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09 – Losas gruesas
Teoría de Reissner-Mindlin
Diego Andrés Alvarez Marín
Profesor Asociado
Universidad Nacional de Colombia
Sede Manizales
1
Tabla de Contenido
●
Hipótesis fundamentales
●
Formulación de elementos finitos
●
Bloqueo por cortante
●
Técnicas de integración reducida
●
Técnicas de imposición del campo de
deformación
2
Introducción
●
●
Elementos laminares delgados
–
Losas o placas (son elementos planos)
–
Láminas de superficie curva
Losas:
–
Losas delgadas: teoría de Kirchhoff t/L < 0.1
–
Losas gruesas (y delgadas): teoría de ReissnerMindlin t/L < 0.25
3
Algunas definiciones
●
●
Placa: sólido paralelepípedo en el que una de
sus dimensiones (espesor t) es mucho más
pequeña que las otras dos.
Plano medio de la placa: superficie plana
equidistante de las caras mayores de la placa
4
Teoría de Kirchhoff vs Teoría de
Reissner-Mindlin
La teoría de Kirchhoff asume que las secciones
ortogonales y planas al plano medio de la placa se
mantienen planas y ortogonales después de la
deformación de la placa. La teoría de RM asume que se
mantienen planas pero NO ortogonales después de la
deformación.
Kirchhoff:
Reissner-Mindlin:
5
Hipótesis fundamentales de la
teoría de Kirchhoff
●
●
●
●
Los puntos del plano medio solo se desplazan
verticalmente u = v = 0
Todos los puntos contenidos en una normal al plano
medio tienen el mismo desplazamiento vertical
El esfuerzo normal σz es despreciable (al compararlo
con respecto a σx y σy)
Las secciones ortogonales y planas al plano medio
de la placa se mantienen planas y ortogonales
después de la deformación de la placa.
6
Hipótesis fundamentales de la
teoría de Reissner-Mindlin
●
●
●
●
Los puntos del plano medio solo se desplazan
verticalmente u = v = 0
Todos los puntos contenidos en una normal al plano
medio tienen el mismo desplazamiento vertical
El esfuerzo normal σz es despreciable (al compararlo
con respecto a σx y σy)
Las secciones ortogonales y planas al plano medio
de la placa se mantienen planas pero no
necesariamente ortogonales a esta después de la
Esta hipótesis hace posible
deformación de la placa.
el cálculo de deformaciones
angulares de una forma más
natural que la empleada por
la teoría de Kirchhoff.
7
Campos vectoriales de
desplazamiento y movimientos
Convención de signos, ejes de
coordenadas y desplazamientos
Vector de movimientos (contiene los desplazamientos de un punto del plano medio de
la placa y los y giros “promedios” de la placa).
8
Campo vectorial de movimientos
9
Campo vectorial de
desplazamientos
10
Campo vectorial de deformaciones
Observe que el valor de estas
deformaciones angulares es constante en
el espesor e independiente de z
vector de deformaciones
debidas a efectos de flexión
vector de deformaciones
debidas a efectos de cortante
11
transversal
Campos de deformaciones
vector de deformaciones
generalizadas debidas a
efectos de flexión
vector de deformaciones
generalizadas debidas a
efectos de cortante
transversal
12
Campo de
esfuerzos
Observe que
aquí no se está
teniendo en
cuenta σz ya que
según la tercera
hipótesis su valor
es despreciable.
vector de esfuerzos debidos
a efectos de flexión
vector de esfuerzos debidos
13
a efectos de cortante
transversal
Ley de Hooke
(relación esfuerzos-deformaciones)
Esta es la misma matriz
constitutiva utilizada en
tensión plana y en la teoría de
Kirchhoff
14
15
16
Vector de momentos
(vector de esfuerzos generalizados)
Recuerde que
son momentos
y fuerzas por
unidad de
longitud
Vector de momentos
flectores y
momentos torsores
Vector de fuerzas
cortantes
17
matriz constitutiva
generalizada de flexión
matriz constitutiva
generalizada de cortante
18
vector de deformaciones
generalizadas debidas a
efectos de flexión
vector de deformaciones
generalizadas debidas a
efectos de cortante
transversal
La relación entre esfuerzos y deformaciones generalizadas es
entonces:
19
Principio de los trabajos virtuales
20
Principio de los trabajos virtuales
21
Formulación de elementos finitos
●
●
Dificultades encontradas con los EFs de Kirchhoff (requieren
elementos con continuidad C 1):
–
Formas rectangulares:
conformes
no
isoparamétrico,
–
Formas triangulares: elementos no conformes
elementos
no
Veremos que los EFs de RM, al utilizar elementos con
continuidad C0 solucionan los problemas anteriores de no
conformidad de los EFs de Kirchhoff; sin embargo, se debe
solucionar el problema de “bloqueo por cortante” para losas
muy delgadas.
22
Formulación de elementos finitos
Considerando un elemento isoparamétrico de n nodos de
clase C0 se tiene que el campo vectorial de movimientos se
interpola como:
matriz de
funciones de forma
vector de movimientos
del elemento
23
Ejemplo del elemento finito
rectangular bilineal de 4 nodos
Tenemos por lo tanto tres grados de libertad por nodo
24
Discretización del campo de
deformaciones generalizadas
Matriz de deformación
generalizada del elemento
25
Formulación para el elemento
Aquí se meterían los momentos concentrados
26
Formulación general del elemento
Se tiene entonces que:
PREGUNTA: como se tendrían en cuenta los momentos distribuidos de borde?
RESPUESTA: usando una integral de contorno (recuerde que se expresan por
27
unidad de longitud)
Obtención de la matriz de rigidez
del elemento
Matriz de rigidez por flexión
Matriz de rigidez por cortante
28
Condiciones de contorno
29
Bloqueo de la solución
Métodos para evitar el bloqueo de la
solución
1.Métodos de integración reducida y selectiva:
son métodos que subintegran la matriz Kc.
2.Métodos que utilizan campos de deformación
por cortante impuestos.
3.Métodos basados en “linked extrapolations”.
Integración con cuadraturas de GaussLegendre y singularidad de la matriz K
Singularidad de la matriz de rigidez
Cuando K es singular se tiene que j-kp>0. Esta
es una condición necesaria pero no suficiente.
Si j-kp>0, muy probablemente K es singular
Si j-kp≤0, K es invertible
El criterio j-kp>0 es aplicable a cualquier tipo de
elemento finito y también es aplicable a la
estructura en su totalidad. Es aplicable
individualmente a la matriz K, a la matriz Kf o a la
matriz Kc.
Puntos de integración de Gauss-Legendre
Ejemplo:
subintegrando Kf
Num #gld/nodo
nodos
En este caso en
particular se debe
usar la estrategia de
integración c, para
subintegrar la matriz
Kf
#gdl
restringidos
El criterio j-pk>0
es aplicable a
cualquier tipo de
elemento finito y
también
es
aplicable a la
estructura en su
totalidad.
29 nodos
j = 29x2 – 3 = 55 gdl libres
k = 3 componentes deformación (ex, ey, gxy)
p = 6 (puntos de integración)
j – kp = 55 – 3x6 = 27 > 0 (Kdd es singular)
29 nodos
j = 29x2 – 3 = 55 gdl libres
k = 3 componentes deformación (ex, ey, gxy)
p = 24 (puntos de integración)
j – kp = 55 – 3x24 = -17 > 0 (Kdd es invertible)
plate
Reissner-Mindlin plate elements
Kirchhoff
plate
La técnica de integración reducida
Definición de términos
Mecanismos introducidos por la
integración reducida
42
43
Mecanismos introducidos por la
integración selectiva/reducida
●
●
●
Introducen modos de energía nula diferentes a
los de sólido rígido
Algunos de dichos modos mecanismos son
propagables.
El que un mecanismo sea propagable o no
depende de la compatibilidad entre elementos
y de las condiciones de apoyo.
44
Elementos de placa de RM
cuadriláteros basados en técnicas
de integración selectiva/reducida
●
Bilineal de 4 nodos CL4
●
Cuadrático serendípito de 8 nodos CS8
●
Cuadrático lagrangiano (bicuadrático) de 9
nodos CL9
●
Elemento de 9 nodos jerárquico 9J
●
Elemento de 9 nodos jerárquico 9JG
●
Elemento de 9 nodos heterosis 9H
45
46
47
48
Elemento bilineal de 4 nodos CL4
Integración
IC
Cuadratura Kf
Cuadratura Kc
Modos de
energía nula
Completa Selectiva Reducida
-5
2x2
1
2x2
1
1x1
2x2
1x1
1x1
3
5
7
Utiliza las funciones de forma del elemento 2D
rectangular isoparamétrico de cuatro nodos. Los
momentos/cortantes en este elemento se
calculan en los puntos de integración de GL 1x1.
● Tiene cuatro mecanismos internos propagables
que pueden afectar la solución (se muestran en
49
la siguiente diapositiva):
●
por lo que es no propagable
Elemento CL4. Mecanismos inducidos por la integración reducida (1,
50
2, 3 y 4) y selectiva (sólo 1 y 2).
Elem. serendípito de 8 nodos CS8
Integración
IC
Cuadratura Kf
Cuadratura Kc
Modos de
energía nula
●
●
●
Completa Selectiva Reducida
-9
3x3
1
3x3
1
2x2
3x3
2x2
2x2
3
3
4
Con integración selectiva, el elemento carece de mecanismos
internos propagables, pero a pesar de la integración reducida el
elemento se bloquea. Con integración reducida, el elemento
tiene un mecanismo no propagable.
Funciona bien para placas gruesas pero no para placas
delgadas, ya que a pesar de la integración reducida, el elemento
sigue bloqueándose.
Los momentos/cortantes en este elemento se calculan en los
puntos de integración de GL 2x2.
51
Elemento lagrangiano (o
bicuadrático) de 9 nodos CL9
Integración
Completa
IC
-6
Cuadratura Kf
3x3
Cuadratura Kc
3x3
Modos de
3
energía nula
●
●
Selectiva Reducida
4
3x3
4
2x2
2x2
2x2
4
7
Se comporta bien con placas moderadamente delgadas. Sin
embargo, tanto con integración selectiva/reducida se presentan
mecanismos internos propagables.
Los momentos/cortantes en este elemento se calculan en los
puntos de integración de GL 2x2.
52
Elem. de 9 nodos jerárquico 9J
Integración
Completa
IC
-8
Cuadratura Kf
3x3
Cuadratura Kc
3x3
Modos de
3
energía nula
●
Selectiva Reducida
2
3x3
2
2x2
2x2
2x2
3
4
Los momentos/cortantes en este elemento se calculan en los
puntos de integración de GL 2x2.
53
Elem. de 9 nodos jerárquico 9JG
Integración
Completa
IC
-6
Cuadratura Kf
3x3
Cuadratura Kc
3x3
Modos de
3
energía nula
●
Selectiva Reducida
4
3x3
4
2x2
2x2
2x2
3
4
Los momentos/cortantes en este elemento se calculan en los
puntos de integración de GL 2x2.
54
Elem. de 9 nodos heterosis 9H
Integración
Completa
IC
-7
Cuadratura Kf
3x3
Cuadratura Kc
3x3
Modos de
energía nula
●
●
3
Selectiva Reducida
3
3x3
3
2x2
2x2
2x2
3
6
En genética se conoce como heterosis el proceso por el cual se
obtienen "mejores" individuos por la combinación de las virtudes
de sus padres.
Los momentos/cortantes en este elemento se calculan en los
puntos de integración de GL 2x2.
55
Elem. de 9 nodos heterosis 9H
Integración
Completa
IC
-7
Cuadratura Kf
3x3
Cuadratura Kc
3x3
Modos de
energía nula
3
Selectiva Reducida
3
3x3
3
2x2
2x2
2x2
3
6
Con integración selectiva no se tienen
mecanismos internos, y funciona muy bien para el
análisis de placas gruesas y delgadas.
Sin embargo, solo satisface el criterio de parcela
en formas rectangulares y paralelográmicas.
56
57
Técnicas de deformación de
cortante impuesta
58