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15 EJERCICIOS BÁSICOS SOBRE POLÍGONOS REGULARES Ejercicios Resueltos 1. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado de 15 metros de lado?. Sean: L=Longitud del lado. P=Perímetro. Entonces: L=15 m. P=15 + 15 + 15 + 15 = 60. Es decir 60 metros. O lo que es lo mismo: P=5 · 15 = 60 metros. 2. ¿Cuántas diagonales tiene un pentágono regular?. Sean: L=Número de lados. D=Cantidad de diagonales (diagonales totales de la figura). Entonces: L=5; D? D= L ( L − 3) 5·2 10 = = =5 2 2 2 Por tanto, el pentágono regular tiene 5 diagonales. 3. Calcular el valor del ángulo central y de cada uno de los ángulos interiores de un octógono regular. Sean: α = Ángulo central. γ = Ángulo exterior. β = Ángulo interior. Entonces: 8· α =360; α= 360 =45; de donde resulta que α =45º, luego el ángulo 8 15 EJERCICIOS BÁSICOS SOBRE POLÍGONOS REGULARES central mide 45º. Como α = γ , entonces γ = 45º . Luego el ángulo exterior mide 45º. Como α + β = 180 º , entonces 45º + β = 180 º ; Luego el ángulo interior mide 135º. β = 180 º −45º ; β = 135º . 4. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular, si uno de sus ángulos interiores es de 175º?. Sean: α = Ángulo central. γ = Ángulo exterior. β = Ángulo interior. Entonces: β = 175º β + γ = 180 º ; 175º +γ = 180 º ; γ = 180 º −175º ; γ = 5º Luego el ángulo exterior mide 5º. Como α = γ , entonces α = 5º Luego el ángulo central de nuestro polígono mide 5º. Nuestro polígono tiene n ángulos centrales iguales, luego: N·5=360º; n= 360 º ; 5º n=72. Nuestro polígono tiene 72 lados, porque el número de ángulos centrales iguales y el número de lados son iguales. 5. Hallar el número de diagonales de un eneágono. Sea: L=Número de lados del polígono. D=Número de diagonales. Aplicamos: D= L ( L − 3) 2 15 EJERCICIOS BÁSICOS SOBRE POLÍGONOS REGULARES Y entonces D= diagonales. 9(9 − 3) 9·6 54 = = = 27 2 2 2 Luego el polígono tiene 27 6. Hallar el número de lados de un polígono que tiene 54 diagonales. Sea: L=Número de lados del polígono. D=Número de diagonales. Aplicamos: L ( L − 3) 2 D= Entonces: 54 = L ( L − 3) ; 2 54·2 = L ( L − 3) ; 108 = L( L − 3) ; 108 = L2 − 3L ; Luego: L − 3L − 108 = 0 . 2 Ahora aplicando la fórmula para hallar las soluciones de una ecuación de segundo grado, tendremos: L= 3 ± 9 + 4·108 3 ± 441 3 ± 21 ; = = 2 2 2 Luego obtenemos las dos soluciones siguientes: L= 12 -9 Como es imposible tener una cantidad negativa de lados, entonces la solución correcta será: L=12. El polígono tiene 12 lados. 7. Hallar el valor de un ángulo interior de un decágono. Un decágono tiene 10 lados, 10 ángulos centrales, 10 ángulos interiores y 20 ángulos exteriores. Sean: α = Ángulo central. γ = Ángulo exterior. 15 EJERCICIOS BÁSICOS SOBRE POLÍGONOS REGULARES Entonces 10·α = 360º ; α= 360 ; 10 α = 36º ; Luego el ángulo central mide 36º. Como α = γ , entonces γ = 36 º ; Luego el ángulo exterior también mide 36º. Y ahora, como β + γ = 180 º ; β + 36 º = 180 ; β = 180 º −36º ; β = 144 º Luego el ángulo interior mide 144º. 8. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo interior mide 162º? Un polígono regular tiene tantos lados como ángulos centrales iguales. Sean: α = Ángulo central. γ = Ángulo exterior. β = Ángulo interior. X=Número de ángulos centrales. Entonces: x·α = 360 º β = 162 º Como α =γ Entonces: β + γ = 180 º ; 162 º +γ = 180 º ; Luego también será: Entonces: α = 18º. x·α = 360º ; x·18º = 360º ; x = γ = 180 º −162 º ; 360º = 20 ; 18º El polígono tiene 20 ángulos centrales iguales. El polígono tiene 20 lados. Luego x=20. γ = 18º 15 EJERCICIOS BÁSICOS SOBRE POLÍGONOS REGULARES 9. ¿Cuál es la longitud del lado de un cuadrado cuya área es de 25 metros cuadrados?. Sean: S=Supeficie (Área) del cuadrado. P=Perímetro del cuadrado. A=Apotema. Aplicamos la fórmula para calcular la superficie: P·A ; como el perímetro es 4·L, entonces, sustituyendo tendremos 2 4·L· A 25 = 2 25 Entonces, 25 = 2·L· A ; = L· A ; 12,5 = L· A 2 L Entonces, resulta que L=2·A y por tanto = A; 12,5 = L· A ; 2 L 12,5 = L· ; 2 S= 25 = L·L ; 25 = L2 ; 5 = L ; 25 = L2 ; Luego el lado mide 5 metros. 10. Hallar la longitud del lado de un cuadrado, sabiendo que su diagonal mide 12 centímetros. La diagonal divide al cuadrado en dos triángulos rectángulos, y por tanto podemos aplicar el Teorema de Pitágoras. Sean: d=Longitud de la diagonal del cuadrado. c=Longitud del lado del cuadrado (todos poseen la misma longitud). Entonces, tendremos d = c + c ; 2 2 2 d 2 = 2c 2 ; 12 2 = 2c 2 ; 15 EJERCICIOS BÁSICOS SOBRE POLÍGONOS REGULARES 144 = c2 ; 2 144 = 2c 2 ; Entonces, calculando la raíz 72 = c 2 ; 72 = c 2 ; 72 = c ; 8,49 = c Luego el lado mide 8,49 centímetros. 11. El lado de un triángulo equilátero mide 2 centímetros. Halla su área. Sean: L=Longitud del lado del triángulo equilátero. P=Perímetro. a=Apotema. S=Superficie (Área) del triángulo. Sabemos que S = S= P·a 2·L·a ; sustituyendo el perímetro, obtenemos S = ; 2 2 3·2·a ; 2 Sabemos que 3·2·a = L ; Luego 3·2·a = 2 ; S = 3·a ; S = 3· a= 3·2·a = L ; entonces 2 ; 3·2 a= 1 ; 3 1 3 3 = = = 1,73 cm2 3 3 1,73 Luego su área mide 1,73 centímetros cuadrados. 12. Calcular la apotema de un cuadrado cuya área es de 36 metros cuadrados. Sean: S=Superficie (área) del cuadrado. L=Longitud del lado del cuadrado. a=Apotema. Entonces aplicando la fórmula para calcular la superifice tendremos S= P·a ; 2 Sustituyendo el perímetro, S = 4·L·a ; S = 2·L·a ; 2 36 = 2·L·a ; 15 EJERCICIOS BÁSICOS SOBRE POLÍGONOS REGULARES 36 = L·a ; 2 18 = L·a ; Como el lado es igual que dos veces la apotema, L = 2·a , y sustituyendo 18 = L·a ; 9 = a2 ; 9 = a2 ; 18 = 2a·a ; 18 = 2a 2 ; 18 = a2 ; 2 3=a; Luego la apotema mide 3 metros. 13. El lado de un hexágono regular mide 8 cm. Hallar el radio de una circunferencia inscrita. El radio de la circunferencia coincide con la apotema del hexágono. Hallaremos por tanto la apotema del hexágono. Sean: 2 2 2 L=Longitud del ladoPitágoras, del hexágono. Aplicando tendremos r = a + m M=Mitad de la longitud del lado del hexágono. r=Radio de la circunferencia inscrita. L 8 a=Apotema. Como M = = = 4 cm. Entonces: 2 2 r 2 = a2 + m2 ; r 2 = a 2 + 42 ; r 2 = a 2 + 16 ; 64 = a 2 + 16 ; 6,9 = a ; 64 − 16 = a 2 ; 48 = a 2 ; 82 = a 2 + 16 ; 48 = a 2 ; 48 = a ; La apotema del hexágono mide 6,9 centímetros. 14. Calcular el perímetro de un cuadrado inscrito en un círculo del 3 cm. de radio. Sean: r=Radio de la circunferencia. P=Perímetro del cuadrado. L=Longitud del lado del cuadrado. d=Longitud de la diagonal del cuadrado. La diagonal del cuadrado lo divide en dos triángulos rectángulos, luego podemos aplicar Pitágoras: d 2 = L2 + L2 ; 36 = 2 L2 ; (2r ) 2 = L2 + L2 ; 4r 2 = 2 L2 ; 4·32 = 2 L2 ; 4·9 = 2 L2 ; 36 18 = L2 ; 18 = L ; = L2 ; 18 = L2 ; 2 15 EJERCICIOS BÁSICOS SOBRE POLÍGONOS REGULARES 4,2 = L ; Luego el perímetro será P = 4·4,2 = 16,8 cm. 15. Hallar el radio de la circunferencia circunscrita a un cuadrado cuyo lado es de 6 cm. Sean: L=Longitud del lado del cuadrado. r=Radio de la circunferencia circunscrita. Tenemos que aplicando Pitágoras (2r ) = L + L ; 2 4r 2 = 2 L2 ; r 2 = 18 ; 4r 2 = 2·6 2 ; r = 18 ; mide 4,2 centímetros. http://www.loseskakeados.com 2 4r 2 = 2·36 ; r = 4,2 ; 4r 2 = L2 + L2 ; 72 ; 4r 2 = 72 ; r2 = 4 2 Luego el radio de la circunferencia