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Cinemática y Dinámica
Cinemática del cuerpo rígido
Objetivo: El alumno analizará y resolverá ejercicios de movimiento
plano de cuerpos rígidos, y de algunos mecanismos donde no
intervengan las causas que modifican dicho movimiento.
Introducción
• Cinemática de cuerpos rígidos: relaciones entre el
tiempo y las posiciones, las velocidades y las
aceleraciones de las partículas que forman un cuerpo
rígido.
• Clasificación de los diferentes movimientos de cuerpo
rígido:
- traslación:
• traslación rectilínea
• traslación curvilínea
- rotación alrededor de un eje fijo
- movimiento plano general
- movimiento alrededor de un punto fijo
- movimiento general
Traslación
• Considerar un cuerpo rígido en traslación:
- la dirección de cualquier línea recta dentro del cuerpo
es constante,
- todas las partículas que forman el cuerpo se mueven en
líneas paralelas.
• Para cualquier par de partículas en el cuerpo,



rB  rA  rB
A
• La diferenciación con respecto al tiempo,



rB  rA  rB


vB  v A
A

 rA
Todas las partículas tienen la misma velocidad.
• La diferenciación con respecto al tiempo de nuevo,
rB  rA  rB


aB  a A
A


 rA
Todas las partículas tienen la misma aceleración.
Rotación alrededor de un eje fijo.
Velocidad
• Considerar la rotación de un cuerpo rígido
alrededor de un eje fijo AA’.


• El vector de velocidad
P es
vde
 la
dr partícula
dt
tangente a la trayectoria con magnitud
v  ds dt
s  BP   rsen 
ds

v
 lím rsen 
 rsen
dt t 0
t
• El mismo resultado se obtiene a partir de

 dr  
v
r
dt



   k  k  velocidad angular
Rotación alrededor de un eje fijo. Aceleración
• Diferenciación para determinar la aceleración,

 dv d  
a
   r 
dt dt


d   dr

r  
dt
dt

d   

r  v
dt

d 
   aceleració n angular
•
dt





  k   k   k
• La aceleración de P es una combinación de dos
vectores,
     
a    r     r
 
  r  componente de la aceleració n tangenci al
 
    r  componente de la aceleració n radial
Rotación alrededor de un eje fijo. Placa
• Considerar la propuesta de una placa representativa en
representativa
un plano perpendicular al eje de rotación.
• Velocidad de cualquier punto P de la placa,
 
  
v    r  k  r
v  r
• Aceleración de cualquier punto P de la placa,
     
a    r     r
 
2
 k  r  r
• Resolviendo la aceleración en las componentes
tangencial y normal,
 

at  k  r


an   2 r
15 - 7
a t  r
an  r 2
Ecuaciones que definen la rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo
• El movimiento de un cuerpo rígido que gira alrededor de un
eje fijo a menudo es especificado por el tipo de aceleración
angular.
• Recordando
d
d

o
dt 
dt

d d 2
d

 2 
dt
dt
d
• Rotación uniforme,  = 0:
   0  t
• Rotación uniformemente acelerada,  = constante:
  0  t
   0   0t  12  t 2
15 - 8
 2   02  2    0 
Problema resuelto
15.1
SOLUCIÓN:
• Debido a la acción del cable, la velocidad
tangencial y la aceleración de D son iguales a
la velocidad y la aceleración de C. Calcular la
velocidad angular inicial y la aceleración.
El cable C tiene una aceleración constante de 9
in/s2 y una velocidad inicial de 12 in/s, ambas
dirigidas hacia la derecha.
Determinar a) el número de revoluciones
ejecutadas por la polea en 2 s, b) la velocidad
y el cambio en la posición de la carga B
después de 2 s, y c) la aceleración del punto D
sobre el borde de la polea cuando t = 0.
15 - 9
• Aplicar las relaciones de la rotación
uniformemente acelerada para determinar la
velocidad y la posición angular de la polea al
cabo de 2 s.
• Evaluar los primeros componentes
tangencial y normal de la aceleración de D.
Problema
resuelto
5.1
SOLUCIÓN:
• La velocidad tangencial y la aceleración de D son iguales a la
velocidad y la aceleración de C.
vD 0  vC 0  12 in. s 
aD t  aC  9 in. s 
aD t
vD 0  r0
vD 0
 r
aD t 9
12

  3 rad s 2
0 

 4 rad s
r
3
r
3
• Aplicar las relaciones de la rotación uniformemente acelerada
para determinar la velocidad y la posición angular de la polea al
cabo de 2 s.


  0  t  4 rad s  3 rad s2 2 s   10 rad s


   0t  12 t 2  4 rad s 2 s   12 3 rad s 2 2 s 2
 14 rad
15 - 10
 1 rev 
N  14 rad 
  número de revolucion es N  2.23 rev
 2 rad 

vB  r  5 in. 10 rad s 
vB  50 in. s 
yB  r  5 in. 14 rad 
yB  70 in.
Problema
resuelto
5.1
• Evaluar los primeros componentes tangencial y normal de la
aceleración de D.
aD t  aC  9 in. s 
aD n  rD02  3 in. 4 rad s 2  48 in
aD t
 9 in. s 2 
aD n  48 in.
s2
s2 
Magnitud y dirección de la aceleración total,
aD 
aD t2  aD 2n
 92  482
aD  48.8 in. s 2
aD n
tan  
aD t
48

9
15 - 11
  79.4
Movimiento plano general
• El movimiento plano general no es ni una traslación ni
una rotación.
• Un movimiento plano general puede considerarse como la
suma de una traslación y una rotación.
• El desplazamiento de las partículas A y B a A2 y B2 se
puede dividir en dos partes:
- traslación a A2 y
B1
- rotación de alrededor
de A2 a B2
B
1
15 - 12
Velocidad absoluta y velocidad relativa en el movimiento plano
• Cualquier movimiento plano puede ser reemplazado por una
traslación de un punto de referencia arbitrario A y una rotación
simultánea alrededor de A.



vB  v A  vB A
 

v B A   k  rB A
 


v B  v A   k  rB
15 - 13
v B A  r
A
Velocidad absoluta y velocidad relativa en el movimiento plano
• Suponiendo que la velocidad vA del extremo A es conocida, se desea determinar la velocidad vB
del extremo B y la velocidad angular  en términos de vA, l y .
• Las direcciones de vB y vB/A son conocidas. Complete el diagrama de velocidad.
vB
 tan 
vA
v B  v A tan 
15 - 14
vA
vA

 cos
v B A l
vA

l cos
Velocidad absoluta y velocidad relativa en el movimiento plano
• Seleccionar el punto B como punto de referencia y resolver para la velocidad vA del
extremo A, y la velocidad angular  lleva a un triángulo de velocidad equivalente.
• vA/B tiene la misma magnitud, pero en sentido opuesto a vB/A. El sentido de la velocidad
relativa depende de la elección del punto de referencia.
• La velocidad angular  de la varilla en su rotación alrededor de B es la misma que su
rotación alrededor de A. La velocidad angular no depende de la elección del punto de
15 referencia.
- 15
Problema resuelto 15.2
SOLUCIÓN:
• El desplazamiento del centro del engrane en
una revolución es igual a la circunferencia
exterior. Relacionar los desplazamientos de
traslación y angular. Diferenciar las relaciones
de las velocidades de traslación y angular.
Un engrane doble rueda sobre una
cremallera estacionaria inferior; la
velocidad de su centro es 1.2 m/s.
Determinar a) la velocidad angular del
engrane, y b) las velocidades de la
cremallera superior R y del punto D del
engrane.
15 - 16
• La velocidad de cualquier punto P en el engrane
puede escribirse como



vP  v A  vP
A
 

 v A  k  rP
A
• Evaluar las velocidades de los puntos B y D.
Problema
resuelto
15.2
SOLUCIÓN:
• El desplazamiento del centro del engrane en una revolución
es igual a la circunferencia exterior.
Para xA > 0 (moviéndose a la derecha),  < 0 (girando en el
sentido de las manecillas del reloj).
xA


2 r
2
y
x
x A  r1
Diferenciar la relación de las velocidades de traslación y
angular.
v A  r1
v
1.2 m s
  A 
r1
0.150 m
15 - 17


  k  8 rad s k

Problema resuelto
15.2




• Para cualquier punto P sobre el engrane,
La velocidad de la cremallera superior
es igual a la velocidad del punto B:
 



vR  vB  v A  k  rB A



 1.2 m s i  8 rad s k  0.10 m  j


 1.2 m s i  0.8 m s i


vR  2 m s i
15 - 18
vP  v A  vP
A
 
 v A  k  rP
A
Velocidad del punto D:
 


vD  v A  k  rD A



 1.2 m s i  8 rad s k   0.150 m i



vD  1.2 m s i  1.2 m s  j
vD  1.697 m s
Problema resuelto
15.3
SOLUCIÓN:
• Se determinará la velocidad absoluta del punto
D con



vD  vB  vD B

• La velocidad se
v Bobtiene de los datos de la
rotación de la manivela.
La manivela AB tiene una velocidad angular
constante en el sentido de las manecillas del
reloj de 2000 rpm.
Para la posición indicada de la manivela,
determine a) la velocidad angular de la biela
BD, y b) la velocidad del pistón P.
15 - 19
• Las direcciones de la velocidad absoluta
y

la velocidadvrelativa se determinan a partir
v
D B
D
de la geometría del problema.
• Las incógnitas en la expresión del vector son las
magnitudes de velocidad
que pueden
vD y vser
DB
determinadas a partir del triángulo vectorial
correspondiente.
• La velocidad angular de la biela se calcula a
partir de
v
.
D B
Problema
resuelto
15.3
SOLUCIÓN:
• Se determinará la velocidad absoluta del punto D con



vD  v B  v D B
• La velocidad
manivela.
 AB   2000

 obtiene de los datos de la rotación de la
se
vB
rev  min  2 rad 


  209.4 rad s
min  60 s  rev 
vB   AB  AB  3 in. 209.4 rad s 
La dirección de la velocidad es como se muestra.

• La dirección de la velocidad absoluta
es horizontal.
La
vD

dirección de la velocidad relativa es perpendicular a BD.
vD
Calcule el ángulo entre la horizontal y la biela por la ley de
los senos.
sen 40 sen

8 in.
3 in.
15 - 20
  13.95
B
Problema resuelto 15.3
• Determinar las magnitudes de las velocidades
del triángulo vectorial.
v yv
D
DB
vD B
vD
628.3 in. s


sen53.95 sen50 sen76.05
vD  523.4 in. s  43.6 ft s



vD  v B  v D
15 - 21
B
vD
B
 495.9 in. s
vD
B
 l BD
 BD
vD
495.9 in. s


l
8 in.
 62.0 rad s
vP  vD  43.6 ft s
B

 BD

 62.0 rad s k
Centro instantáneo de rotación en el
movimiento
• El movimiento plano de plano
todas las partículas en una placa siempre
puede reemplazarse por la traslación de un punto arbitrario A y
una rotación alrededor de A con una velocidad angular que es
independiente de la elección de A.
• Las mismas velocidades de traslación y rotación en A se obtienen
al permitir que la placa gire con la misma velocidad angular
respecto al punto C sobre una perpendicular a la velocidad en A.
• La velocidad de todas las demás partículas en la placa es la misma
que se definió originalmente, puesto que la velocidad angular y la
velocidad de traslación en A son equivalentes.
• En lo referente a las velocidades, la placa parece girar alrededor
del centro instantáneo de rotación C.
15 - 22
Centro instantáneo de rotación en el
movimiento
plano
• Si se conoce la velocidad
en los puntos A y B, el centro
instantáneo de rotación se encuentra en la intersección
perpendicular a los vectores de velocidad a través de A y B.
• Si los vectores de velocidad son paralelos, el centro instantáneo
de rotación es infinito y la velocidad angular es cero.
• Si los vectores de velocidad en A y B son perpendiculares a la
línea AB, el centro instantáneo de rotación se encuentra en la
intersección de la línea AB con la línea que une los extremos de
los vectores de velocidad en A y B.
• Si las magnitudes de velocidad son iguales, el centro instantáneo
de rotación es infinito y la velocidad angular es cero.
15 - 23
Centro instantáneo de rotación en el
• movimiento
El centro instantáneo de rotación
se encuentra en la intersección de las
plano
perpendiculares a los vectores de velocidad a través de A y B.
vA
vB  BC   lsen 
l cos 
 v A tan 
• Las velocidades de todas las partículas en la varilla se comportan
como si fueran a girar alrededor de C.
vA
vA


AC l cos
• La partícula en el centro de rotación tiene velocidad cero.
• La partícula que coincide con el centro de rotación cambia con el
tiempo y la aceleración de la partícula en el centro instantáneo de
rotación no es cero.
• La aceleración de las partículas en la placa no puede determinarse si
ésta simplemente gira alrededor de C.
• El trazo del sitio del centro de rotación en el cuerpo es el centroide
cuerpo, y en el espacio es el espacio centroide.
15 - 24
Problema resuelto
15.4
SOLUCIÓN:
• El punto C está en contacto con la cremallera
estacionaria inferior y, al instante, tiene una
velocidad cero. Debe ser la ubicación del centro
instantáneo de rotación.
• Determine la velocidad angular respecto a C con
base en la velocidad dada en A.
Un engrane doble rueda sobre una
cremallera estacionaria inferior; la
velocidad de su centro es 1.2 m/s.
Determinar a) la velocidad angular del
engrane, y b) las velocidades de la
cremallera superior R y del punto D del
engrane.
15 - 25
• Evalúe las velocidades en B y D con base en su
rotación alrededor de C.
Problema
resuelto
15.4
SOLUCIÓN:
• El punto C está en contacto con la cremallera estacionaria
inferior y, al instante, tiene una velocidad cero. Debe ser la
ubicación del centro instantáneo de rotación.
• Determine la velocidad angular respecto a C con base en la
velocidad dada en A.
v A 1.2 m s
v A  rA


 8 rad s
rA 0.15 m
• Evaluar las velocidades en B y D con base en su rotación
alrededor de C.
vR  vB  rB  0.25 m8 rad s 


vR  2 m s i
rD  0.15 m  2  0.2121 m
vD  rD  0.2121 m 8 rad s 
15 - 26
vD  1.697 m s



vD  1.2i  1.2 j m s 
Problema resuelto
15.5
SOLUCIÓN:
• Determinar la velocidad en B de los datos de la
rotación de la manivela.
La manivela AB tiene una velocidad angular
constante en el sentido de las manecillas del
reloj de 2000 rpm.
Para la posición indicada de la manivela,
determine a) la velocidad angular de la biela
BD, y b) la velocidad del pistón P.
15 - 27
• La dirección de los vectores de velocidad en B
y D son conocidos. El centro instantáneo de
rotación está en la intersección de las
perpendiculares a las velocidades a través de B
y D.
• Determinar la velocidad angular respecto al
centro de rotación basado en la velocidad en B.
• Calcular la velocidad en D con base en su
rotación alrededor del centro instantáneo de
rotación.
Problema
resuelto
15.5
SOLUCIÓN:
• Del problema resuelto 15.3,



vB  403.9i  481.3 j in. s 
vB  628.3 in. s
  13.95
• El centro instantáneo de rotación está en la intersección de
las perpendiculares a las velocidades a través de B y D.
 B  40    53.95
 D  90    76.05
• Determine la velocidad angular respecto al centro de
rotación basado en la velocidad en B.
vB  BC  BD
 BD  62.0 rad s
vB 628.3 in. s
BC
CD
8 in.
 BD 



BC
10.14 in.
sen 76.05 sen53.95 sen50
• Calcular la velocidad en D en función de su rotación
alrededor del centro instantáneo de rotación.
BC  10.14 in. CD  8.44 in.
vD  CD  BD  8.44 in. 62.0 rad s 
15 - 28
vP  vD  523in. s  43.6 ft s
Aceleraciones absoluta y relativa en el movimiento plano
• Aceleración absoluta de una partícula de la placa,



aB  a A  aB
A

• La aceleración relativa
con la rotación alrededor de A incluye
aasociada
B A
componentes tangencial y normal,



aB

aB
15 - 29

A n
A t
 
  k  rB A
2
  rB A
a B A t  r
a B A n  r 2
Aceleraciones absoluta y relativa en el movimiento plano
• Dados a A y vA ,
determinar a y .
B



aB  a A  aB A


 a A  aB A

• El vector resultante depende del sentido de
magnitudes relativas de
a A y aB A

• Debe conocer también la velocidad .
15 - 30

n

y dealas
A
n 

 aB

A t
Aceleraciones absoluta y relativa en el movimiento plano
• Escribir



de las dos ecuaciones de componentes,
a B  a A en
 atérminos
B A
 componentes x:

  componentes y:
• Resolver para aB y .
15 - 31
0  a A  l 2sen  l cos 
 aB  l 2 cos   lsen
Análisis del movimiento plano en términos de un parámetro
• En algunos casos esto es ventajoso para determinar la
velocidad y la aceleración absoluta de un mecanismo
directamente.
x A  lsen
y B  l cos
v A  x A
 l cos 
 l cos 
vB  y B
 lsen
 lsen
a A  xA
 l 2sen  l cos 
 l 2sen  l cos 
15 - 32
aB  yB
 l 2 cos   lsen
 l 2 cos   lsen
Problema resuelto 15.6
SOLUCIÓN:
• La expresión de la posición del engrane como
una función de se diferencia en dos ocasiones
para definir la relación entre las aceleraciones
de traslación y angular.
El centro del engrane doble tiene una
velocidad y una aceleración hacia la derecha
de 1.2 m/s y 3 m/s2, respectivamente. La
cremallera inferior es estacionaria.
Determinar a) la aceleración angular del
engrane, y b) la aceleración de los puntos B,
C y D.
15 - 33
• La aceleración de cada punto en el engrane se
obtiene sumando la aceleración del centro del
engrane y las aceleraciones relativas con
respecto al centro. Esto último incluye los
componentes normal y tangencial de
aceleración.
Problema
resuelto
15.6
SOLUCIÓN:
• La expresión de la posición del engrane como una
función de  se diferencia en dos ocasiones para definir
la relación entre las aceleraciones de traslación y angular.
x A  r1
v A  r1  r1
vA
1.2 m s
  
 8 rad s
r1
0.150 m
a A  r1  r1
aA
3 m s2
 

r1
0.150 m




2
   k   20 rad s k

15 - 34
Problema resuelto• 15.6
La aceleración de cada punto
se obtiene sumando la
aceleración del centro del
engrane y las aceleraciones
relativas con respecto al
centro.
Lo anterior incluye a los
componentes de las
aceleraciones normal y
tangencial.



15 - 35
 







aB  a A  aB A  a A  aB A  aB A
t
n
 

2
 a A   k  rB A   rB A



2
2 
2
 3 m s i  20 rad s k  0.100 m  j  8 rad s   0.100 m  j
2 
2 
2 
 3 m s i  2 m s i  6.40 m s j

2 
2 
aB  5 m s i  6.40 m s j
aB  8.12 m s 2
 
 


 
 


Problema resuelto 15.6
 

2

a


k

r


rC A
A
A
C A



2
2 
2
 3 m s i  20 rad s k   0.150 m  j  8 rad s   0.150 m  j
2 
2 
2 
 3 m s i  3 m s i  9.60 m s j

2 
ac  9.60 m s j
 





aD  a A  aD A  a A   k  rD A   2rD A



2
2 
2
 3 m s i  20 rad s k   0.150 m i  8 rad s   0.150m i
2 
2 
2 
 3 m s i  3 m s j  9.60 m s i

2 
2 
aD  12.6 m s i  3 m s j
aD  12.95 m s 2



aC  a A  aC
15 - 36


 
 


 
 


 



 
 



Problema resuelto
15.7
SOLUCIÓN:
• La aceleración angular de la biela BD y la
aceleración del punto D se determinan a
partir de

 







aD  aB  aD B  aB  aD B  aD B
t
n
• La aceleración de B se determina a partir de la
velocidad de rotación dada de AB.
La manivela AG del mecanismo tiene una
velocidad angular constante en el sentido de
las manecillas del reloj de 2000 rpm.
Para la posición que se muestra de la
manivela, determinar la aceleración de la
biela BD y la aceleración del punto D.
15 - 37
• Las direcciones de las aceleraciones
 

aD , aD B t y aD B nse determinan a partir
de la geometría.

 

• Las ecuaciones de componentes para la
aceleración del punto D se resuelven
simultáneamente para la aceleración de D y la
aceleración angular de la biela.
Problema
resuelto
15.7
SOLUCIÓN:
• La aceleración angular de la biela BD y la aceleración del
punto D se determinan a partir de






aD  aB  aD B  aB  aD B  aD B

t 
n
• La aceleración de B se determina a partir de la velocidad de
rotación dada de AB.
 AB  2000 rpm  209.4 rad s  constante
 AB  0
2
aB  r AB
 123 ft 209.4 rad s   10,962 ft s 2
2





2
aB  10 962 ft s  cos 40i  sen 40 j 
15 - 38
Problema resuelto 15.7
• Las direcciones de las aceleraciones
partir de la geometría.


aD   aD i
 determinan


aDse
, aD B t y aD Ban
Del problema resuelto 15.3, BD = 62.0 rad/s,  = 13.95o.
2
8 ft 62.0 rad s 2  2563 ft s 2
aD B n  BD BD
 12



a   2563 ft s  cos13.95i  sen13.95 j 
aD B t  BD BD  128 ft  BD  0.667 BD
2
DB n
La dirección de (aD/B)t es conocida, pero el sentido no se conoce,
15 - 39



aD B t  0.667 BD  sen76.05i  cos 76.05 j 
Problema resuelto 15.7
• Las ecuaciones de componentes para la aceleración del punto D se
resuelven simultáneamente.






aD  aB  aD B  aB  aD B  aD B

t 
n
componentes x:
 aD  10 962 cos 40  2563 cos 13.95  0.667 BD sen13.95
componentes y:
0  10 962sen 40  2563sen13.95  0.667 BD cos 13.95



2 
aD  9290 ft s  i

 BD  9940 rad s
15 - 40
2

k
Problema resuelto 15.8
SOLUCIÓN:
• Las velocidades angulares son determinadas
resolviendo simultáneamente las ecuaciones
componentes para



vD  vB  vD
B
• Las aceleraciones angulares son determinadas
resolviendo simultáneamente las ecuaciones
En la posición mostrada, la manivela AB tiene
componentes para
una velocidad angular constante de 1 = 20
rad/s en sentido contrario al de las manecillas



del reloj.
a  a a
D
Determinar las velocidades angulares y las
aceleraciones angulares de la barra acopladora
BD y de la manivela DE.
15 - 41
B
D B
Problema
resuelto
15.8
SOLUCIÓN:
• Las velocidades angulares son determinadas resolviendo
simultáneamente las ecuaciones componentes para



vD  v B  v D B






vD   DE  rD   DE k   17i  17 j 


 17 DE i  17 DE j






vB   AB  rB  20k  8i  14 j 


 280i  160 j






vD B   BD  rD B   BDk  12i  3 j 


 3 BDi  12 BD j
componentes x:
 17 DE  280  3 BD
componentes y:
 17 DE  160  12 BD

 BD
15 - 42

 29.33 rad s k

 DE

 11.29 rad s k
Problema
resuelto
15.8
• Las aceleraciones angulares son determinadas resolviendo
simultáneamente las ecuaciones componentes para



aD  aB  aD B



2 
aD   DE  rD   DE
rD





2
  DE k   17i  17 j   11.29   17i  17 j 




 17 DE i  17 DE j  2170i  2170 j




2 
2 
aB   AB  rB   ABrB  0  20 8i  14 j 


 3200i  5600 j



2 
aD B   BD  rB D   BDrB D





2
  B D k  12i  3 j   29.33 12i  3 j 




 3 B D i  12 B D j  10,320i  2580 j
componentes x:
15 - 43
 17 DE  3 BD  15,690
 17 DE  12 BD  6010
componentes y:




2
2
 BD   645 rad s k
 DE  809 rad s k




Razón de cambio con respecto a un sistema de referencia en rotación
• Respecto al sistema de referencia rotatorio Oxyz,





Q Oxyz  Q x i  Q y j  Q z k




Q  Qx i  Q y j  Qz k
• Respecto al sistema de referencia OXYZ,

• El sistema de referencia OXYZ
es fijo.
• El sistema de referencia Oxyz
gira alrededor del eje fijo OA
con velocidad angular



t 
Qvaría
• La función vectorial
en dirección y magnitud.
15 - 44







Q OXYZ  Q x i  Q y j  Q z k  Qx i  Q y j  Qz k




 x i  Q y j  Q z k  Q
• Q
razón
Oxyzdecambio con

respecto al sistema de referencia rotatorio.

• Sí Qestá fijado en Oxyz, entonces


QesOXYZ
equivalente a la velocidad de un punto en un cuerpo
rígido adjunto a Oxyz y
  


Qx i  Q y j  Qz k    Q
• Respecto al sistema de referencia OXYZ,




 
Q OXYZ  Q Oxyz    Q
Aceleración
de
Coriolis
• El sistema de referencia OXY es fijo y el sistema de referencia
rotatorio Oxy gira con velocidad angular


.
• El vector de posición para
rP la partícula P es el mismo en
ambos sistemas de referencia, pero la razón de cambio depende
de la elección del sistema de referencia.
• La velocidad absoluta de la partícula P es
 


v P  r OXY    r  r Oxy
• Imagine una placa rígida junto al sistema de referencia rotatorio
Oxy, o F para abreviar. Sea P’ un punto sobre la placa que
corresponde de manera instantánea a la posición de la partícula
P.


v P F  r Oxy  velocidad de P a lo largo de su trayectoria
en la placa

v P '  velocidad absoluta del punto P’ sobre la placa
• La velocidad absoluta de la partícula P puede escribirse como
15 - 45



v P  v P  v P F
Aceleración
de
Coriolis
• La aceleración absoluta de la partícula P es

   
d 


r Oxy
a P    r    r OXY 
dt


 
pero
r OXY    r  r Oxy

 

v P    r  r Oxy


 v P  v P F


 
d 

r Oxy  rOxy    r Oxy
dt
    
 


a P    r      r   2  r Oxy  rOxy
• Utilizando el punto conceptual P’ sobre la placa,
    

a P    r      r 



a P F  r 
Oxy
• La aceleración absoluta para la partícula P se convierte en
15 - 46
 



a P  a P  a P F  2  r Oxy



 a P  a P F  ac
 
 

ac  2  r Oxy  2  v P F  aceleración de Coriolis
Aceleración
de
Coriolis
• Considerar un collar P hecho para deslizarse a una velocidad
relativa constante u a lo largo de la varilla OB. La varilla gira a
una velocidad angular constante . El punto A sobre la varilla
corresponde a la posición instantánea de P.
• La aceleración absoluta del collarín es




a P  a A  a P F  ac
donde
    

a A    r      r 
a A  r 2



a P F  r Oxy  0
 

ac  2  v P F
ac  2u
• La aceleración absoluta consiste en los vectores radial y
tangencial mostrados.
15 - 47
Aceleración
de
Coriolis
• El cambio de la velocidad superior a t está representado
por la suma de tres vectores

v  RR  TT   T T 
• TTse
 debe al cambio en la dirección de la velocidad del
punto A en la varilla,
TT 

lím
 lím v A
 r  r 2  a A
t 0 t
t 0
t
    

recordando, a A    r      r  a A  r 2
at t ,
at t  t ,
15 - 48
 

v  vA  u
 

v   v A  u 
• RR y T Tse derivan de los efectos combinados del
movimiento relativo de P y la rotación de la varilla
 RR T T  
r 
 
lím 


  lím  u

t 0

t

0
t 
t 
 t
 t
 u  u  2u
 

recordando, ac  2  v P F
ac  2u
Problema resuelto
15.9
SOLUCIÓN:
• La velocidad absoluta del punto P puede
escribirse como



v P  v P  v P
s
• La magnitud y la dirección de la velocidad de
del pasador P se vcalculan a partir de la
P
velocidad angular y del radio del disco D.

• La dirección de la velocidad
del
P’
v Ppunto

en donde S coincide con P es perpendicular al
El disco D del mecanismo de Ginebra gira con
radio OP.
una velocidad angular constante de D = 10
 P con
rad/s en sentido contrario al de las manecillas
• La dirección de la velocidad
de
vP s
del reloj.
respecto a S es paralela a la ranura.
En el instante en que  = 150o, determinar a)
• Resolver el triángulo vectorial de la velocidad
la velocidad angular del disco S, y b) la
angular de S y velocidad relativa de P.
velocidad del pasador P relativa al disco S.
15 - 49
Problema
resuelto
15.9
SOLUCIÓN:
• La velocidad absoluta del punto P puede escribirse como



vP  vP   vP
s
• La magnitud y la dirección de la velocidad absoluta del pasador P se
calculan a partir de la velocidad angular y del radio del disco D.
vP  R D  50 mm10 rad s   500 mm s
• La dirección de la velocidad de P con respecto a S es paralela a la
ranura. De la ley de los cosenos,
r 2  R 2  l 2  2 Rl cos 30  0.551R 2
r  37.1 mm
De la ley de los cosenos,
sen sen30

R
r
sen30
sen 
0.742
El ángulo interior del triángulo vectorial es
  90  42.4  30  17.6
15 - 50
  42.4
Problema resuelto 15.9
• La dirección de la velocidad del punto P’ en donde S coincide con P
es perpendicular al radio OP. De la velocidad triangular,
vP  vP sen  500 mm s sen17.6  151.2 mm s
 rs
s 
151.2 mm s
37.1 mm

 s   4.08 rad s k

vP s  vP cos   500 m s cos17.6



vP s  477 m s  cos 42.4i  sin 42.4 j 
vP  500 mm s
15 - 51
Problema resuelto
15.10
SOLUCIÓN:
• La aceleración absoluta del pasador P puede
expresarse como




a P  a P  a P s  ac
• La velocidad angular instantánea del disco S se
determinó como en el problema resuelto 15.9.
• La única incógnita involucrada en la ecuación de la
aceleración es la aceleración angular instantánea
del disco S.
En el mecanismo de Ginebra, el disco D
gira con una velocidad angular constante
de 10 rad/s en sentido contrario al de las • Resolver cada término de aceleración en la
manecillas del reloj. En el instante en que componente paralela a la ranura. Determinar la
aceleración angular del disco S.
j = 150o, determinar la aceleración
angular del disco S.
15 - 52
Problema
resuelto
15.10
SOLUCIÓN:
• La aceleración absoluta del pasador P puede expresarse
como




aP  aP  aP s  ac
• Del problema resuelto 15.9,


  42.4
S   4.08 rad s k



vP s  477 mm s  cos 42.4i  sen 42.4 j 
• Considerando cada término de la ecuación de la
aceleración,
aP  RD2  500mm 10 rad s   5000 mm s 2



2
aP  5000 mm s cos 30i  sen30 j 



aP  aP n  aP t



2
aP n  rS  cos 42.4i  sen 42.4 j 



aP t  r S  sen 42.4i  cos 42.4 j 



aP t   S 37.1 mm  sen 42.4i  cos 42.4 j 
nota: S puede ser positivo o negativo
2



15 - 53

Problema resuelto 15.10
• La dirección de la aceleración de Coriolis se obtiene girando
la dirección de la velocidad relativa
de 90° envPel ssentido
S.



ac  2S vP s  sen 42.4i  cos 42.4 j 


 24.08 rad s 477 mm s  sen 42.4i  cos 42.4 j 


2
 3890 mm s  sen 42.4i  cos 42.4 j 


• La aceleración relativa
debe ser paralela a la ranura.
aP s
• Equiparando los componentes de los términos de aceleración
perpendicular a la ranura,
37.1 S  3890  5000 cos17.7  0
 S  233 rad s

 S   233 rad s k

15 - 54
Movimiento• alrededor
de
un
punto
fijo
El desplazamiento más general de un cuerpo rígido con un
punto fijo O es equivalente a una rotación del cuerpo alrededor
de un eje que pasa por O.
• Con el eje instantáneo de rotación y velocidad angular
 una partícula P del cuerpo es
velocidad 
de
,
la

 dr  
v
 r
dt
y la aceleración de la partícula P es

     
 d
a    r      r 

.
dt

• La aceleración angular representa
la velocidad de la punta de


.

• A medida que el vector sedesplaza en el cuerpo y en el
espacio, genera un cuerpo y un espacio cónicos que son
tangentes a lo largo del eje instantáneo de rotación.
• Las velocidades angulares tienen magnitud y dirección y
obedecen la ley del paralelogramo de adición. Son vectores.
15 - 55
Movimiento
general
• Para las partículas A y B de un cuerpo rígido,



vB  v A  vB
A
• La partícula A está fija dentro del cuerpo, y el movimiento
de éste en relación con AX’Y’Z’ es el movimiento de un
cuerpo con un punto fijo


 
v B  v A    rB
A
• De manera similar, la aceleración de la partícula P es



aB  a A  aB A

 
 a A    rB
  


   rB
A
A

• La mayor parte del movimiento general de un cuerpo rígido es equivalente a:
- una traslación en la que todas las partículas tienen la misma velocidad y la
aceleración de una partícula de referencia A, y
- a un movimiento en el que la partícula A se supone fija.
15 - 56
Problema resuelto
15.11
SOLUCIÓN:



Con 1  0.30 j 2  0.50k



r  12cos 30i  sen30 j 


 10.39i  6 j

• Velocidad angular de la pluma,
 

La grúa gira con una velocidad angular
  1   2
constante 1 = 0.30 rad/s, y la pluma se eleva
• Aceleración angular de la pluma,
con una velocidad angular constante 2 =
 
 



0.50 rad/s. La longitud de la pluma es l = 12
  1   2   2   2 Oxyz     2
m.

Determinar:
• la velocidad angular de la pluma,
• la aceleración angular de la pluma,
• la velocidad de la punta de la pluma,
• la aceleración de la punta de la pluma.
15 - 57

 1   2
• Velocidad de la punta de la pluma,
  
v  r
• Aceleración de la punta de la pluma,
     
   
a    r      r     r    v
ProblemaSOLUCIÓN:
resuelto 15.11
• Velocidad angular de la pluma,
 

  1  2



  0.30 rad s  j  0.50 rad s k
• Aceleración angular de la pluma,
 
 



  1   2   2   2 Oxyz     2


 
 1   2  0.30 rad s  j  0.50 rad s k

2 
  0.15 rad s i


 
1  0.30 j  2  0.50k



r  10.39i  6 j

15 - 58

• Velocidad de la punta de la pluma,



i
j
k
  
v  r  0
0.3
0.5
10.39
6
0




v  3.54 m s i  5.20 m s  j  3.12 m s k
Problema resuelto 15.11
• Aceleración de la punta de la pluma,
   
 
   
a    r      r     r    v






i
j
k
i
j
k

a  0.15
0
0 0
0.30
0.50
10.39
6
0 3
5.20
 3.12





 0.90k  0.94i  2.60i  1.50 j  0.90k

 
 



2 
2 
2
a   3.54 m s i  1.50 m s j  1.80 m s k

 
1  0.30 j  2  0.50k



r  10.39i  6 j

15 - 59
Movimiento tridimensional. Aceleración
Coriolis
• Conde
respecto
al sistema de referencia fijo OXYZ y al sistema
de referencia rotatorio Oxyz,




 
Q OXYZ  Q Oxyz    Q
• Considérese el movimiento de la partícula P respecto a un
sistema de referencia rotatorio Oxyz, o F para abreviar. La
velocidad absoluta puede expresarse como
  

v P    r  r Oxyz


 v P  v P F
• La aceleración absoluta puede expresarse como
    
 






aP    r      r  2  r Oxyz  r Oxyz



 a p  aP F  ac
 
 

ac  2  r Oxyz  2  vP F  aceleració n de Coriolis
15 - 60
Sistema de referencia en movimiento
• Con respecto a OXYZ y AX’Y’Z’,
general



rP  rA  rP A



vP  v A  vP A



aP  a A  aP A
• La velocidad y la aceleración de P respecto a AX’Y’Z’
puede encontrarse en función de la velocidad, y la
aceleración de P respecto a Axyz.
Considérese:
- el sistema de referencia fijo OXYZ,
- el sistema de referencia de traslación
AX’Y’Z’, y
- el sistema de referencia de traslación y
rotación
Axyz, o F.
15 - 61
 



v P  v A    rP A  rP A 
Axyz


 v P  v P F
 
  


a P  a A    rP A      rP A 
 



 2  rP A 
 rP A 
Axyz
Axyz



 a P  a P F  ac
Problema resuelto
15.15
SOLUCIÓN:
• Definir un sistema de referencia fijo OXYZ en O y
un sistema de referencia en movimiento Axyz, o F,
unidos al brazo en A.
Para el disco montado en el brazo, las
velocidades rotatorias angulares indicadas
son constantes.
Determinar:
• la velocidad del punto P,
• la aceleración de P, y
• la velocidad angular y la aceleración
angular del disco.
• Con P’ del sistema de referencia en movimiento
que coincide con P, la velocidad del punto P se
encuentra desde



v P  v P  v P F
• La aceleración de P se encuentra desde




a P  a P  a P F  ac
• La velocidad angular y la aceleración angular
del disco son


   D F
 

   F    

15 - 62

ProblemaSOLUCIÓN:
resuelto 15.15
• Definir un sistema de referencia fijo OXYZ en O y un
sistema de referencia en movimiento Axyz, o F, unidos
al brazo en A.



r  Li  Rj


  1 j

rP

A
D F

 Rj

 2k
• Con P’ del sistema de referencia en movimiento que
coincide con P, la velocidad del punto P se encuentra
desde



v P  v P  v P F

 




v P    r  1 j  Li  Rj   1L k
 




v P F   D F  rP A   2 k  Rj   2 R i



v P   2 R i  1L k
15 - 63
Problema resuelto
15.15
• La aceleración de P se encuentra desde




a P  a P  a P F  ac


 


2 
a P      r   1 j   1Lk   1 Li




a P F   D F   D F  rP A


2 
  2 k    2 R i    2 R j
 

ac  2  v P F



 21 j    2 R i   21 2 Rk


2 
2 
a P  1 L i   2 Rj  21 2 Rk


• Velocidad angular y aceleración del disco,



   D F
 

   F    



 1 j  1 j   2 k 


  1 j   2 k


15 - 64

  1 2 i

Cinemática y Dinámica
Cinemática del cuerpo rígido.
Gracias.