Download Historia de la trigonometría. Los babilonios y los egipcios (hace más

Historia de la trigonometría.
Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los
ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en
agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrolló a partir de los
primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la
predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud
en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el
matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea, por haber sido uno de los principales
desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de “cuerdas” que construyó fueron las
precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad.
Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la
Astronomía. Y desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la
Astronomía para convertirse en una rama independiente que hace parte de la
Matemática.
Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos.
Sin embargo, la tabla de cuerdas que construyó Hiparco para resolver triángulos
comenzó con un ángulo de 71°, llegando hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla
daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que
corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.
Trescientos años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos
adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los
astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto (escrito por él) también tenía una
tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del
libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos
de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para
resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema
trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta
función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo
de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en
sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales
del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También
descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para
triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en
vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones
trigonométricas.
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones
de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer
trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y
astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias
a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno
de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones
matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró
la serie para el SEN x y series similares para el COS x y la TG x. Con la invención del
cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía
hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las
aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las
propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números
complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con
exponenciales de números complejos.
Biografía de algunos de los protagonistas de la historia de
la trigonometría.
Hiparco de Nicea
(190-120 A.C.)
Fue astrónomo griego, el más importante de su época. Nació en Nicea, Bitinia (hoy
Iznik, Turquía). Fue extremadamente preciso en sus investigaciones, de las que
conocemos parte por comentarse en el tratado científico Almagesto del astrónomo
alejandrino Tolomeo, sobre quien ejerció gran influencia. Comparando sus estudios
sobre el cielo con los de los primeros astrónomos, Hiparco descubrió la precisión de
los equinoccios .Sus cálculos del año tropical, duración del año determinada por las
estaciones, tenían un margen de error de 6,5 minutos con respecto a las mediciones
modernas. También inventó un método para localizar posiciones geográficas por
medio de latitudes y longitudes. Catalogó, hizo gráficos y calculó el brillo de unas mil
estrellas. También recopiló una tabla de cuerdas trigonométricas que fueron la base
de la trigonometría moderna.
Leonhard Euler
(1707-1783)
Fue un matemático suizo, sus trabajos se centraron en el campo de las matemáticas
puras, Euler nació en Basilea y se licenció a los 16 años. En 1727, fue miembro del
profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue nombrado
catedrático de física en 1730 y de matemáticas en 1733. En 1741 fue profesor de
matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín. Euler regresó a San Petersburgo
en 1766, donde permaneció hasta su muerte. Aunque tuvo una pérdida parcial de
visión antes de cumplir 30 años y una ceguera casi total al final de su vida, produjo
obras matemáticas importantes, como reseñas matemáticas y científicas.
En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), trató la trigonometría y la
geometría analítica. Entre sus obras se encuentran Instituciones del cálculo
diferencial (1755), Instituciones del cálculo integral (1768-1770) e Introducción al
álgebra (1770).
John Napier
(1550-1617)
Fue un matemático escocés nacido en Merchiston, cerca de Edimburgo. Estudió en la
Universidad de San Andrés y allí fue seguidor del movimiento de la Reforma en
Escocia, después de unos años tomó parte en los asuntos políticos de los
protestantes y es autor de la primera interpretación importante en Escocia de la Biblia.
Principalmente es conocido por introducir el primer sistema de logaritmos, (1614).
Además, fue uno de los primeros, si no el primero, en utilizar la moderna notación
decimal para expresar fracciones decimales de una forma sistemática.
Así pues, se pretendía clarificar la historia de la trigonometría para así poder tener una
visión mucho más amplia de su desarrollo y de igual manera un mayor entendimiento
acerca del tema.
Fue así, como la trigonometría avanzó, hasta convertirse en una rama independiente
que hace parte de la matemática. Pero esto no quiere decir que los avances,
descubrimientos e investigaciones no hayan continuado. Es decir, que el estudio de la
trigonometría actualmente, no solo se limita a las relaciones entre los elementos de un
triángulo y a sus aplicaciones. Hoy día, la trigonometría, es parte de la matemática y se
emplea en muchos campos del conocimiento, tanto teóricos como prácticos, e
interviene en toda clase de investigaciones geométricas y algebraicas en las cuales
aparecen las llamadas funciones trigonométricas, de gran aplicación además en la
electricidad, termodinámica, investigación atómica etc.
Claudio Tolomeo
(100-170)
Fue un astrónomo y matemático que dominó el pensamiento científico hasta el siglo
XVI por sus teorías y explicaciones astronómicas. Posiblemente nació en Grecia, pero
su verdadero nombre, Claudius Ptolemaeus, dice lo que realmente se sabe de él:
’Ptolemaeus’ indica que vivía en Egipto y ’Claudius’ que era ciudadano romano.
Contribuyó a las matemáticas con sus estudios en trigonometría y aplicó sus teorías a
la construcción de astrolabios y relojes de sol.
TRIANGULOS
Características de los triángulos.




Son figuras planas
Tienen área pero no volumen.
Los triángulos son polígonos
La suma de los ángulos de cualquier triángulo es
de 180º
Un triángulo se compone de:




Base: uno cualquiera de sus lados (lado opuesto al vértice).
Vértice: la intersección de los lados congruentes (que conforman el ángulo)
Altura: es elemento perpendicular a una base o a su prolongación, trazada
desde el vértice opuesto.
Lados: son tres y conjuntamente con los ángulos definen las clases o tipos de
ángulos.
Hay tres nombres especiales de triángulos que indican cuántos lados (o ángulos) son
iguales.
Equilátero, isósceles y escaleno
Puede haber 3, 2 o ningún lados/ángulos iguales:
Triángulo equilátero
Tres lados
Tres ángulos iguales, todos 60°
iguales
Triángulo isósceles
Dos lados
Dos ángulos iguales
Triángulo escaleno
No hay lados iguales
iguales
¿Qué tipos de ángulos?
Los triángulos también tienen nombres que te dicen los tipos de ángulos.
Triángulo acutángulo
Todos los ángulos miden menos de 90°
Triángulo rectángulo
Tiene un ángulo recto (90°)
Triángulo obtusángulo
Tiene un ángulo mayor que 90°
Representación de los tipos de triángulos.
La palabra triángulo proviene del latín triángulos. Un triángulo es un polígono de 3
lados, determinado por rectas que se cortan dos a dos en tres puntos no colineales
(que no están en la misma línea).
Los triángulos se pueden clasificar por la longitud de sus lados o por la amplitud de sus
ángulos (ver mapa conceptual). De acuerdo a sus lados, los triángulos se clasifican en
equilátero, isósceles y escaleno. De acuerdo a sus ángulos, los triángulos se clasifican
en rectángulo, obtusángulo, acutángulo y equiángulo.
Los triángulos equiláteros son aquellos que tienen tres lados de la misma longitud. Los
triángulos isósceles tienen dos lados de la misma longitud. Los triángulos escalenos
tienen tres lados de distinta longitud.
Los triángulos rectángulos tienen un ángulo de 90° (recto). Los triángulos obtusángulos
tienen uno de sus ángulos obtuso (mayor de 90°).los triángulos acutángulo tiene sus
tres ángulos interiores agudos (menores que 90°). Los triángulos equiángulos tienen
sus tres ángulos interiores iguales.
Historia del Teorema de Pitágoras
La mayoría de las veces, cuando aplicamos una propiedad o teorema, lo hacemos sin
conocer las circunstancias que envolvieron su descubrimiento o demostración. La
propiedad que nos viene contando el Teorema de Pitágoras como aquí lo conocemos,
ya era utilizada desde hacía más de 1500 años en Mesopotamia y en el antiguo Egipto.
Los egipcios lo utilizaron de una forma práctica para la construcción de ángulos rectos,
hecho de gran utilidad a la hora de realizar obras arquitectónicas. Tomando una cuerda
y haciéndole una serie de nudos de forma que queden determinada en ella 12 partes
iguales, se ponía la cuerda formando un triángulo cuyos lados fuesen 3, 4 y 5 partes
(Triángulo sagrado egipcio). El ángulo opuesto al lado mayor es siempre un ángulo de
90º.
Triángulo sagrado egipcio:
Más mérito tiene todavía uno de los pueblos que vivía en
Mesopotamia, los babilonios. Su método de escritura se
conoce con el nombre de cuneiforme. Consistía en la
grabación de una serie de marcas sobre tablillas de arcilla.
Una de estas tablillas llamada Plimpton 322 fue descifrada
en el siglo XIX, y lo que se encontró en ella fue una lista de ternas pitagóricas. Estas
ternas consisten en conjuntos de tres números enteros que se corresponden con los
tres lados de un triángulo rectángulo (verifican el teorema de Pitágoras). Algunos
ejemplos de esto son: (3,4,5), (5,12,13), (6,8,10), (7,24,25), (12,16,20)...
Plimpton 322:
Hay cierta controversia acerca de si Pitágoras fue el
primero en demostrar el teorema, pues se sabe de la
existencia una demostración publicada en la obra
matemática Chou Pei, de origen Chino, pudiendo ser
ésta anterior a Pitágoras, aunque se cree que no llegó a
conocer esta obra.
Demostración China:
Actualmente, el Teorema de Pitágoras es de los que
cuentan
con
un
mayor
número
de
demostraciones
diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las
causas de esto es que en la Edad Media se exigía una
nueva demostración de él para alcanzar el grado de
Magíster matheseos (Maestro de las matemáticas).
El matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su
libro de 1927 The Pythagorean Proposition.
Historia del seno y coseno.
El estudio de las funciones trigonométricas se remonta a la época de Babilonia, y
muchos de los fundamentos del tema fueron desarrollados por matemáticos de la
antigua
Grecia,
de
la
India
y
estudiosos
musulmanes.
El primer uso de la función seno aparece en el Sulba Sutras escrito en India desde el
Siglo VIII AC hasta el Siglo VI AC. Las funciones trigonométricas fueron estudiadas
luego por Hiparco de Nicea (180-125 AC), Aryabhata (476–550), Varahamihira,
Brahmagupta, Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī, Abu'l-Wafa, Omar Khayyam,
Bhaskara II, Nasir al-Din Tusi, Regiomontanus (1464), Ghiyath al-Kashi y Ulugh Beg
(Siglo XIV), Madhava (c. 1400), Rheticus, y el alumno de éste, Valentin Otho. La obra
de Leonhard Euler Introduction in analysin infinitorum (1748) fue la que estableció el
tratamiento analítico de las funciones trigonométricas en Europa. Definiéndolas como
series infinitas presentadas en las llamadas "Fórmulas de Euler”.
La noción de que debería existir alguna correspondencia estándar entre la longitud de
los lados de un triángulo siguió rápidamente a la idea de que triángulos similares
mantienen la misma proporción entre sus lados. Esto es, que para cualquier triángulo
similar la relación entre la hipotenusa y otro de los lados permanece igual. Si la
hipotenusa es el doble de larga, así serán los catetos. Justamente estas proporciones
son las que expresan las funciones trigonométricas.