Download 1 Mecánica Racional - Universidad Tecnológica Nacional

Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Bahía Blanca
Ingeniería Mecánica
Mecánica Racional
Ejercicio de Mecánica Vectorial y
Analítica
Profesor
Dr. Ercoli Liberto
Alumno
Breno Alejandro
Año
2012
Ingeniería Mecánica
Mecánica Racional
Breno Alejandro
1
Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Bahía Blanca
Ingeniería Mecánica
Ejercicio N° 1
Mecánica Vectorial
Cinemática y cinética del cuerpo rígido:
El soporte inclinado C gira con velocidad angular ̇ respecto al soporte fijo A y con ̇ respecto al
soporte B. Sobre él gira el disco M con una velocidad angular ̇ . Ver figura 1. a.
Figura 1.1. a) Representación gráfica del sistema y nomenclatura. b) Imagen del sistema.
Datos:
e: espesor del disco = 20 mm
̇
;
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̇
;
R: radio del disco = 75 mm
;
̇
Mecánica Racional
;
;
M: masa del disco = 1000 g
;
Breno Alejandro
;
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El marco de referencia ofrecido por el vínculo A es absoluto, mientras que el representado por el
sistema coordenado {G, X, Y, Z} es móvil y está animado de las rotaciones ̇ y ̇ .
Calcular:
1. Invariantes y tipo de movimiento del disco M.
2. Velocidad de un punto D genérico de la periferia de M.
3. Aceleración angular del disco.
4. Aceleración del punto D.
5. Energía cinética de M.
̇
6. Encontrar los valores de los incisos precedentes en el caso que
7. Momento cinético en
.
.
8. Momento dinámico en
.
Ayuda:
Utilizar los conceptos cinemáticos del movimiento absoluto, tomando
como centro de reducción.
Desarrollo:
1. Invariante y tipo de movimiento
Invariante vectorial
Así se le llama al vector rotación ̅ , resultante de todas las rotaciones que afectan al sistema,
debido a que no se ve afectado sea cual sea el punto de reducción elegido.
Para este ejercicio,
̅
̅̇
∑̅
̅̇
̅̇
Expresándolo respecto a la terna móvil:
̅̇
(
) ̌
̅̇
̅̇
̌
̌
[
(
)̌
̌
[
[
]
]
]
̅
̌
̌
[
]
Invariante escalar
Se le denomina a la constante que surge de proyectar los vectores velocidad de un sistema material
rígido sobre la dirección del vector rotación.
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̅ ̌
siendo ̅ la velocidad de cualquier punto del cuerpo.
Tomaremos como centro de reducción al punto
ninguna rotación le imprime velocidad.
Ya que ̅
dado que conocemos a priori su velocidad ya que
es:
Dado que es una solución arbitraria, tomaremos para el cálculo también un punto con velocidad no
nula, el punto D, por ejemplo.
̅
̅
̅
⁄
̅
⁄
̅
̅
⁄
̌
̌
̌
̌
̌
̌
̅
̌
̌
[
]
Luego queda demostrado que:
Tipo de movimiento.
Los invariantes vectorial y escalar definen el tipo de movimiento. Con el invariante escalar
existen dos posibilidades:
con ̅
movimiento de rotación con punto perteneciente al eje de rotación, el
considerado para el cálculo, en este caso el .
con ̅
̅
movimiento de rotación instantánea.
Luego, el movimiento resultante es una rotación pero con un solo punto fijo que es el
lugar a una Rotación instantánea.
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. Esto da
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Figura 1.2.
2. Velocidad de un punto D genérico de la periferia de M
Sea el ángulo que forma ̅
Ver figura 1.2.
̅
̅
̅
̅
respecto al eje ̌ para poder indicar la posición del punto genérico D.
̅
⁄
̌
̌
⁄
̅
(
)̌
̌
̌
̌
̌
̌
̌
[
]
3. Aceleración angular del disco.
Se obtiene derivando el vector velocidad angular del disco respecto al tiempo.
̅
̅
(
̌
̌)
Debido a que el vector velocidad angular está referido a la terna móvil, es decir que las direcciones
de los ejes coordenados de la terna son funciones del tiempo y deben ser derivadas, es que se
recurre a unas expresiones llamadas fórmulas de Poisson. Estas permiten expresar a las derivadas de
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los versores en función de un sencillo producto vectorial entre la velocidad angular impuesta a la
terna móvil y el mismo versor.
Luego tenemos:
̅
̌)
̌
(
( ̅
( ̅
̌)
̌)
siendo ̅ la velocidad angular impuesta a la terna móvil {G, X, Y, Z}, es decir:
̅̇
̅
̅̇
̅
̌
̌
[
]
Luego:
(
̅
̌)
(
̅
̌)
̌
[
]
4. Aceleración del punto D.
̅
̅
̅
̅
̅
⁄
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̌
⁄
̌
̌
̌
̅
̌
̌
[
]
5. Energía cinética de M.
Para ello utilizamos la expresión:
̅
̅
⁄
El primer sumando, , es la energía cinética de arrastre o traslación y es la que tendría el sistema en
el supuesto de que toda la masa estuviera concentrada en el centro de reducción.
El segundo sumando,
, es la energía cinética relativa o de rotación y está originada por el
movimiento relativo de cada punto respecto al del centro de reducción.
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El tercer sumando,
, es la energía cinética que depende del centro de reducción llamada fuerza
viva compuesta. En este caso es nula debido a que tomamos como centro de reducción al baricentro,
es decir:
̅ ⁄
Luego:
̅
̅
̅
̅
⁄
̅
⁄
̅
̅
⁄
̌
̌
̌
̌
̌
̅
| ̅|
̌) (
̌
(
[
̌
̌)
]
[
√
[
]
]
Momentos de inercia del disco M.
(
)
[
[
]
]
El momento de inercia del disco respecto al eje ̌ se obtiene por:
los cosenos directores entre el eje ̌ y los ejes ̌ ̌ y ̌ respectivamente. En la
figura se muestra el ángulo , el cual está comprendido entre el eje ̌ y el eje ̌ , en el plano YZ.
siendo
( ̌ ̌)
( ̌ ̌)
(
)
(̌ ̌)
Luego:
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[
]
La energía cinética queda:
[ ]
y ̇
6. Incisos precedentes con
.
} el cual gira con ̇ . Figura 1.3.
Para ello se utiliza un nuevo sistema coordenado {
Las velocidades angulares respecto a la terna móvil nueva son:
̅̇
̅̇
̅̇
̌
̌
[
̌
[
]
]
[
]
Entonces, la velocidad angular ̅ con el sistema cambiado queda:
̅
̌
̌
[
]
Velocidad del punto D
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̅
̅
̅
⁄
̅
⁄
̅
̅
⁄
̌
̌
̌
̌
̅
[
̌
]
Aceleración angular del disco.
̅
̅
̌ )
̌
(
Luego se tiene que:
( ̅̇
̅
( ̅̇
̌ )
Se recuerda que ̅̇
̌ )
es la velocidad angular impuesta a la nueva terna móvil.
Luego:
̅
̌
̌
̅
̌
[
]
Aceleración del punto D.
̅
̅
̅
̅
̅
̅
⁄
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̌
̌
⁄
̌
̌
̅
̌
̌
[
]
Energía cinética de M.
Volvemos a utilizar la expresión:
̅
Dado que:
̅
̅
⁄
⁄
Luego:
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̅
̅̇
̅
̅
⁄
̅
⁄
̅
̌
̌
̅
| ̅|
⁄
[
̌
]
[
√
[
]
]
Los momentos de inercia del disco M eran:
(
)
[
[
]
]
El momento de inercia del disco respecto al eje ̌ se obtiene por:
los cosenos directores entre el eje ̌ y los ejes ̌
siendo
En la figura se muestra el ángulo
.
̌ y̌
respectivamente.
, el cual está comprendido entre el eje ̌ y el eje ̌ , en el plano
(̌ ̌ )
(̌ ̌ )
(
)
(̌ ̌ )
Luego:
[
]
La energía cinética queda:
[ ]
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7. Momento cinético en
̅
̅
̅
̅
̅
̅
.
̅
⁄
[
̌
̅
⁄
̿
̿
̅
(
]
̌
̅
[
][
̌)
̌
(
[
]
̌)
̅
8. Momento dinámico en
]
[
]
.
Para obtener el Momento dinámico o Momento de todas las fuerzas exteriores respecto del centro
de momento , se parte de la ecuación de Euler, esta es:
∑̅
̅
̅
̅
̅
̅
En el primer sumando, la derivada es cero dado que es respecto a la terna relativa. No sería nula si la
terna no fuese móvil.
En el término siguiente, se recuerda que la velocidad angular es la de la terna móvil, es decir ̅ , ya
calculada en el inciso 3.
En el tercer sumando, ya que el punto de reducción no tiene velocidad: ̅
vectorial también es nulo.
, el producto
Luego queda que:
∑̅
∑̅
̅
̅
(
̌)
̌
∑̅
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̌
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[
]
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Ejercicio N° 2
Mecánica Analítica
Obtención de la ecuación rectora del movimiento del siguiente sistema. Ver figura 2.
Figura 2. Vista lateral del sistema y nomenclatura.
Desarrollo:
Primero se eligen las coordenadas generalizadas. En este caso son:
Como segundo paso se deben obtener las fuerzas generalizadas. Para ello utilizamos:
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∑
∑
en donde es el vector posición en donde la fuerza
se aplica; y
angular del sistema con respecto al eje a lo largo del cual se aplica el momento.
̌
̌
(
̌
) ̌
( ) ̌
( ) ̌
(
es la velocidad
̌
̌
̌
̌)
̌
( )
( ) ̌
( ) ̌
(
̌
(
̌)
̌)
̌
( )
Ya calculadas ambas fuerzas generalizadas
, la potencial
y la función de disipación
, proseguimos por determinar la energía cinética
del sistema.
̇
[(
(
̌]
) ̌
̇
( ̇
) ̌
̇
[ ̇
̇
̇
̇ (
̇
[ ̇
̇
̇
̇ ]
̇
̇
) ̇
̇
̇
̇
̌
̇ (
) ]
̇
̇
̇
(
)
(
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)
̇
)
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̇
̇
Aplicamos las Ecuaciones de Lagrange de movimiento:
(
̇
)
̇
Calculamos:
(
̇
(
̇
̇
) ̇
(
)
̈
) ̈
̇
̇
̇
̇
̇
̇
(
̇
)
̈
̇
̇
̈
̇
̇
̇
̇
Por último, las ecuaciones rectoras del movimiento son:
(
̈
) ̈
(
̇
̈
) ̈
̇
̈
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( ̈
̇
̇
̈
̇
̈
( )
)
̇
̇
̇
̇
̇
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Para Ambos ejercicios utilizamos
Software
Microsoft Word
Solid Edge Academic V17
AutoCad 2009 Versión académica
Libros de consulta
Monografía de la cátedra, Mecánica Racional, Profesor Ing. Liberto Ercoli, 2006
Mecánica Vectorial para Ingenieros, Dinámica, Octava Edición, Ferdinand P. Beer – E. Russell
Johnston Jr. – William E. Clausen, Mc. Graw Hill
Análisis Dinámicos de los Sistemas Mecánicos, 2da Edición, Luciano Chiang S., Alfaomega
Mecánica Analítica. Spagnolo – Zubcov, Nueva Librería, Primera Edición 2002
Vibraciones, Balakumar Balachandran - Edward B. Magrab, Cengage Learning Editores S.A
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