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Examen Temático de Materia Interestelar (Viernes 27 de Julio, 2014)
Instrucciones:
Elige y resuelve de la forma más clara posible 4 de los 5 problemas que se presentan a continuación. Si entregas los 5 se tomarán en cuenta solo los 4 con puntaje más alto.
Por favor utiliza páginas separadas para cada problema, indicando claramente el número del
mismo; utiliza sólo un lado de la hoja y no olvides escribir tu nombre completo en cada una
de ellas.
La duración del examen es exactamente de 2 horas.
Se permite el uso de calculadora, pero no de celulares, notas, libros u otro material de apoyo.
1. Tenemos una nube formada por dos capas plano-paralelas con la misma temperatura de excitación
(Tex ) y profundidades ópticas τ1 (para la capa más alejada del observador) y τ2 (para la capa
más cercana al observador, ver Figura 1). Considerando una ecuación de transferencia radiativa
de la forma
I(τν ) = I(0)e−τν + Sν (1 − e−τν ),
donde, Sν es la función fuente, τν es la profundidad óptica, I(τν ) e I(0) son las intensidades
especı́ficas observada e intrı́nseca, respectivamente.
(a) Calcula la temperatura de brillo observada (Tobs ), suponiendo que la temperatura atrás de
esta región es T0 . Supón también que es válida la aproximación de Rayleigh-Jeans,
Bν =
2ν 2 kB T
,
c2s
donde ν es la frecuencia, kB la constante de Boltzman, T la temperatura y cs es la velocidad
del sonido.
(b) Discute las diferencias con el caso que solo hubiera una capa con profundidad óptica τ1 + τ2 .
τ1, Tex
τ2, Tex
Hacia el observador
T0
Tobs
Figura 1: Nube plano paralela de dos capas a temperatura Tex , y con opacidades τ1 y τ2 , respectivamente
2. Una estrella caliente está inmersa en un medio de puro hidrógeno, con una estratificación de
densidad tal que ésta es uniforme y con valor n0 hasta una distancia R0 de la estrella. Más allá la
densidad disminuye de acuerdo a la ley,
2
R0
,
n(R) = n0
R
donde R es la distancia a la estrella (ver Figura 2).
(a) ¿Cuál es la tasa máxima de fotones ionizantes de hidrógeno que debe emitir la estrella para
ionizar una región con radio menor a R0 ?
(b) ¿Cuál es la tasa mı́nima de fotones ionizantes que debe emitir la estrella para poder ionizar
hasta infinito?
n
Da tus respuestas en términos de los parámetros de la estratificación de la densidad (n0 , R0 ) y
del coeficiente de recombinación del hidrógeno αR .
n0
∝ R−2
R0
R
Figura 2: Estratificacón de densidad alrededor de una estrella. La densidad tiene un núcleo de
densidad constante, rodeada de un perfil ∝ R−2 .
3. Considera un átomo/ión de dos niveles (→ con niveles 1 y 2 en orden de energı́a creciente)
(a) Plantea la ecuación de equilibrio estadı́stico para dicho sistema,
(b) con el resultado del inciso anterior y la ecuación n1 + n2 = n (donde n es la densidad total
del átomo/ión, n1 y n2 las densidades de los iones en los niveles 1 y 2, respectivamente),
demuestra que el coeficiente de emisión de la única lı́nea emitida:
j21 =
n2 A21 E21
4π
puede ser escrito en la forma
j21
nne q12
=
ne /ncrit + 1
E21
4π
,
en función de n, ne (densidad electrónica), E21 (energı́a de la transición), A21 (coeficiente de
Einstein de la transición espontánea), q12 (coeficiente de excitación colisional) y q21 (coeficiente de desexcitación colisional, metido dentro de ncrit ). Dar la expresión para la densidad
crı́tica ncrit en función de A21 , q12 y q21 ,
(c) demuestra que en el lı́mite de baja densidad (ne ncrit ) el coeficiente de emisión es proporcional a ne n, y que en el lı́mite de alta densidad es proporcional a n.
4. Considera un grumo esférico de hidrógeno molecular con masa m = 1 M y radio R = 0.1 pc que
es marginalmente estable con respecto a la inestabilidad gravitacional (m = MJeans ).
(a) Calcula la temperatura del grumo, T .
(b) Calcula el tiempo de caı́da libre del grumo, tff .
(c) Supón que el grumo se enfrı́a solamente debido a colisiones con granos de polvo, que los
granos de polvo se pueden considerar como esferas de radio r, que la densidad de masa de
cada grano es ρp , y que la densidad del polvo es ρd .
El tiempo de enfriamiento, tcool , estará dado por el tiempo promedio entre colisiones de
moléculas con granos de polvo. Suponiendo que la velocidad de los granos de polvo es mucho
menor que la velocidad de las moléculas del gas (debida solo a movimientos térmicos), y
tomando en cuenta que la sección eficaz de los granos de polvo es mucho mayor que la de
las moléculas, encuentra una expresión para el tiempo de enfriamiento en términos de T , r,
ρp , y ρd .
(d) Calcula el tiempo de enfriamiento en el grumo, tcool para r = 0.1 µm, ρp = 1 g cm−3 , y
ρd = Zρ, donde Z = 10−2 es la metalicidad y ρ la densidad del gas.
(e) De los incisos (b) y (d) verás que tcool < tff , por lo que es razonable suponer que al inicio del
colapso la temperatura se mantiene constante. Discute si es razonable suponer que el colapso
se mantendrá isotérmico mientras siga operando este mecanismo de enfriamiento y la única
posible fuente de calentamiento sea el calentamiento adiabático debido al colapso.
Recuerda que la longitud de Jeans, el tiempo de caı́da libre, y la energı́a térmica están dados
por LJeans = (πc2s /Gρ)1/2 , tff = (3π/32Gρ)1/2 , y Ether = 3kB T /2, respectivamente.
5. El tamaño de la burbuja formada por la interacción del viento de una estrella masiva con su
medio ambiente puede aproximarse como una solución autosimilar, de la forma
R(t) = A t3/5 .
Donde A es una constante que depende de la tasa de inyección de energı́a del viento y de la
densidad del medio ambiente.
(a) Encuentra el valor numérico del coeficiente A.
(b) Calcula el número de Mach al cual se mueve la burbuja después de 105 años de expansión.
(c) Suponiendo que el choque es adiabático y fuerte, estima la temperatura detrás del choque
principal como función del tiempo.
(d) Dada la temperatura calculada en el inciso anterior, ¿esperarı́as que las pérdidas radiativas
sean importantes en la evolución de este objeto después de 105 años? ¿ Es válida la suposición
de que el choque sea adiabático? Justifica tu respuesta (ayuda: en la Figura 3 encontrarás
una curva de enfriamiento del medio interestelar).
Datos adicionales:
El medio ambiente alrededor de la estrella es uniforme y consiste en hidrógeno neutro, a una
temperatura de 103 K y con una densidad numérica n0 = 1cm−3 . El tamaño de la burbuja
al cabo de 105 yr es de 10 pc.
Las condiciones de salto para un choque fuerte, se pueden escribir como:
u0
γ+1
ρ1
,
=
=
ρ0
u1
γ−1
-20
P1 =
2
ρ0 u20
γ+1
Sutherland & Dopita (1993)
-20.5
log(Λ) [erg cm3 s-1]
-21
-21.5
-22
-22.5
-23
-23.5
-24
4
4.5
5
5.5
6
6.5
log(T) [K]
7
7.5
Figura 3: Curva de enfriamiento del medio interestelar.
Constantes que puedes requerir:
G = 6.6729 × 10−8 dyn cm2 g−2 (constante gravitacional),
R = 8.3145 × 107 erg K−1 mol−1 (constante de los gases),
kB = 1.3807 × 10−16 erg K−1 (constante deBoltzmann),
mH = 1.66 × 10−24 g (masa del átomo de hidrógeno).
8
8.5