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Unidad uno
Geometría y Trigonometría
4. TRIÁNGULOS
4.1 Definición y notación de triángulos
El triángulo es un polígono de tres
lados. Los puntos donde se cortan se
llaman vértices.
C
Los elementos de un triángulo son:
A
Lados, ángulos y vértices.
Los segmentos AB , BC y CA son
los lados.
Los puntos A,B y C son los vértices.
B
∠A , ∠B y ∠C
internos.
Δ ABC
son los ángulos
Un triángulo se designa por el símbolo
vértices .
Δ
, y para nombrarlo se utilizan las tres letras de sus
4.2 Clasificación de triángulos
Los triángulos se clasifican según la magnitud de sus lados y de sus ángulos internos.
EQUILÁTERO
a
a
SEGÚN SUS LADOS
ISÓSCELES
a
ESCALENO
a
a
a
Los tres lados tienen igual
magnitud.
c
c
Dos de sus lados son iguales y
el otro desigual.
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b
Los tres lados son de
diferente longitud.
Geometría y Trigonometría
SEGÚN SUS ÁNGULOS
OBLICUÁNGULOS
ACUTÁNGULO
OBTUSÁNGULO
C
RECTÁNGULO
C
A
Triángulos
C
B
Uno de sus ángulos internos es
un ángulo recto (90º).
A
B
A
B
Es el que tiene sus tres ángulos Es el que tiene un ángulo
internos agudos.
interno obtuso.
4.3 Rectas y puntos notables del triángulo
Los puntos notables de un triángulo son los puntos de intersección de las rectas notables,
llamadas: Altura, Mediana, Mediatriz y Bisectriz.
RECTA NOTABLE
• Altura
PUNTO NOTABLE
• Ortocentro
• Mediana
• Baricentro o gravicentro •
• Mediatriz
Circuncentro
• Bisectriz
• Incentro
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Unidad uno
Geometría y Trigonometría
ALTURA
A
MEDIANA
B
baricentro
ortocentro
C
B
A
C
La altura es una línea perpendicular que va de
un vértice al lado opuesto.
La mediana es la línea que une el punto medio
de un lado con el vértice opuesto.
El punto donde se cruza la prolongación de las
tres alturas se llama ortocentro.
El punto donde se cruzan las tres medianas se
llama baricentro o gravicentro.
MEDIATRIZ
A
BISECTRIZ
A
incentro
circuncentro
B
C
B
C
La mediatriz es una línea perpendicular a un
segmento que pasa por su punto medio.
La bisectriz es la línea que divide un ángulo
por la mitad.
El punto donde se cruzan las tres mediatrices
se llama circuncentro y está a la misma
distancia de los tres vértices.
El punto donde se cruzan las bisectrices de los
ángulos se llama incentro.
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Geometría y Trigonometría
Triángulos
EJERCICIO 4-1
INSTRUCCIONES.- Relaciona las columnas escribiendo dentro del paréntesis el número que
corresponda a la respuesta correcta.
1) Polígono de tres lados.
(
) Circuncentro
2) Triángulo que tiene todos sus lados diferentes.
(
) Equilátero
3) Es la línea que une el punto medio de un lado con el vértice
opuesto.
(
) Obtusángulo
4) Punto donde se cruza la prolongación de las tres alturas.
(
) Escaleno
5) Es una línea perpendicular a un segmento que pasa por su punto
medio.
(
) Incentro
6) Los triángulos se clasifican según sus:
(
) Vértices
7) Triángulo que tiene dos lados iguales y uno diferente.
(
) Triángulo
8) Punto donde se cruzan las tres medianas.
(
) Altura
9) Es la línea que divide un ángulo por la mitad.
(
) Mediatriz
10) Triángulo que tiene tres lados iguales.
(
) Isósceles
11) Triángulo que tiene un ángulo obtuso.
(
) Lados y ángulos
12) Punto donde se cruzan las bisectrices.
(
) Baricentro
13) Nombre del triángulo que sus tres ángulos son agudos.
(
) Mediana
14) Es una línea perpendicular que va de un vértice al lado opuesto.
(
) Ortocentro
15) Nombre del triángulo que tiene un ángulo recto.
(
) Acutángulo
16) Punto donde se cruzan las tres mediatrices.
(
) Bisectriz
(
) Rectángulo
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Unidad uno
Geometría y Trigonometría
4.4 Teoremas importantes sobre triángulos
TEOREMA 1: Los ángulos interiores de un triángulo suman 180º
C
l
d
c
e
a
b
A
B
HIPÓTESIS
TESIS
DEMOSTRACIÓN
a, b y c son los ángulos ∠a + ∠b + ∠c = 180º
Sea l la paralela a AB que pasa por C .
∠d + ∠c + ∠e = 180º
∠a = ∠d
Por formar un ángulo llano.
Por ser alternos internos entre
paralelas.
Por ser alternos internos entre
∠b = ∠e
paralelas.
∴ ∠a + ∠b + ∠c = 180º Por sustitución.
interiores del triángulo.
TEOREMA 2: Un ángulo externo de un triángulo es igual a la
suma de los ángulos internos no adyacentes a él.
n
m
HIPÓTESIS
∠s ángulo externo.
∠m y ∠n ángulos
internos no adyacentes
a ∠s
p
TESIS
∠s = ∠m + ∠n
s
DEMOSTRACIÓN
∠m + ∠n + ∠p = 180º
∠p + ∠s = 180º
∠m + ∠n + ∠p = ∠p + ∠s
∴ ∠m + ∠n = ∠s
Por el Teorema 1 de triángulos.
Por ser adyacentes.
Por la propiedad transitiva.
Porque una igualdad no se altera
si a los dos miembros se les
resta la misma cantidad.
∠ m+∠ n +∠ p −∠ p ∠ p + ∠ s −∠ p
=
Porque
∠ m+∠ n =∠ p
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Geometría y Trigonometría
Triángulos
TEOREMA 3: La suma de los ángulos exteriores de cualquier
triángulo vale cuatro ángulos rectos (360º).
B
y
b
z
a
c
A
x
HIPÓTESIS
∠a , ∠b y ∠c
C
TESIS
DEMOSTRACIÓN
∠x + ∠y + ∠z = 180º
∠a + ∠x = 180º
ángulos interiores.
∠b + ∠y = 180º
∠x , ∠y y ∠z
ángulos exteriores.
Por ser ángulos
adyacentes y formar
ángulos colineales o
llanos.
∠c + ∠z = 180º
∠a + ∠b + ∠c + ∠x + ∠y + ∠z = 540º Dos
∠a + ∠b + ∠c = 180º
∠x + ∠y + ∠z + 180º = 540º
∠x + ∠y + ∠z = 540º − 180 º
o
más
igualdades pueden
sumarse miembro a
miembro.
Por ser ángulos
interiores de un
triángulo.
Sustituyendo.
∴ ∠x + ∠y + ∠z = 360º
4.5 El Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se
llama hipotenusa; mientras que los otros lados se llaman catetos.
Hipotenusa
Pitágoras observa que para todos los triángulos rectángulos, los
cuadrados construidos sobre los catetos, al sumar sus áreas, se
obtiene un valor igual al área del cuadrado construido sobre la
hipotenusa.
Cateto
De acuerdo al Teorema de Pitágoras se establece que: En todo
triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de las longitudes de los catetos.
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Unidad uno
Geometría y Trigonometría
c 2 = a 2 + b2
FÓRMULAS PARA DETERMINAR LA LONGITUD DE LOS CATETOS
CATETO a
CATETO
HIPOTENUSA
2
2
2
2
2
2
2
2
a = c 2 − 2b
c =a +b
2
2
b =c −a
2
a = c −b
c= a +b
b
b = c −a
2
2
Ejemplos.
Encuentra el valor del lado que falta en cada uno de los siguientes triángulos.
1)
Como el dato buscado es la hipotenusa,
aplicamos la fórmula:
c
2
2
c= a +b
b = 16
Sustituyendo los valores, tenemos:
2
2
c = (34 ) + ( 16)
c = 1156 + 256
a = 34
c = 1412
40
c = 37 57
Geometría y Trigonometría
Triángulos
2)
Como se desconoce el cateto “b” aplicamos la
fórmula:
b = c 2 − a2
b
c = 39
Sustituyendo los valores, tenemos:
2
2
b = ( 39 ) − ( 15 )
b = 1521 − 225
b = 1296 b = 36
a = 15
3)
Como se desconoce el cateto “a” aplicamos la
fórmula:
2
c −b
a=
c =96
2
Sustituyendo los valores, tenemos:
b = 58
2
a = ( 96) − ( 58)
a = 9216 − 3364
a = 5852
a
41
2
a = 76 49
Unidad uno
Geometría y Trigonometría
EJERCICIO 4-2
INSTRUCCIONES.- Encuentra el valor del lado que falta en cada uno de los siguientes
triángulos rectángulos.
1)
2)
c
c
b=5
b =3
a =12
a =4
3)
4)
c =10
c =20
b
b
a =6
a =16
5)
6)
c=8
c =2.82
b =5.29
b =2.23
a
a
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