Download Guía 10° Mate Básica _Aplicación de las derivadas

Profesor: Víctor Manuel Reyes Feest
Asignatura: Matemática Básica
Primer semestre 2011
GUÍA DE APRENDIZAJE
N° 10
Contenido:
Derivadas y su aplicación.
I.-Resuelve los problemas aplicando derivadas.
1. Se hace un cultivo aislado, con esporas de pan en un medio favorable para su proliferación, y el número
de esporas en “‫ ”ݔ‬horas esta dado por la siguiente función:
݂ሺ‫ݔ‬ሻ = −600‫ ݔ‬ଶ + 900‫ ݔ‬+ 1500
a. ¿Qué se puede concluir con respecto a la razón de cambio entre el inicio del cultivo y los 45
minutos siguientes?
2. Supone que el número (aproximado) de bacterias en un cultivo en un tiempo “‫( ”ݐ‬medido en horas) está
dado por:
ܰሺ‫ݐ‬ሻ = 5000 + 3000‫ ݐ‬− 2000‫ ݐ‬ଶ
a. ¿Cuál es la razón de cambio al inicio del cultivo y 2 horas después? A partir de estos resultados
¿Qué interpretación se puede efectuar en el contexto del problema?
3. Una población es atacada por un cierto virus que produce gripe. A partir del instante en que se detectó,
se tomaron medidas para controlarlo. La ecuación que permite calcular el número de personas enfermas
es:
݂ሺ‫ݐ‬ሻ = −‫ ݐ‬ଶ + 6‫ ݐ‬+ 27, ‫ ݐ‬en días.
ܿ‫ݏ݋݀ܽ݅݃ܽݐ݊݋‬ൗ
݀íܽ se puede determinar
que la propagación del virus ha sido controlada. ¿en que instante se produce dicho control de la
situación?
a. Se establece que cuando la tasa de contagio es de 2,6
4. Suponga que el peso en gramos de un tumor cerebral, en el tiempo ‫ݐ‬, está dado por ‫ = ݕ‬−0,2‫ ݐ‬ଶ + 4,8‫ݐ‬,
donde ‫ ݐ‬está medido en semanas.
a. El control del avance del tumor involucra que el esquema convencional debe modificar el
௚௥௦
tratamiento por uno no tan invasivo cuando la razón de cambio del tumor sea entre los 2,4
y
0
௚௥௦
௛௥
௛௥
¿En qué rango de tiempo ocurre esta modificación en el esquema?
Guía N° 10; Derivadas y su aplicación.
1
Profesor: Víctor Manuel Reyes Feest
Asignatura: Matemática Básica
Primer semestre 2011
5. Al nacer un bebé perderá peso normalmente durante unos pocos días, después comenzará a ganarlos.
Un modelo para el peso medio de los bebés durante las 2 primeras semanas de vida es:
ܲሺ‫ݐ‬ሻ = 0,015‫ ݐ‬ଶ – 0,18‫ ݐ‬+ 3,3 ,
con ‫ ݐ‬medido en días
a. Indica los ragos de tiempo donde se pueda observar un incremento de peso negativo y el
incremento positivo.
6. En una reacción química la cantidad ܳ (en gramos) de una sustancia producida en ‫ ݐ‬horas viene dada
por:
ܳሺ‫ݐ‬ሻ = 16‫ – ݐ‬4‫ ݐ‬ଶ ;
0 < ‫ ≤ ݐ‬2 (‫ ݐ‬en horas)
a. Cuando el incremento o razón de cambio de la sustancia es mayor ?
7. En cierta parte de la médula ósea roja, cuando el organismo no posee los suficientes anticuerpos, el
crecimiento de población de los elementos figurados que ahí se forman en función del tiempo transcurrido
en minutos está calculado por:
݂ሺ‫ݐ‬ሻ = 3200‫ ݐ‬ଷ + 77‫ ݐ‬ଶ
a.
8.
donde
0 ≤ ‫ ≤ ݐ‬10
¿Como es la razón de cambio de la producción de anticuerpos al inicio, a los 5 minutos y al final de la
reacción?
La siguiente ecuación muestra la cantidad de metano producido por descomposición bacteriana en el intestino grueso
‫ܩ‬ሺℎሻ = −ℎଷ + 4ℎଶ + 3, donde ‫ܩ‬ሺℎሻ mide la cantidad de gas producido en centímetros cúbicos y ℎ las horas desde 0 a
6.
a. ¿En que instante se alcanza la producción máxima de gas?
b. ¿Cuál es la cantidad máxima de gas producido?
9. Una epidemia está propagándose a través de una ciudad de un país. Las autoridades sanitarias estiman
que el número de personas que contraerán la epidemia es una función del tiempo transcurrido, meses,
desde que se descubrió la epidemia. La función está dada por
݂ሺ‫ݐ‬ሻ = −0,0926‫ ݐ‬ଷ + 1,2488‫ ݐ‬ଶ − 3,9015‫ ݔ‬+ 14,282,
donde ݂ሺ‫ݐ‬ሻ es el número de personas enfermas en miles y 0 ≤ ‫ ≤ ݐ‬11.
a. ¿En que instante se produce el máximo de contagio?
b. ¿Cuál es el número máximo de personas que se contagian?
Guía N° 10; Derivadas y su aplicación.
2
Profesor: Víctor Manuel Reyes Feest
Asignatura: Matemática Básica
Primer semestre 2011
10. En una población se está transmitiendo una infección estomacal por bacterias la que se determina a
través de la función: ‫݌‬ሺ‫ݐ‬ሻ =
ହ଴଴଴௧
,
௧ మ ାଵ଴଴
la que señala el número de personas infectadas ‫ ݐ‬días después del
comienzo de la epidemia.
a. ¿Cuanto es el número de personas infectadas después de 5 días?
b. ¿Después de cuantos días el número de infectados es 50 personas?
c.
¿Como es la tasa de infección en la población en los puntos calculados en la letra b? Analiza y
compara.
d. ¿Cuando la infección es máxima?
e. En el largo plazo ¿qué número de personas deberían estar infectadas por bacterias?
11. La cantidad de miligramos ‫ܥ‬, de cierto producto químico en la sangre, ‫ ݐ‬horas después de ser inyectado
ଷ௧
en el tejido muscular es ܿሺ‫ݐ‬ሻ =
, donde 0 ≤ ‫ ≤ ݐ‬24.
ଶ଻ା௧ య
a. Señala cuando y cual es la concentración máxima del producto químico en la sangre.
12. El desarrollo de cierta epidemia se caracteriza por tener un comportamiento dado por la función:
݂ሺ‫ݐ‬ሻ =
250
1 + ݁ ିଶ௧
que representa la cantidad de personas que adquieren la enfermedad en un tiempo ‫ ݐ‬medido en
semanas.
a.
¿Cuántas personas están contagiadas al comienzo de la epidemia?
b.
¿Qué nos indica el valor lim௧→ஶ ݂ሺ‫ݐ‬ሻ con respecto a la cantidad de personas contagiadas?
c.
Compara el incremento de personas que adquieren la epidemia al tiempo 1 semana y luego de 3
meses.
Guía N° 10; Derivadas y su aplicación.
3
Profesor: Víctor Manuel Reyes Feest
Asignatura: Matemática Básica
Primer semestre 2011
13. El incremento de la población de una bacteria en el oído se determina según la función ܰሺ‫ݐ‬ሻ = 120݁ ଴,଴ଶ௧ ,
donde ‫ ݐ‬representa el tiempo en horas.
a. Determina la cantidad de bacterias en el oído al inicio de la observación y despues de 1 día
b. Usando derivadas compara la razón de cambio o incremento de la población por unidad de
tiempo en los tiempos analizados en el punto anterior (al inicio y 1 después de un día). Interpreta.
c.
En el largo plazo ¿Qué cantidad de bacterias sería posible de encontrar?
14. Un biólogo realizó un experimento sobre la cantidad de individuos en una población de paramecium en un
medio nutritivo y obtuvo el modelo:
݃ሺ‫ݐ‬ሻ = ln ሺ‫ ݐ‬ଶ − 2‫ ݐ‬+ 5ሻ
donde ‫ ݐ‬se mide en días y ݃ሺ‫ݐ‬ሻ es el número de individuos en el cultivo en miles.
a.
Indica e interpreta en el contexto del problema el punto crítico de la función.
b.
¿Qué cantidad es la población de paramecium es posible de encontrar en el largo plazo?
Guía N° 10; Derivadas y su aplicación.
4
Profesor: Víctor Manuel Reyes Feest
Asignatura: Matemática Básica
Primer semestre 2011
RESPUESTAS
1.
a. La razón de cambio al inicio es de 900
esporas/hr y a los 45 minutos es 0 esporas/hr. Lo
que se puede interpretar que hasta el minuto 45
la población deja de su tendencia de incremento y
la población empieza a decrecer.
3.
a. La situación se considera controlada al tiempo
1,7 dias
5.
a. Tiempo en que el crecimiento es negativo de los
0 a los 6 días, a partir de ese momento el peso
del bebe comienza a crecer.
b. 2,76 kilos
7.
a. La razón de cambio al inicio es de 0 EF
(elementos figurados)/hr. A los 5 minutos es de
240770 EF/hr y a los 10 minutos es de 961540
EF/hr
9.
a. Aproximadamente al 7° mes.
b. Aproximadamente 17000 personas
11.
a. Se produce al tiempo 2,38 horas y una cantidad
de 0,17 miligramos.
13.
a. Al inicio la población es de 120 bacterias y
despues de 1 día 193.
b. Al inicio el incremento de la población es a razón
de 2,45 bacterias/hr y después de 24 horas el
incremento es a razón de 3,88 bacterias/hr.
c. La población a largo plazo tiende al infinito
Guía N° 10; Derivadas y su aplicación.
2.
a. Razón de cambio al inicio es de 300 baterias/hr
y 2 horas despuésla población esta en pleno
decrecimiento a razón de -5000 bacterias/hr.
4.
a. Entre la semana 6 y la 10° semana del
tratamiento (en la décima semana el tamaño del
tumor empieza a decrecer).
6.
a. Al inicio de la reacción con una velocidad de 16
grs/hr.
8.
a. 2,667 horas
b. 12,48 centímetros cúbicos.
10.
a. 200 personas.
b. La inección alcanza las 50 personas en los dias
1,02 y 98,98.
c. Al día 1,02 la tasa de incremento se da a una
razón de 50 personas/día y al día 98,98 la razón
es de -0,49 (lo anterior indica que cerca del día
100 se produce un decrecimiento.
d. A los 10 días y el máximo de personas
infectadas es de 250.
e. Tiende a ser 0 personas contagiadas.
12.
a. 125 personas.
b. 250 personas.
c. La primera semana el incremento es de 52,5
personas/día y a los 3 meses (12 semanas) el
-6
incremento es de 7,6x10 , lo que señala que a
ese plazo el incremento es marginal.
14.
a. El punto crítico se determina calculando la
derivada de la función e igualandola a 0, de esta
forma se concluye que esto sucede al cabo de 1
día y que la población es de 1386 individuos.
b. Matemáticamente la función puede tender al
infinito, sin embargo dentro del contexto del
problema es evidente que un cultivo con fines de
investigación no se puede desarrollar
infinitamente, por lo tanto el límite esta dado por
la cantidad de dias que puede tenderse el
cultivo, ¿1 año? puede parecer razonable asi
como también 6 meses por ejemplo por señalar
un plazo.
5