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CSIC/UIMP Máster en fonética y fonología
La evaluación de las evidencias
y la comparación forense del habla
Geoffrey Stewart Morrison
p(E|Hp )
p(E|Hd )
Enfoques, Marcos, y Paradigmas
Enfoques para la comparación forense del habla
? auditivo
? espectrográfico / auditivo-espectrográfico
? auditivo-acústico-fonético
? acústico-fonético-estadístico
? automático con supervisión humano
? completamente automático
Marcos para el análisis y la presentación del peso de
la evidencia
? identifición / exclusión / no concluyente
? probabilidad a posteriori numérica
? relación de verosimilitud numérica
? escala verbal de probabilidad a posteriori
? escala verbal de relación de verosimilitud
? marco reinounidense (3 niveles de consistencia, 5 de peculiaridad)
El Nuevo Paradigma para la
Evaluación de las Evidencias Forenses
? Uso del marco de relaciones de verosimilitud para la evaluación de
las evidencias
? Uso de mediciones cuantitativas, bases de datos representativas de
la población relevante, y modelos estadísticos
? Evaluación empírica de validez y fiabilidad bajo condiciones que
reflejan las condiciones del caso bajo investigación
? Transparencia sobre las decisiones tomados y los hecho cumplidos
como parte del análisis forense
El Nuevo Paradigma para la
Evaluación de las Evidencias Forenses
? Uso del marco de relaciones de verosimilitud para la evaluación de
las evidencias
– lógicamente correcta
– se adoptó para ADN a mediados de los años 90
– 2015 ENFSI guideline for evaluative reporting in forensic
science guía para la presentación de evaluaciones en la ciencia forense
El Nuevo Paradigma para la
Evaluación de las Evidencias Forenses
? Uso de mediciones cuantitativas, bases de datos representativas de
la población relevante, y modelos estadísticos
– transparente
– replicable
– más fácil para probar
El Nuevo Paradigma para la
Evaluación de las Evidencias Forenses
? Evaluación empírica de validez y fiabilidad bajo condiciones que
reflejan las condiciones del caso bajo investigación
– 1993 Daubert
– 2009 National Research Council Report
El Nuevo Paradigma para la
Evaluación de las Evidencias Forenses
? Transparencia sobre las decisiones tomados y los hecho cumplidos
como parte del análisis forense
– 2010 R v T
– comentarios sobre R v T
Relación de Verosimilitud I:
La Lógica
Imagina que conduces hacia el aeropuerto...
Imagina que conduces hacia el aeropuerto...
Imagina que conduces hacia el aeropuerto...
Imagina que conduces hacia el aeropuerto...
creencia
probabilística +
inicial
evidencia
creencia
probabilística
actualizada
¿más alta?
o
¿más baja?
Imagina que conduces hacia el aeropuerto...
creencia
probabilística +
inicial
evidencia
creencia
probabilística
actualizada
¿más alta?
o
¿más baja?
? Razonamiento Bayesiano:
– se trata de la lógica
– no se trata de formulas matemáticas
– no hay nada complicado ni extraño con esto
– es la manera lógica de pensar sobre muchos problemas
¿Thomas Bayes?
Pierre-Simon Laplace
Imagina que trabajas en un centro de reciclaje de zapatos...
? Te encuentras con dos zapatos del mismo tamaño
– ¿El hecho de que tienen el mismo tamaño indica que
proceden de la misma persona?
– ¿El hecho de que tienen el mismo tamaño indica que es muy
probable que proceden de la misma persona?
Imagina que trabajas en un centro de reciclaje de zapatos...
? Te encuentras con dos zapatos del mismo tamaño
– ¿El hecho de que tienen el mismo tamaño indica que
proceden de la misma persona?
– ¿El hecho de que tienen el mismo tamaño indica que es muy
probable que proceden de la misma persona?
? Tanto similitud como tipicidad
son importantes
Imagina que eres un experto forense en comparación de calzado...
zapato del
sospechoso
huella de la
escena del crimen
Imagina que eres un experto forense en comparación de calzado...
? La huella del zapato en la escena del crimen tiene un tamaño 43
? El tamaño del pie del sospechoso es 43
– ¿Cuál es la probabilidad de que la huella de la escena del
crimen sea 43 si la dejó el zapato del sospechoso? (similitud)
? La mitad de los zapatos en el centro de reciclaje son de tamaño 43
– ¿Cuál es la probabilidad de que la huella de la escena del
crimen sea 43 si la dejó el zapato de una persona seleccionada
al azar? (tipicidad)
Imagina que eres un experto forense en comparación de calzado...
? La huella del zapato en la escena del crimen tiene un tamaño 48
? El tamaño del pie del sospechoso es 48
– ¿Cuál es la probabilidad de que la huella de la escena del
crimen sea 48 si la dejó el zapato del sospechoso? (similitud)
? 1% de los zapatos en el centro de reciclaje son de tamaño 48
– ¿Cuál es la probabilidad de que la huella de la escena del
crimen sea 48 si la dejó el zapato de una persona seleccionada
al azar? (tipicidad)
Imagina que eres un experto forense en comparación de calzado...
? La huella del zapato en la escena del crimen tiene un tamaño 43
similitud / tipicidad = 1 / 0.5 = 2
encontrar la huella de tamaño 43 sería 2 veces más probable si
fuera hecho por el zapato del sospechoso en vez de si fuera
hecho por el zapato de una persona seleccionada al azar
Imagina que eres un experto forense en comparación de calzado...
? La huella del zapato en la escena del crimen tiene un tamaño 48
similitud / tipicidad = 1 / 0.01 = 100
encontrar la huella de tamaño 43 sería 100 veces más probable
si fuera hecho por el zapato del sospechoso en vez de si fuera
hecho por el zapato de una persona seleccionada al azar
Imagina que eres un experto forense en comparación de calzado...
? tamaño 43
similitud / tipicidad = 1 / 0.5 = 2
? tamaño 48
similitud / tipicidad = 1 / 0.01 = 100
? Sin tener una base de datos, ¿sería posible estimar subjetivamente
las proporciones relativas de los diferentes tamaños de zapatos
en la población y aplicar la misma lógica para llegar a una
respuesta conceptualmente similar?
¿Area?
similitud / tipicidad = relación de verosimilitud
Dado que es una vaca, ¿cuál es la probabilidad de que tenga 4 patas?
p( 4 patas | vaca ) = ¿?
Dado que tiene 4 patas, ¿cuál es la probabilidad de que sea una vaca?
p( vaca | 4 patas ) = ¿?
Dadas dos muestras de voz con propiedades acústicas x1 y x2, ¿cuál es
la probabilidad de que fueran producidas por el mismo locutor?
p( mismo locutor | propiedades acústicas x1, x2 ) = ¿?
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
-0.01
-0.02
-0.03
-0.04
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
-0.01
-0.02
-0.03
p( mismo locutor | propiedades acústicas x1, x2 ) = ¿?
p( mismo andante | tamaño xhuella, xzapato ) = ¿?
p( vaca | x patas ) = ¿?
Teorema de Bayes:
apuesta a posteriori
p( mismo locutor | propiedades acústicas x1, x2 )
p( diferente locutor | propiedades acústicas x1, x2 )
=
p( propiedades acústicas x1, x2 | mismo locutor ) × p( mismo locutor )
p( propiedades acústicas x1, x2 | diferente locutor ) p( diferente locutor )
relación de verosimilitud
apuesta a priori
Teorema de Bayes:
creencia
probabilística +
inicial
evidencia
creencia
probabilística
actualizada
¿más alta?
o
¿más baja?
¡¡¡ Sin Embargo !!!
El científico forense actuando como testigo experto
NO puede dar una probabilidad a posteriori. NO
puede dar la probabilidad de que dos muestras de voz
fueran producidos por el mismo locutor.
¿Por qué no?
? El científico forense no sabe las probabilidades a priori.
? Determinar la probabilidad de culpabilidad (si es lo que indica la
decisión “mismo locutor”) es la tarea del juzgador de los
hechos (trier of fact: juez, panel de jueces, o jurado), no la del
científico forense.
? La tarea del científico forense es presentar el peso de la evidencia
que se puede extraer de las muestras del habla.
Teorema de Bayes:
apuesta a posteriori
p( mismo locutor | propiedades acústicas x1, x2 )
p( diferente locutor | propiedades acústicas x1, x2 )
=
p( propiedades acústicas x1, x2 | mismo locutor ) × p( mismo locutor )
p( propiedades acústicas x1, x2 | diferente locutor ) p( diferente locutor )
relación de verosimilitud
apuesta a priori
Teorema de Bayes:
apuesta a posteriori
p( mismo locutor | propiedades acústicas x1, x2 )
p( diferente locutor | propiedades acústicas x1, x2 )
=
p( propiedades acústicas x1, x2 | mismo locutor ) × p( mismo locutor )
p( propiedades acústicas x1, x2 | diferente locutor ) p( diferente locutor )
relación de verosimilitud
apuesta a priori
responsabilidad del
juzgador de los hechos
Teorema de Bayes:
apuesta a posteriori
p( mismo locutor | propiedades acústicas x1, x2 )
p( diferente locutor | propiedades acústicas x1, x2 )
=
p( propiedades acústicas x1, x2 | mismo locutor ) × p( mismo locutor )
p( propiedades acústicas x1, x2 | diferente locutor ) p( diferente locutor )
relación de verosimilitud
responsabilidad del
científico forense
apuesta a priori
responsabilidad del
juzgador de los hechos
Relación de Verosimilitud
p( propiedades acústicas x1, x2 | mismo locutor )
p( propiedades acústicas x1, x2 | diferente locutor )
p( tamaño xhuella, xzapato | mismo andante)
p( tamaño xhuella, xzapato | diferente andante)
p( x patas | vaca )
p( x patas | no vaca )
p( E | Hprosecución )
p( E | Hdefensa )
Ejemplo
? La probabilidad de observar las propiedades acústicas de la grabación del
delicuente sería 4 veces más probable si fuese la voz del
sospechoso contra si fuese la voz de una persona seleccionada al
azar de la población relevante.
?
Sea cual sea su creencia anterior sobre las probabilidades relativas
de que la voz sea del sospecho contra de que sea de otra
persona, después de oír la relación de verosimilitud el juzgador
de los hechos debe cambiar su creencia de tal manera que debe
pensar que la probabilidad relativa de que sea la voz del
sospechoso contra de que sea otro locutor será 4 veces más alto
de lo que fuese antes.
Ejemplo: La evidencia es 4 veces más probable dada la hipótesis de
mismo locutor que dada la hipótesis de diferente locutor
multiplicar
este por 4
antes
después
1
1
1
1
1
diferente
mismo
si antes pensaba que
la hipótesis de mismo locutor
y la de diferente locutor
estaban igualmente probable
1
1
1
1
1
4
diferente
mismo
ya debe pensar que la
probabilidad de la hipótesis
de mismo locutor es 4 veces
más probable que la hipótesis
de diferente locutor
Ejemplo: La evidencia es 4 veces más probable dada la hipótesis de
mismo locutor que dada la hipótesis de diferente locutor
multiplicar
este por 4
antes
después
1
1
1
1
1
1
2
diferente
mismo
si antes pensaba que
la hipótesis de mismo locutor
estaba 2 veces más probable
que la hipótesis
de diferente locutor
1
1
1
1
1
1
1
1
8
diferente
mismo
ya debe pensar que la
probabilidad de la hipótesis
de mismo locutor es 8 veces
más probable que la hipótesis
de diferente locutor
Ejemplo: La evidencia es 4 veces más probable dada la hipótesis de
mismo locutor que dada la hipótesis de diferente locutor
multiplicar
este por 4
antes
1
2
1
1
1
diferente
mismo
si antes pensaba que
la hipótesis de diferente
locutor estaba 2 veces más
probable que la hipótesis
de mismo locutor
después
2
1
1
1
1
1
1
4
diferente
mismo
ya debe pensar que la
probabilidad de la hipótesis
de mismo locutor es 8 veces
más probable que la hipótesis
de diferente locutor
Ejemplo: La evidencia es 4 veces más probable dada la hipótesis de
mismo locutor que dada la hipótesis de diferente locutor
multiplicar
este por 4
antes
después
1
1
8
8
1
1
1
1
1
1
1
1
diferente
mismo
si antes pensaba que
la hipótesis de diferente
locutor estaba 8 veces más
probable que la hipótesis
de mismo locutor
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
diferente
mismo
ya debe pensar que la
probabilidad de la hipótesis
de diferente locutor es 2
veces más probable que la
hipótesis de mismo locutor
Relación de Verosimilitud II:
Pasado, Presente, Futuro
RV y el pasado
? 1906 nuevo juicio de Alfred Dreyfus
? Jean-Gaston Darboux, Paul Émile Appell, Jules Henri Poincaré
RV y el presente
? Se adoptaron para ADN a mediados de los años 90
RV y el futuro
? Crece el apoyo para la postura de que el marco de la relación de
verosimilitud representa la lógica correcta para le evaluación y
interpretación de las evidencias forenses
RV y el futuro
? Crece el apoyo para la postura de que el marco de la relación de
verosimilitud representa la lógica correcta para le evaluación y
interpretación de las evidencias forenses
? 2011 declaración de postura*
– 2010 fallo R v T del tribunal de apelación de Inglaterra y Gales
– 31 firmantes
– la respaldó ENFSI,
58 laboratorios en 33 países
? 2015 ENFSI guideline for evaluative reporting in forensic science
*Evett IW, Aitken CGG, Berger CEH, Buckleton JS, Champod C, Curran JM, Dawid AP, Gill P, González-Rodríguez J, Jackson G, Kloosterman A, Lovelock T,
Lucy D, Margot P, McKenna L, Meuwly D, Neumann C, Nic Daeid N, Nordgaard A, Puch-Solis R, Rasmusson B, Radmayne M, Roberts P, Robertson
B, Roux C, Sjerps MJ, Taroni F, Tjin-A-Tsoi T, Vignaux GA, Willis SM, Zadora G (2011). Expressing evaluative opinions: A position statement,
Science & Justice, 51, 1–2. doi:10.1016/j.scijus.2011.01.002
RV y el futuro
? Crece el apoyo para la postura de que el marco de la relación de
verosimilitud representa la lógica correcta para le evaluación y
interpretación de las evidencias forenses
? 2012 respuesta*
– borrador de la norma australiana de interpretación de las
evidencias forenses
– 22 respaldaron
– 5 respuestas propias
*Morrison GS, Evett IW, Willis SM, Champod C, Grigoras C, Lindh J, Fenton N, Hepler A, Berger CEH, Buckleton JS, Thompson WC, González-Rodríguez J,
Neumann C, Curran JM, Zhang C, Aitken CGG, Ramos D, Lucena-Molina JJ, Jackson G, Meuwly D, Robertson B, Vignaux GA (2012). Response to
Draft Australian Standard: DR AS 5388.3 Forensic Analysis - Part 3 - Interpretation.
http://forensic-evaluation.net/australian-standards/#Morrison_et_al_2012
RV y el futuro
? Crece el apoyo para la postura de que el marco de la relación de
verosimilitud representa la lógica correcta para le evaluación y
interpretación de las evidencias forenses
? 2012 NIST/NIJ informe sobre análisis de huellas dactilares latentes*
– grupo de trabajo de 34 expertos
– otros contribuyeron
Expert Working Group on Human Factors in Latent Print Analysis (2012). Latent Print Examination and Human Factors: Improving the Practice through a
Systems Approach (US Department of Commerce, National Institute of Standards and Technology).
http://www.nist.gov/manuscript-publication-search.cfm?pub_id=910745
Relación de Verosimilitud III:
Cálculo
Datos discretos
Relación de Verosimilitud
p( propiedades acústicas x1, x2 | mismo locutor )
p( propiedades acústicas x1, x2 | diferente locutor )
p( tamaño xhuella, xzapato | mismo andante)
p( tamaño xhuella, xzapato | diferente andante)
p( x patas | vaca )
p( x patas | no vaca )
p( E | Hprosecución )
p( E | Hdefensa )
Datos discretos: gráfico de barras
1
vacas
no vacas
proporción
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
2
3
4
5
patas
6
7
8
Datos discretos: gráfico de barras
1
0.98→
vacas
no vacas
proporción
0.8
0.6
←0.49
0.4
0.2
0
1
2
3
4
5
patas
6
7
8
p( 4 patas | vaca )
p( 4 patas | no vaca )
Datos discretos: gráfico de barras
1
0.98→
vacas
no vacas
proporción
0.8
p( 4 patas | vaca )
p( 4 patas | no vaca )
0.6
0.98
0.49
←0.49
0.4
0.2
0
1
2
3
4
5
patas
6
7
8
=2
Datos continuos univariados
Datos continuos: histogramas → funciones de densidad de probabilidad
0.014
(a)
(b)
0.012
0.010
0.008
0.006
0.004
0.002
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
rectangle width: 10
200 0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
80
100
120
140
160
180
200
rectangle width: 5
0.014
(c)
(d)
0.012
0.010
0.008
0.006
0.004
0.002
0
0
20
40
60
rectangle width: 2.5
80
100
120
140
160
180
200 0
20
40
60
rectangle width: 0.1
Datos continuos: histogramas → funciones de densidad de probabilidad
0.014
(a)
(b)
0.012
0.010
0.008
0.006
0.004
0.002
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
rectangle width: 10
200 0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
rectangle width: 5
0.014
(c)
(d)
μ = 100
σ = 30
0.012
0.010
0.008
0.006
0.004
0.002
0
0
20
40
60
rectangle width: 2.5
80
100
120
140
160
180
200 0
20
40
60
rectangle width: 0.1
80
100
120
140
160
180
200
modelo del
sospechoso
densidad de probabailidad
0.025
0.020
0.015
0.010
modelo de la
población
0.005
0
0
20
40
60
80
100
x
120
140
160
180
200
RV = 0.021 / 0.005 = 4.02
0.025
modelo del
sospechoso
densidad de probabailidad
0.021
0.020
0.015
0.010
modelo de la
población
0.005
0.005
0
0
20
40
60
80
100
x
120
140
160
valor
del
culpable
180
200
Datos multivariados
sin correlación
2
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
-2
-2
0
2
0
0
0.2
0.4
Prueba A:
fdp univariada x = 0.242
fdp univariada y = 0.242
fdp Bayesiano ingenuo (x*y) = 0.059
fdp bivariada = 0.059
0.1
0.2
0.3
0.4
-2
0
2
Prueba B:
fdp univariada x = 0.242
fdp univariada y = 0.242
fdp Bayesiano ingenuo (x*y) = 0.059
fdp bivariada = 0.059
con correlación
2
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
-2
-2
0
2
0
0
0.2
0.4
Prueba A:
fdp univariada x = 0.242
fdp univariada y = 0.242
fdp Bayesiano ingenuo (x*y) = 0.059
fdp bivariada = 0.094
0.1
0.2
0.3
0.4
-2
0
2
Prueba B:
fdp univariada x = 0.242
fdp univariada y = 0.242
fdp Bayesiano ingenuo (x*y) = 0.059
fdp bivariada = 0.025
Modelo de Mezclas Gaussianas
Modelo de Fondo Universal
(Gaussian Mixture Model - Universal Background Model, GMM-UBM)
Reynolds DA, Quatieri TF, Dunn RB (2000) Speaker verification using adapted Gaussian mixture models.
Digital Signal Processing, 10, 19–41. doi:10.1006/dspr.1999.0361
Modelos de Mezclas Gaussianas
0.035
modelo del sospechoso
modelo de fondo
0.030
0.025
0.020
0.015
0.010
0.005
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Datos de Fondo
x 10
-3
1.5
1
0.5
0
1980
1990
380
2000
390
400
2010
410
2020
420
2030
430
2040
440
Modelo de Fondo
Datos del sospechoso
x 10
-3
1.5
1
0.5
0
1980
1990
380
2000
390
400
2010
410
2020
420
2030
430
2040
440
Adaptación del Modelo del Sospechoso
Adaptación del Modelo del Sospechoso
Adaptación del Modelo del Sospechoso
Adaptación del Modelo del Sospechoso
Modelo del Sospechoso
Datos del culpable
Relación de Verosimilitud IV:
Población Relevante
Imagina que eres un experto forense en comparación del pelo...
? Todos los testigos dicen que el delicuente tiene pelo rubio
? El sospechoso tiene pelo rubio
? ¿Qué haces?
Imagina que eres un experto forense en comparación del pelo...
? Todos los testigos dicen que el delicuente tiene pelo rubio
? El sospechoso tiene pelo rubio
p( tener pelo rubio | el sospechoso)
p( tener pelo rubio | otra persona)
Imagina que eres un experto forense en comparación del pelo...
? Todos los testigos dicen que el delicuente tiene pelo rubio
? El sospechoso tiene pelo rubio
p( tener pelo rubio | el sospechoso)
p( tener pelo rubio | otra persona)
? ¿Cuál es la población relevante?
Imagina que eres un experto forense en comparación del pelo...
? Todos los testigos dicen que el delicuente tiene pelo rubio
? El sospechoso tiene pelo rubio
p( tener pelo rubio | el sospechoso)
p( tener pelo rubio | otra persona)
? ¿Cuál es la población relevante?
– Estocolmo
– Pekín
? Se necesita una muestra de la población relevante
? Una relación de verosimilitud es la respuesta a una pregunta
específica definido por la hipótesis de la prosecución y la
hipótesis de la defensa.
? La hipótesis de la defensa especifica la población relevante.
? El científico forense tiene que hacer explícito la pregunta que ha
contestado para que el juzgado de los hechos pueda:
– entender la pregunta
– considerar si la pregunta es apropiada
– entender la respuesta
Relación de Verosimilitud V:
Falacias de Interpretación
Falacia del Fiscal
? Científico Forense:
– La probabilidad de obtener las propiedades acústicas del la voz en
la llamada telefónica sería mil veces más probable si fuese la voz
del acusado en vez de si fuese la voz de otra personal seleccionada
al azar de la población relevante.
? Fiscal:
– Entonces, para simplificar: es mil veces mas probable que la voz
de la llamada telefónica es la voz de acusado de que es la voz de
otra persona.
Falacia del Fiscal
? Científico Forense:
– La probabilidad de obtener las propiedades acústicas del la voz en
la llamada telefónica sería mil veces más probable si fuese la voz
del acusado en vez de si fuese la voz de otra personal seleccionada
al azar de la población relevante.
p( E | Hprosecución )
p( E | Hdefensa )
? Fiscal:
– Entonces, para simplificar: es mil veces mas probable que la voz
de la llamada telefónica es la voz de acusado de que es la voz de
otra persona.
p( Hprosecución | E )
p( Hdefensa | E )
Falacia del Abogado Defensor
?
Científico Forense:
– Sería mil veces más probable obtener las propiedades medidas de huella
dactilar parcial si su origen fuese el dedo del acusado contra de si fuese de un
dedo de otra persona.
?
Abogado Defensor:
– Bueno, dado que hay aproximadamente un millón de personas en la región, y
bajo la asunción de que cualquiera de ellos pudiera haber dejado la huella,
empezamos con una apuesta a priori de uno dividido por un millón, y
multiplicando por mil llegamos a una apesta a posteriori de uno dividido por
mil. Uno dividido por mil es un número pequeño. Dado que es mil veces más
probable que la huella procede de otra persona de que procede de mi cliente,
sostengo que la huella dactilar no prueba que mi cliente estuve presente en la
escena del crimen y que el jurado deba desatender de la evidencia de la huella
dactilar.
apuesta a priori × relación de verosimilitud = apuesta a posteriori
(1 / 1 000 000) × 1 000 = 1 / 1 000
Falacia de Números Grandes
? Científico Forense:
– Obtener las propiedades medidas del ADN encontrado en la
escena del crimen sería un billón veces más probable si fuera la
ADN del acusado contra de si fuera la ADN de otra persona en el
país.
? Juzcador de los Hechos:
– Un billón es un número grande. Está cierto que el ADN procede
del acusado. Puedo descartar cualquier otra evidencia que sugiere
que no procedió de él.
Evaluación I:
Validez
Morrison GS (2011). Measuring the validity and reliability of forensic likelihood-ratio systems.
Science & Justice, 51, 91–98. doi:10.1016/j.scijus.2011.03.002
Validez y Fiabilidad
(Exactitud y Precisión)
no válido, fiable
no válido, no fiable
válido, fiable
válido, no fiable
valor
verdadero
promedio
mala exactitud
mala precisión
buena exactitud
mala precisión
mala exactitud
buena precisión
buena exactitud
buena precisión
Validez y Fiabilidad en la Ciencia Forense
? El Informe al Congreso del National Research Council sobre
Strengthening Forensic Science in the United States (2009)
urgió la adopción de procedimientos que incluyen:
? “quantifiable measures of the reliability and accuracy of forensic
analyses” (p. 23)
? “the reporting of a measurement with an interval that has a high
probability of containing the true value” (p. 121)
? “the conducting of validation studies of the performance of a
forensic procedure” (p. 121)
Evaluación Empírica de la Validez
de un Sistema de Comparación Forense
Medir Validez
? El conjunto de prueba consiste de un gran número de pares, unos
del mismo origen y otros de diferentes orígenes
? El conjunto de prueba debe representar la población relevante y las
condiciones del caso bajo investigación
? Se usa el sistema de comparación forense para calcular una RV por
cada par de muestras de prueba
? Para cada par de muestras de prueba, se compara la salida del
sistema con el conocimiento que se tiene sobre la entrada
Medir Validez
? La tasa de clasificación correcta / la tasa de clasificación errónea no
es apropiada
– se basa en probabilidades a posteriori
– se usa un umbral en vez de presentar un valor gradiente
decisión
hecho
mismo
diferente
mismo
aceptación
correcta
rechazo
incorrecto
diferente
aceptación
incorrecta
rechazo
correcto
Medir Validez
? La validez se indica por el grado hasta que los de pares de muestras
del mismo origen tengan RV > 1, y los de diferentes orígenes
tengan RV < 1
? La validez se indica por el grado hasta que los pares de muestras
del mismo origen tengan log(RV) > 0, y los de diferentes
orígenes tengan log(RV) < 0
RV
1/1000
1/100
1/10
1
10
100
1000
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
log10(RV)
Medir Validez
? Una medida continua que capta la validez de un conjunto de
relaciones de verosimilitud procedentes de datos de prueba es
el coste del logaritmo de la relación de verosimilitud, loglikelihood-ratio cost, Cllr
Brümmer N, du Preez J (2006). Application independent evaluation of speaker detection,
Computer Speech & Language, 20, 230–275. doi:10.1016/j.csl.2005.08.001
1 æç 1
Cllr = ç
2 è Nmo
æ
1 ö
1
÷÷ +
log 2 çç 1 +
å
RVmoi ø Ndo
è
i =1
N mo
N do
å log
j =1
2
ö
1 + RVdoj ÷÷
ø
(
)
9
8
7
6
Cllr
5
4
3
2
1
-3
-2
-1
0
1
Log10 Relación de Verosimilitud
2
3
Ejemplo de Evaluar la Validez
de un Sistema de Comparación Forense
Sistema y Datos
Morrison, G. S. (2013). Vowel inherent spectral change in forensic voice comparison. In Morrison, G. S., & Assmann, P. (Eds.), Vowel inherent spectral change
(ch. 11 / pp. 263–282). doi:10.1007/978-3-642-14209-3_11
? Sistema acústico-fonético:
– doble objetivo: valor del “objetivo inicial” y del “objetivo final” en
ejemplos de /aI/
– trayectorias: valores de coeficientes de polinomios cúbicos ajustados a
las trayectorias del los formantes en ejemplos de /aI/
– Aitken & Lucy (2004) MVKD
– calibración de regresión logística
– 25 locutores masculinos de inglés australiano
– 2 grabaciones no-contemporaneas
(24 ejemplos / grabación)
– validación cruzada
2000
frequency (Hz)
? Base de datos:
2500
1500
1000
500
0
0.05
0.1
0.15
time (s)
0.2
0.25
Resultados
? doble objetivo
1
Cllr = 0.43
0.9
0.8
Cllr = 0.10
Cumulative Proportion
? trayectoria
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10
-5
0
Log10 Likelihood Ratio
5
Evaluación II:
Gráficos Tippett
Gráficos Tippett
1
proporción cumulativa
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−6
−4
−2
0
log10(RV)
2
4
6
Gráficos Tippett
1
proporción cumulativa
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−6
−4
−2
0
log10(RV)
2
4
6
Gráficos Tippett
1
proporción cumulativa
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−6
−4
−2
0
log10(RV)
2
4
6
Calibración y Fusión
Morrison, G. S. (2013).
Tutorial on logistic-regression calibration and fusion: Converting a score to a likelihood ratio.
Australian Journal of Forensic Sciences, 45, 173–197. doi:10.1080/00450618.2012.733025
Calibración
Calibración:
? Puntuaciones cuantifican la similitud de pares de muestras teniendo en cuenta
la tipicidad de las mismas.* Sin embargo, los valores absolutos de
puntuaciones no se puede interpretar como si fueran logaritmos de
relaciones de verosimilitud.
? La calibración transforma una puntuación en el logaritmo de una relación de
verosimilitud
– en GMM-UBM, cada puntuación procede de múltiples muestras
obtenidas de la grabación del culpable
*Existen puntuaciones que solo toman en cuenta similitud. Estas no son aptas para la calculación be relaciones de verosimilitud.
Calibración
? “All models are wrong and should be recalibrated empirically.”
Welling (2012) observación en Neumann C, Evett IW, Skerret J. (2012) Quantifying the weight of evidence
from a forensic fingerprint comparison: a new paradigm. Journal of the Royal Statistical Society A, 175,
371–415. doi:10.1111/j.1467-985X.2011.01027.x
– violaciones de supuestos de modelización
– datos limitados
– gran número de variables
– fdp complejos
– problemas con dependencia estadística
“The fact that [a model] is an approximation does not necessarily detract from its
usefulness because all models are approximations. Essentially, all models are wrong, but
some are useful.”
Box GEP, Draper NR (1987). Empirical model-building and response surfaces. Oxford: Wiley. p.424
Calibración de Regresión Logística Univariada:
? Traslado y cambio de pendiente linear de las puntuaciones
? Penaliza mucho a las puntuaciones que soporten mucho a las
hipótesis contrarias a la verdad
– funciona de manera continua
? Resulta en un logaritmo de relación de verosimilitud
Brümmer N, du Preez J (2006). Application independent evaluation of speaker detection, Computer Speech &
Language, 20, 230–275. doi:10.1016/j.csl.2005.08.001
van Leeuwen DA, Brümmer N (2007). An introduction to application-independent evaluation of speaker recognition
systems. In: Müller C, editor. Speaker Classification I: Fundamentals, Features, and Methods. Heidelberg, Germany:
Springer-Verlag, p. 330–353. doi:10.1007/978-3-540-74200-5_19.
RV = 0.021 / 0.005 = 4.02
0.025
modelo del
sospechoso
densidad de probabailidad
0.021
0.020
0.015
0.010
modelo de la
población
0.005
0.005
0
0
20
40
60
80
100
x
120
140
160
valor
del
culpable
180
200
probabilidades
a priori iguales
p(x) =
f(x|Hmo)
densidad de probabilidad
Calibración
0.4
modelo de
diferentes orígenes
0.3
modelo del mismo origen
0.2
0.1
0
f(x|Hmo)+f(x|Hdo)
1
p(x)
RV =
1-p(x)
0.4
0
4
f(x|Hmo)
f(x|Hdo)
0.6
0.2
y = a + bx
a=0
b=1
2
log(RV)
RV =
probabilidad
0.8
0
-2
-4
-4
-3
-2
-1
0
1
puntuación
2
3
4
densidad de probabilidad
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
probabilidad
0.8
0.6
0.4
0.2
0
4
y = a + bx
a=1
b=1
2
log(RV)
Calibración
0
-2
-4
-4
-3
-2
-1
0
1
puntuación
2
3
4
densidad de probabilidad
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
probabilitad
0.8
0.6
0.4
0.2
0
4
y = a + bx
a=0
b = 0.5
2
log(RV)
Calibración
0
-2
-4
-4
-3
-2
-1
0
1
puntuación
2
3
4
densidad de probabilidad
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
probabilitad
0.8
0.6
0.4
0.2
0
4
y = a + bx
a=1
b=2
2
log(RV)
Calibración
0
-2
-4
-4
-3
-2
-1
0
1
puntuación
2
3
4
Table 1. Performance of Neumann et al.16 fingerprint/finger-mark systems (defined
according to number of minutiae exploited) pre-calibration (Cllr for scores) and postcalibration (Cllr for LRs).
num. minutiae:
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0.150
0.122
0.112
0.046
0.123
0.032
0.138
0.016
0.185
0.018
0.196
0.009
0.235
0.007
0.212
0.009
0.223
0.009
0.174
0.014
1
0.9
0.8
Proporción Cumulativa
Cllr for scores
Cllr for LRs
3
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-12
-9
-6
-3
0
3
Log10 Relación de Verosimilitud
6
9
12
Fusión
Fusión:
? Fusión transforma un conjunto de múltiples puntuaciones en un logaritmo de
una relación de verosimilitud
– puntuaciones procedentes de múltiples sistemas que han analizados las
mismas grabaciones
– puntuaciones procedentes de múltiples unidades fonéticas de la misma
grabación
? Regresión logística
– con probabilidades a priori iguales (apuesta a priori = 1) el objetivo de la
optimización es Cllr
Fusión de Regresión Logística Multivariada:
? Combina conjuntos paralelos de puntuaciones
– puntuaciones procedentes de múltiples sistemas que han comparados las
mismas grabaciones de voz
– puntuaciones procedentes de múltiples fonemas procedentes de las
mismas grabaciones de voz
? Toma en cuenta la correlación entre los conjuntos de puntuaciones
– suma las puntuaciones con pesos
– y = a + bx1 + cx2 . . .
? Calibra → relaciones de verosimilitud como salida
Pigeon S, Druyts P, Verlinde P (2000). Applying logistic regression to the fusion of the NIST’99 1-speaker submissions. Digital Signal
Processing, 10; 237–248. doi:10.1006/dspr.1999.0358
Fusión
? Conjuntos de puntuaciones paralelos
Loc01 v Loc01
Loc01 v Loc02
Loc01 v Loc03
:
:
Loc02 v Loc02
Loc02 v Loc03
:
:
x1
x2
+5
-3
-1
+1
-2
-1
+6
+1
+3
-2
Fusión
4
log
(RV
)=
0
2
0
x2
-2
-4
-6
x1
-8
-6
-4
-2
x1
0
2
4
y = a + bx1 + cx2
a = –0.93 b = +0.97 c = +2.32
x2
Ejemplo de Fusión
Morrison, G. S. (2011). A comparison of procedures for the calculation of forensic likelihood ratios from acoustic-phonetic data:
Multvariate kernel density (MVKD) versus Gaussian mixture model – universal background model (GMM-UBM). Speech
Communication, 53, 242–256. doi:10.1016/j.specom.2010.09.005
? 2 grabaciones no contemporáneas de cada uno de 27 locutores masculinos de
inglés australiano, habla leído, calidad de estudio
? transformada de coseno discreta (TCD) de 3º orden ajustadas a las trayectorias
de F2 de ejemplos de:
/aI/, /eI/, /oU/, /aU/, /I/
? 16–20 ejemplos de cada fonema de cada grabación
? Calculo de relaciones de verosimilitud por GMM-UBM
? Validación cruzada
Ejemplo de Fusión
Cllr
/aI/
0.375
/eI/
0.367
/oU/
/aU/
/I/
1
0.9
0.326
0.455
0.311
0.8
cumulative proportion
sistema
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
fusado
0.035
0.1
0
-12
-9
-6
-3
0
log10(LR)
3
6
9
12
Evaluación III:
Fiabilidad
Morrison GS (2011). Measuring the validity and reliability of forensic likelihood-ratio systems.
Science & Justice, 51, 91–98. doi:10.1016/j.scijus.2011.03.002
Medir Fiabilidad
? Imagia que tenemos tres grabaciones (A, B, C) de cada locutor
? A tiene las mismas condiciones (estilo de habla, canal de
transmisión, duración, etc.) como la grabación del delicuente
? B y C tienen las mismas condiciones como la grabación del
sospechoso
? Usamos LRs calculados a base de pares A-B y A-C para estimar un
intervalo de credibilidad (IC) de 95%
Medir Fiabilidad
? Dos pares para cada comparación del mismo locutor
grab. del sospech.
001
B
001
C
002
B
002
C
:
:
grab. del delicuente
001
A
001
A
002
A
002
A
:
:
Medir Fiabilidad
? Cuatro pares para cada comparación de diferentes locutores
grab. del sospech.
002
B
002
C
003
B
003
C
:
:
001
B
001
C
:
:
grab. del delicuente
001
A
001
A
001
A
001
A
:
:
002
A
002
A
:
:
Medir Fiabilidad
log(RV) →
Medir Fiabilidad
promedio
log(RV) →
promedio
← desviación desde el promedio →
Medir Fiabilidad
log(RV) →
← desviación desde el promedio →
Medir Fiabilidad
5%
95%
?
?
?
?
paramétrico (homocedástico)
varianca agrupada
distribución t
suposición de probabilidad a priori uniforme
← desviación desde el promedio →
Medir Fiabilidad
? no paramétrico (heterocedástico)
5%
95%
log(RV) →
| desviación desde el promedio | →
Medir Fiabilidad
? no paramétrico (heterocedástico)
5%
95%
log(RV) →
Medir Fiabilidad
? no paramétrico (heterocedástico)
? regresión local linear
absolute deviation from mean log10(LR)
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
mean log10(LR)
3
3.5
4
4.5
Sumario
Si fueran consistentes los datos de fondo, calibración, y
prueba con las condiciones del caso bajo investigación,
y si la comparación entre las grabaciones del delicuente
y del sospechoso resultara en una relación de
verosimilitud de 100 (log10(RV) de +2), y la estimación
no paramétrica del IC 95% arrojara un valor de ±1.17 en
log10(RV), el científico forense podría presentar una
declaración como la siguiente:
Basado en mi evaluación de las evidencias, he
calculado que las propiedades acústicas de la
grabación del delicuente sería 100 veces más
probable si la grabación hubiera sido
producido por el acusado en contraste de que
si hubiera sido producido por otro locutor de
la población relevante.
Lo anterior significa que cualquiera que haya
sido su creencia previa sobre las
probabilidades relativas de que el locutor en
la grabación del delicuente era el acusado en
vez de que era otro locutor, ahora su creencia
en el valor de la probabilidad relativa de que
sea al acusado contra de que sea otro locutor
debe ser 100 veces más de lo que fuera antes.
Basado en mis calculaciones, tengo una
certeza de 95% que obtener estas propiedades
acústicas es a lo menos 7 veces más probable
y no más que 1450 veces más probable si el
locutor en la grabación del delicuente fuera el
acusado contra de que fuera otro locutor.
Ejemplo de Evaluar
la Validez y Fiabilidad
de un Sistema de Comparación Forense
Sistema y datos
Zhang, C., Morrison, G. S., Ochoa, F., & Enzinger, E. (2013). Reliability of human-supervised formant-trajectory measurement for
forensic voice comparison. Journal of the Acoustical Society of America. 133, EL54–EL60. doi:10.1121/1.4773223
? Datos:
– 60 locutores femeninas chinas, tarea de cambio de información a través
de teléfono, 2 sesiones de grabación, audio de alta calidad
– 20 fondo, 20 desarrollo, 20 prueba
? Sistema:
– 16 MFCCs (20 ms ventana, traslapo de 10 ms) + deltas, cumulative
density mapping, 1024 Gaussianas GMM-UBM
– TCDs ajustados a F2 & F3 trayectorias de /iau/, coeficientes TCD 0–4,
MVKD
– fusión y calibración por regresión logística
? Mediciones:
– 4 supervisores humanos
– 3 juegos de mediciones de trayectorias de formantes por supervisor
Resultados
? Cllr por las medias de los grupos
? IC 95% (paramétrico) en ordenes de magnitud
Cllr = 0.004
IC 95% = ±2.18
Cllr = 0.007
IC 95% = ±0.45
GSM
CZ
-12
-9
-6
-3
0
3
6
log10 Relación de Verosimilitud
9
12
-12
-9
-6
-3
0
3
6
log10 Relación de Verosimilitud
9
12
Ejemplo Basado en un Caso Real
Enzinger, E., Morrison, G. S., & Ochoa, F. (submitted).
A demonstration of the application of the new paradigm for the evaluation of forensic evidence
under conditions reflecting those of a real forensic-voice-comparison case.
Caso Real
? Grabación del delicuente
llamada al centro de atención de clientes de una entidad
financiera
– llamada telefónica línea fija
– ruido del centro de llamadas (“babble”, tecleos)
– archivado con compresión
?
Grabación del sospechoso
entrevista en comisaria de policía
– reverberación
– ruido de sistema de ventilación
– archivado con compresión
Caso Real
? Grabación del delicuente
está claro que el locutor es:
– hombre
– habla inglés con acento australiano
?
Tenemos base de datos de grabaciones de voces que incluye:
– 231 hombres angloparlantes australianos
– grabaciones de alta calidad
– estilos de hablar:
– intercambio de información a través del teléfono
– entrevista policial simulada
– múltiples grabaciones no contemporáneas en cada estilo
Replicación de las condiciones de la grabación del delicuente
xr [i]
a-Law
8kHz
300 Hz
G.723.1
compression/
decompression
3400 Hz
scaling
offender
recording
noise
play audio
compression/
decompression
s
yr [i]
r
xn [i]
Replicación de las condiciones de la grabación del sospechoso
MPEG-1 layer 2
xr [i]
compression/
decompression
scaling
suspect
recording
noise
play audio
s
yr [i]
r
xn [i]
Selección de muestras representativas de la población
? Solo recibimos estas grabaciones para analizar porque un agente de
policía pasaba que sonaba suficiente similar que merecía
enviarlas al laboratorio forense
? Oyentes similar al agente, seleccionaron las grabaciones para
incluir en la muestra de al población
– mismo género
– aproximadamente misa edad
– mismo fondo lingüístico (monolingües de inglés australiano)
Selección de muestras representativas de la población
Selección de muestras representativas de la población
The number of speakers selected by N or more listeners.
number of listeners, N
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
16
24
34
42
51
75
100
128
166
195
216
number of speakers selected
by N or more listeners
Medidas acústicas
speech
preemphasis
Magnitude
Mel filterbank
Frequency
? MFCCs + deltas
windowing
power
spectrum
Medidas acústicas
Modelos estadísticos
? GMM-UBM
– UBM condición del
sospechoso
– modelo del sospechoso
1.) Training the background model
data from suspectcondition recordings of
speakers in the
background set
Expectation
maximization
2.) Training a suspect model
UBM
data from
suspect
sample
3.) Score calculation
UBM
MAP
adaptation
suspect
model
suspect
model
p(xt|λsuspect)
÷
1 T
T t =1 log(LRt)
Σ
score
UBM
4.) Score-to-likelihood-ratio transformation (calibration)
score
development scores from
same-speaker
1
comparisons
prob.
– pares de condición del
sospechoso + condición del
delicuente
– condiciones incluyen
numero de MFCCs
p(xt|λbackground)
log(LR)
? Puntuación a log RV
data
from
offender
sample
development scores from
different-speaker
comparisons
0.5
0
5
0
−5
−2
−1
0
score
LR
1
2
200
0
−15 −10 −5
0
5
10 15
400
Landline band-pass
G.723.1 compression
Offender background noise
after feature warping
Reverberation simulation
MPEG-1 layer 2 compression
Suspect background noise
after feature warping
200
0
400
200
? Feature warping
0
−15 −10 −5
0
5
10
−15 −10 −5
0
5
10
−15 −10 −5
0
5
10
−3 −2 −1
0
1
2
3
1
Cumulative proportion
400
High-quality
suspect condition offender condition
Compensación por diferencias de condiciones
warping
0.8
Percentile of emprical
distribution
correspondig to cj
0.6
0.4
Warped
value
0.2
0
−6
−4
−2
0
2
4
MFCC value
Empirical CDF
Normal CDF
6
8
10
12
Compensación por diferencias de condiciones
6
? Probabilistic Feature mapping
Offender-condition data
Mapped data
5
4
MFCC2
3
2
1
0
−1
−2
Offender distribution
Suspect distribution
−3
−4
−10
−8
−6
−4
−2
MFCC1
? Nuisance Attribute Projection
mh
M
UB
channel (C)
−m
r
ke
ea
sp
)
(S
0
2
4
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
C llr−pooled
C llr−mean
Compensación por diferencias de condiciones
0.5
No mismatch compensation
Feature Warping (FW)
0.4
0.4
Probabilistic Feature Warping (PFM)
Nuisance Attribute Projection (NAP)
0.3
0.3
FW + PFM
0.2
FW + PFM + NAP
0.1
0
0.2
FW + NAP
0.1
PFM + NAP
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
log10 credible interval
0.7
0.8
0.9
1
0
Prestaciones - sin compensación
Cumulative Proportion
0.75
0.5
0.25
(a)
0
−4
−3
−2
−1
0
1
Log10 Likelihood Ratio
2
3
4
Prestaciones - feature warping + probabilistic feature mapping
1
Cumulative Proportion
0.75
0.5
0.25
(b)
0
−4
−3
−2
−1
0
1
Log10 Likelihood Ratio
2
3
4
Prestaciones - FW+PFM - buenas condiciones del sospechoso
1
Cumulative Proportion
0.75
0.5
0.25
(c)
0
−4
−3
−2
−1
0
1
Log10 Likelihood Ratio
2
3
4
Resultados
? Cllr-pooled:
0.423
? Cllr-mean:
0.344
? 95% IC:
±0.95
? LR:
343
? log10 LR:
2.54
? 98% IC:
±1.13
[25
4599]
Conclusiones
A base de nuestras calculaciones:
? Estimamos que la probabilidad de obtener las propiedades acústicas
de la grabación del delicuente sería aproximadamente 300 veces
más probable si fuera la voz del acusado contra de si fuera la voz
de otra persona seleccionada al azar de la población relevante.
? Nuestra mejor estimación del peso de la evidencia es una relación
de verosimilitud de 343, y tenemos una certeza de 99% de que
es a lo menos 25.
? Estimamos que la probabilidad de obtener un valor de 343 o más si
la voz fuera de otra persona de la población relevante es menos
que cuatro en diez mil (0.00033).
APÉNDICE
Trayectorias Formáticas
Curvas paramétricas
Curvas polinómicas se definen por los valores de los coeficientes
asociados con los amplitudes de sus componentes
Componentes:
y=a
y
2
y = bx
3
y = cx
y = dx
8
8
8
8
6
6
6
6
4
4
4
4
2
2
2
2
y
0
y
0
y
0
0
-2
-2
-2
-2
-4
-4
-4
-4
-6
-6
-6
-6
-8
-2
-1
0
x
1
2
-8
-2
-1
0
x
1
2
-8
-2
-1
0
x
1
2
-8
-2
-1
0
x
1
2
Curvas paramétricas
Transformadas discretas de cosenos (TDC) se definen por los valores
de los coeficientes asociados con los amplitudes de sus componentes
Componentes:
y=a
y
y = b·cos(πx/T)
y = c·cos(2πx/T)
y = d·cos(3πx/T)
1
1
1
1
0.5
0.5
0.5
0.5
y
0
y
0
y
0
0
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
-1
-1
-1
-1
0
20
40
60
x
80
100
0
20
40
60
x
80
100
0
20
40
60
x
80
100
0
20
40
60
x
80
100
Orden cero (constate (media))
a = +1491
TDC
2500
2500
2000
2000
frecuencia (Hz)
frecuencia (Hz)
polinomio
1500
1500
1000
1000
500
500
0
0.05
0.1
0.15
tiempo (s)
0.2
0.25
0
0.05
0.1
0.15
tiempo (s)
0.2
0.25
Primer orden (linear)
a = +1491
b = −447
TDC
2500
2500
2000
2000
frecuencia (Hz)
frecuencia (Hz)
polinomio
1500
1500
1000
1000
500
500
0
0.05
0.1
0.15
tiempo (s)
0.2
0.25
0
0.05
0.1
0.15
tiempo (s)
0.2
0.25
Segundo orden (cuadrático)
a = +1491
b = −447
c = +79
TDC
2500
2500
2000
2000
frecuencia (Hz)
frecuencia (Hz)
polinomio
1500
1500
1000
1000
500
500
0
0.05
0.1
0.15
tiempo (s)
0.2
0.25
0
0.05
0.1
0.15
tiempo (s)
0.2
0.25
Tercer orden (cubico)
TDC
2500
2500
2000
2000
frecuencia (Hz)
frecuencia (Hz)
polinomio
1500
1500
1000
1000
500
500
0
0.05
0.1
0.15
tiempo (s)
0.2
a = +1491
b = −447
c = +79
d = +34
0.25
0
0.05
0.1
0.15
tiempo (s)
0.2
0.25