Download Clase 6 Leyes de Newton de la Dinámica: Momentum y Fuerza

Dino Salinas
Clase 6
Leyes de Newton de la Dinámica:
Momentum y Fuerza
Cálculo de la trayectoria de una partícula
La primera ley es una reafirmación del principio de inercia galileano.
Primera Ley de Newton:
Todo objeto continúa en su estado de reposo o de movimiento
uniforme en línea recta a menos que sea obligado a cambiar ese
estado por las fuerzas que actúan sobre él.
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La tercera ley describe las fuerzas con algún detalle y discutiremos eso
en otra oportunidad.
Tercera Ley de Newton.
Siempre que un objeto ejerce una fuerza sobre un segundo
objeto, el segundo objeto ejerce una fuerza de igual magnitud
y dirección opuesta sobre el primero.
La segunda proporciona una forma de determinar cómo la velocidad
cambia bajo influencias llamadas fuerzas.
Segunda ley de Newton:
La Fuerza neta sobre un objeto es directamente proporcional a
la aceleración que adquiere y a la masa:
→
→
F = ma
2
→
F
→
a
m
¿Si duplicamos la masa, manteniendo la fuerza constante?
→
F
→
a
m
¿Si duplicamos la masa, manteniendo la fuerza constante?
→
F
→
2m
0,5 a
3
→
F
→
a
m
¿Si duplicamos la fuerza, manteniendo la masa constante?
→
F
→
a
m
¿Si duplicamos la fuerza, manteniendo la masa constante?
→
2F
→
m
2a
4
→
F
→
a
m
¿Si duplicamos la fuerza, manteniendo la aceleración constante?
→
F
→
a
m
¿Si duplicamos la fuerza, manteniendo la aceleración constante?
→
2F
→
2m
a
5
→
F
→
a
m
¿Si duplicamos la fuerza, disminuyendo la masa a la mitad?
→
F
→
a
m
¿Si duplicamos la fuerza, disminuyendo la masa a la mitad?
→
2F
→
0,5m
4a
6
Interpretación de la ley en notación vectorial
→
→
F = ma
( Fx , Fy , Fz ) = m(a x , a y , a z ) = (ma x , ma y , ma z )
F x = ma x
F y = ma y
F z = ma z
(La ley se cumple en cada uno de los ejes cartesianos)
- La inercia es la resistencia al movimiento que posee un cuerpo.
- El peso y la inercia son proporcionales, pero no son iguales.
- Por lo tanto, conviene no confundir los términos más liviano o más
pesado con menos masivo o más masivo.
- El término masa se considera una medida cuantitativa de la inercia.
- La masa puede medirse.
- Cada objeto tiene asociada una masa.
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Toda la verdad:
La segunda ley sostiene que la variación temporal de una cantidad
llamada momentum es proporcional a la fuerza.
El momentum de un objeto es un producto de dos
partes: su masa y su velocidad.
Así la segunda ley de Newton puede escribirse
matemáticamente como:
Cambio del momentum
con respecto al tiempo.
F=
d
(mv )
dt
Si la masa es constante, la ecuación anterior puede escribirse en la forma:
F =m
d
(v ) = ma
dt
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¿Cuál es la fuerza?
Para usar las leyes de Newton necesitamos algunas fórmulas para
la fuerza:
Hay que poner atención a las fuerzas.
¿Cuáles son las fuerzas sobre los objetos sobre la
superficie de la tierra?
R
Ley de gravitación
(aproximada)
F=
GmM
= mg
2
R
⇒g=
GM
R2
Segunda ley
(aceleración de gravedad)
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Por definición, el peso es la fuerza de gravedad ejercida sobre el
cuerpo.
La ley de gravedad nos dice que el peso es proporcional a la masa
y que apunta en la dirección vertical:
F = mg
Segunda Ley
Constante, para el caso de
la aceleración de gravedad
Supongamos un cuerpo de 1kg de masa sometido a la acción de la
gravedad sobre la Tierra. Diremos que el peso de ese objeto es:
F = 1kg ⋅ 9,8
m
m
= 9,8kg 2 = 9,8 N
2
s
s
En el sistema internacional de unidades (SI: m, kg, s, …):
1N ≡ 1kg
m
s2
Es decir: 1 N es la fuerza peso ejercida sobre una masa de 0,102 kg:
F = ma = 0,102kg ⋅ 9,8
m
m
=
1
kg
= 1N .
s2
s2
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En el Sistema Internacional de Unidades (SI)...
Magnitud
Nombre
Símbolo
Longitud
metro
m
Masa
kilogramo
kg
Tiempo
segundo
s
Fuerza
Newton
N
Estudiemos el caso más simple, distinto a la gravedad:
¿Cómo es el movimiento de un objeto unido a un resorte?
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Estudio de la fuerza de un resorte:
Posición de equilibrio
Estudio de la fuerza de un resorte:
x
Estiramiento
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Estudio de la fuerza de un resorte:
(-)
0
Estiramiento
x
(+)
Estudio de la fuerza de un resorte:
(-)
0
x
Estiramiento
(+)
Ley de Hooke:
F = − kx
k >0
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Esta es la fuerza porque se ha visto que causa los cambios de la
velocidad en la masa del resorte. Es decir, porque cumple con la
segunda ley Newton:
ma = − kx
¿Cómo sirve esto para calcular el movimiento?
Supongamos que en un tiempo dado un cuerpo tiene una
velocidad v y una posición x.
x
v
t
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¿Cuál es la velocidad y la posición en un tiempo t + ∆t?
x =?
v=?
t + ∆t
Si respondemos a esta pregunta el problema está resuelto, porque
podemos comenzar con las condiciones dadas y calcular cómo cambian
para el primer instante, el instante siguiente, el instante siguiente y así
sucesivamente y de esta manera obtendremos todo el movimiento:
t
t + ∆t
t + 2∆t
t + 3∆t
t + 4∆t
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Para fijar ideas, supongamos que en un comienzo tenemos x = 1 cm
y v = 0.
¿Por qué se mueve el objeto?
Porque hay una fuerza sobre él cuando está en cualquier posición,
excepto en x = 0.
¿Qué pasa con la posición?
En cualquier instante t, si ∆t es muy pequeño, podemos expresar la
posición de la siguiente forma:
x(t + ∆t ) = x(t ) + v (t ) ∆t
(De aquí en adelante, en esta clase, el paréntesis indica notación funcional)
¿Qué pasa con la velocidad?
En cualquier instante t, si ∆t es muy pequeño, podemos expresar la
velocidad de la siguiente forma:
v(t + ∆t ) = v(t ) + a (t ) ∆t
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¿Qué pasa con la velocidad?
En cualquier instante t, si ∆t es muy pequeño, podemos expresar la
velocidad de la siguiente forma:
v(t + ∆t ) = v(t ) + a(t )∆t
Aceleración en el instante t
¿Pero cómo encontramos la
aceleración?
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Emplee la ley de dinámica del resorte
Emplee la ley de dinámica del resorte
a (t ) = −
k
x (t )
m
Aceleración en el instante t
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Luego, teníamos que:
v(t + ∆t ) = v(t ) + a (t )∆t
Luego, teníamos que:
v(t + ∆t ) = v(t ) + a(t )∆t
Reemplazando la aceleración empleando la ley de dinámica:
v(t + ∆t ) = v(t ) −
k
x(t )∆t
m
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Luego, teníamos que:
v(t + ∆t ) = v(t ) + a(t )∆t
Reemplazando la aceleración empleando la ley de dinámica:
v(t + ∆t ) = v(t ) −
k
x(t )∆t
m
En resumen, hemos hallado que:
x(t + ∆t ) = x(t ) + v (t ) ∆t
v(t + ∆t ) = v(t ) −
k
x(t )∆t
m
Esto podría ayudarnos a encontrar todo el movimiento.
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No olvidemos la pregunta inicial:
¿Por qué se mueve el objeto que está unido al resorte?
Porque hay una fuerza sobre él cuando está en cualquier posición,
excepto en x = 0.
Recordemos que encontramos que en cualquier instante t, si ∆t es
muy pequeño, podemos expresar la posición y la velocidad de la
siguiente forma:
x(t + ∆t ) = x(t ) + v (t ) ∆t
v(t + ∆t ) = v(t ) −
k
x(t )∆t
m
Por simplicidad, vamos a suponer que k y m son numéricamente
iguales, de modo que nuestro sistema de ecuaciones quedará:
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x(t + ∆t ) = x(t ) + v (t ) ∆t
v(t + ∆t ) = v(t ) − x(t )∆t
Supongamos que ∆t = 0,1 s
Comenzamos con los valores iniciales
x(0) = 1 cm y
v(0) = 0 cm/s
Recuerde:
¿Cuánto es
x(0,1) y
x(t + ∆t ) = x (t ) + v(t ) ∆t
v(0,1) ?
v(t + ∆t ) = v (t ) − x(t ) ∆t
Nota: La notación entre paréntesis junto a las variables indica el
tiempo al que evaluamos la variable
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x(0,1) = 1 + 0*0,1 = 1
v(0,1) = 0 – 1*0,1 = -0,1
x(0,2) = x(0,1) + 0,1v(0,1)
v(0,2) = v(0,1) – 0,1x(0,1)
x(t + ∆t ) = x (t ) + v(t ) ∆t
v(t + ∆t ) = v (t ) − x(t ) ∆t
x(t + ∆t ) = x (t ) + v(t ) ∆t
v(t + ∆t ) = v (t ) − x(t ) ∆t
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x(t + ∆t ) = x (t ) + v(t ) ∆t
x(0,2) = x(0,1) + 0,1v(0,1)
v(t + ∆t ) = v (t ) − x(t ) ∆t
v(0,2) = v(0,1) – 0,1x(0,1)
Reemplazando los valores conocidos:
x(0,1) = 1 y v(0,1) = -0,1
x(0,2) = 0,99
v(0,2) = - 0,2
Movimiento del resorte
t
x
v
0
1
0
0,1
1
-0,1
0,2
0,99
-0,2
……..
……..
…….
Para
incrementos
de tiempo de
0,1 s
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Movimiento del resorte
t
x
v
0
1
0
0,1
1
-0,1
Recuerde que usó:
x(t + ∆t ) = x (t ) + v(t ) ∆t
0,2
0,99
-0,2
……..
……..
…….
v(t + ∆t ) = v (t ) − x(t ) ∆t
Lo anterior le permitirá obtener toda la trayectoria
(dinámica) de la partícula ligada al resorte.
El mismo método de determinación lo aplicará usted más
adelante para estudiar la dinámica de una población de
infectados.
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TRABAJO
PENDIENT
E…
- Leer los capítulos 4 y 5 del libro “Física conceptual”, de
Paul G. Hewitt, 9ª edición:
Segunda ley de Newton del movimiento.
Tercera ley de Newton del movimiento.
Recomendado:
Física, volumen I, de Feynman: Cap 9 (Leyes de Newton de la dinámica)
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