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Universidad Alberto Hurtado
Facultad de Economía
Análisis Matemático
Solemne I
Profesor: Marcelo Leseigneur P.
Ayudante: Renzo Lüttges C.
Pregunta 1
Hallar el dominio y recorrido de las siguientes funciones, dibújelas, y estudie su paridad,
imparidad, crecimiento y decrecimiento, acotamiento y periodicidad, máximos y mínimos,
inyectividad y epiyectividad.
f ( x)  x 2  2 x  2
Solución:
f no es par, pues no es simétrica con respecto al eje Y.
f no es impar, pues no es simétrica con respecto al origen.
Los ceros de f son:
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f es decreciente en el intervalo
f es creciente en el intervalo
f es decreciente en el intervalo
.
.
.
f es creciente en el intervalo
f es acotada inferiormente por 0
f es no acotada superiormente.
f es no periódica.
f no posee máximo.
f posee dos mínimos,
f no es inyectiva, basta tomar como contraejemplo
f es epiyectiva para el dominio y recorrido dados.
Solución:
f es par, pues es simétrica con respecto al eje Y.
f no es impar, pues no es simétrica con respecto al origen.
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Los ceros de f son:
f es creciente en el intervalo
f es decreciente en el intervalo
f es acotada superiormente por 4
f es no acotada inferiormente.
f es no periódica.
f posee un máximo en cero:
f no posee mínimos.
f no es inyectiva, basta tomar como contraejemplo
f es epiyectiva para el dominio y recorrido dados.
f ( x)  x  x , donde x  maxz  Z / z  x , es la función cajón.
Solución:
f no es par, pues no es simétrica con respecto al eje Y.
f no es impar, pues no es simétrica con respecto al origen.
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Los ceros de f son infinitos: todos los números enteros son ceros de f.
f es creciente en todos los intervalos de la forma
f es acotada superiormente por 1
f es acotada inferiormente por 0
f es periódica de período fundamental 1, además, todo múltiplo entero de 1 es período de f
f no posee máximos, pues al acercarse al valor 1 se hace discontínua.
f posee infinitos mínimos
f no es inyectiva, basta tomar como contraejemplo
f es epiyectiva para el dominio y recorrido dados.
f ( x) 
4x  3
x 1
Solución:
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f no es par, pues no es simétrica con respecto al eje Y.
f no es impar, pues no es simétrica con respecto al origen.
Los posee un cero en x = -3/4.
f es creciente en los intervalos
y
f no es acotada superiormente.
f no es acotada inferiormente.
f no es periódica.
f no posee máximos ni mínimos.
f es inyectiva.
f es epiyectiva para el dominio y recorrido dados.
Pregunta 2
a. Representar gráficamente las funciones f (x)
y f ( x  1) , tomando como gráfica de
f (x) las siguientes:
b.
c.
Solución:
Hoja Anexa
b. Los costos fijos mensuales de una empresa por la fabricación de x televisores son:
En miles de dólares, y los ingresos mensuales son
¿Cuántos televisores deben fabricarse para que el beneficio (ingresos menos costos) sea
máximo?
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Solución:
c. Considere la función
Determine el dominio de f.
Solución:
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Pregunta 3 [OPCIONAL]
Considere el mercado de un producto, que se encuentra determinado por las siguientes
funciones de oferta y demanda, donde la cantidad está medida en toneladas de producto, y el
precio en pesos:
i.
Indique el dominio de las funciones oferta (S) y demanda (D), de manera que tengan
sentido económico (sin precios negativos). Grafíquelas. Calcule el precio y la cantidad
de equilibrio en este mercado.
Solución:
El dominio de las funciones oferta y demanda corresponde a todos los q en R+ tal que S(q) y
D(q) se encuentren en R+, puesto que sólo tienen sentido las cantidades y precios positivos o
nulos.
Oferta y Demanda v/s Cantidad
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
S
D
0
1
2
3
4
5
6
7
La cantidad y precio de equilibrio se obtienen resolviendo la ecuación S(q) = D(q), en este caso:
De ambas soluciones, la que pertenece al dominio de ambas funciones es q = 2, y la única que
posee sentido económico.
Para esta cantidad, el precio de equilibrio será S(2) = 300 + 40 x 2 = 380.
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Suponga ahora una firma pequeña, cuyo modelo de costos está dado por la función (donde q
se mide en kg de producto y el costo en pesos):
ii.
Encuentre una expresión para el costo medio (el costo de producir cada unidad, dado
que se producen q unidades).
Solución:
iii.
Encuentre la máxima y mínima cantidad que debe producir la firma de modo que el
costo medio no exceda el precio de compra (encontrado en la parte (i) )
Solución:
Se requiere que:
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iv.
Encuentre una expresión para la utilidad de la firma (recuerde que la utilidad se calcula
como ingresos menos costos, suponga que la firma es capaz de vender todo lo que se
produce) Calcule la cantidad qmax para la cual se maximiza la utilidad.
Solución:
v.
Muestre que la función de costo medio encontrada en (ii) posee un mínimo en
, para esto, muestre que la función de costo medio es decreciente en
el intervalo (0, qo ) y creciente en el intervalo (qo, +∞ ).
Solución:
La demostración del crecimiento después de 28,6 es análoga.
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vi.
Concluya justificando la diferencia existente entre la cantidad que minimiza el costo
medio de producción y la cantidad que maximiza las utilidades. ¿Esta última es menor o
mayor? ¿Porqué?
Solución:
En este caso la cantidad producida que minimiza el costo medio es mayor que la que maximiza
la utilidad. Esto se debe a que en competencia perfecta la utilidad se maximiza al igualar el
precio con el costo marginal, y no con el costo medio.
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