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Probabilidad y Estadística
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Variables aleatorias continuas y sus distribuciones de probabilidad
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Recordemos algunos conceptos.
Variable aleatoria. Sea S un espacio muestral asociado a un experimento. Una variable
aleatoria es una función real X definida sobre S, es decir,
X : S  IR
Las variables aleatorias se clasifican en discretas y continuas.
Variable aleatoria discreta. Una variable aleatoria X se dice discreta si sólo puede tomar un
número finito o infinito numerable de valores distintos.
Variable aleatoria continua. Una variable aleatoria X se dice continua si toma cualquier valor
en un intervalo.
La clase pasada estudiamos las variables aleatorias discretas y sus distribuciones de
probabilidad. Ahora vamos a estudiar las variables aleatorias continuas y sus distribuciones de
probabilidad.
Consideremos en primer lugar algunos ejemplos de variables aleatorias continuas:



La variable aleatoria que da la cantidad de precipitación diaria en un cierto lugar.
Toma valores en [0, )
La variable aleatoria que da las alturas (o pesos) de individuos de una cierta región.
Toma valores en [0, )
Otro ejemplo podría ser
La variable aleatoria que da el tiempo de vida útil de una computadora.
Toma valores en [0, )
Como cualquier equipo puede medir hasta cierta cantidad de decimales en realidad en
cualquiera de estos casos la variable aleatoria sólo puede tomar puede tomar cualquier
número racional no negativo. Sin embargo a los fines prácticos se considera que puede
tomar cualquier número real no negativo.
Además, considerando por ejemplo el último caso, es importante notar que, no significa
que se observaría en algún momento cualquier número real no negativo si se estudiaran una
cantidad suficiente de computadoras. Lo que significa es que no se puede descartar ningún
número real no negativo como un posible valor para el tiempo de vida útil de una
computadora. Esto también se aplica a los otros ejemplos.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA
CONTINUA.
Como vimos la clase pasada, cuando se usan variables aleatorias para estudiar problemas
estadísticos resulta de interés calcular, cuando se realiza el experimento asociado a X una vez,
por ejemplo:
la probabilidad de que dicha variable tome algún valor determinado
P(X = x) = P( {s  S : X(s) = x} )
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la probabilidad de que su valor sea menor o igual que determinado número
P(X  x) = P( {s  S : X(s)  x} )
la probabilidad de que su valor caiga dentro de ciertos límites
P(x1  X  x2) = P( {s  S : x1  X(s)  x2} ).
Estas probabilidades se pueden obtener a partir de la distribución de probabilidad de una
variable aleatoria. Si X es una variable aleatoria discreta la definición de la distribución de
probabilidad es la función p(x) que asigna a cada x la probabilidad de que la variable aleatoria X
sea igual a x, p(x) = P(X = x).
Si p(x) = P(X = x) es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X, los
valores p(x) cumplen,
1. 0  p(x)  1.
p(x) = 1
2.

xRgX
El concepto de distribución de probabilidad en el caso continuo es análogo al del caso
discreto. Para establecer la analogía se define la
Función de distribución de una variable aleatoria (discreta o continua).
Sea X una variable aleatoria. La función de distribución de X, es
F(x) = P(X  x), para  < x < .
Propiedades de una función de distribución.
Si F(x) es una función de distribución, entonces:
1. lim F(x) = 0.
x  
2.
lim F(x) = 1.
x
3. Si x1 < x2, F(x1)  F(x2).
4. F(x) es continua por derecha.
1. Aunque puede demostrase a partir de la definición, es intuitivamente claro que
lim F(x) = (se escribe) F() = P(X  ) = P() = 0.
x  
2. Similar a lo anterior
lim F(x) = (se escribe) F() = P(X  ) = P(S) = 1.
x
3. Si x1 < x2,
{X  x1}  {X  x2} P(X  x1)  P(X  x2)  F(x1)  F(x2).
La naturaleza de F(x) determinará si X es discreta o continua.
Ejemplo. El experimento consiste en tirar dos monedas distinguibles balanceadas.
S = {(cara, cara), (cara, seca), (seca, cara), (seca, seca)}
La variable aleatoria X : S  IR está dada por
X((s1, s2)) = cantidad de caras en (s1, s2),
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es decir,
X(cara, cara) = 2, X(cara, seca) = 1, X(seca, cara) = 1, X(seca, seca) = 0.
Como las monedas están bien balanceadas podemos usar la distribución de igual
probabilidad y según vimos la clase pasada la distribución de probabilidad p(x) está dada por:
p(0) = 1/4
p(1) = 1/2
p(2) = 1/4
Calculemos ahora la función de distribución
F(r) = P(X  r) para r  IR.
Para eso observemos que los valores que puede tomar X son
1
0
Si r < 0
Si 0  r < 1
Si 1  r < 2
Si 2  r
1
2
P(X  r) = P() = 0.
P(X  r) = P(X = 0) = p(0) = 1/4.
P(X  r) = p(0) + p(1) = 1/4 + 1/2 = 3/4.
P(X  r) = p(0) + p(1) + p(2) = 1/4 + 1/2 +1/4 = 1.
En este ejemplo se observan características que son comunes a todas las variables
aleatorias discretas.
La gráfica de F(x) en este caso es:
Se observa que F(x) es creciente y escalonada. Crece de a saltos en los valores que
puede tomar X. Esto se cumple para cualquier variable aleatoria discreta.
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La función de distribución F(x) de una variable aleatoria discreta X es no negativa, escalonada
creciente, incrementándose en un conjunto finito o infinito numerable de puntos.
En el caso de las variables aleatorias continuas se puede demostrar que la función de
distribución es continua.
La función de distribución F(x) de una variable aleatoria continua X es una función no negativa,
continua creciente.
Además, en el ejemplo de las dos monedas y en general en el caso discreto puede
obtenerse función de distribución F(r) a partir de la distribución de probabilidad
La función de distribución F(r) de una variable aleatoria discreta X puede obtenerse a partir de
la distribución de probabilidad p(x) usando
F(r) =
p(x).

x r
puede demostrarse que
Si F(x) es la función de distribución de una variable aleatoria continua X, entonces existe una
función no negativa f(x), llamada distribución de probabilidad o función de densidad de X, tal
que
x
F(x) =


f(t) dt
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La función de densidad f(x) tiene propiedades análogas a las de p(x):
Si f(x) es una función de densidad, entonces:
1. f(x)  0 para cualquier x.

2.

f(x) dx = 1.

Además de la definición de f(x):
Si la variable aleatoria X tiene función de densidad f(x) y si a  b, entonces
b
P(a  X  b) =

a
f(x) dx.
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Observar que
a
P(X = a) =

f(x) dx = 0.
a
Se puede interpretar esto pensando que cuando se mide tiempo, espacio, etc., estas
mediciones siempre van acompañadas de un error: 2 cm  0.1 mm, por lo tanto la probabilidad
de obtener un valor determinado es cero y se asigna más bien probabilidades a que los valores
de la variable aleatoria continua esté entre dos límites.
Como se hizo con las variables aleatorias discretas, también en el caso de las continuas
puede definirse el valor esperado, la variancia y la desviación estándar. Se tienen fórmulas
similares a las vistas en el caso discreto, donde
p(x) es reemplazado por f(x)
la suma se reemplaza por una integral.
Valor esperado de X. Sea X una variable aleatoria continua. El valor esperado de X es

E(X) =

x f(x) dx.

Variancia y desviación estándar.
La variancia de una variable aleatoria X es el valor esperado de (X  )2, es decir,

2 = E(X  )2 =


(x  )2 f(x) dx.
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La desviación estándar  es la raíz cuadrada de 2.
A continuación vamos a ver algunos casos particulares de distribuciones de
probabilidad que resultan adecuadas para modelar ciertas situaciones.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL
Esta distribución ya se encontró cuando se consideró la regla empírica. Lo cierto es que
muchas variables aleatorias asociadas a diferentes problemas tienen una distribución de
probabilidad que puede aproximarse muy bien con una normal.
La distribución de probabilidad normal o función de densidad normal f(x) es

f(x) =
e
( x )2
2 2
 2
Además
E(X) = 
 > 0,
 <  < ,
 < x < .
V(X) = 2.
Vemos que la definición involucra dos parámetros:

que es valor esperado de X y localiza el centro de la distribución.

que es la desviación estándar de X y mide su dispersión.
Su gráfica tiene forma de montaña o campana y se la llama campana de Gauss
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b
En este caso
P(a  X  b) =

a

e
( x )2
2 2
 2
dx.
Como no existe una solución exacta para estas integrales, los valores se determinan
usando métodos numéricos que dan valores aproximados. En la práctica estos valores pueden
obtenerse de tablas o usando programas que permiten calcularlos.
TABLAS
En lugar de dar diferentes tablas para diferentes valores de  y  se utiliza siempre la
tabla para la distribución normal estandarizada que tiene  = 0 y  = 1.
Como la gráfica es simétrica respecto de z = 0, P(z0  Z  0) = P(0  Z  z0)
por lo tanto en la tabla sólo se dan los valores P(0  Z  z0).
Z
0.00
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.06 0.07
0.08
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 0.1915
0.21557
0.6
0.7 0.2580
0.8
0.9
1.0 0.3413
0.09
0.3133
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La primer fila nos da el valor de z hasta un decimal, luego la primer columna lo da hasta
un segundo decimal, por ejemplo ubicar 0.35
P(0  z  0.7) = 0.2580 corresponde a la fila 0.7
P(0  z  1.0) = 0.3413 corresponde a la fila 1.0
P(0  z  0.57) = 0.2157 corresponde a la fila 0.5 columna 0.07
Usando estos valores puede obtenerse
P(0.57  z  0) = P(0  z  0.57) = 0.2157
P(0.57  z  0.57) = P(0.57  z  0) + P(0  z  0.57) = 2 P(0  z  0.57) = 2 
0.2157
P(0.57  z  0.7) = P(0.57  z  0) + P(0  z  0.7) = P(0  z  0.57) + P(0  z  0.7)
= 0.2157 + 0.2580.
P(0.57  z  0.7) = P(0  z  0.7)  P(0  z  0.57) = 0.2580  0.2157.
Supongamos que tenemos una variable aleatoria X con una distribución de probabilidad
normal con media  y desviación estándar . Para calcular
P(a  X  b)
usando la tabla anterior, asociamos con Xla variable aleatoria Z que tiene una distribución
normal estandarizada y está dada por
Z=
X 

.
Ejemplo. X es una variable aleatoria con una distribución de probabilidad normal con media  =
10 y desviación estándar  = 2. Encontrar la probabilidad de que X esté entre 11 y 11.78.
Para resolver este problema usando la tabla anterior asociamos con X la variable
aleatoria Z con distribución normal estandarizada dada por:
Z=
Para x1 = 11
Para x1 = 11.78
Luego
X 
X  10

2
11  10
z1 =
= 0.5
2
11.78  10
z1 =
= 0.89
2
=
P(11  X  11.78) = P(0.5  Z  0.89) = P(0  Z  0.89)  P(0  Z  0.5)
= 0.3133  0.1915
PROGRAMAS
También se pueden usar programas. Por ejemplo, el Excel tiene para la distribución
normal estandarizada la función:
DISTR.NORM.ESTAND(r) = P( < z  r),
o bien para una distribución normal cualquiera:
DISTR.NORM(r;mu;sigma;verdadero)
en la cual se calcula
r
P(  X  r) =



e
( x )2
2 2
 2
dx
b
MATLAB tiene la función:
normspec([a b], mu, sigma) = P(a  X  b) =

a

e
( x )2
2 2
 2
dx.
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Además dibuja la región.
normspec([8 10], 11, 2)
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