador consideró relevante.
De acuerdo con lo anterior, se recabó información referente a la
metodología empleada en el desarrollo de las lecciones, desde una perspectiva
diferente a la del resto de investigadores, además de cómo percibió el docente la
actitud de los estudiantes y la respuesta de estos en cuanto a los conocimientos
expuestos sobre el tema.
3.6.3. Entrevista en profundidad
Esta técnica se caracterizó por ser amplia y detallada, la cual permitió al
investigador contar con mayor cantidad de información de forma natural y no
estructurada. En palabras de Taylor y Bogdan (1986) son “encuentros cara a cara
entre el investigador y los informantes, encuentros estos dirigidos hacia la
comprensión de las perspectivas que tienen los informantes respecto de sus
vidas, experiencias o situaciones, tal como las expresan con sus propias palabras”
(p. 101). Esta técnica fue aplicada por los dos investigadores que no tienen
relación en la institución, con lo cual se logró mayor imparcialidad en la
información y fue basada en la guía que se especifica en el anexo 8.
87
Según lo anterior, con esta técnica se pudo obtener información sobre la
perspectiva de los participantes. En el caso de la entrevista al docente se obtuvo
información sobre el abordaje del tema, la forma de evaluar y la percepción de
este acerca del desempeño de los estudiantes. Referente a la entrevista para el
docente-investigador, esta la realizó otro de los investigadores.
En cuanto a los estudiantes, se indagó sobre la actitud que poseen en
relación con el estudio del tema de factorización, así como las causas que afectan
su participación en las actividades de aula y su rendimiento académico. Otro
aspecto importante es el de describir los errores conceptuales o cognitivos que se
encontraron en los test administrados. Estas entrevistas se aplicaron a ocho
estudiantes con bajo rendimiento, se distribuyeron dos a cada investigador y se
realizaron al final del proceso de observación, una vez aplicados los test y el
diferencial semántico.
3.6.4. Test
El método para la recolección de datos que se enfoca principalmente en el marco
de la investigación cuantitativa, definida por McMillan y Schumacher (2008) como
la presentación de “una batería estándar de preguntas por escrito a cada sujeto
que requiere la realización de tareas cognitivas” (p. 228). Se utilizó en la presente
investigación para identificar sujetos con problemas cognitivos acerca del tema
de factorización, además de determinar los tipos de errores conceptuales que
comentaron los estudiantes.
88
Para la recolección de datos se aplicaron dos test. El primero se enfocó en
los métodos de factorización factor común, agrupación, fórmula notable, trinomios
cuadráticos y diferencia de cuadrados; el cual presento dos ejercicios por método
desarrollado (ver anexo 4) y se aplicó cuando se finalizó el tema a todos los
estudiantes. El segundo test estaba formado por cuatro ejercicios, en los cuales
se combinaron dos de los métodos por cada ejercicio (ver anexo 5) este se aplicó
al finalizar la investigación a todos los estudiantes.
Con respecto a los tipos de errores se clasificaron de acuerdo con lo
descrito en el modelo SOLO, según Biggs y Collis (1982), en el apartado de
problemas encontrados en el aprendizaje de la factorización o el álgebra (ver
2.8.).
3.6.5. Documentos
Según McMillan y Schumacher (2008), los documentos “son registros de sucesos
pasados que han sido escritos o impresos, pueden ser notas anecdóticas, cartas,
diarios y documentos” (p. 52). Estos se enmarcaron dentro de las fuentes de
datos más valiosas en el análisis conceptual, el cual es de relevancia, en el
sentido de obtener información respecto a situaciones socio académicas propias
de cada estudiante. Como indica Hernández, Fernández y Baptista (2006) estas
se utilizan “para conocer los antecedentes de un ambiente, las experiencias,
vivencias o situaciones y su funcionamiento cotidiano” (p. 614).
89
Específicamente, los documentos oficiales que se consultaron fueron
solicitados a la Dirección del centro educativo, dentro de los cuales se encuentran
rendimiento académico de años pasados, situación familiar y conducta, así como
otros referentes a los estudiantes. Igualmente se solicitó a la dirección proyectos
académicos
en
los cuales
participaban
estos
estudiantes.
Además,
el
planeamiento didáctico del docente, en donde se encuentran descritas las
actividades realizadas e instrumentos de evaluación de los aprendizajes. Esta
información se contrastó con el diario reflexivo.
3.6.6. Diferencial semántico
Osgood, Suci y Tannenbaum (1957) crean el diferencial semántico como un
método para medir el significado que un objeto, o varios objetos, tienen para un
individuo, tomando en cuenta las facetas o dimensiones de las actitudes de los
sujetos.
El diferencial semántico, que se aplicó al finalizar el tema, en esta
investigación fue confeccionado por Cubillo et al. (2010) y se adecuó para el tema
factorización (ver anexo 6). Este proporcionó los datos necesarios para medir las
actitudes de los estudiantes sobre el tema de factorización de polinomios. Se
utilizó una escala de siete posiciones que según Urbán (1980) “tiene la ventaja de
poder ser aplicado fácilmente a grupos numerosos y con una verdadera economía
de materiales y tiempos” (p. 54).
90
3. 7. Sistematización y análisis de datos
Para la recolección de los datos en la presente investigación se utilizará la
observación no participante, documentos, entrevista en profundidad, test,
diferencial semántico y diario reflexivo. En los siguientes párrafos se describirá el
análisis que se utilizará para cada una de las técnicas.
3.7.1. Análisis de la observación no participante
Las observaciones se realizaron en todas las lecciones en que se desarrolló el
tema. Fueron hechas por los dos investigadores donde se excluye al docenteinvestigador y al docente de la misma institución y se utilizó la guía de
observación del anexo 6.
De estas observaciones se obtuvo una serie de notas de campo que fueron
analizadas por los investigadores cada vez que se realizaron, tomando en cuenta
que por medio del video se pudo corroborar los datos obtenidos, y así poder
sistematizar la información recolectada. Esto con el fin de detectar factores que
impacten negativamente el aprendizaje del tema de factorización.
3.7.2. Análisis del diferencial semántico
El análisis del diferencial semántico se llevó a cabo tabulando los datos para cada
una de las parejas de adjetivos calificativos expuestos. Luego la información
obtenida se utilizó en la explicación de algunos factores que puedan estar
infiriendo en el proceso de aprendizaje del tema de factorización.
91
Para este proceso se utilizó las categorías expuestas por Cubillo et al.
(2010) que indican:
a.
Si la medida toma el valor exacto de 4 se considera que la actitud en
esa escala es neutral (ni negativa ni positiva).
b.
Si la medida es mayor que cuatro se considera que la actitud es
positiva en esa escala. En este caso se consideró tres rangos de valores de
la siguiente manera, según el valor de la medida de la media “p”
c.
1.
se interpreta como positiva baja.
2.
se interpreta como positiva moderada.
3.
se interpreta como muy positiva.
Si la medida es menor que cuatro se considera que la actitud es
negativa en esa escala. En este caso se consideró tres rangos de valores
de la siguiente manera, según el valor de la medida de la media “p”.
1.
se interpreta como negativa moderada.
2.
se interpreta como negativa baja.
3.
se interpreta como muy negativa.
3.7.3. Análisis del diario reflexivo
Los diarios reflexivos fueron leídos por los tres investigadores restantes, luego el
grupo reunido tomó los datos más importantes para contrastar con las
observaciones y obtener información con más validez.
92
En el análisis de la información obtenida de los diarios reflexivos se
buscaron aspectos referentes a la actitud de los estudiantes, la participación en la
clase, las dudas de los estudiantes, el planeamiento del docente, factores
externos que influyeron el desarrollo de la clase, entre otros.
3.7.4. Análisis de los documentos
Dentro de los documentos a analizados se encuentra el planeamiento del
docente, este fue analizado para detectar datos como el referente a las
actividades de mediación y los instrumentos de evaluación, analizando la
concordancia con lo solicitado por el MEP; junto con las observaciones y la
entrevista en profundidad realizada al docente se caracterizó el proceso de
enseñanza.
Además los documentos proporcionados por la institución fueron analizados
para comprender la situación social y económica del grupo en estudio y así poder
identificar algunos factores que puedan influir en el aprendizaje del tema de
factorización. Estos documentos se analizaron por todo el grupo de investigadores
y se incluyeron en las categorías de investigación.
3.7.5. Análisis de la entrevista en profundidad
Para el análisis de las entrevistas en profundidad que se aplicaron a 8
estudiantes, dos por investigador, se utilizó el video para grabar cada una de las
entrevistas. Cada uno de los investigadores presentó el video de sus entrevistas y
93
los aspectos que pudo capturar para ser analizados en el equipo de
investigadores.
En esta guía se encuentran preguntas sobre la metodología del docente, la
actitud hacia el tema de factorización y aspectos socioculturales como el ambiente
en el aula, relación con los compañeros y compromiso de la familia con su
educación.
Las entrevistas fueron transcritas y luego analizadas en conjunto para
identificar los elementos comunes que se presentan en ellas con el fin de
identificar hallazgos de acuerdo con los propósitos de la investigación.
En la entrevista al docente, se analizaron las respuestas o comentarios de
aspectos como su metodología, sentido del tema, relación con los estudiantes y la
evaluación. Estas fueron contrastadas con los resultados de las observaciones
realizadas en el aula.
Se efectuó una segunda entrevista a algunos estudiantes para analizar los
errores conceptuales o cognitivos que se presenten. El entrevistador obtuvo
información de cada uno de los errores, haciéndole preguntas sobre los
procedimientos que realiza en la prueba. Cada uno de los investigadores
desarrolló una entrevista la cual fue grabada y analizada por los otros
investigadores.
94
3.8. Triangulación de los datos
La información obtenida mediante la aplicación de distintos instrumentos se
comparó y analizó con base en los propósitos del estudio para obtener los
principales hallazgos.
Según McMillan y Schumacher (2008), la triangulación es la “validación
cruzada cualitativa entre múltiples fuentes de datos, estrategias de recogidas de
datos, periodos de tiempo y esquemas teóricos” (p. 633). Por medio de la
triangulación se sustentó los hallazgos que se encontraron en las diferentes
técnicas de recolección de datos.
De las diferentes fórmulas de triangulación se utilizaron las siguientes dos:
1.
Triangulación entre técnicas. La información que proporcionaron los
estudiantes participantes en las observaciones, entrevistas en profundidad
y diferencial semántico fue contrastada para determinar similitudes y
diferencias.
2.
Triangulación entre diferentes momentos con una misma técnica. Se
realizó el análisis de las notas de campo obtenidas en las observaciones de
clases en distintos momentos de la investigación.
En el siguiente cuadro se resume las técnicas de recolección de
información utilizadas en la investigación y su relación con los diferentes
propósitos de investigación.
95
Tabla 4
Técnicas de recolección de datos
Propósito
Proceso de enseñanza
Técnicas
Observación no participante
Diario reflexivo
Documentos
Proceso de aprendizaje
Observación no participante
Entrevista en profundidad
Diario reflexivo
Tipos de errores
Observación no participante
Test
Limitaciones conceptuales
Observación no participante
Entrevista en profundidad
Test
Factores que impactan negativamente
Observación no participante
Diario reflexivo
Entrevista en profundidad
Diferencial semántico
Fuente: Elaboración propia
96
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS DE
DATOS
97
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS DE DATOS
Introducción
En este capítulo se analizó la información recolectada mediante las diferentes
técnicas empleadas en esta investigación. Dicha información fue agrupada en las
siguientes categorías de análisis: metodología de la enseñanza, métodos de
aprendizaje, análisis de las pruebas cortas realizadas por los estudiantes y
factores que intervienen en el aprendizaje del tema de factorización de
polinomios. A continuación se dan las descripciones detalladas del análisis
generado para cada categoría.
4.1. La enseñanza de la factorización de polinomios
Tanto en la observación de las clases como en las entrevistas realizadas a los
estudiantes se pudo determinar que el docente es el principal responsable del
desarrollo de la lección. Este es el encargado de explicar el tema de factorización
por medio de ejemplos. La técnica utilizada consiste en escribir un polinomio en la
pizarra, el cual el docente factoriza explicando el método correspondiente a los
estudiantes. Posteriormente, escribe otro polinomio con algunas diferencias y lo
va resolviendo planteándoles preguntas a los estudiantes. De esta forma se
continúa realizando otras factorizaciones, cada vez aumentando gradualmente la
dificultad. Entre más se avanza en la lección, más tiempo se le brinda al
98
estudiante para que los factorice por sí mismo. Por la creciente dificultad de estos,
los estudiantes llegan a un punto en el cual no pueden avanzar debido a la
necesidad de un conocimiento que aún no tienen. En este momento interviene el
docente aclarando sus dudas con respecto a los diferentes pasos al momento de
factorizar polinomios. De esta manera, se van adquiriendo, por parte del
estudiante, nuevos conocimientos. Esta técnica fue la utilizada durante la
exposición de los diferentes métodos de factorización a lo largo de las clases
observadas.
La técnica utilizada por el docente le permitió a los estudiantes aprender los
diferentes métodos de factorización por medio de la imitación y la repetición. Este
tipo de enseñanza responde más a un aprendizaje memorístico que a un
aprendizaje significativo. Técnicas de corte más constructivistas, tales como
métodos geométricos que relacionan los polinomios con áreas, no fueron
utilizadas por el docente. Su uso pudo ser un vehículo que permitiera acercar más
el tema de factorización a la realidad de los estudiantes, así como a su bagaje
matemático. También existen métodos tecnológicos, tales como calculadoras y
software especializados, que permiten realizar clases más innovadoras. Al
consultar al docente sobre esta posibilidad, manifestó que él cuenta con
capacitación en estos tipos de software así como con paquetes de licencia libre
para su uso y sin embargo, en la institución no se cuenta con los espacios
adecuados ni con el hardware necesario para implementar este tipo de lección.
Con respecto a la estructura de la clase, en el planeamiento y en las
observaciones realizadas, se constata que las actividades de inicio consisten en
99
retomar los conocimientos previos necesarios para abordar la lección o también
realizar algún ejemplo que sirva de repaso de la clase anterior. En el desarrollo de
la lección, el docente comenta el concepto a trabajar y lo ejemplifica en la pizarra
mediante varios ejercicios. Luego asigna una lista de polinomios para ser
factorizados por los estudiantes. El docente cuenta con una lista de polinomios
anticipadamente preparados para la clase. Al consultarle sobre estos, se explica
que son confeccionados por él mismo. A pesar de que en el planeamiento se
señalan actividades de cierre, por ejemplo realizar un resumen de los métodos de
factorización expuestos, estas no fueron percibidas en las observaciones. Por lo
general, el tiempo de la clase se finaliza mientras los estudiantes se encuentran
resolviendo la práctica.
Al no realizar actividades de cierre, el docente desaprovecha un valioso
recurso. Este momento de la clase pudo ser utilizado para realizar actividades de
evaluación, verificando así el avance de los estudiantes en el aprendizaje y
retomar la enseñanza en caso de ser necesario. También esta sección se pudo
aprovechar para recapitular los contenidos estudiados.
La participación de los estudiantes consistía mayormente en contestar
preguntas realizadas por el docente mientras este resolvía los ejemplos
ilustrativos. También participan resolviendo ejercicios en sus cuadernos. Los
estudiantes tuvieron la libertad de trabajar de forma individual o en grupos. Los
ejercicios fueron resueltos por los estudiantes en la pizarra y discutidos por el
docente con ayuda de los comentarios de los estudiantes.
100
Cuando el profesor finalizaba una explicación sobre el tema o terminaba de
resolver un ejercicio, acostumbraba preguntar a los estudiantes si entendieron. Si
alguno manifestaba que aún no había entendido, este le preguntaba qué era lo
que no comprendía. Cuando le indicaban una duda, procede a explicarlo
nuevamente. Esta aclaración era muy similar a la explicación original.
Durante la práctica, cuando un estudiante no comprendía alguno de los
ejercicios o no estaba seguro de lo que estaba realizando, se acercaba al profesor
y este le evacúa la duda. Si la misma interrogante es recurrente en varios
estudiantes, se procede a resolverla en la pizarra. De esta forma, se les aclara a
más personas en un mismo momento. En las entrevistas los estudiantes
manifiestan que, cuando estas inquietudes son atendidas de forma individual, el
docente da un trato más personalizado e invierte más tiempo en el estudiante, lo
cual es del agrado de estos. En las observaciones se pudo determinar que los
estudiantes participaban de la clase formulando preguntas, también resolviendo
ejercicios en la pizarra.
Durante las sesiones se asignaron trabajos extraclase. Estos consistían en
ejercicios similares a los realizados en la lección y eran revisados en la siguiente
sesión. Para ello, el profesor primero revisaba a cada estudiante si el trabajo
estaba completo. Posteriormente se resuelve en la pizarra el trabajo asignado
brindando la oportunidad de que los estudiantes consulten y comenten aspectos
relacionados con el tema. Los alumnos que no presentaron el trabajo pierden los
puntos respectivos. En la información recolectada en entrevistas y el diario
reflexivo se evidenció que estas asignaciones no son realizadas por una parte
101
importante del grupo. Otra parte presenta los trabajos copiados de sus
compañeros. Al consultar al respecto, los alumnos manifestaron que al no
entender o no estar seguros de cómo resolver la tarea, le piden el trabajo resuelto
a algún compañero. Las asignaciones para el hogar, en este caso, tenían como fin
repasar los contenidos vistos en clase y que reafirmaran los conocimientos sobre
el tema.
A continuación se muestra un fragmento de una de las entrevistas
realizadas a estudiantes que ejemplifica lo anterior.
 Investigador: ¿Entregó el trabajo extraclase sobre factorización?
 Estudiante: Sí
 Investigador: ¿Lo resolvió usted solo?
 Estudiante: Una parte.
 Investigador: ¿Y el resto?
 Estudiante: Se lo copié a una compañera.
 Profesor: ¿Por qué?
 Estudiante: Es que no entendía y no quería perder los puntos.
Con respecto al docente, su entonación de voz fue buena. Durante la clase
estuvo atento a lo que ocurría en el salón durante la lección. Logró establecer
contacto visual con sus estudiantes. En las sesiones dedicadas a resolver
ejercicios se pudo observar dos situaciones. En ocasiones el profesor se situó en
su escritorio a la espera de que los alumnos se le acercaran a aclarar dudas. Una
vez hecha la consulta, este procedió a evacuarla. En otras oportunidades se
desplazaba por el aula observando el trabajo que han realizado los estudiantes.
102
Este momento era aprovechado para clarificar consultas, así como para realizar
observaciones de los ejercicios que están resolviendo.
A continuación, a manera de ejemplo sobre como el docente desarrolló el
tema de factorización, se describe una de las clases observadas.
Para su trabajo, el docente se apoyó exclusivamente en el uso de la
pizarra. Inicia explicando factor común, a la vez que señala que es repaso, pues
había sido visto el año anterior. Primero, mediante la descomposición factorial del
número 120, explica el concepto de factor. Luego escribe en la pizarra el siguiente
ejercicio de factorización:
polinomio, escribe el producto
. Antes de factorizar el
(
) y explica que factorizar un polinomio por
medio de factor común consiste en realizar el proceso inverso de la propiedad
distributiva de la multiplicación. El profesor determina el máximo común divisor de
los coeficientes numéricos (12, 24 y 6) y pregunta a los estudiantes acerca de los
factores literales: ¿cuál es común a los tres términos? En conversación con los
estudiantes determinan que el factor común es
. Posteriormente explica que
lo que procede es dividir cada término entre el factor común (
) para al final
obtener el polinomio factorizado. Al realizar este proceso, el docente va
preguntando a los estudiantes y ellos van opinando. Una vez acabado el proceso
de factorización, el docente realiza un repaso rápido en donde los estudiantes
preguntan lo que no les ha quedado claro. Durante la explicación, los alumnos no
han tomado apuntes. Es hasta el final de la explicación que se brinda un espacio
para que los estudiantes escriban el ejemplo en sus cuadernos. Para este
ejercicio, el docente invierte alrededor de 25 minutos.
103
Luego, el docente escribe en la pizarra un ejercicio similar y les brinda un
espacio a los estudiantes para que lo resuelvan. Los estudiantes proceden a
resolverlo. Algunos de ellos comparten con sus compañeros, pero la mayoría
trabajan individualmente. El docente atiende consultas de algunos estudiantes
que se le acercaron. Un estudiante pasa a la pizarra y resuelve el ejercicio y el
docente lo revisa.
El docente escribe ahora otro ejercicio ((
)
(
)
(
)).
Pregunta a los estudiantes como factorizarlo. Como los estudiantes no lo logran
resolver, el docente les pide factorizar
Luego él muestra que si (
)=
. Obtienen (
).
entonces se trata de la misma expresión. De
manera similar, se resuelven algunos ejercicios más hasta el final de la clase.
Además de los trabajos extraclase, el docente aplicó una prueba parcial
correspondiente al tema de factorización. Los resultados obtenidos reflejaron
deficiencias por parte de los alumnos en el dominio de los temas evaluados. Cabe
aclarar que hubo estudiantes con notas superiores a 80, pero las calificaciones la
mayoría del grupo eran inferiores a 70. Para remediar el bajo rendimiento, el
docente revisó la prueba en clase aclarando dudas. Dos semanas después aplicó
una prueba corta con los mismos temas. Los resultados de estos mejoraron,
aunque una parte del grupo siguió obteniendo notas bajas.
Por otra parte, el trabajo cotidiano se evaluaba durante la ejecución de
prácticas. Para ello, usaba rúbricas en las cuales se valoraban aspectos
relacionados con el desempeño del estudiante en la ejecución de ejercicios.
104
Durante las clases, se aplicó una guía de observación que tenía como
objetivo determinar la tendencia didáctica a la cual el profesor el profesor era más
afín. Con base en ella se pudo determinar que el docente se ubica en la tendencia
tecnológica. Algunas de las características observadas fueron que los ejercicios
pretendían reproducir los procesos lógicos. Además, interesaban tanto los
conceptos y reglas como los procesos lógicos que los sustentan por su eventual
reproductibilidad. Con respecto al aprendizaje, era concebido como memorístico,
organizándose internamente según la lógica estructural de la disciplina. Con
respecto al alumno, este participaba indirectamente en el diseño didáctico a través
de sus reacciones en el quehacer del aula. Con base a la evaluación, siempre se
mantienen los contenidos de aprendizaje, aunque se introducen eventualmente
cambios en su tratamiento. Así, es el alumno el principal responsable del
aprendizaje. Este imita la forma cognitiva del docente, pues responde el proceso
lógico mostrado por este cuando transmite los contenidos de aprendizaje.
4.2. El aprendizaje de la factorización de polinomios
De acuerdo con las observaciones de clase y las entrevistas realizadas a los
estudiantes, se percibió que los alumnos ponían atención a la explicación del
docente de forma pasiva, ya que no intervenían ni cuestionaban lo expuesto por el
profesor. Tomaban apuntes cuando se les indicaban sin importar si entendieron o
no. La mayoría de los jóvenes copiaban el ejercicio sin ir repasando los pasos,
más bien lo hacían de forma mecánica. No tomaban más apuntes que los que
están en la pizarra o tampoco escribían comentarios que luego les pudiesen
105
ayudar a estudiar. Comentaban con otros compañeros la dificultad del tema y no
se observaba que intentaran comprender los pasos que siguió el docente.
En el siguiente extracto de una de las entrevistas realizadas a los
estudiantes se ejemplifica esta situación.
 Investigador. ¿usted toma apuntes de lo que el profesor va explicando?
 Estudiante. No. El profesor no me deja copiar hasta que termine de
explicar.
 Investigador. ¿Entonces no escribe nada?
 Estudiante. Sí, cuando el profesor termina la explicación, entonces
copiamos. Tengo que hacerlo rápido porque si no me quedo botada.
 Investigador. ¿Mientras escribe el ejemplo que el profesor explicó, lo va
repasando, analiza los pasos?
 Estudiante. No, es que no me da tiempo. O a veces me distraigo con los
compañeros.
Otra situación que se pudo percibir en las observaciones se dio cuando el
docente preguntaba si existían dudas. Eran pocos los estudiantes que
respondían. En las entrevistas, los alumnos indicaron que no preguntaban y que
mejor esperaban a que un compañero lo hiciera. En el caso de que nadie
preguntara, preferían quedarse con la duda. Al consultarles la razón por la cual
preferían no consultar, indicaron que, de hacerlo, se exponían a ser objetos de
burla de sus compañeros. Otra razón por la cual los estudiantes no preguntaban
al no entender era que el docente les respondía con otra pregunta.
106
En el siguiente extracto de una de las clases observadas se ejemplifica esta
situación.
Los estudiantes están factorizando la expresión
.
 Estudiante 1. Yo tengo una duda. Esto me va a dar cinco sobre cinco y
sobre
, se cancela todo. Entonces no sé qué poner.
 Profesor. ¿Qué hago primero?
 Estudiante 2. Primero tiene que sacar el factor común.
 Estudiante 3. Primero el común divisor profe.
El profesor procede a obtener el máximo común divisor de los coeficientes
numéricos en la pizarra. Una vez obtenido, se prosigue.
 Profesor. Cinco sería factor común de los coeficientes numéricos. ¿Qué
más?
 Varios estudiantes. Se pone la .
 Profesor. ¿Todos tienen ?
 Varios estudiantes. Sí
 Estudiante 2. Se pone la menor.
 Estudiante 1. Se saca la
.
 Estudiante 3. Ahora se divide
entre
 Profesor. ¿Y cuánto da?
 Varios estudiantes.
.
 Profesor. ¿Y Luego?
 Estudiante 4. Se divide
entre
107
.
.
 Estudiante 5. Queda
.
 Estudiante 3. Pero menos. (Refiriéndose a
)
 Profesor. ¿Y cuánto es 5 dividido entre ?
 Varios estudiantes. 1
 Profesor. ¿Y
entre
?
 Varios estudiantes. Se cancela.
 Profesor. Entonces queda 1.
Como se muestra en el extracto anterior, el docente guía a los alumnos por
medio de preguntas hasta que este obtiene la respuesta correcta. En la entrevista
al docente, este indica que por medio de esta técnica logra que los estudiantes
mejoren los pasos necesarios para resolver el ejercicio, en este caso la
factorización del polinomio, a la vez que se consigue un trabajo cooperativo.
El docente señala en su entrevista y en el diario reflexivo que cuando
presenta un ejercicio pocos estudiantes tratan de resolverlo, la mayoría espera
que un compañero lo resuelva en la pizarra o que sea el docente el que exponga
la resolución del mismo.
En el siguiente extracto de una de las entrevistas realizadas a los
estudiantes, se reafirma lo expuesto por el profesor.
 Investigador. ¿Cuándo el profesor escribe un ejercicio en la pizarra, usted
lo resuelve?
 Estudiante. Primero lo veo. Si lo entiendo lo hago, pero si lo veo difícil me
espero.
108
 Investigador. ¿Qué espera?
 Estudiante. A que el profesor lo haga en la pizarra para copiarlo. A veces
algún compañero pasa y lo resuelve él. Entonces lo copio.
 Investigador. ¿Y por qué no lo trata de hacer?
 Estudiante. No sé.
 Investigador. ¿Por qué no busca en el cuaderno un ejemplo parecido?
 Estudiante. No, de todas formas no voy a entender. Mejor me espero a que
alguien lo haga y después lo copio. O si no le pregunto a un compañero
que ya lo hizo para que me explique.
El docente explica que cuando los estudiantes acuden a evacuar dudas
estos esperan que él les resuelva el ejercicio pero lo que ocurre es que les indica
el error y les pide que lo vuelvan a intentar. Pocos hacen eso, la mayoría busca a
un compañero que ya lo haya resuelto para copiar la solución. Los ejercicios que
se resuelven en la práctica son muy semejantes a los expuestos en clase.
Una de las observaciones de los estudiantes es que es más fácil
comprender si el profesor les explica individualmente. Algunos estudiantes
manifestaron que cuando el profesor da la clase en la pizarra se les dificulta
entender el tema. Prefieren preguntarle posteriormente o apoyarse en algún
compañero que sí haya entendido. El docente afirma que él va realizando
preguntas a los estudiantes que presentan dificultades y que ellos mismos se
responden sus dudas. Para él esto sucede ya que algunos alumnos no les gustan
intentar resolver un ejercicio o les da pereza. Otro aspecto que se evidenció en las
observaciones de clase es que el profesor les indica donde está el error y les
109
solicita que vuelvan a su pupitre y lo vuelva a intentar. En algunos casos lo hacen
con buen suceso y se nota que el estudiante que pasó por esto se motiva a seguir
con la práctica. En otros casos, busca a quien copiarle el ejercicio y nunca
entiende porque estaba malo o cuál fue su error.
4.3. Errores de los estudiantes en el tema de factorización de polinomios
En este apartado se exponen los tipos de errores más frecuentes encontrados
durante la ejecución de una prueba corta aplicada a todo el grupo. De este grupo
se escogieron seis estudiantes para analizar las respuestas brindadas por los
mismos con el fin de conocer su dominio sobre los métodos de factorización
(María, Teresa, José, Danilo, Ana, Carmen). Se seleccionaron estos estudiantes
pues son casos muy representativos ya que logran mostrar diversos tipos de
errores y de diferente naturaleza. Además se logra apreciar en este apartado las
imágenes de la resolución de los ejercicios por parte de los estudiantes,
evidenciando y comentando de forma detallada los errores más representativos.
Luego de la aplicación de esta prueba se procedió a entrevistar a los estudiantes
para conocer la reacción con respecto a la realización de esta prueba. Los errores
fueron clasificados de acuerdo con el modelo SOLO definido en el capítulo II.
Se presentan a continuación los errores más comunes detectados durante
la aplicación de la prueba corta, mismo que se encuentran clasificados a partir del
método de factorización.
110
4.4.1. Análisis de las preguntas relacionadas con la factorización de
polinomios por medio de factor común
En este tipo de ejercicios se evidenció errores a la hora de obtener tanto el factor
común como el otro factor resultante.
En la figura 26 se observa la solución que brinda María al pedirle la
factorización del polinomio
.
Figura 26. Solución de María para la factorización del polinomio
María evidenció cierto dominio del proceso para realizar la factorización del
polinomio dado. Se observa que obtiene correctamente el factor común. Pero al
realizar la división cada término con este no resta los exponentes de las letras
semejantes. Esto es un contenido de octavo. Por lo que se evidencia un error de
tipo multiestructural al dejar al lado los exponentes de las letras semejantes.
En la misma pregunta, Teresa muestra menos dominio a la hora de
factorizar por medio de factor común. En la figura 27 se muestra la solución que
brindó.
Figura 27. Solución de Teresa para la factorización del polinomio
En la figura 27 se observa que al obtener el factor común solo toma en cuenta la
parte numérica, no incluye el factor literal. En el otro factor, divide los coeficientes
numéricos con el factor común, pero en donde debería ir un 2, escribe un 3. La
111
estudiante no dominó el proceso para obtener el máximo común divisor de los
coeficientes numéricos. Con respecto a las variables, solo escribe una “ ” en el
primer término. Posterior al prueba corta, se entrevista a la estudiante para
consultarle los pasos realizados en el ejercicio. A continuación se muestra un
extracto de la entrevista.
 Investigador. Explique los pasos que hizo para factorizar este polinomio.
 Teresa. Primero saqué el máximo de 3 y 6. Me dio 3. Luego lo dividí para
sacar el paréntesis.
 Investigador. ¿Por qué le dio
?
 Teresa. Porque 3 entre 3 da 1.
 Investigador. ¿Y la
?
 Teresa. Se cancelan y sobra una.
 Investigador. ¿Qué pasó con las ?
 Teresa. Se cancelan.
 Investigador. ¿Y no sobran?
Teresa se queda dudando por un momento.
 Teresa. No sé.
Se evidencia que la estudiante no comprende el concepto de factorización
ni el método de factor común. Por lo que se nota un error uniestructural.
Otro error cometido al factorizar por medio de factor común fue cuando este
es un binomio. Varios estudiantes en vez de factorizar, multiplicaron. Esto se
112
ejemplifica en la prueba corta realizada por José. En la figura 28 se muestra la
solución realizada por el estudiante.
Figura 28. Solución de José para la factorización del polinomio
(
)
(
)
En la figura 28 se puede notar que el alumno realizó las multiplicaciones que
aparecían. Los resultados los encerró entre paréntesis como tratando de agrupar,
pero no colocó un signo ( ) entre los dos paréntesis. En el paso final, agrupó
términos semejantes, aunque cometiendo algunos errores de signos. En ningún
momento el estudiante identificó (
) como un factor común de cada término
del polinomio. Se evidencia entonces que no tiene claro el concepto de
factorización pues, además de que no realizó el proceso correcto, la respuesta
dada no es un producto. Igualmente, se pudo observar errores relacionados con
los conceptos previos a la hora de agrupar términos semejantes así como al
realizar la multiplicación. Por lo que podemos señalarlo como un error de nivel
preestructural debido a la mala organización al realizar el ejercicio.
4.4.2. Análisis de las ppreguntas rrelacionadas con la ffactorización de
ppolinomios por mmedio de aagrupación
En este tipo de preguntas se encontró que varios estudiantes no tienen claro el
concepto de factorización y otros no dominan este método de factorización.
113
El caso de Danilo, figura 29, ejemplifica un error común cometido por los
estudiantes.
Figura 29. Solución de Danilo para la factorización del polinomio
Al resolver el ejercicio, el estudiante comienza agrupando, aunque no separa los
paréntesis con el signo de más. Extrae el factor común de cada grupo pero lo
hace incorrectamente. Por tal razón, los paréntesis quedan distintos. A pesar de
ello, continúa expresando el resultado como un producto. El estudiante tiene una
noción de cómo se realiza una factorización por medio de agrupación, pero
comete errores de concepto. Por ejemplo, la condición de que los paréntesis
deben de ser iguales para poder tomarlo como factor común. También comete
errores de procedimiento, como en el primer paso en donde no aplica
correctamente factor común. De esta manera queda evidenciado un error de tipo
uniestructural.
4.4.3. Análisis de las preguntas relacionadas con la factorización de
polinomios por medio de diferencia de cuadrados
El error más encontrado al factorizar por medio de factor común es que, a pesar
de que conocen parte del proceso a realizar, no factorizan correctamente. En la
Figura 30, se muestra la solución realizada por Ana al factorizar el polinomio
.
114
Figura 30. Solución de Ana para la factorización del polinomio
En la figura 30 se puede observar que Ana tenía claro que debió extraer raíz
cuadrada a cada termino del binomio en cuestión, aunque cometió un error en el
proceso. La estudiante no expresó la respuesta como el producto de dos
expresiones, una en suma y otra en resta. Solo escribió la resta.
A continuación un extracto.
 Investigador. Explique el proceso que utilizó para realizar la factorización
del polinomio.
 Ana. Primero saqué la raíz.
 Investigador. ¿Por qué? ¿Cómo sabía que ese es el proceso correcto?
 Ana. Porque está elevado.
 Investigador. ¿Todos los que están elevados a la dos se les saca raíz? Por
ejemplo
 Ana. No. Tienen que ser dos (refiriéndose a dos términos) y resta.
 Investigador. ¿Por qué queda
?
La estudiante observa el ejercicio.
 Ana. No, queda
porque sale de la raíz.
 Investigador. ¿Y ahí termina el ejercicio?
 Ana. No sé, creo que falta algo pero no me acuerdo.
 Investigador. ¿Qué es la expresión (
115
)(
)?
 Ana. Una multiplicación.
 Investigador. ¿Una fórmula notable? Como (
)(
)=
 Ana. Sí, porque hay uno en menos y otro en más.
La estudiante sabe identificar el tipo de polinomio, así como el proceso para
factorizarlo. Pero este proceso no lo desarrolla correctamente. Además, no logra
relacionar la diferencia de cuadrados con el tercer producto notable. Por lo que se
clasifica como un error de tipo multiestructural.
4.4.4. Análisis de las preguntas relacionadas con la factorización de
trinomios cuadrados perfectos
En la factorización de trinomios cuadráticos varios estudiantes utilizan el método
de simple inspección de manera mecánica, sin comprender de qué se trata.
En la figura 31 se puede observar el proceso realizado por Carmen al
factorizar
.
Figura 31. Solución de Carmen para la factorización del polinomio
En la figura 31, para factorizar la expresión
, empieza descomponiendo
los extremos. Sin embargo, en el momento de expresar la respuesta coloca un
factor con un símbolo incorrecto. En ningún paso, se evidencia que la estudiante
comprobara que la suma o resta diese el término del centro. Se puede observar
que conoce parte del procedimiento para realizar la factorización por simple
116
inspección. Pero no comprueba los valores utilizados. Se evidencia que lo hace
de manera mecánica sin comprender el proceso, pues no verifica que las
expresiones sean equivalentes, por lo que clasificamos este error como uno de
tipo uniestructural.
4.4.5. Análisis de las respuestas dadas según el modelo SOLO
De acuerdo con lo expuesto anteriormente se presentan a continuación los
errores más frecuentes cometidos por parte de los estudiantes durante la
aplicación de la prueba corta. Estos se clasificarán de acuerdo al modelo SOLO
definido en el Capítulo II, utilizando para ello los niveles preestructural,
uniestructural y multiestructural.
Preestructural:
a)
No se identifica correctamente el método de factorización a utilizar.
b)
Se confunde el procedimiento de factorización con el
correspondiente a una multiplicación de polinomios, esto utilizando la
propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma cuando no
es requerido.
c)
Se suman o se restan monomios no semejantes.
Uniestructural:
a)
Se determina el factor común incorrectamente o se identifica un
factor común inexistente. Se determina el factor común correctamente, sin
embargo el otro factor es incorrecto.
b)
Cuando realiza una agrupación cambia de suma a producto,
considerando como válido la igualdad de la forma
=
(
)(
). Se efectúan agrupaciones incorrectas que no
generan un factor común.
c)
En la diferencia de cuadrados se escribe únicamente el factor que
presenta diferencia.
d)
Se factorizan los trinomios exclusivamente con variable
.
117
Multiestructural:
a)
En los trinomios cuadrados perfectos o trinomios factorizables por
inspección se escriben correctamente los coeficientes de los factores, sin
embargo el factor literal de los monomios que componen a los factores es
incorrecto.
b)
Errores de descuido del estudiante como ley de signos mal aplicada
en un punto de la respuesta, esto con el resto de la respuesta de forma
correcta. Alguna operación aritmética aplicada incorrectamente, como por
ejemplo un producto efectuado como una adición, esto con la observación
de que el resto de la respuesta es correcto.
A continuación se muestran algunos ejercicios representativos con los
errores anteriormente indicados. Dichos ejercicios fueron propuestos a seis
estudiantes en forma de pruebas cortas aplicadas. En estos se pueden evidenciar
los errores más comunes cometidos durante el proceso de enseñanza y
aprendizaje del tema de factorización de polinomios.
Estudiante: María
En las pruebas cortas realizadas por la estudiante María se pudo observar
los siguientes errores.
Figura 32. Solución de María para la factorización del polinomio
Se presenta en este ejercicio el error “a” correspondiente al nivel uniestructural.
Se puede observar como la estudiante determina el factor común correctamente,
118
sin embargo el otro factor es incorrecto. Lo que podría evidenciar un problema con
el tema de división de monomios, mismo correspondiente a octavo nivel. Esto
muestra errores conceptuales claros en cuanto al conocimiento previo.
)
Figura 33. Solución de María para la factorización del polinomio (
(
)
Se muestra en la resolución del ejercicio que la estudiante comete el error “b”
correspondiente al nivel preestructural y el error “b” correspondiente al nivel
uniestructural. Se puede observar que se aplica la propiedad distributiva por parte
de la estudiante, sin ser necesaria. Lo que indica que confundió la factorización
con el tema de operaciones con polinomios, específicamente la multiplicación. Sin
embargo se observa que trató de escribir la expresión como una multiplicación, lo
que denota ciertas ideas concernientes al tema de factorización. Incurre en el
error de escribir una resta de monomios como un producto de los mismos, en la
ejecución del ejercicio.
Figura 34. Solución de María para la factorización del polinomio
Se observa en la resolución del ejercicio que la estudiante comete los errores “a” y
“b”, correspondientes al nivel uniestructural. Se nota que la estudiante pasa de
resta a producto en el intento de agrupar. Además luego de efectuar este
119
procedimiento incorrecto, determina un factor común de forma incorrecta. Se
evidencia el manejo inadecuado de ciertas reglas del álgebra, ya que la estudiante
es capaz de determinar el factor común pero únicamente en ciertos casos.
Figura 35. Solución de María para la factorización del polinomio
Se puede observar como en la respuesta de la estudiante los factores aparecen
con variable x a pesar que el polinomio esta dado en variables m y n,
presentándose así el error “d” del nivel uniestructural. No se aprecia un
procedimiento en concreto por lo que probablemente se utilizó la calculadora para
determinar las raíces del polinomio y con estas encontrar la factorización.
Estudiante: Pablo
En las pruebas cortas realizadas por el estudiante Pablo se pudo observar
los siguientes errores.
Figura 36. Solución de Pablo para la factorización del polinomio
Se puede observar que en la resolución del ejercicio el estudiante no logra
determinar el factor común correctamente sino más bien obtiene parte del factor
común. Se incurre en el error “a” correspondiente al nivel uniestructural, en este
caso el factor común correspondiente es
expresión
omitiendo en su respuesta la
, esto evidencia que el estudiante pudo olvidar la forma de determinar
120
el factor común en el momento de ejecutar la prueba o que no tenía total claridad
en la obtención del factor común. Además el otro factor es incorrecto, pues el
estudiante realizó la división de
entre
obteniendo
. Se conoce que si
el estudiante determina un factor común incorrecto, inmediatamente el otro factor
será incorrecto. Pero aun asumiendo que el factor común es correcto, la división
anteriormente mostrada presenta un resultado incorrecto.
Figura 37. Solución de Pablo para la factorización del polinomio
En la respuesta del estudiante se pueden observar dos factores correctos, lo que
indica un desarrollo claro del nivel relacional del estudiante. Esto pues este es
capaz de reconocer el método de factorización y además ejecutarlo de la forma
correcta salvo por un detalle. El estudiante anotó una expresión que se podría
entender como un factor común inexistente (error “a” correspondiente al nivel
uniestructural), lo cual hizo que el ejercicio estuviese incorrecto. Se muestra en la
resolución del ejercicio cierta confusión en el procedimiento necesario para
determinar un factor común, ya que si estuviesen claras las reglas que permiten
identificar el factor común de un polinomio, el estudiante hubiera reconocido que
para el binomio dado no hay factor común alguno.
121
Figura 38. Solución de Pablo para la factorización del polinomio
Se puede observar en la resolución del ejercicio, que el estudiante cambia de
resta a producto incurriendo en el error “b” del nivel uniestructural. Esto evidencia
de cierto modo que el estudiante pretende expresar el polinomio como un
producto de polinomios; sin embargo, el procedimiento es incorrecto. Además
extrae un factor común inexistente correspondiente al error “a” en el nivel
uniestructural, lo que muestra un desconocimiento sobre las reglas para
determinar el factor común de un polinomio.
Figura 39. Solución de Pablo para la factorización del polinomio
Se observa en la respuesta del estudiante que únicamente hay un único factor,
cuando en la factorización completa deberían obtenerse dos factores repetidos,
puesto que el trinomio mostrado corresponde a un trinomio cuadrado perfecto. El
estudiante es capaz obtener lo coeficientes que componen a los factores, sin
embargo las variables que acompañan a los coeficientes son incorrectas o no
están escritas de la forma adecuada. Se presenta el error “a” correspondiente al
nivel multiestructural.
122
Estudiante: José
En las pruebas cortas realizadas por el estudiante José se pudo observar
los siguientes errores.
Figura 40. Solución de José para la factorización del polinomio
En el procedimiento ejecutado por el estudiante se puede notar como la misma
determina correctamente el máximo común divisor de los coeficientes de los
términos del polinomio, sin embargo no elige el factor literal correcto para el factor
común, lo cual hace que el factor (
) esté incorrecto. Se evidencia en el
desarrollo del ejercicio, por parte de la estudiante, que ella no conoce con claridad
las reglas que permiten determinar el factor común de un polinomio
correctamente, incurriendo en el error “a” del nivel uniestructural.
)
Figura 41. Solución de José para la factorización del polinomio (
(
)
En este ejercicio se nota como el estudiante aplica la propiedad distributiva,
realizando la factorización del polinomio como si fuese una multiplicación de
polinomios incurriendo en el error “b” del nivel prestructural. Se puede observar
confusión entre los conceptos de factorización y multiplicación de polinomios,
123
pues de cierto modo la estudiante intenta expresar el polinomio como una
multiplicación. Esto al pasar de resta a producto luego de aplicar la propiedad
distributiva. También se presenta un error en cuanto a la ley de signos cuando se
realiza la distributividad, pues se multiplica
por
obteniéndose
.
Podría interpretarse este error como un descuido en el momento de ejecutar la
operación, esto en virtud que no se presenta otro error en cuanto a los signos.
Figura 42. Solución de José para la factorización del polinomio
En el desarrollo del ejercicio el estudiante pasa de resta a producto,
presentándose así el error “b” del nivel preestructural. Se puede decir de cierto
modo que existe una noción en cuanto al concepto de factorización, esto pues se
intenta escribir el polinomio como el producto de sus factores. Por otro lado la
misma intenta determinar el factor común de los binomios que aparecen en su
desarrollo,
esto
lo
hace
incorrectamente
incurriendo
en
el
error
“a”
correspondiente al nivel uniestructural. La estudiante es capaz de determinar el
coeficiente numérico correcto para cada factor común, sin embargo el factor literal
de cada factor común es incorrecto. Esto revela un problema en cuanto al álgebra
y a las reglas que establecidas para determinar el factor literal que debe aparecer
en el factor común de un polinomio.
124
Estudiante: Carmen
En las pruebas cortas realizadas por la estudiante Carmen se pudo
observar los siguientes errores.
Figura 43. Solución de Carmen para la factorización del polinomio
Se nota en el desarrollo del ejercicio que la estudiante es capaz de determinar
correctamente el máximo común divisor de los coeficientes de cada termino del
polinomio, su error se manifiesta en el momento de encontrar el factor literal que
corresponde al monomio que es el factor común. Razón que hace que el factor
común sea el incorrecto, de este modo se presenta el error “a” en el nivel
uniestructural. Al presentarse un factor común incorrecto inmediatamente el otro
factor también es incorrecto.
)
Figura 44. Solución de Carmen para la factorización del polinomio (
(
)
En este caso la estudiante se limita a aplicar la propiedad distributiva de la
multiplicación con respecto a la suma, lo que evidencia poca claridad en el
concepto de factorización, solo se tiene información aislada acerca de este
concepto, no hay organización del conocimiento. Se incurre en el error “b” del
nivel preestructural esto pues en el ejercicio la estudiante confunde el
125
procedimiento de factorización con el que normalmente está habituada a realizar
en niveles previos como lo es la multiplicación de polinomios.
Figura 45. Solución de Carmen para la factorización del polinomio
Se puede notar como la estudiante realiza correctamente el procedimiento para
factorizar el trinomio cuadrado perfecto. La misma utiliza el método de inspección,
sin embargo en el momento de escribir la respuesta coloca un factor con un signo
incorrecto. Este es el factor que presenta una diferencia. Se incurre en el error “b”
del nivel multiestructural pues únicamente es el signo de diferencia que hace que
la respuesta esté incorrecta. Esto evidencia que pudo confundir el método de
inspección con el método de diferencia de cuadrados.
Figura 46. Solución de Carmen para la factorización del polinomio
Se observa en la resolución del ejercicio que la estudiante obtiene los coeficientes
de la factorización de la forma correcta, sin embargo omite los factores literales
correspondientes incurriendo en el error “a” del nivel multiestructural.
126
4.4. Factores que Iintervienen en el Aaprendizaje del tema de Ffactorización
de Ppolinomios
Definitivamente existen diversos factores de carácter externo o ajeno al quehacer
del docente que pueden incidir de forma negativa en el aprendizaje de alguna
determinada temática. En el caso de la enseñanza de la matemática y
específicamente en el tema de la factorización de polinomios, se hace referencia a
factores físicos que sin duda alguna le pueden generar al estudiante un ambiente
de armonía y disposición para aprender, o por el contrario puede convertirse en
un
completo obstáculo que imposibilite o incite al estudiante a no poder
concentrarse durante la lección.
Un ambiente físico inadecuado genera un ambiente con falta de
confortabilidad que se traduce en malos resultados en el campo laboral,
académico entre otros. De esta manera se trabajó con el grupo acerca de la
influencia de su ambiente físico y como afecta este su aprendizaje.
4.5.1. Ambiente físico
“El aula no tiene cielorraso, ni ventiladores, es un calor increíble y hay mucho
ruido afuera del aula” (Estudiante).
En las entrevistas y en las observaciones realizadas, la población estudiada
señala que los principales factores ambientales que intervienen negativamente en
el proceso de aprendizaje son el ruido externo, el calor excesivo y la falta de
iluminación adecuada en días nublados. En la observación realizada durante las
127
lecciones se logró constatar las versiones de los estudiantes, pudiéndose
observar muchos alumnos de otros grupos fuera de los pasillos generando exceso
de ruido, también se notó que en el aula se carece de todo tipo de ventilación de
modo que el calor que se acumula en el salón de clases es demasiado incómodo.
Lo anterior, produce en los estudiantes falta de concentración, desinterés
hacia lo expuesto por el docente y los trabajos asignados, como lo señala
Estudiante, -“con tanto calor no puedo concentrarme”, de igual forma Allan
menciona –“los estudiantes que andan fuera del aula, hacen mucho escándalo y
me interrumpen”-. Es importante indicar que, de acuerdo a la información brindada
por los estudiantes, el ambiente físico tiene una repercusión significativa hacia el
cumplimiento de los objetivos de la clase.
Aunado a lo anterior, en el diario reflexivo, se logra afirmar lo expuesto por
los estudiantes, ya que el docente indica que cuando el día es caluroso, el
rendimiento es menor con respecto a otros momentos, como lo indica el siguiente
extracto, -“hoy fue un día de mucho calor, y el trabajo de los estudiantes fue poco,
se mostraban dispersos y con pocas ganas de trabajar”.
4.5.2. Metodología Uutilizada por el Ddocente
“el profesor explica bien, a veces le entiendo… pero después se me olvida”
(Estudiante).
Según la información compilada durante la investigación, los estudiantes
manifiestan que el docente resuelve de manera rápida los ejercicios sobre el
tema, no permitiéndoles la aprehensión adecuada de los pasos para resolver los
128
mismos, lo cual se presenta como un factor que altera el adecuado aprendizaje y
hace que se limite el interés de los estudiantes con respecto al tema de
factorización.
Lo anterior queda demostrado en el siguiente fragmento de una entrevista
aplicada a un participante.
 Investigador. ¿Cómo califica la explicación del docente?
 Estudiante. El profesor explica muy rápido, y no me da tiempo para
entender los pasos del ejemplo, por eso me da pereza preguntarle.
 Investigador. ¿Y qué hace para entender el ejercicio?
 Estudiante. Otro día le pregunto a un compañero.
 Investigador. ¿Y lo entiendes luego?
 Estudiante. A veces sí, pero casi nunca.
Los estudiantes mencionan que la limitada posibilidad que el profesor da
para la toma de apuntes durante la explicación produce que haya detalles que se
les olvidan. Por lo cual, cuando van a realizar el trabajo asignado no lo logran
realizar.
 Investigador. ¿Toma apuntes durante la explicación del profesor?
 Estudiante. El profesor no me deja.
 Investigador. ¿Le gustaría tomar apuntes?
 Estudiante. Sí, porque cuando escribo el ejemplo ya se me han olvidado.
En las entrevistas aplicadas se menciona que prefieren no hacerle preguntas
al docente mientras explica, ya que les responde con una pregunta y no brinda el
129
esclarecimiento de la duda planteada, lo cual desmotiva a los estudiantes que han
“naturalizado” la acción de no preguntar, a pesar de las múltiples interrogantes
que respecto al tema de estudio se generan. Lo anterior se refleja, por ejemplo, en
lo expresado por Allan en su entrevista donde manifestó que “cuando yo le digo
que no entendí el profesor me hace otra pregunta. Yo no respondo porque no
entiendo. Otro compañero responde. Yo vuelvo a pregunte al profesor pero él no
me vuelve a explicar”.
Con respecto a lo anterior, resulta primordial señalar lo expuesto por el
docente en la entrevista donde indica que “los estudiantes cuando realizan una
consulta los guio por medio de cuestionamientos que provoquen que ellos mismos
o sus compañeros respondan a su inquietud”, esto provoca que algunos de los
estudiantes se abstengan de preguntar. El docente también expuso que ha
tratado de animar a los estudiantes para que pregunten pero solo algunos pocos
lo han acatado.
4.5.3. Hábitos de estudio
En las entrevistas a los estudiantes se evidenció que estos no tienen hábitos de
estudio. El docente brinda ejercicios extra para la casa, los cuales los alumnos no
realizan, tampoco repasan lo visto en clase. No trabajan en grupos ni buscan
ayuda cuando así lo necesitan. Un indicio de ello fue lo mencionado por un
estudiante en el siguiente extracto de la entrevista.
 Investigador. ¿Usted repasa la materia en casa?
 Estudiante. Casi nunca.
130
 Investigador. ¿Por qué?
 Estudiante. Me da pereza y ya no me acuerdo de nada cuando llego a
casa.

Investigador. ¿No busca ayuda para estudiar?
 Estudiante. No. A veces cuando hay exámenes.
 Investigador. ¿Cuánto antes de un examen estudia?
 Estudiante. El día anterior.
Además de lo expresado en las entrevistas en las observaciones se puedo
constatar que los estudiantes no presentaban los trabajos asignados por el
docente. Cuando se les preguntó a los alumnos por qué no entregaban las tareas,
respondían con expresiones como: no entendí, se me olvidó, lo deje en la casa. El
docente indicó que el objetivo principal de los trabajos extraclases era que los
estudiantes repasaran lo visto en clase pero que la mayoría de la clase no los
entregaba. Él expresó un sentimiento de impotencia ante este hecho ya que indica
que siente que no se puede avanzar con el programa de estudios como desearía.
4.5.4. Motivaciónhacia el tema
De acuerdo al diferencial semántico los estudiantes determinaron que el tema de
factorización es difícil, estresante y frustrante ya que presentaron medidas entre 3
y 4. Lo anterior según la escala determinada donde se indica una actitud “negativa
moderada”.
Esto se evidenció, además, en las entrevistas realizadas donde se
obtuvieron frases como “es bonita, interesante pero muy costosa”. Como lo indicó
131
una estudiante quien mencionó en respuesta a la pregunta: ¿Qué piensa cuando
no puede resolver un ejercicio? “Me siento frustrada, siento que me cierro y que si
sigo intentándolo me voy a enredar”. En las entrevistas los estudiantes mostraron
una empatía con la materia lo que producía un rechazo hacia las clases de
matemáticas.
Después del análisis realizado se pudo constatar que existen diversos
factures que influyen de alguna manera el aprendizaje del tema da factorización
en los alumnos de décimo año de la institución estudiada. Se podría decir que
algunos de ellos son ajenos a los estudiantes, tales como la infraestructura del
colegio que no es la más adecuada. En este mismo sentido, también afecta la
falta de equipo informático y audiovisual que permita al docente hacer clases más
tecnológicas. No obstante, aunque se pudo comprobar el esfuerzo del docente por
lograr que sus alumnos aprendieran la lección, este siempre se basaba en el
mismo tipo de lección. No utilizó otras técnicas que podrían ayudar a los
estudiantes a aprender a factorizar.
Con respecto al estudiante, la falta de bases matemáticas sólidas
representa una dificultad a la hora de aprender el tema de factorización. Otro
aspecto que dificultan en aprendizaje es la falta de compromiso. Una gran parte
de los estudiantes no repasan la lección en casa, ni realizan trabajos extraclases,
ni estudian para los exámenes. Esto conlleva bajos rendimientos académicos que
pueden terminar en reprobación del curso.
132
CAPÍTULO V
HALLAZGOS
Y
RECOMENDACIONES
133
CAPÍTULO V
HALLAZGOS Y RECOMENDACIONES
5.1. Hallazgos encontrados
Con base en el desarrollo de los capítulos anteriores se pudieron establecer una
lista de hallazgos relacionados con los factores que impactan negativamente el
aprendizaje de la factorización de polinomios.
5.1.1. Propósito 1
Con respecto al primer propósito de la investigación: Describir el proceso de
enseñanza de la factorización de polinomios en un grupo de décimo de un colegio
de la Región Atlántica, se pudo determinar que:
-
El docente guía a los estudiantes por medio de ejemplos donde se
reproducen procesos lógicos. De esta forma se pretende que los alumnos
adquieran los conocimientos descritos en los objetivos del Programa de
Estudios.
-
Para desarrollar la clase, el profesor se apoya en el uso de la pizarra. No
cuenta con equipo audiovisual, ni con equipos de cómputo..
-
El método de enseñanza siempre es similar: el profesor explica un ejemplo
en la pizarra y luego les da un ejercicio parecido para que el estudiante lo
resolviese por imitación. De ser necesario, el docente explica nuevamente
el ejemplo siempre de la misma manera.
134
5.1.2. Propósito 2
En relación con el segundo propósito de la investigación: Describir el proceso de
aprendizaje de la factorización de polinomios en un grupo de décimo de un
colegio de la región atlántica, se evidenció que:
-
Los estudiantes aprenden por imitación al tratar de seguir los mismos
pasos que el docente hizo en el ejemplo anterior. En caso de no entender,
acuden a él.
-
Los alumnos logran factorizar por medio de distintos métodos pero muchos
de ellos no comprenden el concepto de factorización de polinomios. Tanto
las exposiciones del docente, como las prácticas realizadas en la clase o
en el hogar, así como las pruebas, se enfocan en los procedimientos y no
así en los conceptos.
-
Los estudiantes muestran poco interés por aprender el tema. Aunque en
clase la mayoría dedica su tiempo a realizar los trabajos asignados por el
docente, los trabajos extraclase los ejecuta r una minoría. De igual manera,
no dedican tiempo a repasar en casa, estudian un día antes de la prueba y
los resultados son entre regular y bajos.
-
El interés del estudiante es el de aprobar el curso. No ve ninguna utilidad
en aprender el tema, lo único que interesa es obtener una nota.
135
5.1.3. Propósito 3
Asimismo, con respecto al tercer propósito: Identificar
tipos de errores que
presentan los estudiantes participantes en el aprendizaje de la factorización de
polinomios, se pudo concluir que:
-
Los estudiantes tienen noción de los métodos estudiados para obtener la
factorización de polinomios, pero cometen errores en su proceso.
-
Algunos estudiantes no identifican el método correcto para factorizar
determinado
polinomio,
o
utilizan
inapropiadamente
la
propiedad
distributiva de la multiplicación respecto a la suma. También suman
monomios no semejantes.
-
Otro error muy frecuente consiste en obtener un factor común incorrecto,
no determinan el máximo factor común o, al contrario, sacan términos que
no son comunes a todos los monomios. También es frecuente que al
agrupar términos semejantes en vez de separar las expresiones con en
más (+), se colocan juntas dando por válidas expresiones como
=(
)(
). En diferencias de cuadrados, obtienen la raíz de
cada término pero solo escriben el factor de la resta.
-
Es común el error por descuido, ley de signos mal aplicados, sumas o
restas incorrectas, variables que se quedan perdidas de un reglón al otro.
136
5.1.4. Propósito 4
Referente al propósito cuatro: Establecer las limitaciones conceptuales que
presentan los estudiantes en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la
factorización de polinomios, se pudo observar que:
-
Existen deficiencias en contenidos desarrollados en años posteriores. A
manera de ejemplo, los estudiantes suman monomios y multiplican
polinomios incorrectamente. Estos temas fueron desarrollados en octavo.
-
No hay claridad en el significado de igualdad, expresan equivalencias sin
=(
fundamentar su veracidad:
)(
).
5.1.5. Propósito 5
En el propósito cinco: Clasificar los factores identificados que impactan
negativamente el aprendizaje de la factorización de polinomios de los estudiantes
participantes, se determinó que:
-
El ambiente físico no es adecuado para el aprendizaje. El aula no cuenta
con cielorraso por lo que en ocasiones es sumamente caliente. Cuando
llueve el ruido no permite la comunicación verbal entre profesor y alumnos.
En los pasillos transitan constantemente jóvenes, lo cual es un factor de
distracción para los estudiantes que están en clase.
-
Las clases no atraen al estudiante. A pesar de que el profesor está
dispuesto a atender las inquietudes de los alumnos, estos no se sienten
atraídos por la materia. La principal motivación es aprobar el curso.
137
-
Los hábitos de estudio de los estudiantes son escasos, en su mayoría solo
estudian pocas horas el día antes del examen. No acostumbran repasar en
casa lo visto en clases.
En el siguiente cuadro se resume los hallazgos encontrados, ordenados respecto
a los propósitos de investigación.
Tabla 5
Hallazgos
Propósito
Propósito 1
Hallazgos
El docente guía a los estudiantes
Aprendizaje por imitación
Un solo método de enseñanza
Uso de la pizarra
El docente aclara dudas
No se utilizan representaciones geométricas
Propósito 2
Los estudiantes aprenden por imitación
Si algún estudiante tiene dudas, acude al profesor
No comprenden el concepto de factorización
Muestran poco interés en el tema
Pocas consultas durante la clase
Propósito 3
Conocen los métodos de factorización
Realizan procesos incorrectos
Cometen errores comunes al factorizar
Cometen errores por descuido
Propósito 4
Deficiencias en conocimientos previos
Propósito 5
Ambiente físico
Metodología del docente
Hábitos de estudio
Motivación hacia el tema
Fuente: Elaboración propia
138
5.2.
Recomendaciones
Con
base
en
los
hallazgos
encontrados
se
sugieren
las
siguientes
recomendaciones con el fin de mejorar el aprendizaje de la factorización de
polinomios en la institución.
A los docentes de matemática:
-
Antes de iniciar un tema, establecer y comprobar el dominio de los
conocimientos previos necesarios por parte de los estudiantes. De esta
manera procurar que estos cuenten con las herramientas cognitivas
necesarias para afrontar exitosamente el nuevo aprendizaje.
-
El docente puede apoyarse en métodos geométricos en el desarrollo de la
clase. De esta forma dará una visión espacial a un tema tan abstracto
como la factorización de polinomios. Además, la manipulación de modelos
geométricos agrega un sentido lúdico a la clase de matemática, lo cual
será otro aspecto que contribuya a la motivación del estudiante.
-
Es importante dar énfasis al concepto de factorización, que el estudiante
comprenda qué significa. Este junto con el aprendizaje de los diversos
métodos de factorización contribuirá a
un aprendizaje con mayor
significado para el estudiante.
-
El docente puede llevar a la clase la parte práctica del tema desarrollado,
responder a la pregunta ¿y eso para qué me va a servir? De esta manera
se le dará sentido al aprendizaje de la matemática.
139
A las instituciones educativas:
-
Las autoridades de la institución deberían hacer un esfuerzo por dotar de
equipo audiovisual e informático para las clases de matemática. Estos
equipos permitirán hacer la clase más dinámica y más atractiva para el
estudiante. Este esfuerzo deberá ir acompañado con la voluntad por parte
del profesor de capacitarse en su uso y en planificar las lecciones de
manera distinta.
-
Sería importante mejorar las condiciones del aula. La zona atlántica se
caracteriza por altas temperaturas y mucha precipitación, lo cual afecta el
desarrollo de la lección. Un aula con cielorraso y adecuada ventilación
brindaría condiciones más adecuadas para los estudiantes.
-
Se debe coordinar con el Departamento de Orientación para ayudar a los
estudiantes en sus hábitos de estudio.
A las universidades formadoras de docentes de matemática
-
Fortalecer los conocimientos en el área de la didáctica del tema de
factorización de polinomios.
-
Propiciar investigaciones en el desarrollo del tema de factorización de
polinomios u otras áreas.
-
Realizar actividades como talleres, congresos o simposios donde se tome
en cuenta la didáctica, en especial del tema de factorización.
-
Incluir un curso de técnicas de estudio para los jóvenes.
140
Al Ministerio de Educación Pública:
-
Realizar investigaciones sobre los objetivos del tema de factorización para
ampliarlos o reacomodarlos en el Programa de Estudios.
-
Incorporar en el proceso de capacitaciones la didáctica del tema de
factorización para que se compartan experiencias o investigaciones como
la presente.
-
Complementar el currículo de los estudiantes con proyectos sobre técnicas
y buenos hábitos de estudio.
-
Dotar las aulas de matemáticas con el equipo tecnológico necesario para
que los docentes apliquen nuevas estrategias de aprendizaje.
En el siguiente cuadro se resume las recomendaciones que, a partir de los
resultados obtenidos, se realizaron a los diferentes involucrados en el proceso de
educación matemática.
141
Tabla 6. Recomendaciones
Involucrados
A los profesores
Recomendaciones
Comprobar conocimientos previos
Utilizar diferentes métodos, ejemplo: geométricos
Dar énfasis al concepto de factorización
A los colegios
Dotar de equipo audiovisual
Procurar instalaciones adecuadas
Apoyo al estudiante, departamento de orientación
A las universidades
Fortalecer la didáctica de la matemática
Realizar de actividades de actualización
Al Ministerio de Educación
Pública
Capacitar sobre didáctica
Programas para mejorar hábitos y técnicas de
estudio
Dotar aulas de equipos tecnológicos
Fuente: Elaboración propia
142
Referencias
143
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149
Anexo 1
Solicitud de
permiso al Director
150
19 de marzo de 2012
Señor: MSc.. Arturo González Hernández
Director de la Institución
Estimado señor:
Reciba un cordial saludo. Sirva la presente para solicitarle su autorización para realizar el
trabajo de campo de nuestra tesis de Licenciatura, en la Institución educativa que usted
administra.
Es importante señalar que somos estudiantes de la carrera Licenciatura en la
Enseñanza de la Matemática, en la Universidad Nacional de Costa Rica. En caso de
contar con su permiso, nuestra investigación estará basada en analizar factores que
impactan negativamente el aprendizaje algebraico de estudiantes de décimo año del
colegio. Para
esto se necesitará observar algunas de las clases de matemática y
entrevistar a los profesores de matemática de la institución y a algunos alumnos de la
Institución. En caso de contar con su autorización, la entrevista tendrá una duración
aproximada de treinta minutos y se realizará en el colegio. Esta entrevista será grabada
únicamente con fines académicos y los resultados serán tratados conforme lo establece
el código de ética de procesos investigativos que establece la UNA.
Agradecemos de antemano la atención que se le dé a la presente solicitud. En
espera de una respuesta positiva, se despide,
Atentamente,
________________________
Luis Jiménez Montero
________________________
Juan Carlos Pereira Alvarado
151
________________________
Mainer Jiménez Montero
________________________
Emanuelle Soto Cascante
Anexo 2
Solicitud de
permiso para los
estudiantes
152
16 de Abril de 2012
Señores Padres de familia o Encargados(as)
Estimado señor(a):
Reciban un cordial saludo. El propósito de esta nota es solicitar su permiso para
entrevistar a su hijo(a). Esta entrevista será grabada únicamente con fines
académicos, como parte de la investigación de la tesis de licenciatura que
estamos realizando.
Es importante señalar que somos estudiantes de la carrera Licenciatura en
la Enseñanza de la Matemática, en la Universidad Nacional de Costa Rica. En
caso de contar con su permiso, nuestra investigación estará basada en analizar
factores que impactan negativamente el aprendizaje algebraico de estudiantes de
décimo año del colegio. Por esto se necesitará observar algunas de las clases de
matemática y entrevistar a algunos alumnos del grupo observado, entre los cuales
esta su hijo(a). En caso de contar con su autorización, la entrevista tendrá una
duración aproximada de treinta minutos y se realizará en el colegio. En cuanto a la
observación de la clase, se utilizará video como herramienta de recolección de
datos. Se aclara que estas grabaciones no serán difundidas y solo se utilizarán
con fines investigativos.
Se agradece de antemano la atención que se le dé a la presente solicitud.
En espera de una respuesta positiva, se despide,
Atentamente,
________________________
________________________
Luis Jiménez Montero
Mainer Jiménez Montero
________________________
________________________
Juan Carlos Pereira Alvarado
153
Emanuelle Soto Cascante
Anexo 3
Prueba corta 1
154
Departamento de Matemática
Nivel: Décimo
Prueba corta
Nombre: __________________________________________
Indicaciones: Factorice las siguientes expresiones. Deben aparecer todos los
pasos necesarios para su solución.
1.
2.
(
)
(
)
3.
4.
5.
155
6.
7.
8.
9.
10.
156
Anexo 4
Prueba corta 2
157
Departamento de Matemática
Nivel: Décimo
Prueba corta
Indicaciones:
Factorice completamente las siguientes expresiones. Deben aparecer todos los
pasos necesarios para su solución.
1.
2.
158
3.
4.
159
Anexo 5
Guía para la
observación de la
clase
160
Guía para la observación de la clase
Indicaciones
En cada fila, marque una equis en el espacio correspondiente según la siguiente valoración
(0: Nunca, 1: Pocas veces, 2: A veces, 3: Frecuentemente y 4: Siempre)
Clave
TR1
TE1
E1
I1
TR2
TE2
E2
I2
TR3
TE3
E3
I3
TR4
TE4
E4
I4
Metodología
Indicadores
La actividad del aula se caracteriza por la repetición iterada
de ejercicios tipo.
Aquí los ejercicios pretenden reproducir los procesos
lógicos y, coherentemente, el estudio de los errores por
parte de los alumnos.
Los ejercicios son sustituidos por una actividad
experimental no reflexiva. Hay cierta tendencia a poner en
práctica métodos, recursos, etc. que parecen funcionar en
otras aulas.
Los alumnos se enfrentan habitualmente a situaciones para
las que no poseen soluciones hechas.
Exposición magistral como técnica habitual y uso del libro
de texto como único material curricular.
El profesor no expone los contenidos en su fase final,
simula su proceso de construcción, apoyado en estrategias
expositivas.
El profesor propone actividades de manipulación de
modelos, a través de las cuales se producirá,
eventualmente, un conocimiento no organizado.
El profesor tiene organizado el proceso que llevará al
alumno a la adquisición de unos conocimientos
determinados, a través de su investigación.
Los contenidos se identifican con los conceptos,
enunciados como objetivos de carácter terminal.
Al carácter terminal de los objetivos se añade su
funcionalidad.
Los objetivos sólo definen un marco genérico de actuación
(carácter orientativo) y están sujetos a eventuales
modificaciones en cuanto al grado de consecución
(flexibles).
Los objetivos marcan claramente las intenciones
educativas, pero están sujetos a reformulaciones
debidamente fundamentadas.
El profesor sigue una programación prescrita de antemano,
externa a él y rígida, sin plantearse relaciones entre las
unidades.
Para el profesor la programación es un documento cerrado,
con una secuencia que emana de los aspectos
estructurales de la disciplina.
La programación es un documento vivo que, por basarse en
los intereses que, en cada momento, manifiestan los
alumnos y en la negociación con ellos, no dispone de una
organización inicial.
El profesor dispone de una propuesta organizativa de los
elementos del programa, pero no está vinculado a un
recorrido concreto. Existe una trama que vincula y organiza
el conocimiento por la que el profesor se mueve
dependiendo de los intereses, nivel,..., de los alumnos.
161
0
1
2
3
4
Clave
Sentido de la asignatura
Indicadores
TR5
La asignatura está orientada, exclusivamente, hacia la
adquisición de conceptos y reglas.
TE5
Interesan tanto los conceptos y reglas como los procesos
lógicos que los sustentan por su eventual reproductibilidad.
E5
No interesan tanto los conceptos como los procedimientos y
el fomento de actitudes positivas hacia el trabajo escolar.
I5
TR6
TE6
E6
I6
TR7
TE7
E7
I7
Interesan tanto la adquisición de conceptos, como el
desarrollo de procedimientos y el fomento de actitudes
positivas hacia la propia materia y el trabajo escolar en
general, siendo éstos (materia y trabajo escolar) los que
determinan el peso específico de cada una de las
componentes citadas.
El contenido matemático a movilizar en el aula no se
diferencia en estructura, aunque sí en nivel de abstracción,
del conocimiento matemático formal.
La Matemática escolar trata de dar una explicación, con los
cánones de la Matemática formal, a las situaciones
provenientes de la problemática real.
La Matemática inmersa en la problemática real es el único
referente de los conocimientos a movilizar en el aula.
La Matemática escolar, de diferente naturaleza que la
Matemática formal, tiene su punto de partida en la
etnomatemática de los alumnos y recoge las necesidades
socio-políticas, culturales,..."Hacer Matemáticas" con un
carácter más formal proviene del análisis de lo concreto.
La asignatura tiene una finalidad exclusivamente
informativa, es decir, poner en conocimiento de los alumnos
un cierto "panorama matemático" que se espera que
aprendan.
La asignatura no sólo ha de tener una finalidad informativa,
sino también un carácter práctico que permita su aplicación
en otros ámbitos de la Matemática, otras disciplinas o en la
técnica. Adquieren relevancia tanto los productos como los
métodos que conducen a ellos.
La asignatura posee un carácter formativo, con objeto de
servir de instrumento para un cambio actitudinal del alumno
(con respecto al aprendizaje y la vida), así como para la
adquisición de valores racionales que le permitan conformar
una actitud lógica ante los problemas cotidianos.
La finalidad última de la asignatura es dotar al alumno de
unos instrumentos que le posibiliten el aprendizaje
autónomo.
162
0
1
2
3
4
Clave
TR8
TE8
E8
I8
TR9
TE9
E9
I9
TR10
TE10
E10
I10
TR11 TE11
E11
I11
TR12
TE12
E12
I12
TR13 TE13
E13 - I13
TR14
TE14
E14 –
I14
Concepción del aprendizaje
Indicadores
Se presupone que el aprendizaje se realiza, utilizando la
memoria como único recurso, por superposición de
unidades de información.
El aprendizaje se sigue concibiendo como memorístico,
organizándose internamente según la lógica estructural de
la disciplina.
Se aprende cuando el objeto de aprendizaje, que surge
aleatoriamente del contexto, posee un significado para el
alumno.
Los objetos de aprendizaje no sólo tienen significado, sino
también la capacidad de ser aplicados en contextos
diferentes de donde fueron aprendidos, adquiriendo así un
carácter móvil a través de una red conceptual.
El único aprendizaje efectivo y correcto es el que proviene
de un proceso deductivo.
Aunque el aprendizaje pueda comenzar por la observación
de un proceso inductivo, el verdadero aprendizaje ha de
apoyarse en un proceso deductivo.
El aprendizaje se produce a través de la participación activa
del alumno en procesos inductivos.
El aprendizaje comienza, normalmente, por la observación
de regularidades que permiten aflorar una conjetura; pero a
ésta ha de seguir una comprobación razonable y, en la
medida de lo posible, una generalización adecuada.
El alumno se hace con los conocimientos por el simple
hecho de que el profesor se los presente.
Para aprender, al alumno le basta entender, asimilar el
conocimiento que proviene del exterior.
El aprendizaje se produce, de manera espontánea, cuando
el alumno está inmerso en situaciones que propician el
descubrimiento.
El aprendizaje se produce a través de investigaciones que
han sido planificadas por el profesor.
La única forma de agrupamiento que permite un verdadero
aprendizaje es el trabajo individual.
La forma ideal de agrupamiento que propicia el aprendizaje
es el trabajo en grupo, con sus correspondientes debates.
La forma de agrupamiento aconsejable para la producción
de aprendizaje depende de la actividad a desarrollar.
La estructura de la propia asignatura, plasmada en la
programación, es el dinamizador ideal del aprendizaje.
El dinamizador ideal del aprendizaje es la lógica de
construcción de la propia Matemática.
El motor del aprendizaje son los intereses de los alumnos.
El dinamizador ideal del aprendizaje es el equilibrio entre
los intereses y estructura mental de los alumnos y los de la
Matemática.
La capacitación del alumno es inalterable y justifica en gran
medida los resultados del aprendizaje.
La capacitación del alumno puede ser modificada.
La actitud del alumno hacia el aprendizaje es raramente
transformable.
En la actitud del alumno hacia el aprendizaje hay aspectos
que pueden sufrir cambios.
La actitud del alumno puede ser modificada.
163
0
1
2
3
4
Clave
Papel del Alumno
Indicadores
TE15 –
TE15
El alumno no participa ni activa ni pasivamente en el diseño
de las actividades, programación, etc.
E15
El alumno participa indirectamente en el diseño didáctico a
través de sus reacciones en el quehacer del aula.
I15
El alumno participa directa o indirectamente en el diseño
didáctico.
TR16
TE16
E16
I16
TR17
TE17
E17
I17
TR18 TE18
E18
I18
TR19
TE19
E19
I19
En los casos en que exista una "buena enseñanza", la
responsabilidad de los resultados del aprendizaje (que
dependen del grado de sumisión) es exclusiva del alumno.
Cuando los procesos de enseñanza se realizan en un
contexto adecuado, la responsabilidad del aprendizaje
recae en el alumno.
La motivación proveniente de la propia acción es la clave
de los buenos resultados del aprendizaje.
Para que se dé aprendizaje es necesario que el alumno
otorgue significado a lo que aprende, siendo consciente de
su propio proceso de aprendizaje.
Hay una sobrevaloración implícita de los apuntes. El
alumno se esfuerza, por ello, en recoger en sus papeles
todo aquello que proviene del profesor.
El alumno, al enfrentarse a cada una de sus tareas
educativas, reproduce el proceso lógico mostrado por el
profesor, imitando así su estilo cognitivo.
El alumno pasa de actividad en actividad, participando
intensamente en cada una de ellas.
La actividad del alumno está organizada (interna o
externamente) hacia la búsqueda de respuestas a
determinados interrogantes.
Como entre la toma de apuntes y la preparación para la
valoración de los conocimientos del alumno no media
apenas actividad de aprendizaje, la atención adquiere una
excesiva relevancia.
La actividad del alumno no incluye un tiempo para la
reflexión sobre su propia acción.
El alumno toma conciencia de qué hace y para qué lo hace.
El alumno no se plantea procesar la información que recibe
del profesor, ni en forma ni en fondo.
La confianza del alumno en lo expuesto por el profesor,
inducida por la técnica empleada, le impide cuestionarse
sobre el fondo del contenido.
El ambiente dinámico que se propicia en la clase, permite
que el alumno comunique sus experiencias y sentimientos
con el profesor y los demás compañeros.
El alumno mantiene una actitud crítica ante las
informaciones que se movilizan en el aula.
164
0
1
2
3
4
Clave
TR2023
TE2023
E2023
I20-23
TR24
TE24
E24
I24
Papel del Profesor
Indicadores
El profesor transmite verbalmente los contenidos de
aprendizaje, mediante dictado de sus apuntes o alusión a
un libro de texto, realizando, por su caracterización como
especialista en contenidos, una reproducción literal de
los citados documentos.
El hecho de ser un técnico del contenido y del diseño
didáctico, permite al profesor organizar los contenidos de
aprendizaje, los cuales transmite mediante exposición,
utilizando estrategias organizativas/expositivas que
procuran ser atractivas.
Por su marcado carácter humanista y especialista en
dinámica de grupos, induce al alumno a participar en las
actividades que promueve, analizando las reacciones y
respuestas a sus propuestas.
El profesor provoca la curiosidad del alumno conduciendo
su investigación hacia la consecución de aprendizajes. Su
carácter de experimentador interactivo del contenido y
de los métodos, le obliga a analizar los procesos en el
contexto del aula (investigación-acción).
El profesor cifra la utilidad de coordinación con otros
profesores, a lo sumo, a nivel de negociación sobre los
contenidos mínimos de su área.
La coordinación con otros profesores se refiere a la
selección de contenidos (con un criterio de utilidad) o a su
organización.
El foco de la coordinación es la metodología, buscando
uniformidad en la caracterización de las actividades.
El profesor considera necesaria una coordinación sobre
todos los aspectos que caracterizan el diseño didáctico.
165
0
1
2
3
4
Clave
TR25
TE25
E25
I25
TR26 TE26
E26
I26
TR27
TE27
E27
I27
TR2829
TE2829
E2829
I28-29
TR30
TE30
Evaluación
Indicadores
El profesor concibe la evaluación como una actividad que
se debe realizar al final de cada una de las partes en las
que divide el aprendizaje del alumno, con el único fin de
medirlo.
El profesor cuestiona (para su eventual modificación futura)
el proceso de aprendizaje a la luz de los resultados
obtenidos al final de cada una de las partes en las que
divide el aprendizaje del alumno. Dichos resultados dan
asimismo una medida del aprendizaje individual.
El profesor concibe la evaluación como un sensor
permanente del aprendizaje que le permite reconducirlo en
cada momento, enfatizando la importancia del contexto
dentro del proceso de aprendizaje.
El profesor concibe la evaluación como un sensor
permanente del aprendizaje que le permite reconducirlo en
cada momento, orientando la enseñanza hacia los
aprendizajes previstos a través de contextos más
apropiados.
El profesor reduce a términos numéricos la adecuación de
los resultados finales de aprendizaje a lo previsto.
El profesor dispone de un informe de tipo cualitativo, tanto
del proceso como de los resultados de aprendizaje del
alumno.
El profesor dispone de un informe de tipo cualitativo, tanto
del proceso como de los resultados de aprendizaje del
alumno, así como de criterios para la cuantificación de
dicho informe.
El hecho de no disponer de criterios explícitos hace que la
valoración de los alumnos sea subjetiva.
El grado de aprendizaje del alumno se cataloga en base a
una taxonomía previa que se ha hecho explícita.
Dado que los criterios varían dependiendo del contexto y
del consenso alcanzado con los alumnos, la evaluación
queda poco definida.
El profesor da a conocer a los alumnos su propuesta
holística (compleja, completa y global) de criterios de
evaluación, así como el marco de negociación de los
mismos.
El profesor trata de medir la capacidad del alumno de
retener información a corto plazo, valorando la aplicación
mecánica de la misma.
El profesor trata de medir el grado de operatividad de los
objetivos, valorando los aspectos mecánicos de la
interpretación (procesos de traducción Matemática).
El profesor trata de medir el grado de implicación del
alumno en el quehacer del aula, así como la aplicación
significativa de sus conocimientos.
El profesor trata de medir el grado de implicación del
alumno y la significatividad y relevancia de sus
aprendizajes
Sean cuales sean las circunstancias y características del
desarrollo de la programación, los contenidos de
aprendizaje se mantienen idénticos a los establecidos
inicialmente.
Sean cuales sean las circunstancias y características del
desarrollo de la programación, los contenidos de
166
0
1
2
3
4
E30
I30
TR31 TE31
E31
I31
TR32
TE32
E32
I32
TR33
– TE
33
E33
I33
aprendizaje se mantienen idénticos a los establecidos
inicialmente, aunque se introducen eventualmente cambios
en su tratamiento.
El desarrollo de la programación permite negociar los
contenidos de aprendizaje en función de las demandas
contextuales.
A lo largo del proceso se van reformulando los contenidos
de aprendizaje, teniendo en cuenta los intereses del
alumno, la propia asignatura, el contexto educativo y el
propio proceso.
No se obtiene información personalizada de los alumnos a
lo largo del proceso.
De forma no organizada, se obtiene información
personalizada de los alumnos a efectos de introducir
mecanismos individuales de mejora.
Se obtiene información personalizada de los alumnos, de
manera organizada, a efectos de introducir mecanismos
individuales de mejora.
Cuando al final de un período del proceso el profesor toma
conciencia de que no se han producido los aprendizajes
deseables en los tópicos o unidades desarrolladas y se
plantea la consecución de los mismos, procede a repetir
dicho proceso de manera global.
Cuando al final de un período del proceso el profesor toma
conciencia de que no se han producido los aprendizajes
deseables en los tópicos o unidades desarrolladas y se
plantea la consecución de los mismos, procede a repetir
aquellos aspectos que considera estructuralmente más
relevantes.
Cuando en el desarrollo del proceso el profesor toma
conciencia de que los contenidos de aprendizaje o las
actividades que se realizan para éste no están en
concordancia con el campo de intereses de los alumnos,
reconduce la actividad o el proceso.
Cuando en el desarrollo del proceso el profesor toma
conciencia de que los contenidos de aprendizaje no están
en concordancia con el campo de intereses de los alumnos
o el grado de significado que éstos deberían otorgar a los
contenidos de la disciplina, cualifica su apreciación e
introduce variantes de tipo metodológico, disciplinar o
contextual, de forma individualizada.
El examen es el instrumento ideal para medir el aprendizaje
de los alumnos; además, el alumno debe dedicar un tiempo
expreso para su preparación, no necesariamente
coincidente con el período en el que se han desarrollado los
contenidos de aprendizaje, para garantizar la fijación y
maduración de lo impartido en clase.
El examen tiene connotaciones de índole psicológica que
influyen desfavorablemente en la actividad del alumno y en
las relaciones personales dentro del aula. No es, por tanto,
un buen instrumento para medir la evolución de los
alumnos.
El examen puede ser un instrumento educativo con el que
conseguir una doble finalidad; de aprendizaje, en la medida
en que es considerado como una actividad individual inserta
en el proceso de creación de conocimiento del alumno, y de
control de dicho proceso.
167
TR34
TE34
E34
I34
TR35
TE35
E35
I35
El diagnóstico inicial de los alumnos está basado
exclusivamente en los contenidos que, supuestamente, han
sido impartidos con anterioridad o la propia experiencia
anterior.
El diagnóstico inicial de los alumnos está basado en la
detección de errores conceptuales o procedimentales que
deberían ser corregidos antes de comenzar la ejecución del
proceso.
El diagnóstico inicial de los alumnos se cifra sobre el campo
de intereses de éstos.
El diagnóstico inicial debe poner de relieve todos aquellos
aspectos del conocimiento del alumno (conceptos,
procedimientos, actitudes, teorías implícitas,
concepciones,...) que, de una u otra manera, puedan
interferir en el proceso de enseñanza- aprendizaje. El
proceso de aprendizaje permitirá al alumno contrastar su
conocimiento ofreciéndole vías para su adecuación y
progresión.
Para la valoración del progreso de los alumnos, el profesor
utiliza los datos obtenidos en los controles, empleados para
medir la adecuación de los resultados finales de aprendizaje
a lo previsto.
Para la valoración del progreso de los alumnos, el profesor
utiliza los datos obtenidos en los controles, empleados para
medir el grado de consecución de los objetivos inicialmente
fijados.
Para la valoración del progreso de los alumnos, el profesor
utiliza el informe realizado en base a la revisión de las
tareas de éstos y su participación en las mismas.
Para la valoración del progreso de los alumnos, el profesor
utiliza la información obtenida en base al análisis del
cuaderno de clase, sus observaciones sistemáticas, los
datos provenientes de los exámenes y trabajos de grupo,
así como de los informes de investigación,...
168
Resumen de los datos obtenidos
Escriba en la casilla correspondiente, el valor obtenido.
Sume la columna para determinar los totales.
Metodología
Clave
#
Clave
#
Clave
TR1
TE1
E1
TR2
TE2
E2
TR3
TE3
E3
TR4
TE4
E4
Total
Total
Total
Met.TR
Met. TE
Met.E
Nota: Para determinar la última fila, utilice la siguiente fórmula
Sentido de la asignatura
Clave
TR5
TR6
TR7
Total
S.As.TR
#
Clave
TE5
TE6
TE7
Total
S.As.TE
#
Concepción del aprendizaje
Clave
#
TR8
TR9
TR10
TR11
TR12
TR13
TR14
Total
C.Ap.TR
Clave
TE8
TE9
TE10
TE11
TE12
TE13
TE14
Total
C.Ap.TE
#
Papel del Alumno
Clave
#
Clave
#
Clave
TR15
TE15
E15
TR16
TE16
E16
TR17
TE17
E17
TR18
TE18
E18
TR19
TE19
E19
Total
Total
Total
P.Al.TR
P.Al.TE
P.Al.E
Nota: Para determinar la última fila, utilice la siguiente fórmula
169
#
#
Clave
I5
I6
I7
Total
S.As.I
#
#
Clave
I8
I8
I10
I11
I12
I13
I14
Total
C.Ap.I
#
#
Clave
I15
I16
I17
I18
I19
Total
P.Al.I
#
∙
Clave
E8
E9
E10
E11
E12
E13
E14
Total
C.Ap.E
Nota: Para determinar la última fila, utilice la siguiente fórmula
Clave
I1
I2
I3
I4
Total
Met.I
∙
Clave
E5
E6
E7
Total
S.As.E
Nota: Para determinar la última fila, utilice la siguiente fórmula
#
∙
∙
Papel del Profesor
Clave
TR20-23
TR24
Total
P.Pr.TR
#
Clave
TE20-23
TE24
Total
P.Pr.TE
#
Clave
E20-23
E24
Total
P.Pr.E
Nota: Para determinar la última fila, utilice la siguiente fórmula
#
Clave
I20-23
I24
Total
P.Pr.I
#
#
Clave
I25
I26
I27
I28-29
I30
I31
I32
I33
I34
I35
Total
Eva.I
#
∙
Evaluación
Clave
#
Clave
#
Clave
TR25
TE25
E25
TR26
TE26
E26
TR27
TE27
E27
TR28-29
TE28-29
E28-29
TR30
TE30
E30
TR31
TE31
E31
TR32
TE32
E32
TR33
TE33
E33
TR34
TE34
E34
TR35
TE35
E35
Total
Total
Total
Eva.TR
Eva.TE
Eva.E
Nota: Para determinar la última fila, utilice la siguiente fórmula
∙
Resumen de los datos
Con base de los datos de las tablas anteriores, complete las columnas # de la siguiente tabla.
Clave
Met.TR
S.As.TR
C.Ap.TR
P.Al.TR
P.Pr.TR
Eva.TR
TR Total
#
Valor
Clave
Met. TE
S.As.
C.Ap.TE
P.Al.TE
P.Pr.TE
Eva.TE
#
Valor
TE Total
Clave
Met.E
S.As.E
C.Ap.E
P.Al.E
P.Pr.E
Eva.E
E Total
Simbología
TR: Tradicional
TE: Tecnológica
E: Espontaneísta
I: Investigativa
170
#
Valor
Clave
Met.I
S.As.I
C.Ap.I
P.Al.I
P.Pr.I
Eva.I
I Total
#
Valor
Anexo 6
Diferencial
semántico
171
UNIVERSIDAD NACIONAL
ESCUELA DE MATEMÁTICA
Diferencial semántico
Estimado (a) Joven:
Agradecemos su valiosa colaboración en la información y opinión que nos
proporcione.
Se trata de un instrumento denominado “diferencial semántico”, el cual sirve para
medir el nivel general de percepción que usted tiene sobre el tema de
factorización de polinomios.
Esta actividad forma parte de un estudio para presentar un proyecto de
graduación en la Universidad Nacional, que pretende determinar los factores que
impactan negativamente la factorización de polinomios en este grupo.
La información que proporcione será totalmente confidencial y los resultados del
estudio que sean publicados, serán presentados de manera general.
172
Diferencial semántico
Instrucciones: para cada pareja de objetivos calificativos, cuenta con siete
posiciones distintas. Marque con una equis (X) en el espacio en blanco que
más se aproxime a su valoración.
“Para mí el tema de factorización es”
FEO
BONITO
INÚTIL
ÚTIL
DIFICÍL
FACÍL
HORRIBLE
ATRACTIVO
ABURRIDO
ENTRETENIDO
CONFUSO
CLARO
FRUSTRANTE
MOTIVADOR
ESTRESANTE
RELAJANTE
COMPLICADO
SENCILLO
INNESESARIO
NESESARIO
DESPRECIABLE
APRECIABLE
NO IMPORTANTE
IMPORTANTE
DESAGRADABLE
AGRADABLE
173
Anexo 7
Guía para la
entrevista en
profundidad
174
Guía para la entrevista en profundidad
1. ¿Qué piensa de la forma en que el profesor explica el tema de
factorización?
2. Cuando el profesor explica, ¿usted entiende la materia?
3. Cuando da la clase, ¿el profesor permite participar a los estudiantes?
4. Al dar la clase, ¿el profesor va muy rápido o muy lento?
5. ¿El profesor atiende dudas?
6. Además de la pizarra, ¿el profesor utiliza algo más?
7. ¿Le gusta venir a clases de matemática cuando se da el tema de
factorización?
8. ¿Por qué?
9. ¿Entiende el tema de factorización?
10. ¿Realiza las prácticas de factorización asignadas por el docente?
175
11. ¿Cómo afronta los ejercicios que no puede resolver al primer intento?
12. ¿Le gusta el tema de factorización?
13. ¿Por qué?
14. ¿En su casa le ayudan a estudiar factorización?
15. ¿En su casa hablan con usted de lo que te acontece en el colegio?
16. ¿Cómo es la actitud de los compañeros hacia el tema de factorización?
17. ¿Cómo es el ambiente en clase cuando se da el tema de factorización?
18. ¿Cree usted que los estudiantes se interesan por el tema de factorización?
19. ¿Por qué?
20. ¿El aula es adecuada para recibir clases de matemática?
21. ¿Qué cree usted que se podría mejorar en el aula que ayude a mejorar los
resultados del aprendizaje?
22. ¿Cuáles factores cree usted que dificulta el aprendizaje de la factorización?
23. ¿Por qué?
176