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15 EJERCICIOS BÁSICOS SOBRE POLÍGONOS REGULARES
Ejercicios Resueltos
1. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado de 15 metros de lado?.
Sean:
L=Longitud del lado.
P=Perímetro.
Entonces:
L=15 m.
P=15 + 15 + 15 + 15 = 60. Es decir 60 metros.
O lo que es lo mismo:
P=5 · 15 = 60 metros.
2. ¿Cuántas diagonales tiene un pentágono regular?.
Sean:
L=Número de lados.
D=Cantidad de diagonales (diagonales totales de la figura).
Entonces:
L=5;
D?
D=
L ( L − 3) 5·2 10
=
=
=5
2
2
2
Por tanto, el pentágono regular tiene 5 diagonales.
3. Calcular el valor del ángulo central y de cada uno de los ángulos interiores de un
octógono regular.
Sean:
α = Ángulo central.
γ = Ángulo exterior.
β = Ángulo interior.
Entonces:
8· α =360;
α=
360
=45; de donde resulta que α =45º, luego el ángulo
8
15 EJERCICIOS BÁSICOS SOBRE POLÍGONOS REGULARES
central mide 45º.
Como
α = γ , entonces γ = 45º .
Luego el ángulo exterior mide 45º.
Como α + β = 180 º , entonces 45º + β = 180 º ;
Luego el ángulo interior mide 135º.
β = 180 º −45º ;
β = 135º .
4. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular, si uno de sus ángulos
interiores es de 175º?.
Sean:
α = Ángulo central.
γ = Ángulo exterior.
β = Ángulo interior.
Entonces:
β = 175º
β + γ = 180 º ;
175º +γ = 180 º ;
γ = 180 º −175º ;
γ = 5º
Luego el ángulo exterior mide 5º.
Como
α = γ , entonces
α = 5º
Luego el ángulo central de nuestro polígono mide 5º.
Nuestro polígono tiene n ángulos centrales iguales, luego:
N·5=360º;
n=
360 º
;
5º
n=72.
Nuestro polígono tiene 72 lados, porque el número de ángulos centrales iguales
y el número de lados son iguales.
5. Hallar el número de diagonales de un eneágono.
Sea:
L=Número de lados del polígono.
D=Número de diagonales.
Aplicamos:
D=
L ( L − 3)
2
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Y entonces
D=
diagonales.
9(9 − 3) 9·6 54
=
=
= 27
2
2
2
Luego el polígono tiene 27
6. Hallar el número de lados de un polígono que tiene 54 diagonales.
Sea:
L=Número de lados del polígono.
D=Número de diagonales.
Aplicamos:
L ( L − 3)
2
D=
Entonces:
54 =
L ( L − 3)
;
2
54·2 = L ( L − 3) ;
108 = L( L − 3) ;
108 = L2 − 3L ;
Luego: L − 3L − 108 = 0 .
2
Ahora aplicando la fórmula para hallar las soluciones de una ecuación de
segundo grado, tendremos:
L=
3 ± 9 + 4·108 3 ± 441 3 ± 21
;
=
=
2
2
2
Luego obtenemos las dos soluciones
siguientes:
L=
12
-9
Como es imposible tener una cantidad negativa de lados, entonces la solución
correcta será:
L=12. El polígono tiene 12 lados.
7. Hallar el valor de un ángulo interior de un decágono.
Un decágono tiene 10 lados, 10 ángulos centrales, 10 ángulos
interiores y 20 ángulos exteriores.
Sean:
α = Ángulo central.
γ = Ángulo exterior.
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Entonces
10·α = 360º ;
α=
360
;
10
α = 36º ;
Luego el ángulo central mide 36º.
Como α = γ , entonces
γ = 36 º ;
Luego el ángulo exterior también mide 36º.
Y ahora, como
β + γ = 180 º ;
β + 36 º = 180 ;
β = 180 º −36º ;
β = 144 º
Luego el ángulo interior mide 144º.
8. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo interior mide 162º?
Un polígono regular tiene tantos lados como ángulos centrales iguales.
Sean:
α = Ángulo central.
γ = Ángulo exterior.
β = Ángulo interior.
X=Número de ángulos centrales.
Entonces:
x·α = 360 º
β = 162 º
Como
α =γ
Entonces:
β + γ = 180 º ;
162 º +γ = 180 º ;
Luego también será:
Entonces:
α = 18º.
x·α = 360º ;
x·18º = 360º ; x =
γ = 180 º −162 º ;
360º
= 20 ;
18º
El polígono tiene 20 ángulos centrales iguales.
El polígono tiene 20 lados.
Luego x=20.
γ = 18º
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9. ¿Cuál es la longitud del lado de un cuadrado cuya área es de 25 metros
cuadrados?.
Sean:
S=Supeficie (Área) del cuadrado.
P=Perímetro del cuadrado.
A=Apotema.
Aplicamos la fórmula para calcular la superficie:
P·A
; como el perímetro es 4·L, entonces, sustituyendo tendremos
2
4·L· A
25 =
2
25
Entonces, 25 = 2·L· A ;
= L· A ;
12,5 = L· A
2
L
Entonces, resulta que L=2·A y por tanto
= A;
12,5 = L· A ;
2
L
12,5 = L· ;
2
S=
25 = L·L ;
25 = L2 ; 5 = L ;
25 = L2 ;
Luego el lado mide 5 metros.
10. Hallar la longitud del lado de un cuadrado, sabiendo que su diagonal
mide 12 centímetros.
La diagonal divide al cuadrado en dos triángulos rectángulos, y por tanto
podemos aplicar el Teorema de Pitágoras.
Sean:
d=Longitud de la diagonal del cuadrado.
c=Longitud del lado del cuadrado (todos poseen la misma longitud).
Entonces, tendremos d = c + c ;
2
2
2
d 2 = 2c 2 ;
12 2 = 2c 2 ;
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144
= c2 ;
2
144 = 2c 2 ;
Entonces, calculando la raíz
72 = c 2 ;
72 = c 2 ;
72 = c ;
8,49 = c
Luego el lado mide 8,49 centímetros.
11. El lado de un triángulo equilátero mide 2 centímetros. Halla su área.
Sean:
L=Longitud del lado del triángulo equilátero.
P=Perímetro.
a=Apotema.
S=Superficie (Área) del triángulo.
Sabemos que S =
S=
P·a
2·L·a
; sustituyendo el perímetro, obtenemos S =
;
2
2
3·2·a
;
2
Sabemos que
3·2·a = L ;
Luego
3·2·a = 2 ;
S = 3·a ;
S = 3·
a=
3·2·a = L ; entonces
2
;
3·2
a=
1
;
3
1
3
3
=
=
= 1,73 cm2
3
3 1,73
Luego su área mide 1,73 centímetros cuadrados.
12. Calcular la apotema de un cuadrado cuya área es de 36 metros
cuadrados.
Sean:
S=Superficie (área) del cuadrado.
L=Longitud del lado del cuadrado.
a=Apotema.
Entonces aplicando la fórmula para calcular la superifice tendremos
S=
P·a
;
2
Sustituyendo el perímetro, S =
4·L·a
; S = 2·L·a ;
2
36 = 2·L·a ;
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36
= L·a ;
2
18 = L·a ;
Como el lado es igual que dos veces la
apotema,
L = 2·a , y sustituyendo 18 = L·a ;
9 = a2 ;
9 = a2 ;
18 = 2a·a ;
18 = 2a 2 ;
18
= a2 ;
2
3=a;
Luego la apotema mide 3 metros.
13. El lado de un hexágono regular mide 8 cm. Hallar el radio de una
circunferencia inscrita.
El radio de la circunferencia coincide con la apotema del hexágono.
Hallaremos por tanto la apotema del hexágono.
Sean:
2
2
2
L=Longitud
del ladoPitágoras,
del hexágono.
Aplicando
tendremos r = a + m
M=Mitad de la longitud del lado del hexágono.
r=Radio de la circunferencia inscrita.
L 8 a=Apotema.
Como M =
= = 4 cm. Entonces:
2
2
r 2 = a2 + m2 ;
r 2 = a 2 + 42 ;
r 2 = a 2 + 16 ;
64 = a 2 + 16 ;
6,9 = a ;
64 − 16 = a 2 ;
48 = a 2 ;
82 = a 2 + 16 ;
48 = a 2 ;
48 = a ;
La apotema del hexágono mide 6,9 centímetros.
14. Calcular el perímetro de un cuadrado inscrito en un círculo del 3 cm. de
radio.
Sean:
r=Radio de la circunferencia.
P=Perímetro del cuadrado.
L=Longitud del lado del cuadrado.
d=Longitud de la diagonal del cuadrado.
La diagonal del cuadrado lo divide en dos triángulos rectángulos, luego
podemos aplicar Pitágoras:
d 2 = L2 + L2 ;
36 = 2 L2 ;
(2r ) 2 = L2 + L2 ;
4r 2 = 2 L2 ; 4·32 = 2 L2 ; 4·9 = 2 L2 ;
36
18 = L2 ; 18 = L ;
= L2 ;
18 = L2 ;
2
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4,2 = L ;
Luego el perímetro será P = 4·4,2 = 16,8 cm.
15. Hallar el radio de la circunferencia circunscrita a un cuadrado cuyo lado
es de 6 cm.
Sean:
L=Longitud del lado del cuadrado.
r=Radio de la circunferencia circunscrita.
Tenemos que aplicando Pitágoras (2r ) = L + L ;
2
4r 2 = 2 L2 ;
r 2 = 18 ;
4r 2 = 2·6 2 ;
r = 18 ;
mide 4,2 centímetros.
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2
4r 2 = 2·36 ;
r = 4,2 ;
4r 2 = L2 + L2 ;
72
;
4r 2 = 72 ;
r2 =
4
2
Luego el radio de la circunferencia