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Universidad de Navarra
Nafarroako Unibertsitatea
Escuela Superior de Ingenieros
Ingeniarien Goi Mailako Eskola
ASIGNATURA GAIA
 ESTADÍSTICA
 MÉTODOS ESTADÍSTICOS DE LA INGENIERÍA
NOMBRE IZENA
CURSO KURTSOA
2º INGENIERÍA TELECOMUNICACIÓN
3º INGENIERÍA INDUSTRIAL
FECHA DATA
14/02/2003
CUESTIONES
1.Además de la ley de probabilidad, ¿qué más hace falta conocer para que una variable aleatoria que
representa un fenómeno debido al azar quede perfectamente definida?
¿De qué tres formas puede venir dada la ley de probabilidad de una variable aleatoria continua?
¿Si no se dispone de la ley de probabilidad de una variable aleatoria de forma explícita, qué se puede
hacer para conocer más de la variable aleatoria?
2.¿Deben ser dos v.a. X e Y independientes para poder hacer: E ( X  Y )  E ( X )  E (Y ) ? Demostrarlo.
¿Y si Var ( X  Y )  Var ( X )  Var (Y ) , tienen que ser independientes X e Y ?
3.Sean X e Y dos variables aleatorias con función de densidad conjunta: f X ,Y  kxy,
0  x  1

0  y  1
Demostrar que X e Y son independientes.
4.Sea una v.a. bidimensional ( X , Y ) . La función de regresión de Y sobre X permite hacer predicciones
de tipo probabilístico. ¿Qué significa esto?
Una vez que se tiene una función de regresión, que bien se ha calculado teóricamente,  Y (x) , o bien
se ha obtenido de forma experimental ajustando los datos de una muestra a una función de cualquier
tipo, Yˆ , ¿se puede utilizar esta función de regresión sin más para hacer predicciones de los valores
que puede tomar la variable Y al variar la variable X o se necesitaría algún elemento de juicio
adicional? En caso afirmativo, ¿cómo afectaría ese otro elemento a la decisión de utilizar la función
de regresión para hacer predicciones?
PROBLEMAS
1.Los laboratorios de Urgencias de los hospitales disponen de “test” para el diagnóstico rápido de
patologías y así tratarlas sin tener que esperar a los resultados confirmatorios, que llevan mucho más
tiempo. En un laboratorio de urgencias se dispone de un “test rápido” para comprobar si la neumonía
es debida a neumococo y que ha sido probado sobre 375 afectados de neumonía arrojando los
siguientes datos:
Resultado del Test Rápido
Resultado Confirmatorio
(Neumonía debida a Neumococo)
POSITIVO
NEGATIVO
POSITIVO
258
42
NEGATIVO
3
72
Considerando esta muestra como significativa de la población de afectados de neumonía, responder a
las siguientes preguntas:
a) Si llegan al laboratorio las muestras de dos personas afectadas de neumonía, una de ellas por
neumococo y la otra no, ¿cuál es la probabilidad de que ambos “tests rápidos” den POSITIVO?
b) ¿Y la probabilidad de que uno dé POSITIVO y el otro NEGATIVO?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado que confirma que la neumonía de una persona es por
neumococo sea NEGATIVO si se sabe que el “test rápido” ha dado NEGATIVO?
2.El profesor de Estadística acostumbra a entregar fotocopias en clase (muy buenas, por cierto), tanto
de apuntes como de problemas. De la experiencia, ha llegado a caracterizar el número de copias que
se reparten mediante una variable aleatoria de media 120 y desviación estándar 10. ¿Cuántas copias
debe encargar el profesor de Estadística a reprografía cada vez que quiere repartir material a los
alumnos para asegurarse, con una probabilidad de al menos el 90%, de que sobran copias?
3. En el proceso de colada continua se producen barras de sección cuadrada (palanquillas) en un
molde, directamente a partir de acero líquido. La colada continua produce un ahorro considerable de
trabajo y energía con respecto a otros procesos menos recientes que producen lingotes con el acero
líquido. (Ver esquema).
El número de fallos por metro lineal de palanquilla viene
caracterizado por una variable aleatoria de media 2.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un tramo de 2 metros de
palanquilla se encuentren no más de 2 fallos?
b) Si se toman 8 tramos diferentes de un metro, ¿cuál es la
probabilidad de que en más de 6 de esos tramos se den 2 o
más fallos?
c) Si la longitud total de una palanquilla es de 8 metros, ¿cuál
es la probabilidad de que haya menos de 10 fallos en toda
la palanquilla?
4.Un equipo electrónico necesita para su funcionamiento un componente cuyo tiempo de vida está
caracterizado por una variable aleatoria exponencial de media 500 horas. Cuando el componente falla
se reemplaza por otro nuevo, operación que se realiza en un tiempo despreciable.
a) Si se dispone de un componente adicional, además del que está instalado en el equipo electrónico,
¿cuál es la probabilidad de que el equipo electrónico funcione ininterrumpidamente (despreciando
el tiempo de cambio) durante más de 1950 horas?
b) Si se dispone de 9 componentes adicionales, además del que está instalado en el equipo
electrónico, ¿cuál es la probabilidad de que el equipo funcione ininterrumpidamente al menos 5950
horas? (De forma exacta contará más que de forma aproximada)
c) ¿Cuál es la probabilidad de que de los 10 componentes anteriores, menos de 3 duren menos de 602
horas?
5. Una mancha de fuel debida a un vertido se encuentra en la situación mostrada en la figura. El
avance diario de la mancha en dirección Este viene caracterizado por una normal N (20,5) , mientras
que el avance diario en dirección Sur viene caracterizado por una normal N (15,10) .
a) ¿Cuál es la probabilidad de que al cabo de
tres días la mancha haya alcanzado la zona
de emergencia de la costa A?
Si tomamos la v.a. bidimensional normal
formada por los avances en ambas direcciones
y con coeficiente de correlación  :
b) Considerando   0 , ¿cuál es la
probabilidad de que la mancha haya
llegado a ambas costas?
c) Considerando   0,2 , ¿cuál es la
probabilidad de que la mancha esté más
cerca de la costa A que de la costa B?
6.Sea (X,Y) una v.a. bidimensional con función de densidad conjunta:
f X ,Y  1 ,
2
 y  x  2  y

 yx2 y
3
1
,Y  )
2
2
b) Calcular f  y x  1 . ¿Qué tipo de variable aleatoria continua es Y X  x  ? ¿y su dominio?
a) Calcular P ( X 
c) Sabiendo que la función de distribución conjunta en el siguiente recinto es:
FX ,Y ( x, y ) 
1
 x  y 2 ,
4
 x  y  0

 y  x 1
1
1

 X  1,  Y  0  utilizando dicha función de distribución.
2
2

Calcular P