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CAMPO GRAVITATORIO
Índice de contenidos:
Introducción
1
Momento angular
2
Leyes de Kepler
3
Ley de gravitación Universal
4
Concepto de campo
6
Líneas de Fuerza
6
Campo gravitatorio
7
Campo conservativo
8
Energía potencial gravitatoria
9
Flujo de un campo gravitatorio. Teorema de Gauss
11
Aplicaciones del Teorema de Gauss.
11
Velocidad de escape.
13
Satélites
14
Campo gravitatorio _ 1 de 16
INTRODUCCIÓN
La observación y posteriormente el estudio de los cuerpos celestes atrajo al hombre desde la
antigüedad. Primero es una necesidad (control de los tiempos para la siembra o la recogida) y
luego, controlado esto, se satisface la necesidad de un conocimiento mayor.
De esta forma surgen desde tiempo remotos, teorías que intentan explicar el movimiento de estos
cuerpos. Así por ejemplo Ptolomeo de Alejandría
establece un sistema en el que la Tierra ocuparía el
centro del Universo y en torno a ella se moverían los
demás cuerpos celestes describiendo órbitas cuya
forma sería una epicicloide (el planeta describiría con
movimiento uniforme un círculo, epiciclo, cuyo centro
se desplazaba a lo largo de otro círculo de mayor radio
que está ocupado en su centro por la Tierra, este
último círculo recibe el nombre de deferente.
Estas y otras explicaciones similares fueron aceptadas como válidas hasta el
siglo XVI en que Copérnico (1473 - 1543) consideró que todos los planetas,
incluida la Tierra, giraban en torno al Sol que estaría en el centro de sus órbitas.
Las ideas principales de su teoría son:
•
Los movimientos celestes son uniformes, eternos, y circulares o compuestos de
diversos ciclos (epiciclos).
•
El centro del universo se encuentra cerca del Sol.
•
Orbitando el Sol, en orden, se encuentran Mercurio, Venus, la Tierra y la Luna, Marte,
Júpiter, Saturno.
•
Las estrellas son objetos distantes que permanecen fijos y por lo tanto no orbitan
alrededor del Sol.
•
La Tierra tiene tres movimientos: la rotación diaria, la revolución anual, y la inclinación
anual de su eje.
•
El movimiento retrógrado, se refiere a la observación de
que los otros planetas del Sistema Solar parecen ir hacia
atrás en ciertos momentos de su movimiento (esto era lo
que solucionaba Ptolomeo introduciendo los epiciclos),
de los planetas es explicado por el movimiento de la
Tierra.
•
Sistema solar de Copérnico.
De revolutionibus orbium coelestium (1566)
La distancia de la Tierra al Sol es pequeña comparada
con la distancia a las estrellas.
Sus propuestas agradaron en principio al papa Clemente VII
quién le invitó a participar en la reforma del calendario. No obstante chocaron con la
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Campo gravitatorio _ 2 de 16
incomprensión de muchos contemporáneos que se oponían a ellas e incluso las condenaban
como heréticas. De hecho uno de sus primeros detractores fue Lutero aunque luego también la
Iglesia Católica decide incluir su libro en el índice de obras prohibidas (Acta del Santo Oficio 16
de Febrero de 1616). También algunos científicos negaban la
validez de las teorías copernicanas.
Uno de los astrónomos más importantes en esa
época, Tycho Brahe (1546 - 1601), se opone
firmemente al modelo de Copernico y elabora,
usando todas sus propias observaciones, que son
las
mejores
en
aquel
momento,
un
modelo
alternativo al de Copernico que sigue respetando la situación de la
Tierra en el centro del Universo.
Galileo (1564 – 1642), padre del método experimental y uno de los que más
influye en el cambio de mentalidad en la Ciencia, basándose en sus propias
observaciones y en las leyes elaboradas por Kepler (que veremos más
adelante) de las que tenía noticia porque mantenía con él una relación
espistolar, también abraza la teoría copernicana lo cual le traería serios
problemas con la Inquisición.
Repaso conceptos previos
MOMENTO ANGULAR
Se define el momento angular con respecto a O de una partícula de masa m que se mueve a una
velocidad como el momento respecto a O del vector momento lineal de esa partícula:
r r
r
L = r × mv
El momento angular será un vector perpendicular al plano determinado por el punto O y el vector
momento lineal. En general esta magnitud cambiará de dirección módulo y sentido según sea el
movimiento de la partícula. Sin embargo, si la trayectoria está en un plano la dirección del
momento angular permanece constante. En el caso de un movimiento circular el módulo de
será
r
L
m r v (pues r y v son en este caso
perpendiculares) o lo que es lo mismo
r
r
r
mv
L
L=mω
r2.
Para estudiar la variación del momento angular
estudiaremos su derivada respecto al tiempo.
r
r r
r
r
r dp
dL
d (r × p)
dr r
=
=
×p + r×
dt
dt
dt
dt
Pero el primer producto será cero puesto que se multiplican dos vectores que tienen la misma
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Campo gravitatorio _ 3 de 16
dirección (velocidad y momento lineal). Por otro lado el segundo sumando es el valor del momento
de la fuerza que actúa sobre la partícula respecto del punto O.
LEYES DE KEPLER
La propuesta de Copérnico cautiva a Kepler ya que explica de una forma mucho más sencilla que
hasta el momento el funcionamiento del Universo. En ella se basa para enunciar las leyes del
movimiento planetario.
Usando las observaciones y medidas realizadas por T. Brahe y por él mismo, éstas mucho menos
importantes ya que su fuerte era el cálculo, pues a causa de una enfermedad en la infancia había
perdido mucha vista, Kepler publica sus resultados en 1609, se pueden resumir en tres leyes:
•
1ª Los planetas en su movimiento alrededor del Sol describen órbitas planas,
cerradas de forma elíptica en uno de cuyos focos está el Sol.
•
2ª El segmento que une el sol y un planeta barre superficies iguales en
tiempos iguales (ley de las areas). Definiendo la velocidad areolar como el
area barrida por el vector de posición de un planeta tomando como origen el
Sol, esta ley se puede enunciar: "La velocidad areolar de un planeta es
constante a lo largo de toda su trayectoria."
•
3ª El cociente entre el cuadrado del periodo de un planeta cualquiera y el
cubo del semieje mayor de la elipse descrita por el planeta tiene el mismo valor para todos
ellos.
1ª ley de Kepler: Los planetas giran en órbitas planas cerradas que recorren siempre en el mismo
sentido.
r
L
F
r
r
r
mv La derivada del momento angular del planeta respecto
r
F
F
de la posición del Sol será:
r
r
r
dL d (r × mv )
=
dt
dt
recordemos que la derivada de un producto es “derivada del primer factor por el segundo sin
derivar más el primero por la derivada del segundo”.
r
r
r
r r d (mv ) r
r r
r r r
dL dr
=
× mv + r ×
= v × mv + r × ma = r × F
dt dt
dt
Pero como podemos observar el primer producto vectorial es cero puesto que los dos vectores
tienen la misma dirección y el mismo sentido (sen 0 = 0) y en el segundo los dos vectores tienen
sentidos opuestos (sen 180 = 0). Esto significa que el momento angular es constante. Lo es su
módulo, su dirección y su sentido.
r
Al ser constante la dirección se deduce que mv y la posición del Sol estarán siempre en el mismo
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Campo gravitatorio _ 4 de 16
plano y que el sentido de giro del planeta será siempre el mismo (en caso contrario se daría un
cambio en el sentido de la dirección del momento angular.
2ª ley de Kepler (ley de las áreas) “El vector de posición del planeta, tomando como origen la
estrella, barre áreas iguales en tiempos iguales” También aquí el valor constante del momento
angular del planeta respecto de la posición de la estrella puede explicarla. Ahora es el valor
constante de su módulo el que nos lo va a explicar:
dA
dl
dA
L = r·m· = 2m·
dt
dt
dl
r
Como el momento angular y la masa son constantes la velocidad areolar también lo será.
3ª ley de Kepler si dos planetas/satélites giran en torno a una estrella/planeta lo hacen de forma
que la relación entre el cuadrado del periodo de cada uno de ellos y el cubo del radio es constante.
Se demostrará a partir de la Ley de Gravitación Universal de Newton.
T12 T22
=
R13 R23
LEY DE GRAVITACION UNIVERSAL
Basándose en las leyes de la Dinámica y en las leyes de Kepler planteadas anteriormente,
Newton deduce (a consecuencia de una apuesta) la ley de gravitación universal.
Para simplificar el cálculo, suponemos que el planeta gira en una órbita circular de radio R. El
planeta estará sometido a una aceleración:
r
F21
r
F12
4π
v
2
an = = ω R = 2 R
R
T
2
2
Según lo expuesto anteriormente en la 2ª Ley de Kepler
(velocidad areolar constante) su velocidad lineal (v) será
constante y también su velocidad angular (ω).
Aplicando la 2ª ley de Newton la fuerza a que estará sometido el planeta será:
4 2
F = m a n = m π2 R
T
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Campo gravitatorio _ 5 de 16
2
Multipliacando y dividiendo por R :
4π 2
F=m
2
T R
2
2
R3
3
Teniendo en cuenta la tercera ley de Kepler: (T / R ) constante:
F=m
4π 2
R
2
K1
Según el principio de acción y reacción el planeta ejercerá sobre el Sol una fuerza de igual
módulo, dirección y sentido contrario:
F=M
4π 2
R
Como ambas fuerzas son iguales:
2
K2
M⋅K2 = m⋅K1 es decir: K2/m = K1/M = K. Sustituyendo
en la ecuación de la fuerza:
4π 2
F=
K1
M ·m
M
2
R
Los primeros factores de la fórmula de la fuerza son constantes con lo que se puede poner:
F =G
m·M
R
2
-11
Siendo G la Constante de Gravitación Universal cuyo valor es 6,67·10
2
-2
Nm s .
"La fuerza de atracción entre dos cuerpos materiales, con masas M y m, es
directamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros".
El valor de G fue determinado experimentalmente por H. Cavendish utilizando
la balanza de torsión. Permite calcular la fuerza gravitatoria entre las bolas
pequeñas y las grandes de la figura a partir del ángulo medido de torsión del hilo metálico del
que cuelgan.
El ángulo de torsión φ se mide utilizando un espejo que
refleja un rayo luminoso que llega a él. Midiendo el ángulo
que forman el rayo incidente y el reflejado se calcula el
ángulo de torsión.
También se conoce la constante de torsión (k) del hilo así
como el valor de las masas que interaccionan y la
distancia entre sus centros (r). El momento del par que se
genera (fuerzas de atracción gravitatoria por la longitud de la barra (de masa despreciable) que
une las esferas pequeñas es igual al producto de la constante de torsión por el ángulo.
Conocidos todos los valores menos G, se puede calcular éste.
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Campo gravitatorio _ 6 de 16
G será numéricamente igual a la fuerza con que se atraen dos masas
de 1 kg separadas una distancia de 1 metro. Las unidades son
2
-2
N·m ·kg
Una vez calculado el valor de G y conociendo el peso de un cuerpo
cualquiera se puede determinar el valor de la masa de la Tierra.
También se puede determinar la masa del Sol o de cualquier planeta.
CONCEPTO DE CAMPO. LINEAS DE FUERZA.
onc
Si en todos los puntos de una región del espacio, una magnitud física, escalar o vectorial, toma
valores que dependen de las coordenadas y del tiempo, se dice que esa región del espacio es un
campo.
Si la magnitud física es un escalar se llama campo escalar y si la magnitud física es un vector se
trata de un campo vectorial.
Para representar un campo escalar se usan líneas que unen todos
T1
los puntos en los que la magnitud escalar toma un valor constante
T2
(líneas o superficies isoescalares o equiescalares).
T3
Las lineas isoescalares no se cortarán nunca pues en cada punto
del campo el escalar solamente toma un valor.
Otro ejemplo de lineas isoescalares serían las isóbaras de un mapa meteorológico (estas líneas
unen puntos de igual presión).
B
A
Cuando se trata de representar un campo vectorial, siendo
r
F
r
F la
magnitud vectorial definida en el campo se dibujan las líneas de
campo. Se definen éstas como aquellas líneas que en cada
punto del campo son tangentes al vector
r
r
F en ese punto. El módulo de F viene dado por el
número de líneas de campo que en cada lugar atraviesa la unidad de superficie. Así en A el
módulo de
r
F es 4 mientras que en B es solamente 3. Las superficies en A y B son superficies
unitarias.
Tampoco las líneas de campo se cortan pues en cada punto la dirección de
Cuando la magnitud
r
F es única.
r
F es una fuerza se dice que el campo vectorial es un campo de fuerzas y las
líneas de campo se llaman líneas de fuerza.
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Campo gravitatorio _ 7 de 16
Si de un punto de un campo salen más líneas de campo que las
que entran en él se dice que ese punto es un manantial de líneas
de campo (I), en caso contrario se habla de un sumidero de
líneas de campo (II).
CAMPOS DE FUERZAS.
Son lugares del espacio donde al colocar un punto material, que posee una magnitud física
determinada (masa, carga,...) aparece una fuerza sobre él.
Esta fuerza depende de las coordenadas de cada punto y de la magnitud activa (puede ser la
masa en un campo gravitatorio, la carga en un campo eléctrico…) La partícula que crea el campo
posee también esa magnitud activa.
La fuerza que en un punto determinado actúa sobre un punto material de magnitud activa (a) viene
F = a·E
dada por:
E es el vector intensidad de campo. Se define como la fuerza que actua en un punto del campo
sobre la partícula de magnitud activa (a=1) unidad cuando se situa en ese punto del campo.
En estos campos las líneas de campo son líneas de fuerza tangentes en cada punto al vector
E.
CAMPO GRAVITATORIO.
r
f
r
ur Para describir la interacción a distancia entre dos cuerpos
m’
m
recurriremos al concepto
anterior de campo de fuerzas.
Ahora la magnitud activa que crea el campo es la masa.
•
Sea una masa m la que crea el campo de fuerzas. Hemos visto antes (Ley de Gravitación
Universal) que toda masa m' situada en el campo experimenta una fuerza de atracción
hacia m:
r
m·m′ r
f =−G
ur
2
d
Donde
r
ur es un vector unitario cuya dirección es la línea que une los centros de masas de
m y m' y sentido de m a m'.
•
Si en un punto del espacio existe una masa m crea un campo gravitatorio y en cada uno
de sus puntos se define el vector intensidad de campo de dirección la recta que une el
punto con m, sentido hacia m y módulo el de la fuerza que se ejercería en ese punto sobre
una masa m' unidad:
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Campo gravitatorio _ 8 de 16
r
r
f
m r
g =
= − G 2 ur
m′
d
•
Esto significa que una masa m' colocada en un punto del campo experimenta una fuerza
sobre ella:
•
r
r
f = mg
La trayectoria que seguiría cualquier masa m' situada en el campo converge en la masa m
por lo que esta masa sería un sumidero de líneas de fuerza. La dirección del vector
r
intensidad de campo ( g ) será tangente en todos los puntos de las líneas de fuerza.
Principio de superposición:
Cuando dos o mas masas crean un campo, la intensidad del
campo en cualquier punto es la intensidad de campo
m2
gravitatorio en un punto es la suma vectorial de cada una de
las intensidades de campo debidas a la presencia de las
r
g2
r
g
r
g3
r
g1
m1
m3
cargas respectivas.
CAMPOS CONSERVATIVOS.
Se pueden definir como tales aquellos campos vectoriales en los que el trabajo realizado por las
fuerzas del campo para llevar una partícula de un punto a otro solamente depende de la posición
inicial y final de la partícula y no del camino recorrido. Este trabajo realizado por las fuerzas del
campo coincide con la disminución de la energía potencial y también con el aumento de la energía
cinética.
I
Sea un campo de fuerzas conservativo. El trabajo realizado
A
II
B para llevar una partícula desde el origen hasta un punto
B r r
(x,y,z) se puede definir como:
W A → B = ∫A F dr
El trabajo realizado por las fuerzas del campo para llevar a la partícula desde O hasta P será igual
a la disminución de la energía potencial de la misma.
W A→ B =
r r
F
∫A dr = E p A − E pB
B
Pero la disminución de la energía potencial implica un incremento de la energía cinética, es decir,
el trabajo realizado por las fuerzas del campo también se puede considerar igual a la diferencia
entre la energía cinética final menos la energía cinética inicial.
W A→ B =
r r
F
∫A dr = E C B − E C A
B
Como el trabajo realizado es el mismo se deduce que la suma de energía cinética y potencial, la
energía mecánica del sistema permanece constante en un campo conservativo.
Son campos conservativos todos los campos de fuerzas centrales, es decir todos aquellos en los
que las direcciones de las fuerzas del campo pasan por el mismo punto. Ejemplo: Las fuerzas que
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Campo gravitatorio _ 9 de 16
provocan el MAS, los campos gravitatorios, los campos electrostáticos…
X
Y
ENERGIA POTENCIAL GRAVITATORIA.
1o
m´
Supongamos una masa m' que se mueve en el seno de un campo
r
F
gravitatorio creado por una masa m. La trayectoria que sigue m' es la
línea entre 1 y 2. La única fuerza que actua sobre m' está dirigida
m
siempre hacia el mismo punto (es una fuerza central) por tanto la
trayectoria que siga m' estará en un plano (por ejemplo el del papel).
o
2
Para llevar m' de 1 a 2 actúa la fuerza ejercida por el campo f. La circulación entre 1 y 2 será:
2
W 1→ 2 =
∫
r r
f dr =
2
∫−G
1
1
m·m′
x
2
dx = G
m·m′
x2
−G
m·m′
x1
= E p1 - E p 2
De donde se deduce que la energía potencial gravitatoria de una masa m' en un punto que dista x
de la masa que crea el campo será:
Ep = −G
m·m′
x
Se sabe que el trabajo realizado sobre m' es también igual al incremento de energía cinética:
W 1→ 2 =
m′·v 22 m′·v12
m·m′
m·m′
−
−G
= G
2
2
x2
x1
Por tanto la suma de energía cinética y potencial correspondiente a cada posición será:
m′·v 22
m·m′
m′·v12
m·m′
−G
−G·
=
2
2
x2
x1
Esto significa que, siempre que no actúen fuerzas externas, la energía mecánica del sistema
permanece constante. (Teorema de conservación de la energía).
ENERGÍA POTENCIAL EN LAS CERCANÍAS DE LA SUPERFICIE TERRESTRE
En el caso particular de que un cuerpo de masa m se encuentre en el campo gravitatorio creado
por la Tierra podemos poner que la energía potencial de dicho cuerpo que se encuentra a una
determinada altura (h) sobre la superficie terrestre será:
E p = −G
m·M
m·M
= −G
r
R+h
Supongamos que esa partícula se mueve (por la acción del peso) desde una altura h (a una
distancia R del centro de la Tierra) hasta su superficie. El trabajo realizado por esta fuerza supone
una variación en la energía potencial del sistema:
∆E p = E p ( h ) − E p ( 0 ) = −
GmM  GmM 
1 
1
− −
 = GmM  −

R+h 
R 
 R R+h
Operando se llega a que:
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Campo gravitatorio _ 10 de 16


GM  h 
 = mgh
∆E p = 2 m
R
 1 + h 

R
Puesto que h<<R y su cociente se puede considerar cero.
Esto es válido para alturas sobre la superficie terrestre mucho
menores que el radio de la Tierra, lo que significa que la fuerza de
atracción gravitatoria se puede considerar constante entre los dos
extremos del desplazamiento (RT = 6370 km). Observando la imagen
se puede deducir lo poco que varía g en la estratosfera.
POTENCIAL GRAVITATORIO.
Se definió como potencial en un punto la energía potencial que en ese punto tenía la partícula de
unidad de magnitud activa (en ese caso unidad de masa). El potencial gravitatorio en cada punto
será pues:
V =
m
Ep
= −G
m′
x
El trabajo realizado sobre m' por la fuerza gravitatoria se m' se traslada de 1 a 2 es:
W1→2= Ep1 - Ep2 = m'(V1 - V2)
A
V1 - V2 se le llama diferencia de potencial y representa el trabajo realizado por la fuerza del
campo para trasladar una masa unidad desde 1 hasta 2.
Si se pretende sacar fuera del campo a una masa unitaria situada en un punto del mismo (1) el
trabajo realizado será numéricamente igual a la diferencia de potencial pero sus unidades serán
J/kg y no J:
V1 − V∞ = V1
Potencial en un punto es numéricamente igual al trabajo realizado por las fuerzas del campo para
llevar la masa unidad desde ese punto hasta el infinito (fuera del campo).
Como se puede deducir de la fórmula del potencial las superficies equipotenciales de un campo
creado por una masa puntual son esferas centradas en la masa que crea el campo. Dado que el
trabajo para llevar una masa de un punto a otro de una superficie equipotencial será cero (ver
fórmula que relaciona trabajo y potencial) se deduce que las líneas de fuerza serán
perpendiculares a las superficies equipotenciales en todos sus puntos. También lo será el
vector intensidad de campo.
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Campo gravitatorio _ 11 de 16
FLUJO DE UN VECTOR A TRAVES DE UNA SUPERFICIE
En primer lugar se debe recordar que una superficie se puede
r
F
representar por un vector de dirección perpendicular a ella y cuyo
sentido depende del sentido de recorrido que se asigne al perímetro
de la misma.
Supongamos ahora la superficie de la figura situada en el interior de
un campo, se define como flujo del campo a través de la superficie:
r r
Φ = ∫ S F·dS
pero
r r
F · dS = F·dS·cos α y dado que dS⋅cosα sería el módulo de la
superficie elemental perpendicular al vector
r
dS
r
F
a (dS') resulta:
r
dS '
r r
Φ = ∫ S F dS = ∫ S F dS cos α = ∫ S F dS '
r r
Si la superficie fuese cerrada: Φ = ∫ S F dS
Se considera como positivo el flujo cuando las líneas de campo salen hacia afuera de la superficie
(recuérdese el signo del producto escalar).
FLUJO DE UN CAMPO GRAVITATORIO. TEOREMA DE GAUSS.
r
d
S
r
g
Primer caso: masa m puntual y superficie esférica centrada en ella
Calcularemos el flujo a través de dicha superficie:
r r
Φ = ∫ S g dS
r
g en cualquier punto de la superficie será perpendicular a
r
ella (igual dirección que dS ) y su sentido de fuera hacia la masa m
r
r
r
dS que crea el campo (contrario a dS ). El módulo de g será igual en
El vector
r
g
todos los puntos de la superficie pues todos distan r de m.
Por todo ello:
Φ = ∫ S − g dS = − g ∫ S dS = − g 4 π r 2
m
Φ = − G 2 4 π r2 = − 4 π G m
r
Segundo caso: una masa puntual m encerrada en una superficie cualquiera S.
Dado que el flujo es igual al número de líneas de fuerza que atraviesan dicha superficie, este
número será el mismo que el de las líneas de fuerza que atraviesan la superficie esférica S'
centrada en m. Por esta razón también aquí: Φ = - 4π⋅G⋅m
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Campo gravitatorio _ 12 de 16
Tercer caso: en el interior de una superficie están las masas
m1 y m2. Según el principio de superposición, en un punto de la
superficie:
r r r
g = g1 + g 2
Por lo que el flujo a través de un elemento de superficie ds
será:
r r r r
g1·dS + g 2·dS = dΦ1 + dΦ 2
El flujo total a través de toda la superficie:
Φ = Φ1 + Φ 2 = - 4 π G m1 + ( - 4 π G m2 ) = - 4 π G minterior
Que es la expresión matemática del teorema de Gauss para un campo gravitatorio (minterior - masa
total en el interior de la superficie).
Cuarto caso: Supongamos una superficie que no contiene
ninguna masa en su interior. Todas las líneas de campo que
entran en S salen de ella. Teniendo en cuenta que el flujo
entrante es negativo y el saliente positivo:
Φ entra + Φ sale = 0
También aquí se cumple el teorema de Gauss pues mint = 0.
APLICACIONES DEL TEOREMA DE GAUSS.
1. Cálculo de un campo creado por una esfera homogénea de radio R y masa M.
a) En el exterior de la esfera, a una distancia r de su
r
g
centro.
S
Tomemos la superficie esférica S, centrada en el mismo
centro de la masa M y con radio r. Calculamos el flujo del
R
r
campo a través de S.
Según la definición de flujo:
r
Φ = ∫ S g dS = ∫ S − g dS = − g ∫ S dS = − g 4 π r 2
Y según el teorema de Gauss:
Φ = − 4 π G minterior
Como el flujo es el mismo:
− g 4 π r2 = − G 4 π M ⇒ g = G
M
r
2
La intensidad de campo en cualquier punto exterior a la masa es la misma que la que
correspondería a la creada por una masa puntual en el centro de la esfera.
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Campo gravitatorio _ 13 de 16
b) En el interior de la esfera.
r
dS
r
g
R
Al igual que antes:
r
Φ = ∫ S g dS = ∫ S − g dS = − g ∫ S dS = − g 4 π r 2
r
Φ = − G 4 π minterior : g = G minterior
2
r
Pero si la esfera es homogenea y su densidad es ρ:
minterior = ρ
4
π r3
3
4
π r3 ρ 3
R ⇒g = G M r
g = G 3 2
3
3
r
R
R
Esto puede aplicarse al cálculo de la intensidad del campo gravitatorio terrestre si se considerarse
a la Tierra una esfera homogénea.
r
g
9,8
r
RT
VELOCIDAD DE ESCAPE
Es la mínima velocidad que debe tener un cuerpo para salir de un campo gravitatorio.
Para el caso del campo gravitatorio terrestre, la energía potencial fuera del campo es cero, en la
superficie terrestre tiene el siguiente valor:
Ep =
− GMm
RT
Para que el cuerpo escape del campo gravitatorio debe tener una
cierta velocidad y su energía cinética:
Ec =
mv 2
2
Si simplemente se busca que el cuerpo pueda abandonar el campo gravitatorio, fuera de él puede
permanecer en reposo y su energía total será 0 porque fuera del campo también la energía
potencial vale cero.
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Campo gravitatorio _ 14 de 16
− GMm mv 2
+
=0
RT
2
Simplificando y despejando v (velocidad de escape):
v=
2GM
RT
Teniendo en cuenta los valores de G, M y RT, la velocidad de escape es 11,2 km/s.
SATÉLITES
Un satélite, artificial o no, está girando en torno al planeta con una
velocidad suficiente para no caer y además tiene una cierta energía
potencial por encontrarse a una distancia del planeta que crea el campo
gravitatorio.
En primer lugar su energía potencial será:
EP = −G
Mm
mv 2
y su energía cinética: EC =
.
r
2
Además no debe caerse con lo que la fuerza de atracción gravitatoria
que actúa sobre él será la fuerza centrípeta que lo hace girar
M v2
mismo valor se deduce que G
=
r
r
F =G
F = m·ac =
Mm
que es la única
r2
mv 2
como se trata del
r
y la energía cinética puede ponerse como:
1 Mm
Ec = G
y la energía mecánica del sistema será la suma de energía potencial y cinética
2
r
con lo que se deduce que su valor será:
1 Mm
E m = E p + Ec = − G
2
r
Deducimos que si el satélite permanece en órbita, como su energía total es negativa permanece
ligado al campo gravitatorio.
Si lo que se pretende es poner el satélite en órbita desde la superficie del planeta tendremos en
cuenta que ahí tiene energía potencial al encontrarse a una distancia del centro del mismo RT.
Además tendrá que ser lanzado a una cierta velocidad desde la superficie. Esto implica que, al ser
el campo gravitatorio un campo conservativo se conserva la energía mecánica y se cumple:
2
E m = Ec 0 + E p 0
mv
Mm
1 Mm
= 0 −G
=− G
2
RT
2
r
Despejando podemos deducir la velocidad con que sale de la Tierra para ponerse en una órbita
determinada de radio r (a una altura h = r – RT):
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Campo gravitatorio _ 15 de 16
 2 1
 2r − RT
v = GM 
−  = GM 
 RT r 
 r·RT



Si la velocidad de lanzamiento fuese inferior el satélite volvería al suelo tras describir una parábola,
si es igual permanece en órbita, como se ha calculado, si es mayor la órbita sería una parábola
(Em = 0) o una hipérbola (Em > 0), en ambos casos se va del campo gravitatorio. (Recordar que si
no se fuera, su energía total sería negativa).
La sonda espacial Voyager (derecha)
ha abandonado el campo gravitatorio
terrestre mientras que el Telescopio
Hubble (izquierda) orbita la Tierra a
una distancia de su superficie de 593
km y un periodo de algo más de 96
minutos
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