Download Enunciado y Proposicion

INTRODUCCIÓN, LÓGICA Y COMPUTACIÓN
La lógica es el estudio de los principios y técnicas de razonamiento. Se originó con los
antiguos griegos, liderados por el filósofo Aristóteles (Fig. 1), que es a menudo
llamado el padre de la lógica. Sin embargo, no fue hasta el siglo 17 que los símbolos se
utilizaron en el desarrollo de la lógica. El filósofo y matemático alemán Gottfried
Leibniz introdujo el simbolismo en la lógica.
Fig. 1
Sin embargo, ningún tipo de contribución significativa se realizó en la lógica
simbólica hasta las de George Boole (Fig. 2), un matemático Inglés. A la edad de
39 años, Boole publicó su destacada labor en la lógica simbólica, una
investigación de las leyes del pensamiento.
Fig. 2
La lógica juega un papel central en el desarrollo de cada área de aprendizaje, especialmente en
matemáticas y ciencias de la computación. Científicos de la computación, por ejemplo, emplean la
lógica para desarrollar lenguajes de programación y para establecer la exactitud de los programas. Los
ingenieros electrónicos aplicar la lógica en el diseño de chips de computadora.
Esta sección presenta los fundamentos de la lógica, sus símbolos, y las reglas que le ayudarán a pensar
de manera sistemática, para expresarse en términos precisos y concisos, y para que los argumentos
válidos.
ENUNCIADOS Y PROPOSICIONES
Enunciado. Se llama enunciado a toda frase u oración. Algunos enunciados son mandatos o
interrogaciones o son expresiones de emoción; otros en cambio son afirmaciones o negaciones que
tienen la característica de ser verdadero o falso.
Ejemplos:
a. ¡Vaya Rápido!
b. Prohibido hacer ruido.
c. ¿Dónde vive?
d. x+4>2
e.
f. Dos más tres es igual a cinco.
g. 3+6=8
Proposición. Se llama proposición a todo enunciado que tiene la cualidad de ser verdadero ( ) o de ser
Falso ( ), pero nunca puede ser y a la vez.
Ejemplos:
a. Sócrates fue un filósofo griego.
b. Dos más tres es igual a cinco.
c. 3+6=8
d. Si
, entonces
.
Notación. Se denotará a las proposiciones con letras minúsculas:
Si son muchas proposiciones, se usarán subíndices, tales como:
Valor de verdad. Se llama valor de verdad a la verdad ( ) o falsedad ( ) de una proposición, el valor de
verdad de una proposición se notará por:
Ejemplos:
: Sócrates fue un filósofo griego.
: Dos más tres, es igual cinco.
: Cinco es diferente de cero.
: Cuatro multiplicado por tres, es igual doce.
: 8 es un número par.
EJERCICIOS 1
1. Determinar si cada uno de los siguientes enunciados es una proposición y encuentra el valor de verdad
de cada proposición.
a. La tierra es plana.
b. Toronto es la capital de Canadá.
c. ¡Qué bonito día!
d. Pase por favor.
e.
es un número entero.
f. Quince es un número par.
g. ¿Qué hora es?
CONECTIVOS LÓGICOS.
Son elementos que sirven de enlace entre las proposiciones, para formar otra, denominada
proposición molecular.
Ejemplos:
2 es mayor -2 o -2 es mayor a -4
3 es impar y 6 es un número impar
Conectivo
Negación
Conjunción
Disyunción
Condicional
Bicondicional
Expresión en el
lenguaje natural
Ejemplo
no
No está lloviendo.
y
Está lloviendo y está nublado.
o
Está lloviendo o está soleado.
si... entonces
si y sólo si
Si está soleado, entonces es de día.
Está nublado si y sólo si hay nubes visibles.
Símbolo
PROPOSICIONES LÓGICAS.
a. Proposiciones simples o atómicas
Es una proposición que no contiene ningún conectivo lógico.
Ejemplos:
i. es un número par.
ii.
iii.
iv.
b. Proposiciones compuestas o moleculares
Es una proposición que contiene al menos un conectivo lógico.
Ejemplos:
i. es un número par y 3 es un número impar.
ii.
o
iii.
iv.
TABLAS DE VERDAD
Son un instrumento empleado en la lógica proposicional, para indicar las diferentes interpretaciones
de una fórmula y el resultado de las mismas. Representan de manera gráfica todas las posibles
combinaciones de los valores de verdad que se formen de las proposiciones.
Sus valores pueden ser V (verdadero) o F (falso), 1 (encendido) o 0 (apagado), para saber cuántas filas
deben utilizarse se aplica la formula
donde “ ” representa los dos posibles valores que puede
tomar y “ ” es el número de proposiciones de la formula.
NEGACIÓN
Definición 1. Sea una proposición. La negación de , denotada por
, es la proposición “No es el
caso que ”. La proposición
se lee: “no ”. El valor verdad de la negación de ,
, es el opuesto del
valor de verdad de
Ejemplo 1.- Hallar la negación de la proposición “Dos es un número par”.
Solución
Ejemplo 2.- Hallar la negación de la proposición “Hoy es Lunes”.
Solución
Ejemplo 3.- Hallar la negación de la proposición “Dos no es un número impar”.
Solución
Ejemplo 4.- Hallar la negación de la proposición “Hoy no es Lunes”.
Solución
Tabla de verdad para la negación de una proposición
V
F
F
V
LA CONJUNCIÓN
Definición 2. Sean
“
”.
proposiciones. La conjunción de
, denotado por
, es la proposición
Ejemplo 1.- Sean las proposiciones:
,
A partir de estas proposiciones simples obtenemos la nueva proposición uniéndolas mediante la
conjunción “ ”.
Podemos observar que
y
,
ya que la conjunción
de ambas componentes, sin excepción.
En consecuencia la regla práctica para la conjunción es:
exige el cumplimiento
La proposición conjuntiva es verdadera únicamente cuando las dos proposiciones simples
verdaderas, en cualquier otro caso es falsa.
y
son
Esta característica es válida para toda conjunción “y“ se puede resumir en la siguiente tabla de
verdad.
Ejemplo 2.- Determinar el valor de verdad de la proposición:
Solución
Ejemplo
3.numero
Determinar
el
valor
de
verdad
de
la
proposición:
Determinar
el
valor
de
verdad
de
la
proposición:
Solución
Ejemplo
4.-
Solución
NOTA. Hay palabras como “pero”, “a la vez”, “sin embargo”, “además”, “aunque”, “no obstante”, etc.
que también unen proposiciones conjuntivamente y se pueden simbolizar por el conectivo .