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Álgebra 1
1er. Cuatrimestre (2008)
Trabajo Práctico Nº 9 : Matrices
ÁLGEBRA DE MATRICES
Ej. 1: Dadas las matrices:
 0 2

A  
1 0
1 1

B  
5 0
y
Calcular:
a) A  B
b) A  B
 1 2

Ej. 2: Sean: A  
 k 1
c) 3A  2B
d) AB y BA
1 k 
1 3
 y C  
 , determinar k para que 2 A  B  C
B  
2 0
 0 2
Ej. 3: Justificar porqué no siempre es cierta la igualdad  A  B   A 2  2 AB  B 2 cuando A y B son dos
2
matrices cualesquiera.
Ej. 4: Dadas las siguientes matrices:
 1 2  3

A  
0 5 1 
0 
2


 1  2 
B
0
1 


 8  4


 1 6 1 5 


C  0
0 0 0
  2  5 1 0


1 0
2


D   5  2 0
 1 3 0 


Efectuar todos los posibles productos entre ellas (incluyendo D.D, son sólo 6 multiplicaciones).
Ej. 5: (Para estudiantes de Matemáticas)
Completar:
a) La combinación lineal de las columnas de A determinada por los escalares de la j-ésima
columna de B da ____________________________ de AB.
b) La combinación lineal de las filas de B determinada por los escalares de la i-ésima fila de A da
____________________________ de AB.
Ej. 6: a) Escribir las matrices traspuestas de :
1 2


A  3 4
5 6


 1 8 5  1


C  0 2 0 1 
 6 1 0  3


2 5 7

B  
 4 1 0
 
b) Verificar con las matrices anteriores que AT
 
c) Demostrar que para toda matriz A, A
T T
T
 
 A , BT
T
 
 B y CT
T
C
 A.
Ej. 7: Dadas las siguientes propiedades de la transposición de matrices, demostrar:
T
i)   R  A   A T .
ii) Si A y B son matrices m x n, entonces  A  B   AT  B T .
T
iii) Si A es una matriz m x n y B es una matriz de n x r, entonces  AB   B T A T .
T
1
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1er. Cuatrimestre (2008)
Ej. 8: Calcular x, y, z y t para que se cumpla la siguiente igualdad:
 2  1 x


 0 1  z
y  5 1


t   0 2 
 2 1
 hallar los números reales m y n tales que A  m A  n I  O
Ej. 9: Dada la matriz A  
 2 3
Ej. 10: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones en el que las incógnitas son matrices:

1
 2 X  Y  

2

 X  Y  1
1



4

0 
 1

0 
 2 / 3 1
 1 / 3 2 
 Y  

sol: X  
0 
 1 0
 0
1 2
2
 , compruebe que  A  I   O
Ej. 11: Dada la matriz A  
0 1
Ej. 12: a) Dar ejemplos de matrices 2  2 tales que: AB  O y A  O  B  O
b) Dar ejemplos de matrices 2  2 , A, B y C tales que verifiquen: AB  CB  A  C
MATRIZ INVERSA
Ej. 13: Definir Matriz Inversa de una matriz cuadrada.
Ej. 14: Escribir en forma matricial el siguiente sistema y resolver, sabiendo que la inversa de la matriz
formada por los coeficientes de las incógnitas es la dada:
 x  2y  4

y  z 1

x  2y  z  0

 3  2  2


A   1 1
1 
 1 0
1 

1
y
Ej. 15: a) Calcular la matriz inversa de las siguientes matrices, en los casos en que exista:
 1 1

A  
0
1


 1 2

B  

1
2


1 2 0 


E   0 1  1
1 2 1 


 3  2

D  

8
5


1
2
3
4




 1 0 1 1 
G
0 0 1 2


 1 2 4 5


 7 3

C  
2
1


 1 2 3


F   4 5 6
7 8 9


b) Comprobar que BB 1  B 1 B  I 2 x 2 y que EE 1  E 1 E  I 3 x3
c) ¿Cuál es la matriz inversa de la identidad?
2
.
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1er. Cuatrimestre (2008)
Ej. 16: Resolver en forma matricial los sistemas de ecuaciones siguientes:
1
x

a)  y  z  2
x  z  4

8
 x y

b) 
y  z  13
 x  2y
 13

2

Ej. 17: Considerar las siguientes matrices : A   1
0

T
y resolver la ecuación matricial A X  BX
c)
 2
 x  2y

 10 x  5 y  9 z  48

y  z  4

1 5
  1  1 1
1 0





0 3 , B   4
3 3 y C   0 0  .
  3  1 3
0 1
1 0 




C.
0 1 0


Ej. 18: Determinar los posibles valores de k para los cuales la matriz A   1 0 k  tiene inversa.
k 2 4


a
Ej. 19: Verificar que: si D  ad  cb  0 , entonces A  
c
1 d
A 1  
D  c
b
 tiene inversa y es
d 
 b
.
a 
Ej. 20: Aplicar la definición de matriz inversa para demostrar que si A y B son invertibles, entonces:
a)
A 
b)
 AB 1  B 1 A 1
c)
A 
d)
A1  1 A 1
1 1
T 1
 A.
 
 A 1

T
0
3