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Geometría Analítica …..Unidad 1
Geometría Analítica
El objetivo fundamental de la Geometría Analítica consiste en crear
representaciones visuales de los conceptos matemáticos mediante el uso de los
sistemas coordenados, como también de resolver algebraicamente los
problemas de la geometría.
Comenzaremos este estudio analizando las propiedades de las líneas rectas,
iniciando esto con la definición de segmento: es aquella parte de una línea recta
que queda entre dos puntos señalados sobre ella.
Sea L una línea recta sobre la cual hemos señalados los puntos A y B, la
porción de la recta comprendida entre los puntos A y B es un segmento cuyos
extremos son A y B, donde A es el origen y B en punto final del segmento.
Sistemas de Coordenadas: es un conjunto de valores que permiten definir
inequívocamente la posición de cualquier punto de un espacio Euclideo.
Sistema de coordenadas Lineal: Corresponde a la dimensión uno, el cual
representaremos con el eje X, en este eje hay un centro de coordenadas, que
representaremos con la letra O (de Origen). Un punto cualquiera de la recta
puede representarse con un número real, positivo si está situado a la derecha de
O, y negativo si esta a la izquierda.
Al punto A le corresponde el numero real x1, el cual recibe el nombre de
coordenada del punto A, para el punto B le corresponde la coordenada x2. Al
centro de coordenadas O (letra O) le corresponde la coordenada cero (cero). El
punto A con su coordenada es la representación grafica del numero real x1, y la
coordenada x1 es la representación analítica del punto A. La coordenada y su
punto lo escribiremos así: A(x1).
En un sistema coordenado lineal la distancia entre los puntos que definen un
segmento en una línea recta, es el valor absoluto de restar la coordenada del
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punto inicial al punto final, por lo que la distancia d entre dos puntos A y B de
coordenadas x1 y x2 esta dada por:
dAB = | x2 - x1 | = | AB |
AB Seria la longitud del segmento limitado por los puntos A y B que se podría
expresar también como BA , en ambos casos estas longitudes serian iguales, la
diferencia estriba en que un segmento dirigido en un sentido será considerado
de longitud positiva, mientras que en otro negativa, si consideramos el segmento
dirigido AB tiene una longitud positiva, entonces el segmento dirigido BA tiene
una longitud negativa y se cumple que: AB = - BA
Ejemplo. Calcular la distancia entre los puntos A(-3) y B(4), solución:
dAB = | 4 – (-3) | = |7| = 7
En donde la longitud del segmento AB = 4 – (-3) = 7, mientras la longitud del
segmento AB = -3 -4 = -7.
Ejemplo. Sea un punto P de coordenada 3, hallar los puntos que se encuentra a
una distancia de 2, solución:
Hay dos soluciones para este problema ya que hay un punto que esta a la
distancia de 2 unidades a la izquierda de P y otro punto que esta a la distancia
de 2 unidades a la derecha de P
Para el primer caso:
d = 2 = 3- x1
donde x1 = 3 – 2 = 1
d = 2 = x2 - 3
donde x2 = 3 +2 = 5
Para el segundo caso:
Sistema de coordenadas cartesiano: Este sistema está formado por dos rectas o
ejes, perpendiculares entre sí, generalmente un eje es horizontal y el otro vertical, que
al interceptarse forman ángulos rectos y dividen al plano donde están contenidos en
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cuatro partes llamados cuadrantes (I, II, III y IV), las cuales se enumeran en el sentido
contrario de las manecilla del reloj, como se muestra en la Figura:
Considerando que cada eje es una recta numérica que contienen todos los números
reales en forma creciente de izquierda a derecha en el eje horizontal y de abajo a
arriba en el eje vertical, es decir todos los números positivos están a la derecha y
arriba del origen (O) y los negativos a la izquierda y abajo del mismo origen. Al eje
horizontal se le llama eje de las X o de las Abscisas, y al eje vertical de las Y o de las
Ordenadas. Para la ubicación de un punto cualquiera en el plano se consideran las
distancias a los ejes, que son sus Coordenadas. La distancia de un punto al eje de las
Y es su Abscisa y la distancia al eje de las X es su ordenada. Las Abscisas se
representan por la letra X y las Ordenadas por la letra Y, es decir que las coordenadas
de un punto P son P(X, Y), las cuales se anotan como parejas ordenadas dentro de
un paréntesis y separadas por una coma. Las coordenadas del origen O son
(0,0).
La localización de un punto por medio de sus coordenadas se llama trazado del
punto, para trazar el punto A(2,5), fijamos la coordenada en el eje X que esta 2
unidades a la izquierda del origen, con lo cual representamos la abcisa del
punto, luego fijamos la coordenado del eje Y que esta a 5 unidades hacia arriba
del origen, con lo cual representamos la ordenada del punto como vemos en la
figura:
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Se debe prestar atención en no confundir el eje de las abscisas con el de las ordenadas: el
primer numero representa el de la abscisa x y, en consecuencia, se marca sobre el eje
horizontal de las x, mientras que el segundo es la ordenada y, por tanto, se indica sobre el
eje vertical de las y. Por ello, los puntos A (5, 2) y B (2, 5) tienen localizaciones muy
diferentes, como podemos observar en la figura anterior.
A continuación, se indican sobre un plano los puntos P (1, 3), Q (–3, 5), R (–2, –3), S (1, –
4).
Se observa que si ambas coordenadas son positivas, el punto se encuentra en el primer
cuadrante (I); si son ambas negativas, el punto se encuentra en el tercer cuadrante (III); si la
abscisa es negativa y la ordenada positiva, se localiza en el segundo cuadrante (II), y,
finalmente, si la abscisa es positiva y la ordenada negativa, se encuentra en el cuarto
cuadrante (IV). Por consiguiente, se puede afirmar que a cada pareja ordenada de puntos le
corresponde un punto del plano, y viceversa; a cada punto del plano le corresponde una
pareja ordenada de puntos.
Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano: Vamos a determinar una fórmula
mediante la cual podamos calcular, en todos los casos, la distancia entre dos puntos
de coordenadas conocidas. A(x1, y1) y B(x2, y2) los representamos en el sistema de
coordenadas, trazamos las perpendiculares AC y BD al eje de las x y EF al eje de
las y. Así mismo, trazamos el segmento AB para obtener el triángulo ABE. La gráfica
se muestra en la figura
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De la figura anterior, se tiene:
OC  x1 , CA  y1
OD  x 2 , DB  y 2
Si aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABE de la figura,
obtenemos:
2
2
2
( AB ) = ( AE ) + ( EB ) (1)
Pero:
d  AB
Y:
AE = CD = OD - OC = x2  x1
EB = DB - DE = DB - CA = y2  y1
Sustituyendo en (1):
d 2  ( x2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2
En donde la distancia queda finalmente:
d  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2 (2)
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Que es la fórmula para obtener la distancia entre dos puntos de coordenadas
conocidas, la cual es igual a la raíz cuadrada de la suma del cuadrado de la diferencia
de las abscisas, más el cuadrado de la diferencia de las ordenadas.
Para resolver un problema, se recomienda para todos los casos, se grafiquen los datos
disponibles antes de hacer operaciones.
EJERCICIOS:
1. Calcular la distancia entre los puntos: A(-3,2) y B(1,-1). Solución:
Aplicando la fórmula (2), la distancia entre dos puntos, tenemos:
AB  (3  1) 2  (2  1) 2  16  9  25  5
2. Calcular la distancia entre los puntos: P(6,5) y Q(-7,-3). Solución:
Según la fórmula (2), se obtiene:
PQ  (6  7) 2  (5  3) 2  169  64  233  15.23
3. Calcular el perímetro del triángulo cuyos vértices son: A(-4,6), B(6,2) y C(4,-4).
Solución:
Debemos calcular las longitudes de los lados AB ,
formula (2)
AC y
BC usando la
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AB  (4  6) 2  (6  2) 2  100  16  116  10,77
AC  (4  4) 2  (6  4) 2  64  100  164  12,8
BC  (6  4) 2  (2  4) 2  4  36  40  6,32
El perímetro es la suma de los lados del triangulo, así que:
Perímetro = AB + AC + BC = 10,77+12,8+6,32 = 29,89
4. Si el problema en vez de pedir el perímetro, hubiera pedido demostrar que los
puntos de los vértices del triangulo son los vértices de un triangulo isósceles,
cual seria su respuesta.
5. Determinar los puntos cuyas distancias al punto P(2,3) son de 4 unidades y cuyas
ordenadas son iguales a 5. Ver figura a continuación:
Hay dos puntos que pueden cumplir con esta condición Q1(x1, 5) y Q2(x2, 5),
cuyas distancia al punto P debe ser igual a 4, supongamos un solo punto Q(x,5)
su distancia al punto P seria:
QP  ( x  2) 2  (5  3) 2  ( x  2) 2  4  4
Elevando al cuadrado y simplificando:
( x  2) 2  4  16
( x  2) 2  12
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Extrayendo la raíz cuadrada:
x  2  3,46
Se tienen dos valores de x que satisfacen la ecuación anterior:
x2  2  3,46 por tan to : x2  5,46
x1  2  3,46 por tan to : x1  1,46
Los dos puntos buscados son: Q1(-1,46, 5) y Q2(5,46, 5)
División de un segmento de recta en partes proporcionales.
Vamos a determinar las coordenadas de un punto P que divida a un segmento de
recta AB de extremos conocidos, en partes tales que guarden entre sí la razón (0
relación) r 
AP
, consideremos el segmento AB , en donde A y B son dos puntos
PB
cualesquiera y se designan con las coordenadas A(x1, y1) y B(x2, y2). El punto que
divide al segmento es P(x, y), y la razón es r 
AP
, que quede claro que lo que se
PB
busca son las coordenadas del punto P. Ver figura:
De acuerdo con la figura los segmentos A1 P1 y P1 B1 guardan la misma relación que
los segmentos AP y PB , es decir:
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r
AP A1 P1 x  x1


PB P1 B1 x2  x
En donde:
r
x  x1
x2  x
de donde:
r ( x 2  x)  x  x1
rx 2  rx  x  x1
rx 2  x1  x  rx
rx 2  x1  x(1  r )
finalmente la abcisa del punto P será igual:
rx 2  x1
para r  1
1 r
Siguiendo el mismo procedimiento para las ordenadas, obtenemos:
x
r
AP A2 P2 y  y1


PB P2 B2 y 2  y
y
ry 2  y1
1 r
de donde:
para r  1
Para el caso particular de que P sea el punto medio r es igual a 1, por lo que las
coordenadas de P quedan:
x
x2  x1
y  y1
, y 2
2
2
Ejemplos:
6. Los extremos de un segmento de recta son: A(-3,-4) y B(4,2). Determinar sobre
dicho segmento un punto P que divide a este segmento según la razón r = 2.
Solución:
Su abcisa será: x 
(2)( 4)  (3) 8  3 5


1 2
3
3
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Su ordenada será: y 
(2)( 2)  (4) 4  4 0

 0
1 2
3
3
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El punto pedido P( ,0)
3
7. Dado el segmento de recta cuyos extremos son A(-6,8) y B(4,-2) Determinar el
punto P que lo divide en la relación
2
3
Solución:
x
( 2 )( 4)  6 8  18  10
3


 2
3 2
5
1  (2 )
3
y
( 2 )( 2)  8  4  24 20
3


4
3 2
5
1  (2 )
3
El punto P buscado es P(-2, 4).
8. Encontrar el punto medio M del segmento AB , sabiendo que: A(-8,-6) y B(4,2).
Solución:
x
48 4

 2
2
2
y
26 4

 2
2
2
El punto M buscado es: M(-2, -2).
Pendiente de un segmento
Se define como pendiente de un segmento, al grado de inclinación que dicho
segmento posee con respecto a un sistema coordenado. Matemáticamente se
dice que la pendiente de un segmento es una diferencia de ordenadas entre una
diferencia de abscisas y se denota con la letra m.
Sea los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) que definen el segmento AB su pendiente
será:
y  y1
m 2
x 2  x1
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Angulo de dos segmentos
Es la abertura formada por dos segmentos con un mismo origen llamado vértice
(punto de intersección de los dos segmentos)
Veamos la siguiente grafica:
En donde la tg 
BC y 2  y1

 m lo cual implica que m = tg 
CA x2  x1
Ejemplo:
Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(1, 6) y B(5, -2)
Solucion:
 26 8
m

 2
5 1
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