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DISEÑO PARCELAS DIVIDIDAS
Este es un diseño experimental combinado que resulta útil cuando al estudiar simultáneamente
varios factores, alguno o algunos de ellos deben ser aplicados sobre unidades experimentales
relativamente grandes, pudiéndose aplicar el otro o los otros en unidades experimentales
menores, dentro de las unidades mayores. El caso más sencillo es aquél en el que se tienen
sólo dos factores, asignando los niveles de uno de ellos a las unidades mayores y los niveles
del otro a las subunidades. A las unidades experimentales mayores suele llamárseles parcelas
grandes o parcelas principales y a las unidades experimentales menores se le llama
subparcelas o subunidades.
Se debe notar que además de que los niveles de los diferentes factores son asignados a
unidades experimentales de diferentes tamaños, está implícito también un número diferente de
repeticiones. El número de repeticiones para el factor asignado a las subunidades es r*a,
siendo r el número de repeticiones del factor asignado a las unidades principales y a su
número de niveles.
El factor correspondiente a las parcelas principales puede asignarse a éstas utilizando
cualquiera de los esquemas de aleatorización básicos: Completamente al Azar, en Bloques al
Azar o en Cuadro Latino. El factor correspondiente a las subparcelas se asigna al azar dentro
de cada parcela principal; en tal sentido, las parcelas principales son análogas a bloques, solo
que por asignarse a éstas los niveles de un efecto fijo y por existir repeticiones de las mismas,
es posible evaluar tanto los efectos principales del factor asignado a las mismas como su
posible interacción con en el otro factor.
En adelante nos concentraremos en el caso más sencillo de un Diseño Parcelas Divididas, es
decir aquél con sólo dos factores. Todos los resultados obtenidos son generalizables a casos
más complejos en los que los tratamientos asignados a las unidades principales, a las
subunidades o a ambas estén comformados a su vez por las combinaciones de los niveles de
dos o más factores.
Supóngase que se quiere realizar un experimento que involucre dos factores: el primero con
tres niveles y el segundo con dos, así:
a
a1
a2
a3
b1
b
b2
Se muestran a continuación posibles esquemas de aleatorización considerando los diseños más
comunes (Parcelas Divididas y otros), suponiendo que ambos factores tienen igual importancia
relativa y que se desean evaluar tanto sus efectos principales como su posible interacción, es
decir, descartando la opción de tomar alguno de éstos como factor de bloqueo. Para facilitar la
ilustración de los posibles esquemas de aleatorización, se considerarán sólo dos repeticiones,
excepto donde el diseño exige tantas repeticiones como tratamientos (Cuadro Latino).
Correa, Guillermo – Parcelas Divididas
2 de 14
1) Diseño Completamente al Azar.
a2b2
a1b1
a3b1
a2b1
a1b2
a3b2
a1b1
a3b1
a2b2
a2b1
a1b2
a3b2
2) Diseño Bloques Completos al Azar.
Bloque I
Bloque II
a1b2
a3b1
a2b2
a1b1
a2b1
a3b2
a1b1
a3b2
a1b2
a2b2
a3b1
a2b1
3) Diseño Cuadro Latino (si el número de combinaciones de tratamientos no es muy alto).
a1b1
a3b2
a2b1
a3b1
a2b2
a1b2
a2b1
a2b2
a3b2
a1b1
a1b2
a3b1
a3b2
a 1b2
a 2b2
a 2b1
a 3b1
a 1b1
a2b2
a3b1
a1b2
a3b2
a1b1
a2b1
a1b2
a1b1
a3b1
a2b2
a2b1
a3b2
a3b1
a2b1
a1b1
a1b2
a3b2
a2b2
4) Diseño Parcelas Divididas con el factor a asignado a las parcelas principales, distribuido
completamente al azar.
b1
b2
a3
a1
b2
b2
b1
b1
a1
a2
b1
b2
b2
b1
a2
a3
b1
b2
Correa, Guillermo – Parcelas Divididas
3 de 14
5) Diseño Parcelas Divididas con el factor a asignado a las Parcelas Principales, distribuido
en Bloques Completos al Azar.
Bloque I
Bloque II
a2
a3
b1
b2
a3
b2
b1
a1
b1
b2
b1
b2
a1
b2
b1
a2
b1
b2
6) Diseño Parcelas Divididas con el factor b asignado a las Parcelas Principales, distribuido
Completamente al Azar.
b1
b2
a2
a3
a1
a2
a1
a3
a1
a3
a2
a3
a2
a1
b2
b1
7) Diseño Parcelas Divididas con el factor b asignado a las Parcelas Principales en Bloques
Completos al Azar.
Bloque I
a1
2 a3
a2
a1
1 a2
a3
Bloque II
a3
1 a2
a1
a2
2 a3
a1
b
b
b
b
Aunque el factor asignado a las parcelas principales podría asignarse a éstas con base en un
esquema de aleatorización de Cuadro Latino, no se ilustra aquí por tratarse de una situación
muy poco común.
Correa, Guillermo – Parcelas Divididas
4 de 14
Es importante aclarar que la igual importancia relativa entre los dos factores a la que se hace
referencia anteriormente tiene que ver básicamente con el hecho de que ninguno de éstos se
tome como factor de bloqueo. Hay que anotar, sin embargo, que sólo bajo los tres primeros
esquemas de aleatorización, los factores son tratados de la misma manera, es decir que son
asignados a unidades del mismo tamaño y cuentan con el mismo número de repeticiones. Esta
situación es diferente en el Diseño Parcelas Divididas, pues dado que el factor asignado a las
subparcelas cuenta con mayor número de repeticiones, sus efectos son estimados con mayor
precisión.
USOS.
1. Cuando uno de los factores, por su naturaleza, exige parcelas relativamente grandes, por
ejemplo, sistemas de labranza, de irrigación, distancias entre surcos, niveles de luz o de
temperatura; mientras que el otro factor permite su aplicación sobre unidades
experimentales más pequeñas como variedades, distancia entre plantas, dosis de
fertilizantes, etc.
2. Cuando en un experimento se toman varias mediciones sobre la misma unidad
experimental a través del tiempo y tales mediciones son independientes, puede
considerarse el conjunto de las mediciones realizadas sobre una misma unidad
experimental como la Unidad Principal, y cada una de las lecturas realizadas en el tiempo
como las subunidades. El análisis es análogo al de un diseño Parcelas Divididas (en el
espacio), por lo que se le designa a este diseño como Parcelas Divididas en el Tiempo.
3. Si luego de iniciado el experimento se desea incluir otro factor —y su naturaleza lo
permite—, pueden dividirse las unidades experimentales y realizar la aleatorización de los
niveles del segundo factor en las subunidades resultantes.
4. Debido a que el factor asignado a las subparcelas cuenta con más repeticiones, los efectos
relacionados con éste se estiman con mayor precisión. Aunque muchos autores relacionan
esta característica como uno de los criterios para escoger un Diseño Parcelas Divididas, se
considera que éste no debería condicionar la escogencia del Diseño y se menciona aquí
más como una consecuencia del uso del mismo, cuando se elija con base en alguno de los
tres primeros criterios.
EJEMPLO.
Se estudió el rendimiento forrajero del ramio en función de diferentes frecuencias de corte y
niveles de fertilizante. Los niveles de fertilizante se asignaron a las parcelas grandes con base
en un diseño de bloques completos al azar (tipos de suelo) con 3 repeticiones; las frecuencias
de corte se asignaron a las subparcelas.
Correa, Guillermo – Parcelas Divididas
Fertilizante (a)
5 de 14
0 kg/ha (a0)
100 kg/ha (a1)
200 kg/ha (a 2)
38 días (b1)
57 días (b2)
76 días (b3)
Frecuencias de corte (b)
A continuación se presenta un posible esquema de aleatorización
Bloque I
b3
b1
b2
Bloque II
b1
b2
b3
Bloque III
b3
b2
b1
b2
b3
b1
b3
b2
b1
b3
b1
b2
b1
b2
b3
b3
b1
b2
b1
b2
b3
La siguiente tabla contiene el rendimiento en kilogramos de forraje verde por parcela,
registrado durante un ciclo de producción de 228 días.
Tratamientos
a0b1
a0b2
a0b3
Y0.k
a1b1
a1b2
a1b3
Y1.k
a2b1
a2b2
a2b3
Y2.k
Y..k
I
78.9
68.1
56.9
203.9
84.3
86.8
73.1
244.2
95.6
97.8
90.3
283.7
731.8
Bloques
II
72.5
66.1
57.1
195.7
99.3
108.9
73.4
281.6
95.2
108.1
121.4
324.7
802.0
III
78.6
69.3
53.9
201.8
72.9
86.6
61.7
221.2
96.9
99.2
97.6
293.7
716.7
Yij.
230.0
203.5
167.9
601.4
256.5
282.3
208.2
747.0
287.7
305.1
309.3
902.1
Y…=2250.5
Con el fin de ilustrar el proceso de análisis, éste se desglosa en dos partes: el análisis de las
Parcelas Principales y el análisis de las Subparcelas. Se inicia con la parte correspondiente a
las Parcelas Principales.
Correa, Guillermo – Parcelas Divididas
6 de 14
Bloque I
Bloque II
Bloque III
a1
a2
a0
a0
a1
a2
a2
a0
a1
Se hacen particiones tanto de las sumas de cuadrados como de los grados de libertad
correspondientes a las parcelas grandes, acorde con el esquema de aleatorización usado para el
factor principal.
Bloques: (r − 1) = 2
A:
(a − 1) = 2
Error a: (r − 1)(a − 1) = 4
Parcelas Grandes
(a * r ) − 1 = 8
Es importante anotar que cuando el factor asignado a las Parcelas Principales se distribuye con
base en un Diseño Completamente al Azar, la suma de cuadrados y los grados de libertad de
las Parcelas Principales se particiona sólo entre el efecto principal del factor a y el Error a.
Totales de las Parcelas Grandes (Combinaciones Bloques*a) (Yi.k)
a0
a1
a2
Y..k
I
203.9
II
195.7
II
201.8
Yi . .
601.4
244.2
281.6
221.2
747.0
283.7
731.8
324.7
802.0
293.7
716.7
902.1
2250.5
Las Parcelas Grandes están conformadas por las combinaciones Bloques*a (por las
combinaciones r*a, en un DCA),
∴ SC (Combinaciones Bloques*a) ≡ SC (Parcelas Grandes)
2
2
Y.
Y ...
SC (PG)= ∑ i k −
b
a *b * r
ik
TC: Término de Corrección.
=
203.9 2 + 195.7 2 + ... + 293.7 2 2250.5 2
−
= 5961.34
3
3 x3 x3
Correa, Guillermo – Parcelas Divididas
∑ Y ..
SC (Bloques)=
∑ Y ..
i
b*r
2
k
k
a *b
− TC =
731.8 2 + 802 2 + 716.7 2
− TC = 460.45
3 x3
2
i
SC (A)=
7 de 14
− TC =
601.4 2 + 747.0 2 + 902.12
− TC = 5025.03
3 x3
SC (Error a)= SC (PG) – SC (Bloques) SC (A) = 475.86
Antes de pasar al análisis de las subparcelas, es importante analizar el esquema completo que
ilustra la forma en que se particionan tanto las sumas de cuadrados como los grados de libertad.
Bloques
(r-1)=2
Parcelas Grandes
(a*r)-1=8
A
(a-1)=2
Error a
(r-1)(a-1)=4
Total
(a*b*r)-1=26
Tratamientos
(a*b-1)=8
B
(b-1)=2
Subparcelas
a*r(b-1)=18
AB
(a-1)(b-1)=4
Error b
a(r-1)(b-1)=12
Se inicia el análisis de las Subparcelas con la partición de las sumas de cuadrados de los
tratamientos.
Totales de las Combinaciones ab (tratamientos) (Yij.)
a0
a1
a2
Y.j.
b1
b2
b3
230
203.5
167.9
256.5
282.3
208.2
287.7
774.2
305.1
790.9
309.3
685.4
Correa, Guillermo – Parcelas Divididas
8 de 14
A
B
AB
Tratamientos
SC (Tratamientos) ≡ SC (Combinaciones ab)
∑Y .
2
ij
SC (combinaciones ab) =
SC (B) =
Y . j.
ij
r
2
∑ a*r
− TC
j
=
− TC =
230 2 + 203.5 2 + ... + 309.3 2
− TC = 6703.07
3
774.2 2 + 790.9 2 + 685.4 2
− TC = 714.62
3 x3
SC (AB) = SC (combinaciones ab) – SC (A) – SC (B) = 963.42
SCT =
∑Y
ijk
2
− TC = 78.9 2 + 72.5 2 + ... + 97.6 2 − TC = 8101.99
ijk
SC (Error b) = SCT – SC (PG) – SC (B) –SC (AB) = 462.61
Tabla resumen del Análisis de Varianza
Fuentes de Variación
Parcelas
Principales
Subparcelas
Bloque
A
Error a
B
AB
Error b
Total
Grados
de
libertad
2
2
4
2
4
12
26
Sumas de
Cuadrados
Cuadrados
Medios
460.45
5025.03
475.86
714.62
963.42
462.61
8101.99
230.225
2512.515
118.965
357.310
240.855
38.550
Estadísticos
F0.05(gln,
gld)
F
1.935
21.119
6.94
9.268
6.247
3.88
3.26
El efecto principal del factor a (A) se evalúa con el Error a; mientras que el efecto principal
del factor b (B) y la interacción AB se evalúan con el Error b.
En caso de tener más de dos factores, las interacciones entre factores asignados a las parcelas
principales se evalúan con el Error a; las interacciones entre factores asignados a las
Correa, Guillermo – Parcelas Divididas
9 de 14
subparcelas o interacciones de éstos con algún factor asignado a las parcelas principales se
evalúan con el Error b.
En este caso, puesto que la interacción resultó significativa el siguiente análisis debería ser la
evaluación de los efectos simples. No obstante, debido a que en este diseño se generan errores
estándar distintos para cada uno de los diferentes grupos de comparaciones, se ilustran las
diferentes posibilidades de comparación de medias.
COMPARACIONES DE MEDIAS.
Los errores estándar que se presentan corresponden a los que se usarían en las pruebas de
Duncan o de Tukey. Si se desea trabajar con las pruebas LSD o Scheffé, deberá duplicarse el
numerador de la expresión dentro del radical.
Sean:
CM (Error a):= Ea
CM (Error b):= Eb
1. Efectos principales del factor a (A):
Corresponde en este caso a la comparación del efecto promedio de los tres niveles de
fertilizante.
SY =
Ea
b*r
=
118.965
=3.64
3 x3
El valor crítico (ALS) para la prueba de Duncan es = rα * SY
p
r0.05(gl Error a=4)
2
3.93
3
4.01
ALS
14.30
14.60
a0
66.82
<
a1
83
a0 − a 2 = 33 .41 > 14 .60
a1 − a 2 = 17 .23 > 14 .30
a0 − a1 = 16 .18 > 14 .30
<
a2
100.23
a2
a1
a0
a
b
c
Correa, Guillermo – Parcelas Divididas
10 de 14
2. Efectos Principales del factor b (B):
Corresponde en este caso a la comparación del efecto promedio de los tres niveles de la
frecuencia de corte.
SY =
Eb
a*r
=
38.55
=2.07
3 x3
El valor crítico (ALS) para la prueba de Duncan es = rα * SY
p
2
3
r0.05(gl Error b=12)
3.082
3.225
ALS
6.38
6.68
b3
<
76.16
b1
b2
<
86.02
b3 − b2 = 11 .72 > 6 .68
b3 − b1 = 9 .86 > 6 .38
b1 − b2 = 1 .86 < 6 .38
87.88
b2
b1
b3
a
a
b
3. Efectos simples del factor b:
Corresponde a comparar los efectos de la frecuencia de corte en cada uno de los niveles de
fertilización.
SY =
Eb
=
r
38.55
=3.58
3
El valor crítico (ALS) para la prueba de Duncan es = rα * SY
p
r0.05(gl error b=12)
2
3.082
3
3.225
ALS
11.03
11.56
Correa, Guillermo – Parcelas Divididas
a0
b1
b2
b3
a1
11 de 14
Comparaciones
Verticales
a2
76.67
a
85.5
a
95.9
a
67.83
a
94.1
a
101.7 a
55.97
b
69.4
b
103.1
a
4. Efectos simples del factor a (Factor asignado a las parcelas principales) y efectos
cruzados1:
Corresponde a comparar los diferentes niveles de fertilización, bien sea en un nivel dado de
frecuencia de corte (efectos simples del factor a) o en diferentes niveles de este factor (efectos
cruzados). Usualmente son de mayor interés los efectos simples que los efectos cruzados.
S __ =
y
Ea + (b − 1) * Eb
118.97 + (3 − 1) x38.55
=
= 4.67
b*r
3 x3
Los grados de libertad se aproximan usando la fórmula de Satterthwaite, así:
ν≅
[(b − 1) Eb + Ea]2
[(b − 1) Eb]2 + [Ea]2
glEb
glEa
=
[(3 − 1) x38.55 + 118.97]2
[(3 − 1) x38.55]2 + [118.97]2
12
= 9.53 .
4
Si se quiere aplicar una prueba cuyos valores deban obtenerse en tablas, deberá aproximarse el
valor de los grados de libertad al entero más cercano. Si se cuenta con una aplicación, como
Statcalc® o SAS®, que permita obtener valores de algunas distribuciones con grados de
libertad no enteros, podrá aplicarse la prueba DMS (LSD) o Scheffé usando el valor exacto de
los grados de libertad obtenidos mediante la aproximación de Satterthwaite.
Si se quiere proteger contra el error tipo I al momento de realizar la aproximación, deberá
usarse la función “mayor entero contenido en”, es decir, aproximar al entero inferior.
Siguiendo esta última recomendación, se obtendrían los valores críticos para la prueba de
Duncan con 9 grados de libertad, así: ALS = rα(9 g. l.) * SY
p
r0.05(9 g. l.)
2
3.20
3
3.34
ALS (Valor Crítico)
14.95
15.60
1
Los efectos cruzados consisten en comparaciones entre dos combinaciones de tratamientos, donde difieren
todos los niveles de los factores involucrados, por ejemplo, a0b1 vs. a2b2.
Correa, Guillermo – Parcelas Divididas
a0
b1
b2
b3
a1
12 de 14
a2
76.67
b
85.5
ab
95.9
a
67.83
b
94.1
a
101.7 a
55.97
b
69.4
b
103.1
a
Comparaciones Horizontales
ANÁLISIS EN SAS.
Se usan los procedimientos GLM y MIXED. El GLM tiene la ventaja de presentar los
resultados en un formato más familiar. La tabla resumen del Análisis de varianza incluye
todos sus componentes (fuentes de variación, grados de libertad, sumas de cuadrados,
cuadrados medios, valores F y valores p), indicando cuál es el término del error usado en cada
caso.
Para la evaluación de los efectos principales se pueden usar diversas pruebas, entre ellas la de
Duncan –no disponible en el PROC MIXED.
El PROC GLM tiene, sin embargo, la gran desventaja de que los errores estándar estimados
para la evaluación de los efectos simples del factor a (el factor asignado a las parcelas
principales) son incorrectos, por lo que tales pruebas carecen de validez.
DATA Ramio;
INPUT a$ b$ @;
DO Bloques=1 to 3;
INPUT Peso@;
OUTPUT;
END;
DATALINES;
a0 b1 78.9 72.5
78.6
a0 b2 68.1 66.1
69.3
a0 b3 56.9 57.1
53.9
a1 b1 84.3 99.3
72.9
a1 b2 86.8 108.9 86.6
a1 b3 73.1 73.4
61.7
a2 b1 95.6 95.2
96.9
a2 b2 97.8 108.1 99.2
a2 b3 90.3 121.4 97.6
;
PROC GLM;
CLASS Bloques A B;
MODEL Peso=Bloques A Bloques(A) B A*B/NOUNI;
RANDOM Bloques(A)/TEST;
MEANS A/DUNCAN E=Bloques(A);
MEANS B/DUNCAN;
LSMEANS A*B/PDIFF;
RUN;
Correa, Guillermo – Parcelas Divididas
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Nótese que el Error a se estima con base en la expresión: “Bloques(A)”. En caso de que el
factor correspondiente a las Parcelas Principales se haya asignado completamente al azar, este
error se estimará con base en la expresión R(A), siendo R las repeticiones. Bastará, pues, con
cambiar Bloques(A) por R(A) en todas las expresiones en las que aparezca y eliminar
Bloques en el estamento MODEL, realizando las adecuaciones del caso en el paso DATA.
Para la evaluación de los efectos principales pueden usarse en el estamento MEANS las
opciones LSD, DUNCAN, TUKEY, SCHEFFE y DUNNETT, entre otras.
No está de más insistir en el hecho de que las comparaciones generadas por el estamento
LSMEANS sólo son adecuadas para los efectos simples del factor b. El error estándar
estimado para los efectos simples del factor a es inadecuado, por lo que la evaluación de éstos
no es correcta.
Para la evaluación de los efectos simples, el procedimiento usa por defecto la prueba t.
La opción PDIFF genera los valores p de todas las comparaciones por pares de medias. Se
contrasta el siguiente juego de hipótesis:
H0: µij = µ(ij)’
Ha: µij ≠
µ(ij)’
La salidas contienen los valores p de todas las posibles comparaciones entre pares de medias.
Se deberán analizar aquellas que corresponden a los efectos simples de interés. Si el valor p es
menor o igual que el nivel de significancia preestablecido (usualmente 0.05), se rechaza H0, y
se declara, con probabilidad de error igual a valor p, que hay diferencia entre las medias de los
dos tratamientos comparados.
a
b
a0
a0
a0
a1
a1
a1
a2
a2
a2
b1
b2
b3
b1
b2
b3
b1
b2
b3
Peso LSMEAN
LSMEAN
Number
76.666667
67.833333
55.966667
85.500000
94.100000
69.400000
95.900000
101.700000
103.100000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Correa, Guillermo – Parcelas Divididas
14 de 14
Least Squares Means for effect a*b
Pr > |t| for H0: LSMean(i)=LSMean(j)
Dependent Variable: Peso
i/j
1
2
3
4
5
6
1
0.1070
0.0015
0.1070
0.0049
0.1773
2
3
4
5
0.1070
0.0015
0.0373
0.1070
0.0045
<.0001
0.0049
0.0002
<.0001
0.1156
0.0373
0.0045
0.0002
0.7626
<.0001
<.0001
0.0212
0.1156
0.0080
0.0004
La comparación de los efectos simples de b en a0 consiste en comparar las medias 1, 2 y 3
acorde con el número asignado a cada una de las combinaciones de tratamientos (LSMEAN
Number de la página anterior). El valor p de comparar b1 contra b3 en a0 es 0.0015, lo cual
significa que tal diferencia es estadísticamente significativa, a favor de b1 (76.67 vs. 55.97).
La evaluación de los efectos simples de a en cada uno de los niveles de b no debe hacerse,
pues como ya se dijo, el error estándar estimado para dichos efectos simples es inadecuado,
por lo que la evaluación de éstos debe obtenerse con base en el procedimiento MIXED, que
aunque genera los resultados en un formato menos familiar estima errores estándar adecuados
para todas las comparaciones. La parte central del procedimiento se muestra a continuación.
PROC MIXED;
CLASS Bloques A B;
MODEL PESO=A B A*B/DDFM=SATTERTH;
RANDOM Bloques Bloques(A);
LSMEANS A B A*B/PDIFF;
RUN;
Nótese que en el estamento RANDOM del procedimiento MIXED se declaran todos los
efectos aleatorios, mientras que en el estamento MODEL se incluyen solamente los efectos
fijos. Se aclara que el factor bloques usualmente es aleatorio. Es importante resaltar que el
procedimiento MIXED calcula los errores estándar correspondientes a diferencias de medias,
es decir los que se usarían con las pruebas de t o de Scheffé. Si se quisieran realizar
comparaciones manuales de medias con las pruebas de Duncan o de Tukey, con base en los
errores estándar generados por el PROC MIXED, deberán usarse los siguientes errores:
S _ (Duncan o Tukey) =
Y
⎡ S ( MIXED)⎤
⎢⎣ Y_
⎥⎦
2
2
A manera de resumen, se sugiere iniciar los análisis para este tipo de diseño con base en el
PROC GLM. Si la interacción no es significativa, bastará con evaluar los efectos principales
que sean del caso, con base en el mismo procedimiento, usando el estamento MEANS. En
caso de que la interacción resulte significativa, será necesario complementar el análisis con el
PROC MIXED, para la evaluación de los efectos simples.