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U.T.N. F.R.B.B.
Mecánica del Sólido
Sergio R. Val
PROBLEMA N°1: Vibraciones mecánicas
Analizar el problema en idioma inglés sobre un montaje antivibratorio para el
tambor de una secadora centrífuga.
- Traducir
- Expresar en unidades SIMELA
- Relacionar con la teoría de la asignatura
Expresar conclusiones acerca del funcionamiento de la máquina y de los resultados
obtenidos.
Se propone montar un tambor de secador centrífugo como muestra la Fig. 1-1.
Las características apropiadas de los resortes y amortiguadores disponibles serán
seleccionadas para las siguientes condiciones.
-
Peso total del canasto más el contenido = 50Lb ≈ 22.68Kg
Velocidad de giro
ω = 400rpm
Máximo desbalanceo asumido
= 20Lb.in ≈ 0.3567Kg.cm.
(producto del peso y de la excentricidad)
La amplitud de vibración en cualquier dirección no debe ser más que ½”
(1.27cm) en resonancia.
Solución:
Se eligen las coordenadas X e Y como muestra la Fig. 1-2
Si se considerar una pequeña deflexión x del centro del canasto. El resorte 1 se
estirara, el resorte 3 se comprime, y el resorte 2 sufrirá un cambio despreciable de
longitud. Las fuerzas del resorte serán aproximadamente tal como se indica en la
Fig. 1.
La fuerza neta del resorte en la dirección X es:
ΣFs= -(k.x.cos30º cos 30º).2= -1.50 kx
En otras palabras, la constate de resorte equivalente en la dirección X es keq=-1.5 k.
Un análisis similar concluiría al mismo valor para la constate de resorte en la
dirección Y.
Si la fuerzas de amortiguamiento en la dirección X e Y se investigaran en la misma
manera como anteriormente las fuerzas de los resortes, encontraríamos que el
factor amortiguamiento efectivo en ambas direcciones X e Y es 1.5 c=Ceq
-1-
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Debido a que todos los coeficientes en las ecuaciones diferenciales para los
movimientos en X e Y serán iguales, necesitamos investigar sólo una ecuación.
M &x& + 1.5 c x& + 1.5 k x = (me) ω 2 sen ω t
Donde Fo= (me) ω2
La cual fue desarrollada de la ecuación (1) de la Pág.3 del apunte.
La amplitud del desplazamiento será:
Y=
me ω 2
(1.5k - M ω 2 ) 2 + (1.5c.ω ) 2
[1]
Que surge de la ecuación (3) de la Pág.3 del apunte adjunto.
Por analogía con la teoría para la cual la ecuación diferencial era idéntica en
forma; la amplitud de la fuerza transmitida será:
FTR =
me ω 2 (1.5k ) 2 + (1.5c.ω ) 2
(1.5k - M ω 2 ) 2 + (1.5c.ω ) 2
Se vio en teoría que para mantener pequeña a la fuerza transmitida, hacemos la
frecuencia natural inferior con respecto a la frecuencia de operación que se
especifica. Para un diseño tentativo, escogeremos hacer ω / ωn= 3.
Ya que en este sistema la frecuencia natural es ωn=√ 1.5 k /M, esto significa que
diseñaremos de manera que 1.5 k = ωn2M = (ω / 3)2 M ó
k=
M.ω 2 (400 x 2π / 60) 2 (50/32.2)
=
= 201 lb/ft = 16.8 lb/in = 3 Kg/cm
9.(1,5)
9.(1,5)
Ahora calculamos el factor de amortiguamiento c requirió para limitar la amplitud
del desplazamiento a 1/2 in. (1.27cm). a resonancia.
Reemplazando en la ecuación [1], nos queda:
Y = m e ωn2 / √ 0 + (1.5 c ωn)2
ó
c= (m e. ωn /1.5 Y) = 11.5 lb-seg/in = 0.96 lb-seg/in = 0.1714kg-seg/cm.
Donde:
Y= 1/24 ft=12.7mm,
me= (20/32.2) (1/12) =0.0517 slug-ft=23kg-cm.
ωn = (2π x400 / 60)/3=13.9 rad/seg
Respuesta.
Diseñar para:
ωn=ω/3
→
→
k= 16.8 Lb /in = 3 Kg /cm = 2943N/m.
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→
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→
c= 0.96 Lb- seg/in = 0,1714 Kg - seg /mm = 167,7N.seg/m.
 400.π
kg 
cc = 2. M ωn = 2.50 Lb.0,45 . 30
Lb  3seg


C/Cc = 0,266


 = 628,31N.seg/m.



Conclusión:
El factor amplificador M es:
M=
1
C
=
2
2
Fo




c
ω
ω
2
f
k
[1 -   ] +  2. . 
 ωn 
 cc ωn 
y expresa la razón de la amplitud de la deflexión causada por la vibración forzada a
la deflexión causada por la fuerza Fo (estática). En la gráfica siguiente puede verse
que la amplificación de la amplitud aumenta cuando disminuye c/cc y que la
amplitud máxima se produce en general para
Por lo tanto, con C/Cc=0,266 y
ωf
ωf
ωn ≠ 1
ωn = 3 , la gráfica nos indica que la amplificación es
baja para nuestra máquina, encontrándose muy cercana a cero, óptima condición
de funcionamiento.
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Resumen analítico de un sistema con amortiguamiento y excitación
armónica forzada
Solamente son descriptas las expresiones matemáticas a los efectos de recordar y
orientar lo visto en la asignatura de Mecánica del Sólido.
La excitación armónica es originada en el modelo presentado, con la fuerza
generada por una masa rotante m girando a una velocidad angular, a una
distancia r respecto del centro e impulsada por el motor. Por lo tanto sabemos que
la ecuación de movimiento es:
M . &x&+ c x& + k x = (Fo) sen ω. t
(1)
La solución de esta ecuación consta de dos partes, la función complementaria que
en este caso es una vibración libre amortiguada (es la solución de la homogénea
m &x& + c x& + k x = 0) y la solución particular, que es una oscilación estacionaria de la
misma frecuencia de la excitación. Se puede suponer que la solución particular es
de la forma:
x = X sen (ω.t - Φ) (2)
donde X es la amplitud de la oscilación y Φ es la fase del desplazamiento respecto
a la fuerza excitadora.
La amplitud y fase en la ecuación (2) se calculan sustituyéndola en la ecuación
diferencial (1). Cabe recordar que en el movimiento armónico las fases de la
velocidad y aceleración están adelante del desplazamiento en 90° y 180°
respectivamente. Los términos de la ecuación diferencial pueden ser representados
gráficamente tal como muestra la figura 1. Se puede observar que:
(3)
(4)
Figura 1
Las ecuaciones (3) y (4), si las expresamos en forma adimensional, permiten una
clara representación gráfica de estos resultados. Si dividimos numerador y
denominador de dicha ecuaciones por k se obtiene:
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(5)
k
(6)
Las expresiones (5) y (6) pueden expresarse en términos de las cantidades siguientes:
Las expresiones no dimensionales de amplitud y fase quedan:
(7)
(8)
Las representaciones gráficas de estas expresiones serán realizadas con los valores
obtenidos en el modelo de laboratorio.
Las ecuaciones (7) y (8) indican que la amplitud adimensional Xk/F0 y la fase Φ, son
funciones solamente de la razón de frecuencias ω/ωn y del factor de
amortiguamiento según se demuestra en los gráficos obtenidos.
Se puede observar que el factor de amortiguamiento tiene gran influencia sobre la
amplitud y el ángulo de fase, en la zona próxima a resonancia. Si realizamos un
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diagrama de fuerzas como muestra la figura 2, podrá comprenderse mejor el
fenómeno físico.
Figura 2_ Relación vectorial en vibración forzada
Como puede observarse para pequeños valores de ω/ωn < 1, tanto las fuerzas de
inercia como las de amortiguamiento son pequeñas, lo que traduce en un pequeño
ángulo de fase. La magnitud de la fuerza global es entonces casi igual a la fuerza
del resorte como se muestra en la figura 2(a)
Para ω/ωn =1 el ángulo de fase es 90° y el diagrama de fuerzas esta indicado en la
figura 2 (b). La fuerza de inercia, que ahora es mayor es equilibrada por la fuerza del
resorte, mientras que la fuerza aplicada supera la fuerza de amortiguamiento.
La amplitud y la resonancia pueden calcularse de las ecuaciones (5) y (7) o de la
figura 2(b)
(9)
A valores grandes de ω/ωn >>>1, el ángulo de fase se aproxima a 180° y la fuerza
aplicada se emplea casi enteramente para vencer la fuerza de inercia, tal como
muestra la figura 2(c).
Resumiendo, la ecuación diferencial y su solución completa, incluyendo el término
transitorio, puede escribirse como:
(10)
(11)
6