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CAPÍTULO 3. LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO.
FUERZAS EN LOS FLUIDOS GEOFÍSICOS.
Existen muchas fuerzas diferentes que pueden afectar el movimiento de
un fluido, pero se puede dividir en dos clases básicas.
Fuerzas de volumen: son aquellas que afectan a todo el volumen de la parcela
de fluido, son de acción a distancia. Ejemplos: eléctricas, magnéticas,
gravitacionales.
Fuerzas de superficie: son aquellas que afectan la superficie de una parcela de
fluido y surgen cuando la parcela está en contacto con otras con las cuales
interactúa. Ejemplos: fuerzas de presión, tensión tangencial (viscosas),
fricción.
En nuestro estudio de fluidos la única fuerza de volumen que
consideraremos será la gravitacional, y de superficie las fuerzas de presión y
viscosas, pero estas últimas sólo en forma muy básica.
Fuerza gravitacional. Es la atracción mutua entre cuerpos con masa, dirigida
a lo largo de la línea que une sus centros de masa, de magnitud inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros.
Si m y M son las dos masas, y r la distancia entre sus centros, la
magnitud de la fuerza de gravitación Fg es.
Fg = G
m⋅M
r2
donde G es la constante de gravitación universal de Newton.
ESQUEMA
1
Cap. 3
Para una parcela de fluido geofísico, podemos considerar M la masa de
la Tierra, que denotamos por Me. En principio podemos obviar la rotación de
la Tierra y suponemos que es una esfera homogénea con centro de masa en su
centro geométrico, que se puede elegir como origen de un sistema de
coordenadas.
r
En la figura, la posición de P está dada por el vector r = r∇r , el vector
fuerza gravitacional será :
r
mM
Fg = −G 2 e ∇r
r
con ∇r vector unitario, opuesto a Fg.
Generalmente se escribe la fuerza de gravitación por unidad de masa ga,
que es la aceleración de gravedad absoluta, en la forma:
G
r
g a = − 2e ∇r
r
donde Ge= G Me se llama la constante gravitacional de la tierra. Los valores
de estas constantes son :
G = 6.673 x 10-11 Nm2/kg2
Me = 5.983 x 1024 kg
Ge = 3.992 x 1014 Nm2/kg
La fuerza de gravedad es conservativa, por lo que existe una función Φa
r
escalar tal que g a = −∇Φ a , entonces
∇Φ a =
G
∇r
r2
El trabajo realizado por la fuerza gravitacional para mover una masa
unitaria una distancia dr en el campo gravitacional es:
r
r
dW = g a ⋅ dr
2
Cap. 3
Cuando se deja la unidad de masa en el campo gravitacional, se debe
hacer trabajo contra la fuerza de gravedad
r
r
r
− dW = − g a ⋅ dr = ∇Φ a ⋅ dr = dΦ a
por lo tanto el trabajo produce un cambio dΦa en la función Φa. Para hacer este
trabajo se requiere energía, que está almacenada en la unidad de masa. Esta
energía almacenada se llama energía potencial, y por unidad de masa se llama
sólo potencial. Como esta energía es consecuencia de la posición de la unidad
de masa en el campo gravitacional, Φa se llama geopotencial absoluto.
La forma de Φa se obtiene de :
G
r
1

− g a = ∇Φ a = 2e ∇r = −Ge ∇ + c 
r
r

1

⇒ Φ a = −Ge  + c 
r

Por convención, el Φa se toma igual a cero en la superficie de la tierra,
donde r = a, así
1
1

0 = −G + c  → c = −
a
a

entonces :
1
Φ a = − Ge  −
r
1
1
 = Ga  −

a
a
1

r
Las superficies de geopotencial absoluto Φa = cte son esferas concéntricas con
centro en el centro de la tierra.
Un volumen V de una parcela de fluido aislada que se mueve en forma
arbitraria se conoce como volumen de control. Se desea conocer la fuerza total
ejercida sobre V.
3
Cap. 3
Si M es la masa total, y dm un elemento de masa, la fuerza de volumen
sobre M contenida en V es
r
fuerza total de volumen = ∫ g a dm
M
Si ρ es la densidad de dm en el elemento de volumen dV, se tiene dm = ρ dV, y
r
fuerza total de volumen = ∫ ρg a dV
V
Fuerzas de tensión.
Considerando ahora las fuerzas de superficie correspondientes a las tensiones.
Las tensiones se pueden descomponer en componentes normales y
tangenciales. Si el fluido está completamente en reposo, las tensiones
tangenciales se anulan y existen sólo las normales. Una tensión normal se
define como aquella que se reduce a la presión hidrostática cuando el fluido
está en reposo.
Para un volumen de control V arbitrario, limitado por una superficie A,
trataremos la presión como hidrostática y como una tensión normal.
ESQUEMA pag 3-5
En el área dA de normal n̂ , la fuerza de presión dp actúa opuesta a n̂ ,
hacia el interior del volumen. Así
r
dP = − pn̂dA
4
Cap. 3
donde p es la presión normal.
La fuerza de presión total en todo el volumen V es
r
P = − ∫ pn̂dA
A
Los fluidos reales son viscosos y siempre están presente las fuerzas de
fricción viscosas. Esas fuerzas viscosas surgen de las interacciones
moleculares y dan origen a las tensiones sobre la superficie de la parcela de
fluido. Las tensiones superficiales por viscosidad molecular se denotan por el
vector T. No las discutiremos en detalle, pero mencionaremos que las
tensiones viscosas dependen de la orientación del elemento de superficie. Es
posible expresar las tensiones de superficie en términos de 9 componentes a lo
largo de los ejes (fig 3-6) de coordenadas por medio del tensor de tensiones
viscosas Γ. La tensión superficial T es igual a la componente normal del tensor
de tensiones Γ
r
T = n̂ ⋅ Υ
 γ xx

Υ =  γ yx
γ
 zx
FIGURA
γ xy
γ yy
γ zy
γ xz 

γ yz 
γ zz 
Entonces, la fuerza de fricción sobre el elemento dA es la integral de T
sobre toda la superficie A
r
fuerza de fricción = ∫ TdA = ∫ n̂ ⋅ ΥdA
A
5
A
Cap. 3
Resumiendo, se deben considerar las siguientes fuerzas significativas que
actúan sobre el volumen arbitrario V:
Fuerza de gravitación:
r
∫ ρg
a
dV
V
Fuerza de presión:
- ∫ pn̂dA
A
Fuerza de fricción:
∫ n̂ ⋅ γdA
A
LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO ABSOLUTO.
Se obtiene a partir de la ley de conservación del momentum (absoluto),
que se deduce de la segunda ley de Newton, expresada en la forma :
r
r
r
dV d
r
=
Ma = ∑ Fi = M
MV
dt dt
i
( )
Se debe tener presente que esta ley es válida sólo en un sistema de
referencia inercial.
Un sistema de referencia inercial podría ser un sistema con origen en el
centro de gravedad del sistema solar y fijo con respecto a las estrellas. Para
fines prácticos en los fluidos geofísicos, se puede tomar el centro de la Tierra
como origen de un SRI absoluto. Cuando el movimiento se refiere a este
sistema se habla de movimiento absoluto. Un sistema de coordenadas que está
en movimiento relativo al sistema inercial, se llama sistema de coordenadas
relativo, y cuando el movimiento es referido a este sistema, se habla de
movimiento relativo. El movimiento de los fluidos geofísicos es referido a un
punto fijo sobre la superficie de la Tierra, por lo tanto es siempre relativo.
r
r
Sean va y D va /Dt la velocidad y la aceleración con respecto al sistema
de referencia absoluto, donde D/Dt es la derivada total cuando el movimiento
6
Cap. 3
es considerado en el SRI. El cambio de momentum de la parcela de fluido de
densidad ρ y masa dm es
r
Dva
r
adm = ρdV
Dt
y el cambio de momentum del volumen V es
r
Dva
∫ ρ Dt dV
V
Por la segunda ley de Newton, el cambio de momentum debe ser igual a
la suma de todas las fuerzas externas que actúan sobre el volumen V:
r
Dv a
r
∫V ρ Dt dV = − ∫A pn̂dA + V∫ ρg a dV + ∫A n̂ ⋅ γdA
Por los teoremas de Gauss y de la divergencia, las integrales de
superficie se pueden transformar en integrales de volumen:
∫ pn̂dA = ∫ ∇pdV
A
V
;
∫ n̂ ⋅ γdA = ∫ ∇ ⋅ γdV
A
V
Ahora la ecuación de momentum se puede escribir como una única integral de
volumen
r
r

 Dva
∫V  ρ Dt + ∇p − ρg a − ∇ ⋅ γ dV = 0
Como el volumen V es arbitrario, se concluye que:
7
Cap. 3
r
Dv a
r
ρ
+ ∇p − ρg a − ∇ ⋅ γ = 0
Dt
De aquí se obtiene la ecuación de movimiento absoluto, por unidad de
masa si se divide por ρ
r
Dva
r
1
1
= − ∇p + g a + ∇ ⋅ γ
ρ
ρ
Dt
Se observa que la fuerza de fricción es proporcional a la divergencia del
tensor de tensiones viscosas.
Para extender la hipótesis de Navier- Stokes que dice que las tensiones
viscosas son proporcional a la tasa de deformación de una parcela de fluido, se
puede escribir la fuerza de fricción en la forma:
1
r 
 r 1
∇ ⋅ γ = ν ∇ 2 va + ∇(∇ ⋅ va )
ρ
3


µ
se llama la viscosidad cinemática y µ es la viscosidad dinámica,
ρ
ambos son moleculares.
donde ν =
r
Denotando por FR la fuerza de fricción:
r
r
Dva
1
r
= − ∇p + g a + FR
ρ
Dt
Algunos valores típicos de ν y µ en moleculares son:
2
ν (m /s)
µ (Ns/m2)
Atmósfera
1.46 x 10-5
1.7 x 10-10
océano
1.4 x 10-6
1.4 x 10-3
8
Cap. 3
Los valores turbulentos, que son los que más importan, pueden ser muy
diferentes.
LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO RELATIVO.
La ecuación de movimiento es válida solo en un sistema de referencia
inercial. Sin embargo, el movimiento de una parcela de fluido geofísico se
mide con respecto a la superficie de la tierra que gira, que es un sistema de
referencia no inercial.
r
r
Sea VPa la velocidad de un punto fijo P en el SRA, y Vr la velocidad relativa
r
de la parcela con respecto al punto P. Entonces, la velocidad absoluta Va es:
r
r r
Va = Vr + VPa
r
Se ve que aunque la parcela este en reposo, Vr = 0 , tiene velocidad con
respecto al centro de la Tierra.
Como P es fijo sobre la superficie de la tierra, esta rotando junto con
esta, y su velocidad lineal es:
r r r r
r
VPa = Ω × r = Ω × R
r
r
Ω velocidad angular de la Tierra, r posición desde el centro de la Tierra y
con
r
R posición desde el eje de rotación al punto P. La Tierra gira de oeste a este
con Ω constante, igual a 7.292 x 10-5 rad/s. Fig. 3-12
9
Cap. 3
La velocidad absoluta se puede escribir como:
r
r r r
Va = Vr + Ω × R
Analizaremos que vé un observador en un sistema de referencia
que rota en
r
torno a un eje, considerando un disco en rotación con Ω , tomado como SRA
(xa, ya), y un punto fijo sobre el disco que gira , considerando como SRR (x,
y).
ESQUEMA 3-12
r
r
r
Supongamos que se suelta un globo en P0 fijo a y a R de O, y a r = rP de
Oa en t=0. El globo se mueve a P1 en ∆t, cambiando la posición en ∆r respecto
r r
de Oa, y P0 se ha movido desde r = rP un ∆rp durante el giro.
Se usará el símbolo ∆ para indicar cambios por el observador inicial y
δ para el observador rotante.
Respecto de O P0 no se ha movido y el globo
ha
r
r
r
cambiado su posición un δR . Observar que para el observador rotando δR = δr
ESQUEMA 3-13
10
Cap. 3
De acuerdo a todos estos cambios, de la figura se tiene que
r
r
r
r
r
∆r = ∆rP + δR = ∆rP + δr
El tiempo medido por ambos observadores es el mismo, ∆t = δt, así
r
r
r
∆r δr ∆rP
=
+
∆t δt
∆t
Para ∆t ÷ 0, se obtiene:
r
r
r
Dr dr Drp
=
+
Dt dt
Dt
donde D/Dt indica derivación con respecto al SRI Oa y d/dt respecto al
r
sistema rotante O. La tasa de cambio de r en el SRA es igual a la tasa de
r
cambio de r en el sistema en rotación más la tasa de cambio del punto inicial
en el SRA, esto es:
r r r
r r r
Va = Vr + V pa = Vr + Ω × r
Se puede escribir entonces:
r
r
Dr dr r r
=
+ Ω×r
Dt dt
r
que es una identidad general, válida para cualquier vector Aa en un SRA, así:
r
r
DAa dAa r r
=
+ Ω × Aa
Dt
dt
Retomemos el globo y supongamos que no hay fuerzas externas
actuando sobre él. Entonces Dva/Dt =0 y el globo se mueve en línea recta,
desde P0 a P1 en el SRA ( figura 3-15 ), así lo vé el observador en Oa.
11
Cap. 3
El observador
rotante vé que el globo sigue una trayectoria curva, y que
r
la velocidad VH del globo cambia de valor y gira a la derecha. Según la 2a Ley
de Newton, el observador en rotación concluye que hay fuerzas actuando, y
por lo tanto también aceleraciones. Esas son fuerzas aparentes, no reales, y
surgen del hecho que el movimiento es observado desde un sistema de
referencia en rotación. Esa fuerza es real para el observador en rotación.
Para determinar esa fuerza aparente, se expresa la aceleración absoluta
en términos del sistema de referencia en rotación:
r
r
DVa dVa r r
=
+ Ω × Va
Dt
dt
(
)
r
r r r
r
r
DVa d Vr + Ω × r
r
=
+ Ω × Vr + Ω × r
Dt
dt
(
)
r
r
r
r
DVa
dVr dΩ r r dr r r r r r
+
×r + Ω×
+ Ω × Vr + Ω × Ω × r
=
Dt
dt
dt
dt
(
)
r
r
r r r r r
DVa dVr
+ 2 Ω × Vr + Ω × Ω × R
=
Dt
dt
Desarrollando el último término:
(
) (
)
(
)
r r r r rr r r
r r r
r r r
Ω × Ω × R = Ω ⋅ RΩ − ΩR = Ω ⋅ R Ω − Ω ⋅ Ω R
r r r
r
⇒ Ω × Ω × R = - Ω2 R
corresponde a la aceleración centrípeta, dirigida hacia el eje de rotación.
Así, la aceleración absoluta queda:
r
r
r r
r
DVa dVr
=
+ 2Ω × Vr − Ω 2 R
Dt
dt
12
Cap. 3
donde:
r
dVr
es la aceleración relativa, medida en el sistema en rotación,
dtr r
2Ω × Vr se llama aceleración de Coriolis (en 1844 ),
r
− Ω 2 R es la aceleración del sistema de referencia mismo.
Retomemos otra véz el globo, que tiene DVa/Dt = 0, entonces:
r
r r
r
dVr
+ 2 Ω × Vr − Ω 2 R = 0
dt
r
r r
r
dVr
⇒
= −2Ω × Vr + Ω 2 R
dt
ecuación que es semejante a la 2a Ley de Newton. Las fuerzas aparentes
r (pero
r
reales para el observador en rotación) son las fuerzas de Coriolis − 2Ω × Vr y
r
la fuerza centrífuga + Ω 2 R .
Reemplazando ahora la aceleración absoluta DVa/Dt en la ecuación de
movimiento absoluto, se tiene:
r
r r
r
r
dVr
1
r
+ 2Ω × Vr − Ω 2 R = − ∇p + g a + FR
ρ
dt
que se puede escribir en la forma:
r
r r r
r r
dVr
1
= − ∇p − 2Ω × Vr + g a + Ω 2 R + FR
ρ
dt
13
Cap. 3
que es una ecuación similar a la 2a Ley de Newton.
Para una masa unitaria en reposo relativo sobre la superficie terrestre,
sobre la que sólo actúa la fuerza de gravedad, la ecuación se reduce a:
r
r
dVr r
= ga + Ω2 R
dt
es decir la masa unitaria no puede permanecer en reposo, ya que hay
aceleraciones. En particular, la fuerza centrífuga actúa sobre toda la masa de la
superficie terrestre, que es un cuerpo plástico, por esto no puede ser esférica,
sino elipsoidal, achatada en los polos y alargada en el ecuador.
Suponemos que la Tierra tiene una forma en equilibrio tal que una
tangente a su superficie en
r un punto es siempre perpendicular a la línea de
r
2
acción del vector g a + Ω R , como en la figura:
FIGURA pag.3-18
No se puede medir lar fuerza de gravitación ga, pero se puede medir la
r r
resultante g = g a + Ω 2 R . A g se le llama gravedad aparente, fuerza de
gravedad o aceleración de gravedad. La línea de acción de g define la vertical
local.
Reemplazando g en la ecuación de movimiento se obtiene la ecuación
de movimiento relativo, o simplemente la ecuación de movimiento:
r
r r r r
dVr
1
= − ∇p − 2Ω × Vr + g + FR
ρ
dt
14
Cap. 3
r Lar fuerza
r de Coriolis es siempre perpendicular a la velocidad, ya que
− 2Ω × V ⋅ V = 0 , por esta razón no se realiza trabajo y existe sólo si hay
movimiento, y actúa desviando el movimiento, de cualquier cuerpo que se
mueve sobre la superficie de la Tierra, hacia la izquierda (derecha) en el HS
(HN). Juega un rol importante en la dirección del movimiento de las grandes
masas de aire, como ciclones, anticiclones, huracanes, etc.
(
)
GEOPOTENCIAL.
La fuerza de gravitación se puede expresar en términos del geopotencial
absoluto:
1 1
Φ a = Ge  − 
a r
donde se supone que la tierra es una esfera homogénea. Sin embargo no es
esférica, pero si se supone que es un esferoide ovalado homogéneo, se le
puede determinar un geopotencial absoluto de la forma:
Φ a = Φ a (r )
La fuerza centrífuga también se puede representar por un geopotencial
Φc tal que:
v
Ω 2 R = −∇Φ c
Como la fuerza centrífuga es función de la posición, es conservativa,
entonces
15
Cap. 3
r
1 
1

Ω 2 R = Ω 2 R∇R = Ω 2  R 2  = ∇ Ω 2 R 2 
2 
2

1

⇒ −∇Φ c = ∇ Ω 2 R 2 
2

1
⇒ Φc = − Ω2 R 2
2
Las superficies equipotenciales Φc = cte. son cilindros paralelos a las
superficies de R= cte.
La fuerza de gravedad se puede escribir ahora como:
r
r r
g = g a + Ω 2 R = −∇Φ a − ∇Φ c = −∇Φ
de donde
Φ = Φa + Φc ⇒
 1 1 1
Φ = Ge  −  − Ω 2 R 2
a r 2
Φ se llama potencial del campo de gravedad o simplemente geopotencial. Las
superficies geopotenciales (obtenidas de la suma de superficies esféricas más
cilíndricas) son elipsoidales alargadas en el ecuador. La superficie de la tierra
es la superficie geopotencial Φ = 0.
Una parcela de fluido sobre una superficie geopotencial es afectada sólo
por la fuerza de gravedad en ausencia de otras fuerzas. Además una parcela de
fluido que se mueve a lo largo de un geopotencial conserva su energía
potencial (geopotencial representa energía).
LA
ECUACIÓN
DE
RECTANGULARES.
MOVIMIENTO
16
EN
COORDENADAS
Cap. 3
Como ya se definió, se usan como coordenadas x hacia el este e y hacia
el norte. Se sigue considerando la tierra como una esfera homogénea, por lo
que la fuerza de gravedad g apunta hacia el centro de la tierra, así la línea de
acción de g define la vertical local z en el punto de tangencia. El origen O en
este punto rota con la Tierra.
Esta suposición es razonable, ya que el radio ecuatorial es sólo 21 km
más largo que el polar, cantidad muy pequeña comparada con el radio terrestre
medio que vale 6367,47 km. Como se ha visto, g es función de la latitud φ y
de la altura sobre la superficie, g = g(z,φ). Además el ángulo máximo entre ga
r
r
y g es de 11’40’’ a 45º de latitud y Ω 2 R << g a . Para los fluidos geofísicos,
las variaciones de g son menores que 0,5 %, por lo que se considera constante,
igual en magnitud a 9,8 m/s2. En la tabla se dan valores de g.
φ (º) z (km)
0
0
45
0
90
0
45
5
45
10
45
20
g (m/s2)
9,78036
9,80616
9,83208
9.79074
9,77536
9,74469
DIBUJO pag3-22
17
Cap. 3
Escribiendo g en coordenadas rectangulares, se tiene:
r
g = − gk̂
r
Ω = Ω cos φˆj + Ω sen φk̂
La aceleración de Coriolis se puede escribir ahora en componentes
rectangulares como:
ˆj
î
k̂
r r
− 2Ω × v = −2 0 Ωcosφ Ωsenφ = (2Ωvsenφ - 2Ωwcosφ)î − 2Ωu sen φˆj + 2Ωu cos φk̂
u
v
w
La fuerza de roce también se puede escribir en componentes rectangulares de
la forma
r
FR = FRX î + FRY ˆj + FRZ k̂
Reemplazando estas expresiones en la ecuación de movimiento, sus
componentes en coordenadas cartesianas son:
1 ∂p
du
=−
+ 2Ωv sen φ − 2Ωw cos φ + FRx
ρ ∂x
dt
1 ∂p
dv
=−
− 2Ωu sen φ + FRy
ρ ∂y
dt
1 ∂p
dw
=−
− g + 2Ωu cos φ + FRz
ρ ∂z
dt
Ejemplo:
Como ejemplo supongamos que una parcela de aire en Concepción se
mueve hacia el este con una rapidez de 10 m/s, ¿cuanto se desvía la parcela y
18
Cap. 3
hacia donde por la acción de la fuerza de Coriolis, después de moverse a lo
largo de 50 km?
Como ac = -2Ω × v se puede escribir en términos de sus componentes
cartesianas de la forma:
aC = (2Ωv sen φ − 2Ωw cos φ )î − 2Ωu sen φˆj + 2Ωu cos φk̂ = aCx î + aCy ˆj + aCz k̂
 du 
  = 2Ωvsenφ - 2Ωwcosφ
 dt  C
 dv 
  = -2Ωusenφ
 dt  C
 dw 
  = 2Ωu cos φ
 dt  C
Para encontrar la desviación integramos dv/dt)C:
v
t
∫0 dv = ∫0 − 2Ωu0 sen φdt ⇒ v = −2Ωu0 sen φt
y
t
t
dy
→ ∫y dy = ∫0 vdt ⇒ ∆y = −2Ωu 0 sen φ∫0 tdt
dt
∴ ∆y = −Ωu 0 sen φt 2
v=
1
0
En Concepción: φ = -36.8º S, uo = 10 m/s, ∆x = 50 km, Ω = 7.292 x 10-5 rad/s
∆x
∆x 50 ⋅ 10 3 m
⇒ ∆t =
=
= 5 ⋅ 10 3 s
u0 =
∆t
10m / s
u0
∆y = −7 ,292 ⋅ 10 −5 s −1 × 10m / s × sen(− 36,8) × (5000s ) = +11km
2
Se desvía 11 km hacia el norte.
19
Cap. 3
LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO EN COORDENADAS ESFÉRICAS.
Para propósitos de análisis teórico y de predicción numérica, es
conveniente expresar la ecuación de movimiento en coordenadas esféricas,
considerando que la tierra tiene esa forma. En fluidos geofísicos se define un
sistema derecho con coordenadas (λ, φ, z) donde λ es la longitud medida desde
el meridiano de Grenwich hacia el este, φ es la latitud positiva hacia el norte y
negativa hacia el sur y z la vertical (distinto al común (r, θ, φ)).
∧
∧
∧
Ahora se toman vectores unitarios i hacia el este, j hacia el norte y k
hacia arriba, y la velocidad es
r
V = uî + vˆj + wk̂
Las direcciones de los vectores unitarios no son constantes, sino que son
funciones de su posición sobre la Tierra. Esta variación se debe tener en
cuenta cuando se calcula la aceleración:
r
dî
dˆj
dk̂
dV
du ˆ dv
dw
= î
+ j + k̂
+u +v +w
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
Entonces se debe evaluar la tasa de cambio de los vectores unitarios. Para el
caso de i que cambia sólo en dirección del eje x, se tiene:
∂î
∂î
∂î
∂î
dî ∂î
= +u +v + w =u
∂x
∂y
∂z
∂x
dt ∂t
DIBUJOS 3-24
20
Cap. 3
De las figuras se ve que :
lim
δx →0
δî
δx
=
1
∂î
=
∂x r cosφ
(
∂î
1
=
sen φˆj − cos φk̂
∂x r cosφ
)
De manera análoga se tratan dj/dt y dk/dt, encontrándose:
dˆj
u tanφ
v
=−
î − k̂
dt
r
r
dk̂ u
v
= î + ˆj
dt r
r
Reemplazando en la ecuación de movimiento y escribiendo sus
componentes se tiene:
Dirección λ:
1 ∂p
du uvtanφ uw
−
+
=−
+ 2Ωv sen φ − 2Ωw cos φ + FRλ
ρ ∂x
dt
r
r
Dirección φ:
1 ∂p
dv u 2 tanφ vw
−
+
=−
− 2Ωu sen φ + FRφ
ρ ∂y
dt
r
r
Dirección z:
1 ∂p
dw u 2 + v 2
−
=−
− g + 2Ωu cos φ + FRz
ρ zx
dt
r
Los términos proporcionales a 1/r, es decir uv tanφ/r etc, se llaman
términos métricos, surgen de la propia curvatura de la tierra. Debido a que son
21
Cap. 3
no lineales, son muy difíciles de tratar matemáticamente. Los términos de d/dt
también son no lineales.
22
Cap. 3