Download AC. AB BC + =

El teorema de Euclides tiene dos enunciados que conocemos con los nombres de
teorema del cateto y teorema de la altura.
Teorema del cateto:”El cateto de un triángulo rectángulo es media proporcional
entre la hipotenusa y su proyección sobre ella”.
2
Esto quiere decir que: AB  BC  .BH
Teorema de la altura: “La altura relativa a la
hipotenusa es media proporcional de las
proyecciones de los catetos sobre ella”. Esto
2
quiere decir que: AH  BC  .HC .
Vamos a demostrarlo.
El teorema de Pitágoras: BC  AB  .AC .
2
2
2
Una forma sencilla para entender el teorema de Pitágoras es mediante el trazo de
figuras, por lo que es necesario contar con una regla, compás, lápiz, papel y seguir
éstos pasos:
1) Traza una línea horizontal de 5cm de longitud. Ésta línea la llamaremos
hipotenusa.
2) Abre el compás 3cm, y traza un semicírculo por encima de la hipotenusa
apoyándote en su extremo izquierdo.
3) Abre el compás 4 cm y traza un semicírculo por encima de la hipotenusa
apoyándote en su extremo derecho y buscando que cruce el semicírculo que
trazamos en el punto 2.
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4) Une el punto de cruce de los semicírculos con cada uno de los extremos de la
hipotenusa así formarás un triángulo rectángulo las dos líneas rectas trazadas
les llamamos catetos.
5) Sobre cada lado del triángulo le dibujamos un cuadrado usando las mismas
dimensiones de los lados del triángulo.
6) Cuadriculamos cada cuadrado en divisiones de 1 cm de lado.
7) Observemos que el cuadrado de la hipotenusa tiene 25 cuadros, el cuadrado
de un cateto tiene 9 cuadros, y el cuadrado del otro cateto tiene 16 cuadros.
Podemos concluir que el "El cuadrado de la hipotenusa (25) es igual a la suma
de los cuadrados de los catetos (16+9)”.
Demostraciones gráficas de los teoremas de Euclides y Pitágoras
Vamos a demostrar en primer lugar el
teorema de Euclides referente al cateto.
Consideramos un triángulo ABC rectángulo
en A. Dibujamos el cuadrado ABDE como
se ve en la figura. Dibujamos la altura
correspondiente a A, siendo su pie el punto
H. Construimos el rectángulo BHIJ, siendo
BJ = BC.
Se trata de demostrar que el cuadrado
ABDE y el rectángulo BHIJ son
equivalentes, es decir: AB2 = BH . BC,
como indica el teorema.
Prolongamos los lados DE , BJ y HI como
indica la figura y obtenemos el
paralelogramo ABFG.
BF = BC porque ABC = BDF, pues los dos
triángulos tienen un lado y dos ángulos
iguales: AB = BD; el ángulo ABC = DBF y
los ángulos en A y en D rectos.
Recordamos que cuando se trazan
perpendiculares a un ángulo se obtienen
ángulos iguales o suplementarios.
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Comprobamos que ABDE es equivalente a
ABFG, porque los dos son
paralelogramos con la misma base, AB y la misma altura, AE .
Por otra parte el rectángulo BHIJ es equivalente ABFG, porque los dos son
paralelogramos con la misma base, BJ = BF y la misma altura, BH. Por lo tanto, el
cuadrado ABDE es equivalente al rectángulo BHIJ, como queríamos demostrar.
Teorema de Pitágoras
Demostramos a continuación el
Teorema de Pitágoras. En el
triángulo ABC de la figura debemos
demostrar que BC2 = AB2 + AC2.
Aplicamos el teorema del cateto.
Recordamos su demostración y
vemos que el cuadrado de lado AB es
equivalente, es decir, es de la misma
superficie que el rectángulo BFEH.
Por el mismo teorema, el cuadrado de
lado AC es equivalente al rectángulo
HEDC. Como la suma de dichos
rectángulos es igual al cuadrado de
lado igual a la hipotenusa, el teorema
queda demostrado.
Vamos a demostrar finalmente el
teorema de Euclides referente a la altura.
Consideramos un triángulo ABC rectángulo en A. Dibujamos el cuadrado ABDE
como se ve en la figura. Dibujamos la altura correspondiente a A, siendo su pie el
punto H.
Se trata de demostrar que AH2 = BH. HC, como indica el teorema.
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Aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo ABH. Dibujamos los
cuadrados de lados AB , BH y AH.
Se cumplirá que AB2 = AH2 + BH2, luego: AB2 – BH2 = AH2 .
Por el teorema del cateto sabemos que
el cuadrado de lado AB es equivalente
al rectángulo de lados BH y BJ en el
que BJ = BC. Si restamos de dicho
rectángulo el cuadrado de lado BH el
teorema queda demostrado, pues GJ =
HC. En la figura vemos que las dos
figuras equivalentes están rayadas.
APLICACIONES
Raíz cuadrada de un segmento:
b a
Dado un segmento a hallamos un
segmento b que cumpla
siendo la unidad el centímetro
b a,
Aplicamos el teorema de la altura:
Dibujamos el segmento BC, siendo BH =
1cm (segmento unidad) y HC=a.
Trazamos la semicircunferencia de
diámetro BC. La perpendicular a BC por
H corta al arco en A.
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AH  b  a , pues b es media proporcional de a y de la unidad.
Esta construcción también se hace
aplicando el teorema del cateto, como
puede verse en la figura.
En este caso se dibuja el segmento
BH=1cm y el segmento BC=a.
Dibujamos la circunferencia de
diámetro
BC.
Trazamos
la
perpendicular a BC desde H. Esta
recta corta a la circunferencia en A.
La magnitud solución es AB  b  a
Cuadrado de un segmento,
aplicando Euclides
Aplicamos el teorema de la altura:
Dibujamos el segmento BH = 1cm
(segmento unidad) y prolongamos la recta
que lo contiene.
Trazamos la perpendicular a BH por H y
llevamos la magnitud a sobre ella:
AH  a
Dibujamos el arco de circunferencia que
pasa por A y B y tiene el centro en la recta
definida por BH. Su centro estará en la
intersección de la mediatriz de AB con
dicha recta. El arco corta a la recta en C.
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HC  b  a2 , pues AH  a es media proporcional de b  a2 y de la unidad.
Esta construcción también se hace
aplicando el teorema del cateto,
como puede verse en la figura. En
este caso se dibuja el segmento
BH=1cm y se prolonga la recta que
lo
contiene.
Se
dibuja
la
perpendicular a dicha recta desde
H y, con centro en B y radio a se
traza el arco que la corta en A.
Dibujamos la circunferencia que
pasa por A y B y tiene el centro en
la recta BH: trazamos la mediatriz
de AB que corta a dicha recta en
su centro.
BC
es
la
magnitud
solución:
BC  a2
Ejemplo :
Representa gráficamente, utilizando el teorema del cateto, el siguiente número
irracional: 5
Aplicaremos el teorema del cateto, pues como 1⋅ 5 = 5 , se deduce que 5 es el cateto de
un triángulo rectángulo de hipotenusa 5cm y cuya proyección sobre ésta es un segmento
de longitud 1cm.
1. Con origen en el origen de coordenadas, trazamos un segmento de 1cm de longitud,
OA=1cm.
2. Con origen en el origen de coordenadas, trazamos un segmento de 5cm de longitud,
OB=5cm.
3. Trazamos la semicircunferencia con diámetro el segmento OB, de longitud 5cm.
4. Trazamos la perpendicular al eje de abscisas por el punto A, hasta que corte a la
semicircunferencia en el punto E.
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5. Con origen en O, y radio OE, trazamos un arco de circunferencia hasta cortar al semieje
positivo de las abscisas
6. El punto así obtenido es la representación gráfica en la recta real del número irracional
5 .
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