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RAZONES Y PROPORCIONES
RAZÓN
Es el resultado que se obtiene al compararse
dos cantidades homogéneas mediante una
determinada operación.
Si la comparación se realiza mediante una
diferencia,
la
razón
se
denomina
Razón Aritmética(R.A)
d = (b + c ) − a
P.A. Continua: Aquella en la que sus términos
medios son números iguales.
a -b=b-c
Cada término igual es media diferencial de los
demás.
Cada término diferente es tercera diferencial
Entonces:
b : media diferencial de a y c
c : tercia diferencial de a y b
Es decir: Antecedente - consecuente = R.A.
Media diferencial o Aritmética:
Si la comparación se realiza mediante un
división, la razón es denominada Razón
Geométrica
Es decir: Antecedente ÷ Consecuente = R.G
En general:
ra = a - b
rg = a ÷ b
donde :
ra
rg
a
b
: Razón Aritmética
: Razón Geométrica
: antecedente
: consecuente
PROPORCIÓN
Es la relación de igualdad que se establece
entre dos razones homogéneas.
Si la relación de igualdad se establece entre
dos
razones
aritméticas
se
llama
Proporción Aritmética.
b=
a+c
2
Tercera o Tercia diferencial:
c = 2b - a
CLASES DE PROPORCIONES
GEOMÉTRICAS
P.G. Discreta: Aquella en la que sus 4 términos
son diferentes:
a c
=
b d
Cada término es cuarta proporcional de las
demás.
d : cuarta proporcional de a, b y c
Cuarta proporcional:
Si la relación de igualdad se establece entre
2
razones
geométricas
se
llama
Proporción Geométrica.
En general:
P. Aritmética: a - b = c - d
Donde:
a y c : antecedentes
b y d : consecuentes
P. Geométrica:
a c
=
b d
Donde:
b y c : términos medios
a y d : términos extremos.
CLASES DE PROPORCIÓN ARITMÉTICA
P.A. Discreta: Aquella en la que sus 4 términos
son números diferentes.
a -b=c-d
Cada término es cuarta diferencial de los
demás. Así:
d=
P. G. Continúa: Aquella en la que los
términos medios son números iguales.
a b
=
b c
Cada término igual es media proporcional de
los otros dos, cada término diferente es tercera
proporcional de los demás.
Luego:
b : media proporcional de a y c
c : tercera proporcional de a y b
Media Proporcional o Geométrica:
b = ac
Tercera o Tercia Proporcional:
d : cuarta diferencial de a, b y c
Cuarta diferencial:
bc
a
c=
b2
a
a) 70
d) 80
PROPIEDADES
1.- Si
2 8
2 ± 3 8 ± 12
=
⇒
=
3 12
3
12
2 8 2 + 3 8 + 12
=
⇒
=
3 12 2 − 3 8 − 12
2 8
2 + 8 3 + 12
=
=
⇒
Si
3 12
2 − 8 3 − 12
2 8
2
8
=
=
⇒
Si
3 12 3 + 2 12 + 8
2 8
2
8
=
Si =
⇒
3 12
3 − 2 12 − 8
2 8
2+8 2
8
=
⇒
=
=
Si
3 12 3 + 12 3 12
2 8
2−8 2
8
Si
=
⇒
=
=
3 12 3 − 12 3 12
4.-
5.-
6.-
7.-
Se tiene dos terrenos, uno en forma
cuadrada y el otro en forma de triángulo
equilátero. Si el lado del primer terreno es al
lado del segundo como 5 a 3, la razón entre
las áreas es:
a) 100 3
b) 100 2
33
33
120
2
100
3
c)
d)
e)5/3
33
27
3
Los números a, b y c son entre sí como 2, 3
y 4. Hallar el menor número, sabiendo que:
a + b + c = 72
a) 4
d) 16
4
5
Ejemplo:
6
Ejemplo:
2 4 6 8
= = =
= k .....(I) ,
3 6 9 12
k=
2
3
Dada una serie de Razones Equivalentes
como (I) entonces:
7
1 Propiedad:
Ejemplo:
2+4+6+8
2
=k =
3 + 6 + 9 + 12
3
2 Propiedad:
AUTOEVALUACIÓN
1
La suma del antecedente y consecuente de
una razón geométrica es 120 y su razón es
0.5. ¿Cuál es la semidiferencia de dichos
números?
8
c) 6
b) 100
e) 140
c) 120
b) 40
e) 65
c) 35
De un grupo de hombres y mujeres se
retiran 20 mujeres quedando tres hombres
por cada mujer. Después se retiran 50
hombres y quedan entonces dos mujeres por
cada hombre. El número total de hombres y
mujeres al comienzo era igual a :
a) 110
d) 80
4
2 x 4 x 6 x8
16
2
Ejemplo:
= k4 =   =
3 x 6 x 9 x12
81
3
b) –2
e) 4
Dos números son entre sí como 7 es a 13.
Si al menor se le suma 140, para que el
valor de la razón no se altere, el valor del
otro número debe quintuplicarse. El menor
de los dos números es:
a) 30
d) 50
PROPIEDADES:
c) 24
En un corral se tienen ovejas y gallinas, la
razón de ovejas a gallinas es de 4 a 3. Si el
total de animales es de 280, el número de
ovejas es:
a) 160
d) 80
1 2 3 4
= = = = 0,5
2 4 6 8
b) 8
e) 32
Dos números enteros "x", “y” son
proporcionales respectivamente a 3 y 5, y
satisfacen la siguiente relación: 3x2 + 5y2 2xy = 488. Luego la diferencia "y -x", es:
a) 9
d) 2
SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS
EQUIVALENTES
Se denomina así al conjunto de más de 2
razones que tienen el mismo valor.
c) 20
2
2.- Si
3.-
b) 40
e) 60
b) 100
e) 70
c) 90
La razón de las estaturas de Paquito y
Vicentito están en la razón de 4 es a 3. Pero
Paquito le comenta a Vicentito mi padre fue
tan bajo que mide exactamente 5cms menos
que un metro y medio y además 10cms más
que tú. ¿Cuál es la estatura del gran Paquito
(en metros)?
a) 1,88
d) 1,78
b) 1,60
e) 1,80
c) 1,75
9
En un establo hay caballos negros y blancos.
El número de caballos negros es 3 veces el
número de caballos blancos. Si saco del
establo 13 caballos negros y los reemplazo
por 17 caballos blancos, la proporción inicial
se invierte. Calcular el número total de
caballos inicialmente.
a) 18
d) 28
b) 23
e) 30
c) 25
10 ¿Cuál es la mayor de las tres partes en que
se divide 205, de tal manera que la primera
sea a la segunda como 2 es a 5 y la
segunda sea a la tercera como 3 es a 4?
a) 80
d) 100
b) 85
e) 95
c) 90
16 La razón geométrica, entre dos números
cuya suma es 89, se invierte si se añade 23
al menor y se quita 23 al mayor. ¿Cuál es el
menor de dichos números?
a) 46
d) 23
b) 26
e) 33
c) 41
Resolución:
Sean los números que suman 89
A=n
y
B = 89 – n
n
89
−n
Razón original:
Añadiendo y quitando 23 al menor y mayor
de los términos:
n − 23
89 − n
=
⇒ n = 56
89 − n + 23
n
Luego, los números sera´n: A = 56 y B = 33
11 La razón aritmética de dos números es 7/12
y su razón geométrica es igual a 3 1/3. El
mayor de los números es :
a)
5
7
1 1
d)
5 8
b)
e)
1
4
5
6
c)
12 El número de alumnos del curso de Álgebra
es al número de alumnos del curso de
Literatura como 2 es a 5; si después de la
primera evaluación en el curso de Álgebra se
retiraron 80 alumnos, la nueva relación es de
2 a 7. ¿Cuál es el número de alumnos que
iniciaron el curso de Álgebra?
a) 439
d) 479
b) 419
e) 489
b) 1
e) 4
b) 180
e) 60
b) 9
e) 12
b) 1560
e) 1650
c) 1080
Resolución:
Sea:
A: votos a favor
E: votos en contra
E = 2730 (en contra )
E 7 × 390
=
⇒
A = 1560 (a favor )
A 4 × 390
2da votación: A’ + E’ = 4290
Se aprobó la moción
A' = 2640
A' 8 × 330
=
⇒
E' = 1650
E' 5 × 330
c) 2
c) 80
15 Determine la cuarta proporcional de: La
tercera diferencial de 14 y 13. La tercera
proporcional de 2 y 6, y la cuarta diferencial
de 2; 5 y 3
a) 8
d) 15
a) 1320
d) 1365
1era. Votación: A + E = 4290
14 A una fiesta asisten 400 personas entre
hombres y mujeres. El número de hombres
es al total de personas como 3 es a 5. Luego
de 2 horas por cada 2 hombres hay una
mujer. ¿Cuántas parejas se retiraron?
a) 40
d) 90
17 Un club tiene 4290 socios activos, tuvieron
que decidir sobre cierta moción, estando en
contra de ella una cantidad como 7, mientras
a favor solamente como 4. Luego de la
reconsideración, fue aprobada con una
relación de como 8 es a 5. No hubo
abstenciones.
¿Cuántas
personas
cambiaron de opinión?
c) 459
13 El producto de los términos extremos de una
proposición geométrica es 36 y la suma de
los términos medios es 12. ¿Cuál es la
diferencia entre los términos medios?
a) 0
d) 3
El menor de los números es 33
Los que cambiaron de opinión:
2640 - 1560 = 1080
18 Las posibilidades de ingresar a cierta
Universidad son de 1 a 10. Si se aumentan
en 20 el número de vacantes, las
posibilidades de ingresar son de 2 a 19. Si
luego se inscriben 1000 postulantes más.
¿Cuáles serán las posibilidades de ingreso
ahora?
a)
c) 6
d)
1
12
5
24
b)
e)
3
19
7
20
c)
4
19
19 La edad de A y B son entre sí como 5 es a 4;
la razón entre las edades de B y C es 3/7. SI
la suma de las edades de las tres personas
es 165. Hallar la diferencia entre la edad del
mayor y la del menor.
a) 48
d) 45
b) 49
e) 58
c) 46
20 La suma de tres números es 1425. La razón
del primero y el segundo es 11/3 y la
diferencia de los mismos es 600. ¿Cuáles
son los tres números?
a) 825; 235 y 375
c) 625; 225 y 375
e) 625; 225 y 275
b) 825; 225 y 375
d) 825; 225 y 275
21 “A” le da a “B” una ventaja de 20m en una
carrera de 200m, “B” le da una ventaja de
40m a “C” en una carrera de 360m.
¿Cuántos m. de ventaja debe dar A a C en
una carrera de 400m?
a) 60 m
d) 90 m
b) 70 m
e) 100 m
c) 80 m
22 El producto de los cuatro términos de una
proporción geométrica es 11664 y la
diferencia de los medios es 23. Hallar la
suma de los medios.
a) 27
d) 31
b) 23
e) 38
c) 46
23 En una proporción geométrica, la suma de
los cuadrados de sus cuatro términos es
442. Si la suma de los extremos es 21 y la
suma de los medios es 19. Hallar diferencia
entre los extremos.
a) 15
d) 9
24 Sabiendo que:
b) 20
e) 6
a b c
= =
m n p
c) 5
y además:
Calcular: T = 16 ( am + bn + cp )
b) 1360
e) 1020
c) 2360
N
A T Y 4
=
=
=
=
972 N A T Y
Hallar: N + A + T + Y
25 Si:
a) 430
d) 480
b) 460
e) 650
b) 14
e) 17
c) 15
x 3 y 3 Z3
. Además: 9y – x – z = 399
=
=
8
27 64
Hallar: x + y + z
a) 131
b) 141
c) 151
d) 161
e) 171
27 Si:
28 La cuarta proporcional de a, b y c es 96; por
otro lado la tercia proporcional de a y b es
72; además “O” es la tercia proporcional de 8
y 16. Hallar: a b + c
a) 59
d) 49
b) 64
e) 54
c) 75
29 La edad de A y B son entre sí como 5 es a 4.
La razón entre las edades de B y C es 3/7.
Si la suma de las edades de las tres
personas es 165. Halla la diferencia entre el
mayor y el menor.
a) 43
d) 34
b) 44
e) 57
c) 48
30 La suma de tres números es 502 y dos de
ellos están a la relación de 17 a 18. Si su
suma es 385. ¿Cuál es el menor número?
a) 114
d) 120
b) 117
e) 100
c) 119
31 La razón de dos números es 3/4 y los 2/3 de
su producto es 1152. Encontrar el mayor de
los números
a) 48
d) 62
b) 50
e) 33
c) 61
32 Hace 8 años, la relación de las edades de
dos hermanos es 2/5 y dentro de 12 años, la
razón sería 4/5. Hallar la edad del menor.
a) 8
d) 11
b) 9
e) 12
c) 10
33 En una proporción geométrica continúa, la
suma de los extremos es 34 y la diferencia
de los mismos es 16. Hallar la media
proporcional.
(a+b+c) . (m+n+p) = 7225
a) 1230
d) 2520
a) 13
d) 16
c) 448
26 Si “m” es la media proporcional de 9 y 4; “n”
es la cuarta proporcional de 8, m y 12.
Hallar: m + n
a) 13
d) 17
a b
c
34 Si:
= =
5 7 11
Hallar: a . b . c
a) 1020
d) 4050
b) 14
e) 19
y
c) 15
a2 + b2 + c2 = 780.
b) 3020
e) 4021
c) 3080
Gonzales
Caicedo
Walter Orlando
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