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ALGUNAS RELACIONES PARA RECORDAR:
División Áurea de un trazo: Consideremos el trazo:
AB AP

AP PB
Se dice que P divide de modo áureo al trazo AB. Es decir el mayor de los trazos es media
proporcional entre el trazo y el trazo menor.
De acuerdo a las medidas dadas se puede establecer que:
a
x

,
x ax
grado se obtiene:
x 2  a 2  ax
x 2  ax  a 2  0 , si se aplica la ecuación de segundo
X= 0,618
TRAZOS PROPORCIONALES EN EL CÍRCULO:
APLICACIONES VARIADAS:
16.- AB = 6 ; BC = 9
AC= 12
17.-Se tiene un trazo AB=18cm, y un punto P exterior a AB, AB: BP=2:5.Calcular la prolongación y
el trazo prolongado.
(45 y 63cm)
18.-Un trazo prolongado es el trazo como 15 es a 12.Calcular la prolongación si el trazo mide
45cm.
(11,25cm)
19.- Un trazo y su prolongación están en la razón 5:7. ¿En que razón están el trazo prolongado y su
prolongación?
(12:7)
20.- Un trazo y su prolongación están en la razón de 5:8; si la prolongación mide 60cm. ¿cuanto
mide el trazo?
(37,5cm)
21.- En la figura :
BC = 16 cm , AB = 20 cm , CD : ALTURA y CE : BISECTRÌZ.
CALCULE : 1.1.- AD
1.2.- DB
1.3.- AE
1.4.- EB
1.5.- DE.
22.- En un triángulo rectángulo, un cateto es el triple del otro .Si la hipotenusa mide 10 cm.
¿Cuánto mide la superficie del triangulo?
15
23.- En un triángulo rectángulo en C, uno de sus ángulos agudos es el doble del otro .Si se traza la
transversal de gravedad tc ¿Cuánto miden cada uno de los ángulos en que la transversal divide al
Angulo recto?
30 y 60
24.- El ángulo del centro de un circulo de 20 cm. , de radio 72º.¿A qué tanto por ciento del circulo
corresponde la superficie del sector correspondiente .¿Cuánto mide el arco que subtiende dicho
ángulo?
25.- Se traza una recta paralela a la diagonal menor de un rombo equilátero de lado 6 3 cm. a
15 cm. del vértice mas próximo .A que distancia se encuentra el punto de intersección de las
diagonales del rombo, del punto de intersección de las diagonales de su simétrico con respecto a
la recta?
39
26.- Se tienen dos triángulos equiláteros simétricos con respecto a una recta perpendicular a una
de las bisectrices. Si la distancia entre los vértices mas próximos de ambos triángulos es 36 cm., y
los centros de ambas circunferencias inscritas distan 48 cm. ¿Cuánto mide el lado del triángulo?
6 3
27.- Los centros de dos circunferencias circunscritas a dos triángulo equiláteros simétricos con
respecto a un punto que se encuentra en la prolongación de una bisectriz, distan 42 cm. ¿A qué
distancia del vértice más próximo se encuentra el punto, si el lado del triángulo mide 8 3 cm?
13
29.- En la figura los puntos P, Q, R y S están sobre la circunferencia de centro O.
Si QT:TP = 3:4, QT=6 Y ST=12, entonces RT mide:
30.- En la figura se tiene una circunferencia de centro O, radio r y diámetro AB.
Si por el punto medio M de OB, Se traza la cuerda CD perpendicular al diámetro, entonces la
longitud de la cuerda CD es :
31.- En la circunferencia de
ángulo AOB y del ángulo EAB
circunferencia entonces el
centro O, de la figura OE es bisectriz del
mide 20º. Si M esta sobre la
ángulo AMB mide
a) 180° - d°
32. - AO = 4x
; BO = 3x
;
OD = 3x
; CO = ?
33.- En la figura, se han trazado dos secantes desde un punto P exterior a ella.
Si AP = 10cm; PC = 12cm ; PD = 5cm. Entonces PB = ?
a)
b)
c)
d)
e)
6cm
7cm
12cm
24cm
30cm
TEOREMA GENERAL DE PITÁGORAS
1.- en la figura: h mide:
a)
21
15
4
b)13 15
c)
21
15
8
d)
21
35
2
e)
21
35
4
2.- el área del triangulo es:
a)48 5
b)12 5
c)24 5
d)36 7
e)15 7
3.-los lados de un triangulo son: 10 , 11 y 13 .la altura al lado menor del triangulo es:
a)
2
714
3
714
b)
3
4
714
c)
2
7
714
d)
2
5
714
e)
1
5
4.-el radio de la circunferencia circunscrita al triangulo cuyos lados miden: 20, 24 y 28 cm., mide:
a)
35
6
6
b)
33
7
6
c)
40
3
6
d)
35
12
8
e)
35
7
8
5.- el radio de la circunferencia inscrita a un triangulo de lados 20, 24 y 28 cm. Es:
a)
8
5
5
b)
e)
8
3
8
7
6
c)
4
3
6
d)
2
3
6
6
6.- el área de un triangulo equilátero cuyo lado mide 12 cm. es:
a)36 3
b)12 3
c)4 3
d)9 3
e)16 3
7.-el radio de la circunferencia inscrita a un triangulo equilátero de lado 6 cm. es:
a)6 3
b)2 3
c)3 3
d)2 3
e)
3
8.- en la figura: CD mide:
a)
2
5
712
b)
3
7
714
c)
2
5
714
d)
3
7
759
e)
4
7
512
9.-Si un triangulo equilátero se inscribe a una circunferencia de radio 2 3 , el lado del mismo es:
a)12
b)4
c)6
d)8
e)10
10.- si el lado y la altura de un triangulo equilátero suman :2(2+ 3 ).el lado del triangulo mide:
a)4
b)2
c)3
d)6
e)8
11.- el área de un triangulo isósceles cuya base mide 16 y cuyos lados iguales suman 20 es:
a)24
b)36
c)12
d)48
e)34
12.- el radio de la circunferencia inscrita a un triangulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8 cm.,
es:
a)4
b)2
c)6
d)3
e)5
13.-el perímetro de un triangulo equilátero mide 18 cm.Una de las alturas mide:
a)2 3
b)
1
2
3
c)4 3
d)3 3
e)5 3
14.-el perímetro de un triangulo isósceles cuya base es 12 es 32 cm.la altura a la base mide:
a)8
b)6
c)4
d) 10
e)9
15.-el area de un triangulo cuyos lados miden 12,14 y 16 cm es en cm 2
a)90.04 b)89.09 c)86.94 d)40.66 e)81.33
16.-en la fifura : R mide
A)7.02
B)4.57
C)3.28
D)2.81
E)2.56
17.-En la fig. R mide :
a)7.60
b)8.40
c)6.80
d)8.80
e)7.90
18.-La altura hc del triangulo ABC ,cuyos lados miden AB=10 ,AC=12 ,bc=14 es:
a)
12
5
6
b)
6
5
6
c)
8
5
6
24
5
d)
6
19.-el area del triangulo es :
a)48
b)24
c)36
d)96
E)106
20.-en la figura x mide :
a)8.6
b)9.6
c)11.8
d)6.9
e)6.8
21.-el area sombreada mide : (AB=10 ,AD=7 , DB=13 , BC=9 , DC=8 )
A)69.28 b)70.98 c)70.13 d)70.88 e)68.90
22.-en un triangulo rectangulo ,se circunscribe un circulo . El perímetro de este circulo en funcion
de los catetos a y b se expresa por ::
2
2
a)(a b )
b) a 2  b2 
C)

2
(a 2  b 2 )
d)2  (a  b)
e)N.A
23.-el perímetro de un circulo inscrito a un triangulo equilatero cuyo lado mide 12 cm es :
a)2 3
b)3 3
c)4 3
d)6 3
e)
c)8
d)6
e)4
24.-en la fig. x mide:
a)20
b)12
3
25.-el area sombreada mide :(AB=12 , AC=13
,
BC=15 )
a)87.96 b)23.50 c)46.10 d)43.98 e)36.24
.
26.-El perímetro de la figura sombreada del problema anterior es :
a)36.24 b)43.98 c)46.10 d)23.50 e)11.75
27.-en el triangulo ABC ,la altura al lado a mide :
a)6
b)4.5
c)3.6
d)10.39
e)26.58
28.-En la fig. el area del trapezoide es :
a)28.38 b)14.07 c)30.13 d)10.39 e)26.58
29.-la distancia entre los centros O y O’ .Si los triangulos son congruentes y equilateros de lado 6
cm.
a)2 3
b)3 3
c)4 3
d)6 3
e)
3
30.-El area sombreada mide : (AB=13
A)78.91 b)85.43 c)145.60
BC=12
d)116.09
AC=11 )
e)128.04