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COLEGIO PARTICULAR MONTERREY
FÍSICA I
MODULO I
BABAHOYO – ECUADOR
2
Dr. Gustavo Álvarez Gavilanes
CANCILLER
Dra. Oly Alvarez
VICE CANCILLER ACADÉMICA
Ing. Rosendo Gil Avilez
COMPILACIÓN
Prohibida la reproducción total o parcial de este modulo
Por cualquier medio, sin autorización del autor
DERECHO RESERVADO © 2006 - 2007
Física I
Primera Edición
2006
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
3
1. DATOS INFORMATIVOS.
ASIGNATURA
CURSO
ESPECIALIDAD
MEDIADOR
PERÍODO ACADÉMICO
:
:
:
:
:
FÍSICA
1º DIVERSIFICADO
PROPEDÉUTICO
ING. ROSENDO GIL AVILEZ
2006 – 2007
2. INTRODUCCIÓN
No puedes disfrutar un juego si no conoces las reglas. Ya sea que se
trate de un juego de pelota, de computadora o simplemente de un
juego en una fiesta, si no conoces las reglas te aburrirías. No
entiendes lo que los demás disfrutan. Así como un músico escucha lo
que los oídos no capacitados no consiguen percibir, y del mismo
modo como un cocinero saborea en un platillo lo que otros no
identifican, la persona que conoce las reglas de la Naturaleza la
aprecia mejor.
Hay dos cosas que cualquier curso introductorio de física se debe
lograr, ya sea en su enfoque, su énfasis o lo que trate de obtener:
 Impartir una compresión de los principios físicos fundamentales.
 Capacitar a los estudiantes para resolver una diversidad de
problemas
razonables
en
las
áreas
especificadas
correspondientemente.
Estos objetivos están enlazados. Una comprensión de los principios
físicos, es de uso limitado, si no capacita a los estudiantes para
resolver problemas. La física es una ciencia de solución de
problemas, y los estudiantes deben ser calificados a partir de su
capacidad para dar la respuesta correcta, en los exámenes finales.
Sin embargo, algunos pocos consideran que aprender a resolver
problemas mecánicamente, es lo mismo que aprender física. Saber y
hacer, introspección y capacidad deben ir de la mano.
3. OBJETIVO GENERAL
Impartir una comprensión de los principios físicos fundamentales y
capacitar a los estudiantes para resolver diversos problemas
razonables en las áreas especificadas, de tal manera que se tenga
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
4
un conocimiento completo de la naturaleza física y se aprecie mejor
los conocimientos adquiridos, para su aplicación y colaboración en
el desarrollo integral del profesional.
ARTICULACIÓN # 1
4. CONTENIDOS CIENTÍFICOS
Introducción a la Física
Objetivo: Describir y comprender los conceptos físicos
introductorios y aprender a utilizar las unidades de conversión
necesarias para la resolución de problemas.
Tiempo: Esta unidad está planificada para 10 horas.
1.1.
La ciencia fundamental: la Física
La ciencia es lo equivalente actual de lo que se solía llamar
filosofía natural. La filosofía natural era la el estudio de las
preguntas sin respuestas acerca de la naturaleza. A medida
que se encontraban estas respuestas pasaban a formar
parte de lo que hoy se llama ciencia.
El estudio de las ciencias actuales se divide en el estudio de
los seres vivos y de los objetos que no tienen vida, es decir es
la ciencia de la vida y la ciencia Físicas. Nosotros en este
curso estudiaremos las ciencias Físicas.
La física es más que una rama de las ciencias físicas: es la
más fundamental de las ciencias. La física estudia la
naturaleza de cosas tan básicas como el movimiento, las
fuerzas, la energía, la materia, el calor, el sonido, la luz y la
composición de los átomos.
Esta definición a traído como consecuencia para facilitar el
estudio de la Física en dividirla por ramas, y que a
continuación detallaremos.
1.2.
Ramas en que se divide la Física.
Para facilitar el estudio de una ciencia tan amplia como es
la ciencia física se la a dividido las siguientes ramas:
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
5
La Mecánica.- Rama de la física que estudia el movimiento
y que a su vez se subdivide en Cinemática: que es la que
estudia el movimiento pero sin importar que es lo que lo
causa. La Dinámica: que estudia el movimiento y las causas
que lo producen.
Termodinámica.- Es aquella rama de la física que se
encarga del estudio y comportamiento de los cuerpos con
el calor.
Acústica.- Es la rama que se encarga del estudio del sonido,
su origen, medios de trasmisión y rapidez.
Óptica.- Es aquella rama de la física que estudia el
comportamiento de la luz al interactuar con la materia.
Electricidad.- Es la rama de la física que se encarga del
estudio de los fenómenos eléctricos y electromagnéticos.
Física Atómica y Nuclear.- es la que estudia la estructuras
atómicas, la energía y la interacción atómica.
1. 3. Sistema de Unidades.
La física se ocupa casi exclusivamente de cantidades
mensurables. Por tanto es muy importante saber
exactamente qué es lo que se entiende por medida.
MAGNITUD.- es todo aquello que puede ser medido.
MEDIDA.- Es la comparación de una magnitud con otra de
la misma especie, que arbitrariamente se toma como
unidad. La magnitud de una cantidad física se expresa
mediante un número de veces de unidades medida.
En el estudio de la Física se distinguen dos tipos de
magnitudes: fundamentales y derivadas
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
6
Las Magnitudes Fundamentales no se definen en
términos de otras magnitudes y dependen del sistema
de unidades. En el sistema absoluto, las magnitudes
fundamentales son:
Magnitud
Longitud
Masa
Tiempo
Temperatura
Cantidad sustancia
Intensidad luminosa
Intensidad corriente
Unidad
Metro
Kilogramo
Segundo
Kelvin
Mol
Candela
Amperio
Símbolo
m
Kg
s
ºk
mol
cd
A
Dimensión
L
M
T
Θ
N
I
Las Magnitudes Derivadas se forman mediante la
combinación de las magnitudes fundamentales.
Ejemplos:
Magnitud
Velocidad
Aceleración
Fuerza
Densidad
Energía
Unidad
Metro/seg
Metro/seg2
Newton
Kilogramo/m3
joule
Símbolo
m/s
m/s2
N
Kg/m3
J
Dimensión
LT-1
LT-2
MLT-2
ML-3
ML2T-2
Sistemas de Unidades
El sistema absoluto esta formado por:
El sistema MKS (SI): metro, kilogramo, segundo.
El sistema CGS: Centímetro, gramo, segundo.
El sistema FPS: Pie, Libra, Segundo.
El sistema técnico está formado por:
El sistema MKS (europeo): Metro, Unidad técnica
de masa, segundo.
El sistema FPS (Inglés): Pie, slug, segundo.
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
7
Cuadro de Conversiones.
Unidades de longitud
1mm
1Cm
1m
1Km
1 Plg(In)
1 pie (ft)
1 Yarda
1milla
=
=
=
=
=
=
=
=
mm
cm
1
10-1
10
1
1000
100
106
105
25.4
2.54
304.8
30.48
914.4
91.44
1.61x106 1.61x105
m
10-3
10-2
1
1000
0.0254
0.3048
0.9144
1609
Km
10-6
10-5
10-3
1
2.54x10-5
3.05x10-4
9.14x10-4
1.609
in
ft
yd
0.03937 3281x10-6 1094x10-6
0.3937 0.0328 0.01094
3.281
1.094
39.37
3281
1094
39370
0.08333 0.02778
1
1
0.333
12
3
1
36
63346.3 5279.13 1760.4
mill
6.2x10-7
6.2x10-6
6.2x10-4
0.6215
1.58x10-5
1.89x10-4
5.68x10-4
1
Unidades de Tiempo
1 segundo
1 minuto
1 hora
1 día
=
=
=
=
Seg
1
60
3600
86400
min
16.66x10-3
1
60
1440
h
2.78x10-4
16.66x10-3
1
24
D
1.16x10-5
6.94x10-4
41.67x10-3
1
Unidades de Masa.
1 onza
=
1 libra
=
1 gramo
=
1 Kilogramo
=
1 Unidad técnica de masa =
oz
1
16
0.03527
35.27
346
lb
0.0625
1
0.002205
2.205
21.609
g
28.35
453.6
1
1000
9810
Kg
0.02835
0.4536
0.001
1
9.81
Utm
2.89x10-3
0.04628
1.02x10-4
0.102
1
Unidades de Fuerza y Peso.
1 Newton = 1 Kg.m/s2 =
1 Kgf = ! Kp
=
1 dina
=
1 poundals
=
N
1
9.81
10-5
0.14
Kgf o Kp
0.102
1
1.02x10-6
0.014
din
105
9.81x105
1
14000
Pound
7.14
71.43
7.14x10-5
1
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
8
1.6. Ejercicios de conversión de unidades.
La conversión de unidades juega un papel muy importante
para la resolución de ejercicios de Física, ya que nos permite
comparar y enlazar los diferentes sistemas de unidades.
Las unidades por su parte ayudaran a en la aplicación de las
formulas físicas ya que por ejemplo si deseamos calcular la
velocidad de un móvil sabiendo en que unidades esta dada
la velocidad, podemos evaluar si la fórmula que aplicamos
es la correcta ya que no solo el resultado numérico debe ser
el correcto sino que las unidades resultantes de la operación
deben también ser las adecuadas. Por ejemplo:
La velocidad siempre tendrá como unidad una unidad de
longitud sobre una unidad de tiempo ( m/s), (Km/h) etc.
Ejercicios:
Un vehículo que marcha por una carretera a 70 millas/hora
¿A Cuántos Km/h viajará dicho vehículo?
1.- las expresiones millas/horas se leen en física como millas
por hora, y Km/h se lee Kilómetros por hora.
2.- Debemos determinar de que unidad a que unidad vamos
a transformar. No se puede transformar unidades de longitud
en unidades de tiempo, solo podemos transformar unidades
del mismo genero pero de un sistema a otro.
3.- En el ejercicio tenemos que transformar las millas a
Kilómetros ya que las horas están en ambas magnitudes.
4.- Colocamos la primera magnitud y lo multiplicamos por el
factor de conversión correspondiente de tal manera que las
unidades iguales se simplifique y queden las unidades
resultantes como lo aremos a continuación:
70 mill/h x 1.609 km/1mill = 112.63 Km/h
Las 70 mill/h fueron transformadas y equivalen a 112.63 Km/h.
Esto se obtuvo transformando las millas a kilómetros usando
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
9
la equivalencia sacada del cuadro de unidades de longitud
en donde podemos observar que 1 milla que se encuentra
en el denominador para poderla simplificar con la milla que
se encuentra en el numerador es igual a 1.609 Km valor que
es multiplicado con el 70 para obtener el valor resultante.
Ejemplo # 2
Convertir 50 mill/h a metros/segundos
En este caso, a partir del cuadro de conversiones, 1mill =
1609 m y 1h = 3600 seg.
Estas relaciones se utilizan para cancelar las unidades que se
van a cambiar, dejando detrás las que se desean.
50 mill/h x 1609 m/mill x 1h/3600 s = 22 m/s
Note que se han cancelado las millas y las horas y quedan
los metros y segundos.
Ejercicios Propuestos:
1. ¿Cuántos metros hay en (a) 30 pies, (b) 5280 pies?
2. Haga las conversiones siguientes: (a) 25 m a pies, (b) 12
pulgadas a centímetros, (c) 14 días a segundos.
3. Un estudiante determinado medía 20 in de largo cuando
nació. Ahora tiene 5 ft 4 in y tiene 18 años de edad.
¿Cuántos centímetros creció, en promedio, por año?
3
4. Un equipo de baloncesto de los Estados Unidos tiene un
centro que tiene 6 pies 9 pulgada de alto y pesa 200
libras. Si el equipo participa en juegos de exhibición en
Europa ¿Cuáles serán las cifras listadas por el parlante
para los aficionados si se utiliza el sistema internacional de
unidades (SI)?
5. A un lado de una carretera hay un letrero que indica que
el límite de velocidad que debe de ir el conductor de un
auto es de un máximo 60 mill/h si el vehículo va a 80 km/h
¿excederá del límite de velocidad?.
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
10
6. En un ascensor de capacidad para 400 Kg. Se suben 6
personas de 120 lb, 145 lb, 160 lb, 180 lb, 150 lb y 170 lb.
¿Podrán subir todas estas personas en un solo viaje?.
¿Cuántos viajes deberán hacer?.
7. En un vehículo la velocidad que marca el velocímetro es
de 91.14 Ft/seg. (a) ¿a cuántos Km/h irá el vehículo? (b) y
¿A cuántas mill/h irá?.
8. Un cable sostiene un puente colgante y para ello requiere
realizar una tensión de 7500 N ¿cuántos (a) kgf, (b)
poundals requiere de fuerza para sostener el puente?
9. Un terreno de forma rectangular tiene 10.56 m de largo y
7.89 m de ancho ¿Cuál es el área del terreno expresado
en pie2?
10. Un balón de fútbol tiene de 11 a 11 1/4 pulg de diámetro
¿cuál es el área del balón cm2?. Nota el área de la esfera
es πd2 o 4πr2.
ARTICULACIÓN # 2
Mecánica. Cinemática Descripción del Movimiento.
Objetivo: desarrollar en el estudiante el interés por conocer lo
elemental del movimiento para su correcta aplicación y que sea
capaz de resolver problemas inherentes al tema como parte
integral de su proceso de aprendizaje.
Tiempo: Esta Unidad esta planificada para un total de 20 horas
2.1.
Movimiento Lineal.
Hay movimiento para todas partes a nuestro alrededor. Lo
vemos en la actividad cotidiana de las personas de los
autos que pasan por la carretera etc.
Cuando hablamos de movimiento lineal nos referimos al
análisis que se hace del movimiento a lo largo de una
trayectoria recta.
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
11
En este análisis se puede determinar que el movimiento es
relativo. Por ejemplo un libro que está en reposo respecto a
la mesa sobre la cual se encuentra se mueve a unos 30
kilómetros por segundo en relación con el Sol, y aún más
aprisa respecto al centro de nuestra galaxia. Este ejemplo
nos define claramente lo que es movimiento relativo ya que
depende del punto de referencia para analizarlo.
2.2.
Rapidez y Velocidad.
Un objeto en movimiento recorre una cierta distancia en un
tiempo determinado. Un auto por ejemplo, recorre un
cierto número de kilómetros en una hora. La rapidez es una
medida de qué tan aprisa se mueve un objeto. Es la razón
de cambio a la que se recorre la distancia. (Llámese razón
de cambio a la división de alguna cantidad entre el
tiempo). La rapidez se mide siempre en términos de una
unidad de distancia dividida entre una unidad de tiempo.
Rapidez Instantánea.- Un auto no se desplaza siempre con
la misma rapidez. Un auto puede recorrer una calle a 50
Km/h, reducir su rapidez a 0 Km/h en un semáforo y luego
aumentar a solo 30 Km/h a causa del tráfico. Se puede
saber la rapidez del vehículo en cualquier momento
mirando el velocímetro del mismo. La rapidez en cualquier
instante se conoce como rapidez instantánea.
Rapidez promedio.- Cuando alguien planea realizar un
viaje en un auto, a menudo le interesa saber cuánto
tiempo le tomará recorrer cierta distancia. Desde luego, el
auto no viajará con la misma rapidez durante todo el
recorrido. Al conductor le interesa sólo la rapidez promedio
para la totalidad del trayecto. La rapidez promedio se
define como sigue:
Distancia total recorrida
Rapidez Promedio = -----------------------------------------Intervalo de tiempo
La rapidez promedio se calcula con facilidad. Por ejemplo,
si recorremos una distancia de 60 kilómetros por hora (60
km/h) o bien, si recorre 240 kilómetro en 4 horas veremos
que:
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
12
Distancia total recorrida
240 Km
Rapidez promedio = ----------------------------- = --------- = 60 km/h
Intervalo de tiempo
4h
VELOCIDAD.- En el lenguaje cotidiano empleamos las
palabras rapidez y velocidad de manera indistinta. En física
hacemos una distinción entre ellas. De manera muy
sencilla, la diferencia es que la velocidad es una rapidez en
una dirección determinada. Cuando decimos que un auto
viaja a 60 km/h estamos indicando su rapidez. Pero si
decimos que un vehículo se desplaza a 60 km/h hacia el
norte estamos especificando su velocidad. La rapidez
describe que tan aprisa se desplaza un objeto; la velocidad
nos dice que tan aprisa lo hace y en que dirección.
2.3.
Movimiento Rectilíneo Uniforme (con velocidad constante)
Cuando se habla de movimiento rectilíneo uniforme se
puede analizar aquel que se produce con velocidad
constante o el que se produce con velocidad variada. El
primer movimiento que se analiza es el movimiento con
velocidad constante.
VELOCIDAD CONSTANTE.- De la definición de velocidad se
deduce que para tener una velocidad constante se
requiere que tanto la rapidez como la dirección sean
constantes. Rapidez constante significa que el movimiento
conserva la misma rapidez, es decir, el objeto no se mueve
ni más aprisa ni más lentamente. Dirección constante
significa que el movimiento sigue una línea recta. Por lo
tanto el movimiento a velocidad constante es un
movimiento en línea recta y con rapidez constante.
Otro de los conceptos importante de definir en esté
capitulo es el desplazamiento. Que es la distancia en línea
recta entre dos puntos, junto con la dirección de aquí que
al igual que la velocidad el desplazamiento es una
cantidad vectorial con magnitud y dirección.
Para entender lo de cantidad vectorial
brevemente lo que es un vector y un escalar
definamos
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
13
VECTOR.- es aquella magnitud física que posee módulo,
unidad, dirección y sentido.
ESCALAR.- es aquella magnitud que solo tiene módulo y
unidad y con ello expresan todo lo necesario.
Una vez que hemos determinado la diferencia entre
cantidad vectorial y cantidad escalar, estamos en
condiciones de expresar matemáticamente el movimiento
rectilíneo.
En donde:
La velocidad en un movimiento rectilíneo se define como la
razón entre el desplazamiento y el tiempo
d
V = --------t
La unidad de velocidad siempre estará dada por una
unidad de longitud sobre una unidad de tiempo.
Ejemplo: m/s, km/h. pie/ seg. Etc.
Ejercicio ilustrativo
Un automóvil recorre 450 km en 6 hora. Calcule la
velocidad media en Km/h y en m/s.
El primer paso para resolver un ejercicio de física es
identificar los datos del problema que se encuentran en el
enunciado.
Datos:
d = 450 Km.
t=6h
Vm = ?
Luego de haber determinado los datos y saber cual es la
incógnita o la variable a encontrar, vemos la fórmula y la
aplicamos.
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
14
d
450 km
Vm = --------- = ---------- = 75 Km/h
t
6h
Vm = 75 km/h
Luego realizamos la transformación de unidades para
llevarlo a m/s
Vm = 75 km/h x 1000 m/1km x 1h/3600 seg. = 20.83 m/s
Vm = 20.83 m/s.
Ejemplo # 2
Un motociclista maneja 125 km de una ciudad a otra como
indica la figura, en 2 horas, pero el viaje de regreso lo hace
en sólo 1.5 h ¿cuál es la rapidez promedio para (a) cada
mitad de viaje redondo y (b) el viaje total?
A
B
125 Km
Al igual que el ejercicio anterior lo primero que debemos
hacer es clasificar los datos y las incógnitas.
Datos:
d = 125 Km
ti = 2 h.
tr = 1.5 h
Vm = ? (a) cada mitad de viaje redondo. (b) el viaje total.
Una vez que tenemos los datos plenamente identificado
aplicamos la fórmula.
d
Vm = ----------t
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
15
Para lo cual vemos en los datos cual es la variable que se
debe calcular y de que forma hacerlo según el análisis del
enunciado.
Primero resolvemos el literal (a).
Entonces
125 Km
Vm = --------------- = 62.5 Km/h
2h
Este resultado corresponde a la rapidez promedio de ida.
125 Km
Vm = --------------- = 83.33 km/h
1.5 h
Este resultado corresponde a la rapidez promedio de
regreso.
Para resolver el literal (b) demos considerar:
1. Que la distancia total recorrida es de 250 Km entre ida y
regreso.
2. Que el tiempo total del recorrido es de 3.5 h
Basándose en estos datos obtenidos sacamos la rapidez
promedio total.
250 Km
Vm = --------------- = 71.43 Km/h
3.5 h
Debe considerar que se supone que el motociclista va y
regresa inmediatamente.
Ejercicios propuestos:
1. Un aeroplano vuela en línea recta a una rapidez de 140
km/h ¿cuánto le toma volar 400 km?
2. Un autobús viaja por una carretera a una rapidez
promedio de 90 km/h. ¿Qué tan lejos viaja en 15 min en
promedio?
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
16
3. Un corredor da tres vueltas completas alrededor de una
pista de 1 km de largo en 13.3 min ¿Cuál es (a) su
rapidez promedio y (b) su velocidad promedio?
4. Un automóvil viaja uniformemente a lo largo de una
carretera recta cubriendo una distancia de 88 pies
cada segundo. (a) cuál es la rapidez del automóvil en
mill/h? (b) ¿Cuáles son la rapidez media y la velocidad
media en m/s?.
5. Se cubre una distancia de 1.50 km al hacer una vuelta
alrededor de una pista avalada para bicicletas. Si un
corredor que va con rapidez constante hace una vuelta
en 1.25 min, ¿cuál es la rapidez de la bicicleta y del
corredor en m/s.
6. Una pista circular tiene un diámetro de 0.50 km. Un
coche ligero con una rapidez constante de 7 m/s hace
dos vueltas completas alrededor de la pista, ¿cuánto
tiempo le toma completar las dos vueltas?
7. Un estudiante que conduce a su casa para pasar las
vacaciones parte a las 8:00 a.m. para hacer un viaje de
675 km, que es prácticamente todo por una carretera
no urbana. Si desea llegar a casa no más tarde de las
3:00 p.m., ¿cuál deberá ser su rapidez promedio
mínima? ¿Tendrá que exceder el limite de velocidad de
65 mi/h?
8. Dos conductores se aproximan uno al otro sobre una
pista recta; tienen velocidades constantes de +4.50 m/s
y -3.50 m/s, respectivamente, cuando están separados
por 100 metros ¿Cuánto le tomará encontrarse y en qué
posición ocurrirá?
9. Dos motociclistas corren contrarreloj en una ruta a través
del campo de 40 Km. El primero recorre la ruta con una
rapidez promedio de 55 km/h. el segundo parte 3.5 min
después del primero, pero cruza la línea final al mismo
tiempo. ¿Cuál es la rapidez promedio del segundo?
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
17
2.4.
Aceleración.
La descripción básica de un movimiento comprende el
intervalo de tiempo de un cambio de posición, que puede
expresarse por la velocidad. El paso siguiente sería cómo
cambia la velocidad del cambio. Suponga que algo se
está moviendo a una velocidad constante y que la
velocidad cambia; esto es una aceleración. El pedal de la
gasolina de un automóvil se llama comúnmente
acelerador. Cuando usted presiona el acelerador, el carro
acelera; y cuando usted libera el acelerador, el automóvil
desacelera. Esto es, hay un cambio de velocidad con el
tiempo, o una aceleración. Específicamente, la
aceleración del cambio de velocidad en un intervalo de
tiempo.
Cambio de velocidad
Aceleración promedio = -------------------------------------------Tiempo para hacer el cambio
O
Δv
v - vo
a = --------- = --------------Δt
t - to
Esta expresión permite calcular la aceleración de un
objeto, de donde podemos determinar que como la
velocidad esta dada en unidad de longitud sobre unidad
de tiempo y esto sobre unidad de tiempo entonces:
m/s/s = m/s2.
En otras palabras la aceleración estará dada por una
unidad de longitud sobre una unidad de tiempo al
cuadrado.
2.5.
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
Este movimiento analiza los cambios de velocidades, ósea
las aceleraciones por lo tanto también se lo llama
movimiento uniformemente acelerado.
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
18
De donde:
v - vo
a = -----------t
De esta expresión despejamos v que es la velocidad final.
Tenemos:
V = Vo + at (solo para aceleración constante).
También podemos encontrar la velocidad media en base a
la velocidad final (v) y velocidad inicial (vo).
v + vo
Vm = -----------2
ECUACIONES CINEMÁTICAS.- la descripción del movimiento
en una dimensión con aceleración constante requiere sólo
de tres ecuaciones básicas. Las ecuaciones básicas en que
nos vamos a basar para el estudio del M.R.U.V. son:
X = Vm.t
1
v + vo
Vm = ----------2
2
v = vo + at
3
La primera ecuación pertenece a situaciones de
movimiento con velocidad constante. Las otras dos
ecuaciones intervienen en casos que la aceleración es
constante.
No obstante, la descripción del movimiento en algunos
casos requiere de aplicaciones múltiples de estas
ecuaciones, que en un principio parece no ser obvias. Sería
de gran ayuda si hubiera una forma de reducir el número
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
19
de operaciones al resolver problemas cinemáticos, y si hay:
la combinación algebraica de ecuaciones.
Por ejemplo, la combinación de las ecuaciones anteriores
requiere primero de la sustitución de vm de la ecuación 2
en la 1.
v + vo
X = vm.t = ( -------------) t
t
Luego, sustituyendo v en la ecuación 3, tenemos
V + vo
(vo + at) + vo
X = ( -------------)t = {------------------------}.t
2
2
La simplificación nos da
X = vot +
1/2
at2
Estas ecuaciones combinadas permiten calcular
directamente la distancia recorrida.
Otra posibilidad es utilizar la ecuación 3 para eliminar el
tiempo (t), en lugar de la velocidad final (v), escribiendo la
ecuación en la forma t = (v - vo) /a. Entonces, como antes,
al sustituir para vm en la ecuación 1 a partir de la 2
obtenemos.
v +vo
X = vm t = (----------).t
2
Pero si sustituimos t, obtenemos
v + vO
v + vO
v - vO
X = ( ------------ ).t = ( ----------- ) ( ------------ )
2
2
a
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
20
La simplificación nos da
V2 = vo2 + 2 a x
Ejemplo # 1
Un automóvil que viaja sobre un camino recto a 90 km/h
disminuye la velocidad a 40 km/h en 5 s ¿cuál es su
aceleración promedio?
Solución. En el problema tenemos los datos siguientes
[Como el movimiento es rectilíneo, suponemos que la
velocidades instantáneas tienen dirección positiva, y la
conversión a las unidades estándar (km/s a m/s) se hace
de inmediato pues el tiempo está dado en segundos. En
general, siempre se trabaja con la aceleración en unidades
estándar.]
Datos.
vo = 90 km/h x 1000 m/1 km x 1h/3600 s = 25 m/s
v = 40 km/h x 1000 m/1 km x 1h/3600 s = 11 m/s
t=5s
a=?
Dados las velocidades inicial y final y el intervalo de
tiempo, la aceleración promedio se puede encontrar
utilizando la siguiente ecuación.
v - vo
a = ------------t
11 m/s - 25 m/s
a = --------------------------- = - 2.8 m/s2
5s
El signo menos indica la dirección de la aceleración
(vectorial). En este caso, la aceleración es opuesta a la
dirección del movimiento inicial (+vo), y hace más lento al
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
21
automóvil. Una aceleración tal se llama algunas veces
desaceleración.
Una aceleración negativa no necesariamente significa que
un objeto en movimiento desacelera o que su velocidad
disminuye. Los signos + y - indican los sentidos vectoriales
con respecto al eje de referencia. Si la velocidad y la
aceleración tienen sentidos opuestos, un objeto en
movimiento desacelerará. No obstante, supongamos que
un carro que viaja en la dirección x negativa (-vo)
experimenta una aceleración en la dirección x positiva
(+a). El carro estaría desacelerando. Similarmente, si la
velocidad y la aceleración tienen la misma dirección, el
carro acelerará. Por ejemplo, si el carro viaja inicialmente
en la dirección x negativas (- vo), una aceleración negativa
(-a) lo acelerará en esa dirección.
Ejemplo # 2
Un bote de motor parte del reposo en un lago y acelera en
línea recta a una velocidad constante de 3 m/s2 durante 8
s. ¿Cuál es su velocidad final? y ¿Qué tan lejos viajó el bote
durante este tiempo?
Solución. Al leer el problema y resumir los datos dados y lo
que se busca, tenemos,
Datos:
vo = 0
a = 3 m/s2
t = 8 seg.
v=?
x=?
Lo primero que podemos observar es que todas las
unidades son estándar ósea que están en el mismo sistema
de unidades.
Mirando los datos del problema y analizando las fórmulas
podemos darnos cuenta que la ecuación adecuada para
calcular la velocidad final que adquiere el bote es:
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
22
v = vo + at
v = 0 + (3 m/s2) (8 s) = 24 m/s
Note que al multiplicar las unidades de aceleración con las
de tiempo se simplifican los segundos dando por resultado
la unidad de velocidad.
Finalmente la magnitud del desplazamiento o la distancia
recorrida es:
x = vot + 1/2 a t2
x = 0 + 1/2 (3 m/s2)(8 s)2 = 96 m.
Ejercicios propuestos
1.
Un automóvil que viaja a 25 km/h a lo largo de un
camino recto acelera a 50 km/h en 5 seg. ¿Cuál es la
aceleración media?
2.
Un automóvil que se mueve con una velocidad de 24
m/s en una calle de un solo sentido debe detenerse en
4 s. ¿Cuál es la aceleración media requerida?
3.
Un carro acelera uniformemente del reposo a una
velocidad de 5.25 m/s2. ¿Qué tan lejos viaja en 7 s?
¿Cuál es la rapidez del carro en ese tiempo?
4.
Un bote de motor que se mueve en línea recta
disminuye su velocidad uniformemente de 70 km/h a 35
km/h en una distancia de 50 m ¿Cuál es la
desaceleración?
5.
Una bala viaja horizontalmente con una rapidez de 35
m/s choca contra una tabla perpendicular a la
superficie, la atraviesa y sale por el otro lado con una
velocidad de 21 m/s si la tabla es de 4 cm de grueso,
¿cuánto tiempo le tomó a la bala atravesarla?
6.
Un avión recorre antes de despegar una distancia de
1800 m en 12 segundos, con una aceleración
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
23
constante calcular: (a) La aceleración, (b) la velocidad
en el momento del despegue.
7.
La velocidad inicial de un proyectil es de 600 m/s.
sabiendo que la longitud del cañón es de 150 cm,
calcular la aceleración media del proyectil hasta el
momento de salir del cañón.
8.
el conductor de un camión que va a 100 km/h aplica
los frenos, dando al camión una desaceleración
uniforme de 6.50 m/s2 conforme viaja 20 m (a) ¿Cuál es
la velocidad del camión en Km/h al final de esta
distancia? ¿Cuánto tiempo empleo?
9.
El limite de velocidad en una zona escolar es de 40
Km/h (alrededor de 25 mill/h). Un conductor que viaja
a esa velocidad ve ha un niño que corre por el camino
17 m delante de su carro. Aplica los frenos y el carro se
desacelera uniformemente a 8 m/s2. si el tiempo de
reacción del conductor es de 0.25 s, ¿Se detendrá el
carro antes de atropellar al niño?
10. Un tren que viaja sobre rieles recta tiene una velocidad
de 45 km/h. Se aplica una aceleración uniforme de
1.50 m/s2 conforme el tren recorre 200 m. (a) Cuál es la
rapidez del tren al final de esta distancia? (b) ¿cuánto
tiempo le tomó al tren recorrer los 200 m?
2.6.
Caída Libre.
Uno de los casos más familiares de aceleración constante
se debe a la gravedad cerca de la superficie de la tierra.
Cuando un objeto cae, su velocidad inicial es cero (en el
instante en que es liberado), pero un tiempo después
durante la caída tiene una velocidad que no es cero. Ha
habido un cambio en la velocidad y, por definición, una
aceleración. La aceleración debida a la gravedad (g) tiene
un valor aproximado (magnitud) de:
g = 9.80 m/s2 aceleración debido a la gravedad
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
24
o 980 cm/s2 y se dirige hacia abajo (hacia el centro de la
tierra). En unidades británicas, el valor g es alrededor de 32
pies/s2.
Los valores para g son sólo aproximados pues la
aceleración debida a la gravedad varía ligeramente en
diferentes lugares como resultado de las diferencias en la
elevación y la masa promedio regional de la tierra.
Se dice que los objetos en movimiento sólo bajo la
influencia de la gravedad, están en caída libre.
En el movimiento de caída libre el desplazamiento lo
representaremos con la letra (y). Y como la aceleración
debida a la gravedad siempre es hacia abajo, está en
sentido negativo. -g = - 9.80 m/s2. No obstante la relación a
= - g se puede expresar explícitamente en las ecuaciones
para el movimiento lineal
y = v mt
(6)
v + vo
vm = ---------------2
(2)
v = vo - gt
(7)
y = vot - 1/2gt2
(8)
v2 = vo2 - 2 gy
(9)
Como se puede observar las ecuaciones para caída libre son
muy similares a las ecuaciones de movimiento horizontal con
la diferencia de la gravedad que se aplica en los cuerpos
que se mueven verticalmente.
Ejemplo.
Un niño que está sobre un puente tira verticalmente una
piedra hacia abajo con una velocidad inicial de 14.7 m/s. Si
la piedra choca con el agua 2 seg. Después, ¿cuál es la
altura del puente sobre el río?
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
25
Solución. Como es usual, primero leemos el problema y
escribimos los datos que se nos dan y lo que debemos
encontrar.
Datos:
Vo = - 14.7 m/s (hacia abajo se toma como la dirección
negativa)
t=2s
g (= 9.80 m/s2)
y=?
Observe que g ahora es sólo una cifra, dado que el signo
menos ya se ha puesto en las ecuaciones anteriores del
movimiento. Después de un tiempo, probablemente sólo
escribirá el símbolo g, dado que se habrá familiarizado con su
valor numérico. Esta vez, haga usted mismo el esquema para
ayudarse a analizar la situación.
Considerando qué ecuaciones nos darán la solución usando
los datos dados, es evidente que la distancia que la piedra
recorre en un tiempo t se da directamente por la ecuación 8
Y = vot - 1/2gt2 = (-14.7 m/s)(2 s) - 1/2(9.8 m/s2)(2 s)2
= -29.4 m - 19.6 m = -49.0 m
El signo menos indica que el desplazamiento es hacia abajo,
lo cual concuerda con lo que usted sabe de la formulación
de problema. (¿Podría encintrar cuánto le tomó a la piedra?)
Ejemplo # 2
Un trabajador está en un andamio frente a un anuncio y tira
una pelota en línea recta hacia arriba. La pelota tiene una
velocidad inicial de 11.2 m/s cuando deja la mano del
trabajador en el mismo nivel que indica la flecha. (a) ¿Cuál es
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
26
la altura máxima que alcanza la bola medida desde donde
indica la línea de puntos? (b) ¿Cuánto tiempo le toma
alcanzar esa altura? (c) ¿Cuál es la posición de la bola en t =
2 s?
Solución. Tal parece que todo lo que se ha dado en el
problema general es la velocidad inicial vo. A pesar de ello,
algunos otros datos están implícitamente "dados" pues se
conocen. Uno de ellos es la aceleración g, y el otro es la
velocidad cuando la pelota se detiene a la máxima altura.
Aquí, al cambiar la dirección, la velocidad de la pelota es
momentáneamente cero; así tenemos.
Datos:
vo = 11.2 m/s
g = 9.80 m/s2
v = 0 para (a)
t = 2 s (para la parte c)
(a) y(max) = (altura máxima)
(b) ta (tiempo hacia arriba )
(c) y (en t = 2 s)
(a) observe que nos referimos a la altura (y = 0) de la parte
donde se encuentra la línea de puntos. Para esta parte del
problema sólo debemos preocuparnos del movimiento hacia
arriba: la pelota se tira hacia arriba y se detiene a la altura
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
27
máxima ymáx. Con v = 0 a esta altura, ymax se puede encontrar
directamente de la ecuación.
V2 = 0 = vo2 - 2 g ymax
Vo2
Y max = ---------2g
(11.2 m/s)2
= --------------------- = 6.40 m
2(9.8 m/s2)
Con respecto a la parte superior del anuncio y = 0, ver figura).
(b) El tiempo que la pelota viaja hacia arriba se designa ta.
Este es el tiempo que le toma alcanzar ymax, en donde v = 0
entonces, conociendo vo y v, el tiempo ta se puede encontrar
directamente de la ecuación:
v = 0 = vo - gta
y
vo
ta = ----------g
11.2 m/s
= -------------- = 1.14 s
9.8 m/s2
(c) La altura de la pelota en t = 2 s está dada directamente
en la ecuación:
y = vo t - 1/2 g t2
(11.2 m/s)(2 s) - 1/2 (9.8 m/s2) (2 s)2
22.4 m - 19.6 m = 2.8 m
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
28
Observe que esto es 2.8 m arriba, o medidos hacia arriba
desde el punto de referencia (y = 0). La pelota alcanzó su
altura máxima y está en su camino de regreso hacia abajo.
Si consideramos el problema desde otro punto de referencia,
sería como dejar caer la pelota desde una altura y max arroba
de la parte donde se encuentra la línea de puntos con vo = 0
y preguntarnos qué tan lejos caería en el tiempo t = 2 s - ta =
2 s - 1.14 s = 0.86 s. La respuesta es
y = vot - 1/2 g t2
= 0 - 1/2 (9.8 m/s2) (0.86 s)2 = - 3.6 m
Es la misma posición que obtuvimos antes, pero ahora se ha
medido con respecto a la altura máxima como punto de
referencia; esto es
y (máx.) -3.6 m = 6.4 m - 3.6 m = 2.8 m
Concejo para la solución de problemas
Cuando se trabaja con problemas de proyección vertical
que comprenden movimiento hacia arriba y hacia abajo,
con frecuencia es conveniente dividir el problema en dos
partes y considerar cada una en forma separada. Como se
vio en el ejemplo anterior, para la parte en la que el
movimiento se dirige hacia arriba, la velocidad es cero ala
altura máxima. Una cantidad cero simplifica los cálculos. En
forma similar, la parte en la que el movimiento se dirige hacia
abajo es análogo a la del objeto que se deja caer desde
determinada altura, en donde la velocidad inicial es cero.
Ejercicios propuestos
1. Un objeto se suelta desde la parte más alta de un
acantilado tarda 1.80 s para llegar al agua del lago hay
debajo. ¿Cuál es la altura del acantilado sobre el agua?
2. ¿Con qué rapidez hay que proyectar verticalmente hacia
arriba un objeto para que alcance una altura máxima de
12 m sobre un punto de partida?
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
29
3. Se tira verticalmente hacia abajo una piedra con una
velocidad inicial de 12.4 m/s desde una altura de 65 m
sobre el suelo. (a) ¿Qué tan lejos viaja la piedra en 2 s? (b)
¿Cuál es su velocidad cuando llega al suelo?
4. Una persona que está inclinada sobre el borde de un
edificio de 34 m de alto lanza una pelota hacia arriba con
una rapidez inicial de 6 m/s de modo que la pelota no
choque contra el edificio en el viaje de regreso. (a) ¿Qué
tan lejos sobre el suelo estará la pelota al final de 1 s.? (b)
¿cuál es la velocidad de la pelota en ese momento? (c)
¿Cuándo y con qué rapidez chocará la pelota en el
suelo?
5. Una pelota de béisbol lanzada verticalmente hacia arriba
se cacha a la misma altura 3.20 s después. ¿Cuáles son (a)
la velocidad inicial de la pelota y (b) su altura máxima
sobre el punto de partida?.
6. Cierta persona salta una distancia vertical de 0.85 m. (a)
¿Cuál es el tiempo total que la persona está fuera del
piso? (b) Con que velocidad llegará la persona al piso?
7. Al tirar verticalmente hacia arriba un objeto con una
velocidad de 7.25 m/s desde la parte superior de un
edificio alto, inclinado el lanzador sobre el borde de modo
que el objeto no choque con el edificio en su viaje de
regreso, (a) ¿cuál es la velocidad del objeto cuando ha
viajado una distancia total de 25 m (b) ¿Cuánto le toma
viajar esta distancia?
8. Un fotógrafo en un helicóptero que asciende
verticalmente a una rapidez constante de 1.75 m/s deja
caer accidentalmente una cámara cuando el helicóptero
está a 50 m arriba del suelo. (a) ¿Cuánto tiempo tardará la
cámara en llegar al suelo? (a) ¿cuánto tiempo tardará la
cámara en llegar al suelo? (b) ¿Cuál será su rapidez
cuando choque?.
9. La aceleración debida a la gravedad en la luna es un
sexto de la de la tierra. (a) si un objeto se dejará caer
desde misma altura en la luna y en la tierra, ¿cuánto más
tiempo le tomaría chocar con la superficie de la Luna? (b)
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
30
Para un proyectil con una velocidad inicial de 18 m/s
hacia arriba ¿Cuál sería la altura máxima que alcanzaría y
el tiempo total de vuelo sobre la luna y sobre la tierra?
10. Un estudiante que está en una ventana en el segundo piso
de un dormitorio ve ha su profesor de matemáticas venir
por la acera que corre al lado del edificio. Tira un globo
con agua desde 18 m arriba del suelo cuando el profesor
está a 1 m del punto directo debajo de la ventana. Si el
profesor tiene 170 cm de altura y camina a una velocidad
de 0.450 m/s, ¿le caerá el globo en la cabeza? ¿Le caerá
en alguna parte del cuerpo?
11. Un objeto que cae pasa por una ventana que tiene una
altura de 1.35 m durante 0.210 s ¿Desde qué altura sobre
la ventana se soltó el objeto?
ARTICULACIÓN # 3
Movimiento en dos dimensiones
Objetivo:
Impartir una comprensión de los principios físicos
fundamentales y capacitar a los estudiantes para resolver diversos
problemas razonables en las áreas especificadas, de tal manera
que se tenga un conocimiento completo de la naturaleza física y
se aprecie mejor los conocimientos adquiridos, para su aplicación
y colaboración en el desarrollo integral del profesional.
Tiempo: Esta unidad Está planificada para 20 horas
3.1.
Introducción.- ¿podría usted describir el movimiento de la
pelota pateada por un jugador de fútbol? Obviamente,
éste no es el caso de un movimiento en línea recta, o
rectilíneo, en una dimensión como los que consideramos la
unidad anterior. Aquí, tenemos movimiento en un plano; es
decir, en dos dimensiones.
Los componentes del movimiento se pueden representar
convenientemente con notación vectorial. Un vector
desplazamiento por ejemplo, tiene o está constituido de los
componentes de posición X y Y. En forma similar, un vector
de velocidad tiene los componentes de velocidad vx y vy;
Un vector de aceleración tiene los componentes de
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
31
aceleración ax y ay. En algunos casos, los aspectos del
movimiento se puede analizar sumando directamente
vectores. Debido a que todo vector tiene tanto magnitud
como dirección, la adición escalar de números, que usted
aprendió en la escuela primaria, no se aplica. En este
capítulo, usted aprenderá cómo sumar y restar vectores
operaciones que toman en cuenta la dirección.
3.2.
Sistema de coordenadas en el plano
Coordenadas Rectangulares. Están formadas por dos ejes
numéricos perpendiculares entre sí. El punto de intersección
se considera como el origen de cada uno de los ejes
numéricos x e y. Este punto se llama origen de
coordenadas y se designa con la letra O.
Y (+)
2º cuadrante
1er cuadrante
(-)
x (+)
o
3er cuadrante
4º cuadrante
(-)
El eje horizontal se denomina abscisa o eje de las x. Es
positiva a la derecha del origen, y negativa a la izquierda.
El eje vertical se denomina ordenada o eje de las y. Es
positiva hacia arriba del origen, y negativa hacia abaja.
Estos ejes numéricos perpendiculares dividen el plano en
cuatro cuadrantes ordenados.
La posición de un punto en el plano queda determinado
por un par de números ordenados (x,y), llamados
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
32
coordenadas rectangulares, que corresponden
intersección de una abscisa (x) y una ordenada(y).
a
la
Ejemplo:
Representar la posición de los siguientes puntos en el plano:
A(5,1)
B(-4,4)
C(2,-4)
D(-1,1)
E(-1,1)
F(7,-1)
Coordenadas polares.- Están formadas por el eje numérico
de referencia x, denominado eje polar. En un punto de
éste se halla el origen de coordenadas O, llamado origen o
polo
Ø
O
r
(r, Ø)
La posición de un punto en el plano queda determinada
por un par ordenado (r,Ø), donde r es el radio vector y
representa la distancia positiva del origen al punto; y Ø es
el ángulo polar, y representa la medida del ángulo desde
el eje polar hasta el radio vector, en sentido antihorario
Ejemplo:
A(50 Km, 120º)
B(20 Km, 330º)
C(40 Km, 45º)
D(30 Km, 220º)
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
33
Coordenadas Geográficas.- Están formadas por dos ejes
perpendiculares entre sí. El punto de intersección de los ejes
se considera como el origen de cada uno de ellos. Estos
ejes perpendiculares dividen al plano en los cuatros puntos
cardinales: Norte, Sur, Este y Oeste.
N
O
E
S
El eje horizontal representa el Este (E) a la derecha del
origen, y el Oeste (O) a la izquierda del origen.
El eje vertical representa el Norte (N) hacia arriba del
origen, y el Sur, (S) hacia abajo del origen.
Ejemplo:
A(10 m, S40ºO)
B( 4 m, N30ºE)
C( 8 m, S20ºE)
D( 6 m, N60º)
3.3.
Resolución de Triángulos Rectángulos.- Un triángulo
rectángulo está compuesto de seis elementos: tres lados,
dos ángulos agudos y un ángulo recto. La suma de los
ángulos es 90º
y
(x,y)
r
y
Ø
o
x
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
34
En la resolución de un triángulo es necesario conocer tres de
los seis elementos que lo componen, siempre que al menos
uno de ellos sea un lado.
Para la resolución de triángulos rectángulos se aplica:
a) El teorema de Pitágoras.
b) Las funciones trigonométricas de un ángulo agudo.
Teorema de Pitágoras.- en todo triángulo rectángulo, el
cuadrado de la medida de la hipotenusa, es igual a la suma
de los cuadrados de las medidas de los catetos:
R2 = x2 + y2
Principales funciones trigonométricas.- en todo triángulo
rectángulo las principales funciones trigonométricas de uin
ángulo agudo son:
Triángulos rectángulo
Fórmula
Símbolo
Función
Coordenadas
Rectangulares
Seno
Sen Ø
Ordenada / radio vector
Cateto opuesto / hipotenusa
Y/r
Coseno
Cos Ø
Abscisa / Radio vector
Cateto adyacente / hipotenusa.
X/r
Tangente
Tan Ø
Ordenada / abscisa
Cateto opuesto / cateto adyacente
Y/x
El aprendizaje de la resolución de triángulos rectángulos es
importante para analizar el movimiento en dos dimensiones y
para la suma de vectores.
Ejercicio de aplicación
Resolver el siguiente triangulo rectángulo.
c=?
a=3
b=5
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
35
Del triangulo rectángulo dado no se conoce la hipotenusa ni
los ángulos agudos que lo forman.
Para encontrar la hipotenusa lo podemos hacer aplicando el
teorema de Pitágoras.
C2 = a2 + b2
C=
a2
b2
De donde:
C=
32
42 = 5
C= 5
Luego para calcular los ángulos alfa y beta se aplica
funciones trigonométricas.
op a
ady b
3
tan
0.75
4
tan 1 0.75
36.87º
tan
b
c
4
tan
1.33333
3
tan 1 1.33333
53.13º
sen
Al sumar estos ángulos debe de sumar 90º para cumplir con
la ley de los triángulos que sumado al ángulo recto dará
180º.
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
36
Ejercicios de aplicación
Resolver los siguientes triángulos rectángulos.
27
36 m
30
6
40
60
70
20
3.4.
Componentes del Movimiento
En los capítulos anteriores se estudiaron objetos que se
mueven en línea recta o a lo largo del eje horizontal a lo
largo del eje vertical. El caso primero el movimiento
rectilíneo uniforme y el uniformemente variado, y para el
segundo caso caída libre.
Pero el movimiento no solo se manifiesta en estos dos
sentidos por separado sino que se necesita de ambos (x , y)
para describir el movimiento de un objeto que se mueve
diagonalmente.
y
(x , y)
d
y = vy t
v
x
x = Vx t
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
37
v
(v x ) 2 ( v y ) 2
d
x2
y2
Si se da el valor y dirección de la velocidad de un objeto
que se mueve diagonalmente se puede calcular las
componentes de la velocidad mediante:
Vx = v cos
Vy = v sen
Ejemplo # 1
Una pelota que se mueve diagonalmente y tienen una
velocidad de 0.50 m/s y un ángulo de 37º en relación con el
eje de las x, encuentre qué tan lejos viajará en 3 s; utilice los
componentes x , y.
Solución. Si organizamos los datos, tenemos
Datos:
V = 0.50 m/s
= 37º
t=3s
encontrar: d (distancia)
la distancia en términos de los componentes x e y está
dado por d =
x2
y 2 . De modo que para encontrar x e y
primeros calculamos los componentes de la velocidad vx y
vy.
Vx = v cos 37º = (0.50 m/s)(0.80) = 0.40 m/s
Vy = v sen 37º = (0.50 m/s) (0.60) = 0.30 m/s
Entonces, las distancias componentes son
X = vxt = (0.40 m/s) (3 s) = 1.2 m
Y = vyt = (0.30 m/s) (3 s.) = 0.90 m
Y la distancia real de la trayectoria es
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
38
d
x2
y3
1.2m
2
0.90m
2
1.5m
(Obsérvese que para este caso sencillo, la distancia
también se puede obtener directamente a partir de d = vt
d = (0.50m/s)(3 s) = 1.5 m. A pesar de ello, hemos resuelto
este ejemplo en una forma más general para ilustrar el uso
de los componentes del movimiento.
Ecuaciones cinemáticas
movimiento.
para
los
componentes
del
El ejemplo anterior trató sobre un movimiento bidimensional
en un plano. Con una velocidad constante (componentes
constantes vx y vy), el movimiento rectilíneo. El movimiento
también puede tener aceleración. Para el movimiento en
un plano con una aceleración constante que tiene los
componentes ax y ay, los componentes del desplazamiento
y la velocidad se dan en la ecuación cinemáticas para la
dirección x e y.
X = vx0 t + 1/2 ax t2
y = vy0 t + 1/2 ay t2
vx = vx0 + ax t
vy = vy0 + ay t
Ejemplo # 2
Suponga que una pelota tiene una velocidad inicial
de 1.50 m/s a lo largo del eje de las x, y al iniciar en t0
recibe una aceleración de 2.80 m/s2 en la dirección y
(a) ¿Cuál es la posición de la pelota 3 s después de t0?
(b) ¿cuál es la velocidad de la pelota en ese tiempo?
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
39
Vy3 = ay t3
v
y3 = 1/2 ay t32
vx
vx
t0
vx
x2= vx t2
Dados:
Vx0 = vx = 1.50 m/s
Vy0 = 0
ax = 0
ay = 2.80 m/s2
t=3s
Encontrar: (a) x,y) coordenadas de posición
(b) v
(velocidad)
(a) 3 s después de t0 = 0, la pelota ha viajado las
distancias siguientes a partir del origen, en las
direcciones x e y:
x = vx0 t + 1/2 ax t2 = (1.50 m/s)(3 s) + 0 = 4.50 m
y = vy0 t + 1/2 ay t2 = 0 + 1/2(2.80 m/s2)(3 s)2 = 12.6 m
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
40
así su posición es (x , y) = (84.50m, 12.6 m). si usted
calcula la distancia d =
x2
y2
, ¿cuál podría ser?
(Observe que ésta no es la distancia real que la pelota
ha recorrido en 3 seg., sino la magnitud del
desplazamiento desde el origen hasta t = 3 s)
(b) el componente x de la velocidad está dado por
vx = vx0 + ax t = 1.50 m/s + 0 = 1.50 m/s
(Éste es constante dado que no hay aceleración en la
dirección x.) El componente de la velocidad es
vy = vy0 + ay t = 0 + (2.80 m/s2) (3 s)= 8.40 m/s
Por lo tanto la velocidad tiene una magnitud de
v
v 2x
v 2y
1.50m / s
2
8.40m / s
2
8.53m / s
y su dirección en relación con eje de las x es
tan 1
vy
vx
tan 1
8.40m / s
1.50m / s
79.9º
Ejercicios Propuestos.
1. Un objeto se mueve con una velocidad de 6 m/s a
un ángulo de 37º en relación con el eje de las x ¿
Cuál es la magnitud del componente x de la
velocidad?
2. Un bote de motor viaja con una rapidez de 40 km/h
en una trayectoria recta sobre un lago tranquilo. De
improviso, un fuerte viento uniforme empuja el bote
en dirección perpendicular a su trayectoria en línea
recta con una rapidez de 15 km/h durante 5 s. en
relación con su posición en el momento en que el
viento comenzó a soplar, ¿dónde estará localizada
el bote al final de este tiempo?.
3. Un objeto se mueve con una velocidad de 7.5 m/s a
un ángulo de 7.5º con el eje de las x. ¿cuáles son los
componentes x e y de la velocidad?
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
41
4. El componente y de una velocidad que tienen un
ángulo de 27º con el eje de las x tienen una
magnitud de 3.8 m/s. (a) ¿cuál es la magnitud de la
velocidad? (b) ¿cuál es la magnitud del
componente x de la velocidad?
5. Una pelota rueda con una velocidad constante de
2.40 m/s con un ángulo de 37º en relación con el eje
de las x del cuarto cuadrante. Si sabemos que la
pelota estaba en el origen en t = 0, ¿cuáles son las
coordenadas (x, y) 1.75 s más tarde?
6. Una partícula situada en el punto (4; -5)m se mueve
con velocidad constante hasta el punto (-2; 7)m en
12 s determinar: (a) La velocidad empleada. (b) El
desplazamiento realizado.
7. Un móvil con una rapidez constante de 32,4 km/h
parte del punto (45; 18)m y moviéndose
rectilíneamente llega al punto (-12; -31)m.
Determinar: a) El tiempo empleado. (b) El
desplazamiento realizado. (c) La distancia recorrida.
8. Una pelota que se mueve a lo largo del eje de las x
con una rapidez de 1.5 m/s, experimenta una
aceleración de 0.25 m/s2 con un ángulo de 37º con
el eje de las x, que inicia cuando la pelota está en el
origen (t = 0) y continúa sin interrupción. ¿Cuáles son
las coordenadas de la pelota en t = 3 s?
9. Una partícula parte del punto (-5;3) m y se mueve
con una velocidad constante de (4i + 7j) m/s durante
7 s. Determinar: (a) La posición alcanzada por la
partícula. (b) El desplazamiento realizado.
10. Un móvil que va por una carretera recta con una
velocidad constante de (-14i; -18j)m/s se encuentra
en el punto (5; -8)m en t = 15 s. Determinar: (a) La
posición que tuvo el móvil en t = 3 s. (b) El
desplazamiento realizado desde t1 = 3 s hasta t2 = 15
s.
3.5.
Adición y sustracción de vectores
Muchas magnitudes físicas son vectores. Usted ya a
trabajado con algunas pocas relacionadas con el
movimiento (desplazamiento, velocidad y aceleración) y
encontrará más durante este curso. Una técnica my
importante en el análisis de muchas situaciones físicas es la
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
42
adición (y la sustracción) de magnitudes vectoriales.
Mediante la suma o combinación de esas magnitudes
(adición de vectores), obtener el efecto neto o general; la
resultante, como llamamos a la suma de vectores.
Para lograr la suma de vectores podemos acudir a dos
métodos generales: Método Geométrico y Método
Matemático.
Dentro del método geométrico tenemos tres sub. divisiones
que son:
Método del Triángulo.- para sumar dos vectores por
ejemplo, para sumar B y A (esto es para encontrar A + B)
por el método del triángulo, primero se debe dibujar A en
una hoja de papel milimetrada con alguna escala y con el
ángulo de inclinación correspondiente. Por ejemplo, si A es
un desplazamiento en metros, una escala conveniente es 1
cm: 1 m, para que 1 cm de longitud vectorial en la gráfica
corresponda a 1 metro de desplazamiento; la dirección del
vector A está en un ángulo ( ) con respecto al eje de las
coordenadas, usualmente, el de las x.
Luego se dibuja B a partir de la punta de A. (así, este
método también e conoce como el método de punta con
cola). El vector que va de la cola de A a la punta de B es,
entonces, el vector suma, o sea, la resultante de los dos
vectores: R = A + B.
Si el vector se dibuja a escala, se puede encontrar la
magnitud de R midiendo su longitud y usando la escala. En
este método gráfico, el ángulo de dirección
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
43
3.3c debe ser mucho más fácil de encontrar el teorema de Pitágoras
para la magnitud y mediante la función trigonométrica inversa para
encontrar el ángulo de la dirección (observe que en este caso R está
forma por los componentes x y e (A y B).)
Método del paralelogramo.
Otro método grafico de adición de vectores similar al método del
triángulo es el método del paralelogramo. En la figura 3.4, A, y B se
dibujan cola con cola, y se forma un paralelogramo como se muestra.
La resultante R corre a lo largo de la diagonal del paralelogramo. Si el
diagrama se dibuja a escala con las orientaciones correctas, la
magnitud y la dirección de R se pueden medir directamente del
diagrama, como en el método del triángulo.
Observe que B se podría mover sobre el otro lado del paralelogramo
para formar el triángulo A + B. En general, un vector flecha se puede
mover en los métodos de adición e vectores. Mientras usted no cambie
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
44
la longitud (magnitud) ni la dirección de un vector, no estará alternado
el vector. En la figura 3.4, este intercambio de las flechas de los vectores
muestra que A + B = B + A; es decir que los vectores se pueden sumar en
cualquier orden.
Método del Polígono
El método punta con cola se puede ampliar para incluir la adición de
cualquier numero de vectores. En este caso, el método se llama
método del polígono, pues la figura gráfica que resulta es el polígono.
Esto se ilustra para cuatro vectores en la figura 3.5, donde R = A + B + C +
D. Observe que esta adición equivale prácticamente a tres
aplicaciones del método del triangulo. La longitud de la dirección de la
resultante se podría encontrar analíticamente por aplicaciones
sucesivas de las leyes del seno y coseno, pero en la pagina siguiente se
describe un método analítico más sencillo, el método de las
componentes. Al igual que con el método del paralelogramo, los
cuatros vectores (o cualquier número de vectores) se pueden sumar en
cualquier orden.
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
45
x
Componentes Vectoriales y el método analítico de componentes
Tal vez el método analítico que más se utiliza para la adición de
vectores es el método de los componentes. Lo utilizaremos una y otra
vez a lo largo del curso, de modo que la comprensión fundamental de
este método es indispensable. Estudie bien esta sección.
Adición de componentes rectangulares de vectores. Por componentes
rectangulares nos referimos a aquellos que están en ángulo recto (90º)
uno con el otro; por lo general se toman en la dirección de las
coordenadas rectangulares x e y. Usted ya pasó por una introducción a
la adición de estos componentes en la explicación de los componentes
de la velocidad del movimiento. Para casos generales suponga que A y
B, son dos vectores en ángulo recto, como se ilustra en la figura 3.7. el
ángulo recto facilita las cosas. La magnitud de C está dada por el
teorema de Pitágoras:
C
A2
B2
(3.4ª)
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
46
Procedimiento para la adición de vectores por el método de las
componentes.
1. Descomponga los vectores a sumarse en sus componentes x e y.
Utilice los ángulos agudos (menores de 90º) entre los vectores y el
eje de las x, e indique las direcciones de los componentes con los
signos más y menos. (vea la figura 3.11.)
2. sume vectorialmente todos los componentes x y todos los
componentes y para obtener los componentes x e y de la
resultante o vector suma. (esto se hace algebraicamente
utilizando los signos más o menos.)
3. Exprese el vector resultante utilizando:
a) la forma de componentes, por ejemplo C = Cx x + Cy y o
b) la forma magnitud – ángulo.
Para esta última, encuentre la magnitud de la resultante mediante los
componentes x y y sumados y la forma de Pitágoras.
C
C x2 C y2
encuentre el ángulo de dirección (con respecto al eje de las x)
tomando la tangente al arco del valor absoluto de la relación de los
componentes y e x.
tan 1 |
Cy
Cx
|
Designe el cuadrante en el cual quedará la resultante. Éste se obtiene
de los signos de los componentes sumados o de un dibujo de la adición
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
47
mediante el método del triángulo (o del rectángulo) (vea la figura 3.11).
El ángulo
el ángulo entre la resultante y el eje de las x en ese
cuadrante.
EJEMPLO 3.4. Aplicación del Método analítico de los componentes
Aplicamos los pasos del método de los componentes para la adición de
los vectores de la figura 3.10 b (que por conveniencia se reproduce
aquí). Los vectores con unidades en m/s representa velocidades.
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
48
Las direcciones de los componentes se indican con signo (el signo + por
lo general se omite, pues se considera sobreentendido) y v2 no tiene
componentes x. Observe que, en general, para el método analítico de
los componentes x son funciones coseno y los componentes y son
funciones seno.
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
49
3. en la forma de componentes, el vector resultante es
v = (-4.6 m/s) x + (3.7 m/s) y
En la forma magnitud – ángulo, la velocidad resultante tiene una
magnitud de
v
(v x2
v 2y
( 4.6m / s) 2
(3.7m / s) 2
5.9m / s
Dado que el componente x es negativo y el componente y es
positivo, la resultante queda en el segundo cuadrante con el
ángulo de
tan 1 |
vy
vx
| tan 1 (
3.7m / s
) 39º
4.6m / s
en relación con el eje negativo de las x
Problemas Propuestos
1)
Sumar por el método del triángulo y método
paralelogramo los siguientes sistemas de vectores.
del
A(38 m 175º)
B(43 m 63º)
A(150 m N 56º E)
B(48 m S 17º o)
A( 170 m/s, 280º)
B(70 m/s, 156º)
C(46 m/s, 37º) resolver este particularmente solo por el
método del paralelogramo.
2.) Sumar los siguientes vectores usando el método del polígono.
A(67 m N 18º E)
B(49 m S 56º O)
C(100m 175º)
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
50
A(30 m/s, 65º)
B(35 m/s, 150º)
C(15 m/s, 285º)
D( 20 m/s 180º)
A( 30 Km N 65º O)
B(65 Km S 25º E)
C(70 Km N 18º E)
D(50 Km S 80º O)
3.) Resolver los ejercicios 1y dos por el método de las
componentes.
5. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
5.1.
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
5.2.
Cuestionario
¿Qué estudia la física?
¿Cuáles son las ramas de la física?
¿Qué es una magnitud física?
¿A que se refiere el movimiento rectilíneo?
¿Hay aceleración en un movimiento con velocidad
constante?
¿Qué es una aceleración?
¿Cuándo un cuerpo cae libremente conque aceleración
cae?
¿Qué es un vector?
¿Qué es un escalar?
Indique cual es el procedimiento para sumar vectores por el
método del polígono?
Explique el procedimiento para sumar vectores por el método
de los componentes.
Glosario de Términos
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Acústica
Óptica
Térmica
Fenómeno
Prefijos
Conversión
Dimensiones
Dinámica
Rapidez
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51
j) Cinemática
k) Relatividad
5.3.
Tarea de Análisis
Tomando un cronometro y un carrito experimental medir
sucesivamente los tiempos que este recorre una distancia
determinada y calcular la velocidad con la que lo hace.
5.4.
Tarea Integradora
Mediante un trabajo grupal realice un mentefacto de la
clasificación de las ramas de la física.
Realice el análisis de un ejercicio en dos dimensiones del
movimiento (tiro parabólico.)
6. GUÍA DE ESTUDIO.
6.1.
Se recomienda para contestar las preguntas del
cuestionario leer en su totalidad el módulo y poder
aplicar los principios dados aquí.
6.2.
El glosario de termino podrá ser investigado en un
diccionario como por ejemplo el Océano Uno.
6.3.
Se recomienda analizar paso a paso cada unidad y
desagregar las ideas significativas.
6.4.
Para mejor síntesis y comprensión usar esquemas y
mentefactos así como mapas mentales.
7. EVALUACIÓN
Determinar la resultante del siguiente sistema de vectores
A (36 m N 48º E)
B (65 m S 67º O)
C (856 m, 256º)
D (35 m, 346º)
Encontrar la velocidad final con que llega un vehículo a cubrir
una distancia de 60 Km si parte con una velocidad inicial de 10
Km/h en un tiempo de 1.5 horas.
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez
52
Cual es la velocidad con que llega al agua una piedra que fue
soltada desde un puente a una altura de 20 m.
8. BIBLIOGRAFÍA
Física general segunda edición de Jerry D. Wilson
Física general de Schaum
Física Vectorial de Vallejo – Zambrano
Física Fundamental de Michael Valero.
Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez