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Álgebra I
1er.cuatrimestre (2008)
Trabajo Práctico Nº 8: Sistemas de Ecuaciones Lineales y Método de
Eliminación de Gauss
En los siguientes ejercicios, al resolver un sistema de ecuaciones utilice el Método de
eliminación de Gauss y escriba el conjunto de soluciones en notación de conjuntos.
Ej. 1: Indicar cuáles de las siguientes ecuaciones son lineales:
a) 4 x 2  3x  9  0
d)
2 x   .y  5
b)  2 x  6 y  z  1  0
c) 2 x  y  6
e) z  3x  10
f) x  7 zy  3  0
Ej. 2: Sea x0 , y0 , z 0  solución de las ecuaciones ax  by  cz  d y ex  fy  gy  h .
Demostrar que x0 , y0 , z 0  también es solución de:
a) la ecuación que se obtiene al sumar las dos dadas.
b) la ecuación que se obtiene al multiplicar la primera por una constante real K.
Ej. 3:
i) ¿Qué relación debe haber entre los conjuntos de soluciones de dos sistemas de
ecuaciones para que estos sistemas sean equivalentes?
ii) Determinar, mediante razonamientos lógicos y ejemplos, cuáles de las
siguientes transformaciones dan un sistema equivalente al original:
a)
b)
c)
d)
e)
Sustituir dos o más ecuaciones por su suma.
Sustituir una ecuación por el resultado de multiplicarla por una constante K  0 .
Sustituir una de las ecuaciones por el resultado de sumarla con otra.
Sustituir una de las ecuaciones por el resultado de restarle otra.
Sustituir una ecuación por la suma de otras.
Ej. 4: En cada caso, determinar si los sistemas dados son equivalentes. Si no lo son,
exhibir el conjunto solución de cada uno:
x  y  5
2 x  2 y  10
a) 
; 
2 x  y  7
3x  12
 2 x  2 y  z  12
x  y  z  5

b) 
; 
1
x  y  7
 x  y  2 z  6
x  y  z  5
x  y  z  5

c)  x  y  7
;
2 x  2 y  z  12  x  y  7

 x  y  z  5  x  5 y  3z  13


d)  x  y  7
; x  y  z  5
x  y  1
2 y  z  4


Ej. 5: Resolver e interpretar geométricamente los siguientes sistemas de ecuaciones:
x  y  z  0

a) 
y  z  1

z2

x  y  z  6

y  z 1
b) 
x  2 y  7

x  y  z  6

c) 
y  z 1
x  2 y  0

 x  2 y  3z  2

d)  2 x  4 y  6 z  0
  x  2 y  3 z  2

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 2x  y  3
Ej. 6: Dado el sistema 
 x  y  4
a) Resolver e interpretar geométricamente en R2.
b) Añadir una tercera ecuación de modo que el sistema siga siendo compatible.
c) Añadir una tercera ecuación de modo que el sistema sea incompatible.
d) Interpretar geométricamente lo que se ha hecho en cada caso.
x  y  z  1
Ej. 7: Dado el sistema 
x  y  z  0
a) Demostrar que es indeterminado.
b) Añadir una ecuación, de modo que el sistema sea compatible determinado.
c) Añadir una ecuación, de modo que el sistema siga siendo indeterminado.
d) Añadir una ecuación, de modo que resulte un incompatible.
e) Interpretar geométricamente lo que se ha hecho en cada caso.
Ej. 8:
i) Resolver cada sistema, exhibir su conjunto de soluciones y clasificarlo:
 x  y  3z  4

a)  x  y  z  2
x  2 y  z  6

S =  1, 2,  1
 x  y  z  4

d)  x  y  z  6
3x  y  z  8

4 x  y  z  1

b) 3 x  2 y  2 z  1
5 x
1

Compatible Indeterminado
4 x  y  z  4

e)  x  y  4 z  1
2 x  y  7 z  3

S =  1, 5  ,  /   
4 x  3 y  7 z  7 w  11
 x y
1

c) 
y z
1


y  z  w 1
Compatible Determinado
2 x  y  3z  3

f)  x
 z 1
4 x  y  5 z  5

Incompatible
S=
 1,1, 0 
z4
 x
 x  y  2 z  4
 x  2y  z  3



g)  x  2 y  z  6 h)  3x  5 y  8 z  14
i)  3x  8 y  7 z   1

 x  3y  2z  0
 x  3y  4z   3
y  z 3



S=Ø
Compatible Indeterminado
Incompatible
j)
3
3
9

 3x  2 y  2 z  2

 2x  y  z  3
 4 x  2 y  2 z  6


Compatible Indeterminado
ii) Salvo en Ej. 8 c), interpretar geométricamente el sistema y su conjunto solución .
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Ej. 9: Determinar por definición la dependencia o independencia lineal de cada
conjunto vectores:
 1   3   1  
 3   4    1 

      
    
a)   1  ,  5  , 3  
b)  6  ,  6  , 2  
 2   8    2  
1   1   2  

      
    
Ej. 10: Determinar, por eliminación gaussiana, qué valor/es debe tomar la constante C
para que el sistema resultante sea:
i) Compatible determinado
 x  3y  2z  0

a)  2 x  y  z  0
 3 x  C y  3 z  0

ii) Compatible indeterminado
 x  2 y  z  6

b)  3x
z 0
 5x  4 y  C z  0

iii) Incompatible
1
 x y

c)  C x  3 y  z  9
 x
 4z  3

Ej. 11: Responder las siguientes preguntas. En caso de dar una respuesta afirmativa, dar
un ejemplo y verificarlo. Caso contrario, explicar.
a) Un sistema de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas, ¿puede ser compatible
determinado? ¿Puede se incompatible?
b) Un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas, ¿puede ser compatible y
determinado?
c) Un sistema homogéneo, ¿puede ser incompatible?
Ej. 12: Considerar un sistema de la forma:
a1 x  a 2 y  a 3 z  A

b1 x  b2 y  b3 z  B
c x  c y  c z  C
2
3
 1
 a1 
 b1 
 c1 
 
 
 
y los vectores a   a 2  , b   b2  y c   c 2  .¿Qué condición debe cumplir c con
a 
b 
c 
 3
 3
 3
respecto a los otros dos vectores para que, luego de hacer la eliminación gaussiana, la
tercera ecuación sea de la forma 0 = D ?
* Posición relativa entre dos Rectas:
Ej. 13: Considerar dos rectas en R3 con vectores directores d1 y d 2 . Sea S el conjunto
solución del sistema de ecuaciones que se obtiene al igualar sus ecuaciones
paramétricas. Determinar en cada caso su posición relativa:
a) d1 y d 2 paralelos y S   .
b) d1 y d 2 paralelos y S   .
c) d1 y d 2 linealmente independientes y S   .
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d) d1 y d 2 linealmente independientes y S   .
Ej. 14: Graficar y estudiar las posiciones relativas de cada par de rectas. Cuando se
corten, calcular el punto en que lo hacen.
 x  3  2  x  1  6
 x  1  5
 x 1




a)  y  2  3
b)  y  1  
 y 1  ,   
 y  3  3  ,   
z  5
 z  5  
z  
z  5




Sol: se cruzan
Sol: son la misma recta
 x  1  6 t
 x  3  2s
x  
x  3




,   
c)  y 1  s
 y  3  3 t s, t   d)  y  
y  3
z  1
z  2
z  0
z  




Sol: son paralelas
Sol: se cortan en el punto 3, 3, 0
x  5  t
 x   2  3s


s, t  
e)  y  2  t
 y  9  3s
z  t
z  7  s


Sol: se cortan en  2, 9, 7
x  0
x  2  


f)  y   3    y  3    ,   
z  4  
 z  5  


Sol: se cruzan
 x  7  3  x  1  3t


g)  y  2  2  y  2  2t  , t  
 z  1    z  1  t


Sol: son la misma recta
 x   2  3
x  y  z  0

h)  y 1  2
 

x

y

5
z

8

z  

Sol: son paralelas
* Posición de una Recta con respecto a un Plano:
Ej. 15: En cada caso, estudiar la posición relativa de la recta y el plano. Graficar.
 x  2  3

a) 2 x  y  3z  8 ;  y   1  3 ,   R
 z  

 x  0  3
x  0
     
  
c)  y    2   t   2  , t  R ;  y    0
 z  3  0
 z   4
     
  
5 x  3 y  2 z  5
b) 
; 4x  3y  7z  7 .
2 x  y  z  1
 3 0
    
  s 0   t 1  , s ,t  R .
  4  2
    
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* Posiciones relativas entre Planos:
Ej. 16: Dados los planos:
 :  8x  2 y  4 z  6
 : 4x  y  2z  3  0
 :  8x  2 y  4 z  7  0
 : 12 x  3 y  9 z  4
Determinar la posición relativa e intersección de:
a)  y 
b)  y 
c)  y 
d)  y 
Ej. 17: Estudiar la posición relativa de los planos:
x  1  

 :y  1 
z  4  

 ,  
;
 x   0
0 
1 
   
 
 
 :  y    0     2    1  ,  
 z  3
0 
0
   
 
 
Ej. 18: Para cada sistema de los ejercicios 5 y 8j):
a) Determinar si la intersección de los tres planos es vacía, si se trata de un
punto, una recta o un plano.
b) Identificar planos paralelos.