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CAPÍTULO 3
CUADRILÁTEROS
INTRODUCCIÓN 3.
En este capítulo se hace un amplio estudio de los cuadriláteros convexos: paralelogramos,
rectángulos, rombos, cuadrados y trapecios.
DEFINICIÓN 3.1.
Sean A, B, C, D cuatro puntos tales que tres cualesquiera de ellos no son colineales. La unión de
los segmentos AB, BC, CD, DA se llama cuadrilátero si esos segmentos se intersecan solamente
en los extremos. Los puntos A, B, C, D se llaman los vértices y los segmentos AB, BC, CD, DA
se llaman lados del cuadrilátero. Dos vértices de un cuadrilátero se dicen consecutivos si son
extremos del mismo lado, y dos lados se dicen consecutivos si tienen un vértice en común. Dos
lados se dicen opuestos si no son consecutivos. Un ángulo de un cuadrilátero es el ángulo
formado por dos lados consecutivos. Dos ángulos se dicen consecutivos si tienen un lado en
común. Dos ángulos se dicen opuestos si no son consecutivos. Un ángulo se dice exterior a un
cuadrilátero si es adyacente a uno de sus ángulos. El segmento que une dos vértices no
consecutivos se llama diagonal del cuadrilátero. La suma de las longitudes de los lados de un
cuadrilátero se llama su perímetro y la mitad de ese número se llama el semiperímetro.
A
EJEMPLO 3.1.
A
A
D
D
B
D
B
C
C
C
B
La dos primeras figuras anteriores representan cuadriláteros más la tercera figura no es un
cuadrilátero porque AB y CD se cortan en un punto interior..
DEFINICIÓN 3.2.
Un cuadrilátero se díce cóncavo si una recta que contiene a uno de sus lados corta a otro lado en
un punto interior. Un cuadrilátero se dice convexo si nos es cóncavo.
EJEMPLO 3.2.
El cuadrilátero de la segunda figura anterior es cóncavo porque la recta AB corta al lado CD en
un punto interior.
COMENTARIO 3.1.
Los cuadriláteros convexos se pueden caracterizar también por el hecho de que cada ángulo
interior es menor que un ángulo llano. Salvo mención en contrario, en estas notas estudiaremos
sólo cuadriláteros convexos.
178
EJEMPLO 3.3.
J
Q
x
K
P
En el cuadrilátero JKPQ de la figura anterior J, K, P y Q son los vértices y ángulos. Sus lados son
JK, KP, PQ y QJ. Los pares de vértices J,K; K,Q; Q,P y P,J son consecutivos. Los apres de lados
JK,KQ; KQ,QP; QP,PJ y PJ,JK son consecutivos. Los pares de lados JK, PQ y KP, JQ son
opuestos. Los pares de ángulos J,K: K,P; P,Q y Q,J son consecutivos. Los apres de ángulos J,P y
K,Q son opuestos. Los segmentos JP y KQ son sus diagonales. X es un ángulo exterior. El
perímetro es p = JK + KP + PQ +QJ.
TEOREMA 3.1.
La suma de los ángulos de un cuadrilátero es 360.
Demostración:
Al trazar una diagonal al cuadrilátero se forman dos triángulos. La suma de sus ángulos es 360°
que es igual a la suma de los ángulos del cuadrilátero.
EJEMPLO 3.4.
¿Cuánto mide el ángulo x en la figura a la derecha?
Solución:
Por el teorema anterior se ve que x + 87° + 130° + 100° = 360°.
Luego, x = 360° - 87° - 130° - 100° = 43°.
87°
x
130
°
100°
DEFINICIÓN 3.3.
Un cuadrilátero se dice equiangular si tiene sus cuatro ángulos iguales. Un cuadrilátero se dice
equilátero si tiene sus cuatros lados iguales.
EJEMPLO 3.5.
¿Cuánto mide cada ángulo de un cuadrilátero equiangular?
Solución:
Si cada ángulo mide x, entonces del teorema 3.1 se ve que x + x + x + x = 360°, o sea, 4x = 360°.
Al dividir por 4 se obtiene que x = 90°.
COMENTARIO 3.2.
Este ejemplo muestra que en un cuadrilátero equiangular los lados consecutivos son perpendiculares entre sí.
EJEMPLO 3.6.
Halle el perímetro y sel semiperímetro de un cuadrilátero equilátero si un lado mide 16.
Solución:
Como el cuadrilátero es equilátero cada lado mide 16. Luego, su perímetro es 16 + 16 + 16 + 16
64
= 32
= 4.16 = 64. Su semiperímetro es la mitad del perímetro, o sea, el semiperímetro es
2
179
EJEMPLO 3.7.
En un cuadrilátero
Cada diagonal es menor que el semiperímetro del cuadrilátero.
(a)
(b)
La suma de las diagonales es mayor que la suma de dos lados opuestos.
(c)
La suma de las diagonales está entre el semiperímetro y el perímetro.
Solución:
Sea O la intersección de las diagonales AC, BD de un cuadrilátero ABCD.
D
A
O
C
B
(a)
(b)
(c)
Aplicando la desigualdad triangular a cada uno de los triángulos ACD y ABC se tiene que
AC < AD + CD y AC < AB + BC. Al sumar se ve que 2AC < AB + BC + CD + DA y al
AB + BC + CD + DA
dividir por 2 se obtiene que AC <
. Este último número es el semi2
perímetro s del cuadrilátero. Por tanto, AC < s. Si se aplica la desigualdad triangular en
los triángulos ABD y BCD se obtiene que BD < s.
De la desigualdad triangular a los triángulos AOD y BOC se ve que AD < AO + OD y
BC < OC + OB. Al sumar se ve que AD + BC < AO + OD + OC + OB = (AO + OC) +
(OB + OD) = AC + BD. De manera análoga se demuestra que AB + CD < AC + BD al
usar la desigualdad triangular en los triángulos AOB y COD.
De (a) se tiene que AC < s y BD < s. Al sumar vemos que AC + BD < 2s = p donde p es
el perímetro del cuadrilátero ABCD. De (b) vemos que AD + BC < AC + BD y AB + CD
p
< AC + BD. Al sumar se tiene que p < 2(AC + BD), o sea, s = = AC + BD. Por
2
consiguiente hemos demostrado que s < AC + BD < 2s.
EJEMPLO 3.8.
La suma de los cuadrados de los lados de un cuadrilátero es igual a la suma de los cuadrados de
las diagonales más cuatro veces el cuadrado del segmento que une los puntos medios de sus
diagonales.
C
Solución:
D
M
N
A
B
Sean M y N los puntos medios de las diagonales AC y BD de un cuadrilátero ABCD. Aplicando l
ejemplo 2.64 a las mediana CN y AN de los triángulos BCD y ABD se tiene que
BC2 + BD2 BD2
AB2 + AD2 BD2
2
2
CN =
y AN =
−
−
2
4
2
4
Al mutliplicar por 4 y sumar ambas igualdades se ve que 4CN2 + 4AN2 = 2BC2 + 2CD2 + 2AD2 +
2AB2 – 2BD2. Al dividir por 2 vemos que
2CN2 + 2AN2 = BC2 + CD2 + AD2 + AB2 – BD2 ……… (a)
Aplicando el ejemplo 2.64 a la mediana NM en el triángulo ANC se tiene que
180
AN 2 + CN 2 AC2
−
. Al multiplicar por 4 se ve que
2
4
4NM2 = 2AN2 + 2CN2 − AC2 ……… (b)
Sustituyendo (a) en (b) resulta 4NM2 = AB2 + BC2 + CD2 + DA2 – BC2 – AC2. Por tanto,
4NM2 + AC2 + BC2 = AB2 + BC2 + CD2 + DA2
NM 2 =
DEFINICIÓN 3.4.
Un cuadrilátero se llama paralelogramo si sus lados opuestos son paralelos.
A
D
B
C
EJEMPLO 3.9.
Si D, E, F son los puntos medios de los lados BC, AC, AB de un triángulo ABC, entonces los
cuadriláteros AFDE, FBDE, DCEF son paralelogramos.
A
Solución:
F
E
B
C
D
Del corolario 2.14 se sigue que los pares de rectas FE,BC; FD,AC; DE, AB son paralelas.
Aplíque la definición anterior.
EJEMPLO 3.10.
Los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero son los vértices de un paralelogramo.
Q
D
Solución:
A
P
M
B
C
N
Sean M, N, P, QS los puntos medios de los lados AB, BC, CD, DA de un cuadrilátero ABCD.
Del corolario 2.14 se deduce que las rectas MQ y NP son paralelas a BD, y las rectas MN y PQ
son paralelas a AC. Por la transitividad del paralelismo se ve que los pares de lados MQ, NP y
PQ, MN son paralelos. Por la definición 3.4 el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo.
COMENTARIO 3.3.
El resultado anterior fue conocido por el matemático francés Pierre Varignon (1654−1722) y
publicado en 1731. Por esta razón el cuadrilátero MNPQ se llama el paralelogramo de
Varignon del cuadrilátero ABCD.
181
EJEMPLO 3.11
El perímetro del paralelogramo de Varignon de un cuadrilátero es igual a la suma de las
diagonales de ese cuadrilátero.
Solución:
1
1
Del teorema 2.5 se deduce que MN = PQ = BD y MQ = NP = AC . Por tanto, MN + NP +
2
2
1
1
1
1
PQ + QM = BD + AC + BD + AC = AC + BD.
2
2
2
2
TEOREMA 3.2.
La diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos congruentes.
A
D
Demostración:
x
y
x
y
B
C
Considérese la diagonal AC del paralelogramo ABCD. Entonces ∠BCA = ∠CAD = x por ser
ángulos alternos internos entre las paralelas AD y BC cortadas por AC. Además, ∠BAC =
∠ACD = y por por ser ángulos alternos internos entre las paralelas AB y CD cortadas por AC.
Por el criterio de congruencia ALA se tiene que ABC ≅ CDA. Análogamente, se obtiene que
ABD ≅ CDB.
TEOREMA 3.3.
Un cuadrilátero es un paralelogramo sii los lados opuestos son iguales.
Demostración:
Sea ABCD un paralelogramo. En el teorema anterior vimos que ABC ≅ CDA. Luego, AB = CD y
BC = AD. Recíprocamente, sea ABCD un cuadrilátero tal que AB = CD y BC = AD. Por el
criterio de congruencia LLL se tiene que ABC ≅ CDA. Por tanto, ∠BAC = ∠DCA y ∠BCA =
∠DAC. Por el teorema 2.34 se deduce que los pares de rectas AB, CD y BC, AD son paralelas.
Por ende, ABCD es un paralelogramo.
DEFINICIÓN 3.4.
El triángulo formado por las paralelas a los lados de un triángulo dado, que pasan por sus vértices
opuestos, se llama el triángulo antimedial o anticomplementario del triángulo dado.
EJEMPLO 3.12.
Si XYZ es el triángulo antimedial del triángulo ABC, entonces ABC es el triángulo medial del
triángulo XYZ:
Z
A
Y
Solución:
B
C
D
X
182
Los pares de rectas XY, AB; YZ, BC y XZ, AC son paralelas. Luego, ABCY, BXCA y AZBC
son paralelogramos. Por el teorema anterior se ve que AB = CY, AY = BC, BX = AC, AB = XC,
AZ = BC y AC = BZ. Por tanto, ZA = AY, XC = CY y XB = BZ. Por consiguiente, A, B y C son
los puntos medios de los lados YZ, XZ y XY del triángulo XYZ.
TEOREMA 3.4
Las alturas de un triángulo son concurrentes.
Demostración:
Sean AD , BE y CF las alturas del triángulo ABC. Como AX es perpendicular a BC se sigue que
es perpendicular al lado paralelo XY del triángulo antimedial. Ya que A es punto medio de YZ
por el ejemplo anterior se sigue que AD es mediatriz del lado YZ. Por tanto, hemos visto que las
alturas de un triángulo son las mediatrices de los lados de su triángulo antimedial. Por el teorema
2.18 dichas alturas se cortan.
DEFINICIÓN 3.5.
La intersección de las alturas de un triángulo se llama el ortocentro del triángulo. El triángulo
cuyos vértices son los pies de las alturas de otro triángulo se llama triángulo órtico de éste.
A
COMENTARIO 3.4.
Y
A
A
Z
Y
H
X
C
B
Z
B
C
X
H
En las dos figuras anteriores H es el ortocentro del triángulo ABC y XYZ es su triángulo órtico.
Lea la tarea 2.4.
TEOREMA 3.5.
Un cuadrilátero es un paralelogramo sii dos lados opuestos son paralelos e iguales.
D
C
Demostración:
y
A
x
x
y
B
Si el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo, entonces dos lados opuestos son paralelos por la
definición 3.4 y son iguales por el teorema 3.3. Recíprocamente, sea ABCD un cuadrilátero tal
que AB y CD son lados paralelos e iguales. Los ángulos ABD y CDB son iguales a x por ser
ángulos alternos internos entre las paralelas AB y CD cortadas por BD. Por el criterio de
congruencia LAL se sigue que ABD ≅ CDB. Por tanto, ∠ADB = ∠CBD = y. Pero, estos dos
ángulos son ángulos alternos internos entre las rectas AD y BC cortadas por BD. Luego, AD y
BC son paralelas. En consecuencia, ABCD es un paralelogramo.
183
TEOREMA 3.6.
Un cuadrilátero es un paralelogramo sii sus ángulos opuestos son iguales.
D
Demostración:
A
α
B
C
Sea ABCD un cuadrilátero. Si ABCD es un paralelogramo, entonces del teorema 3.2 se ve que
ABD ≅ CDB y ABC ≅ CDA. Luego, A = C y B = D. Recíprocamente, supóngase que A = C y B
= D. Del teorema 3.1 se tiene que A + B + C + D = 360°, o sea, 2C + 2D = 360°. Al dividir entre
2 vemos que C + D = 180°. Por otro lado, si x es un ángulo exterior en D, entonces x + D = 180°.
Al comparar con la igualdad anterior se tiene que x = C. Por el teorema 2.34 los lados AD y BC
son paralelos. Además, ya que A = C se ve que A = x. Por el corolario 2.11 vemos que AB y CD
son paralelos.
EJEMPLO 3.13.
Dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios.
Solución:
En la demostración del teorema 3.6 se vio que C + D = 180°. Luego, A + B = C + D = 180° ya
que A = C y B = D. En el teorema anterior se tiene que 180° = x + D = A + D.
TEOREMA 3.7.
Un cuadrilátero es un paralelogramo sii sus diagonales se bisecan.
D
Demostración:
C
O
A
B
Sea O la intersección de las diagonales AC y BD de un cuadrilátero ABCD. Si ABCD es un
paralelogramo, entonces ∠ABD = ∠CDB y ∠CAB = ∠DCA por el teorema 2.34 y AD = BC por
el teorema 3.5. Por el criterio de congruencia ALA se tiene que AOD ≅ COB. Luego, OA = OC y
OB = OD. Por tanto, O biseca ambas diagonales. Recíprocamente, supóngase que OA = OC y
OB = OD. Del ejemplo 2.78 y el teorema 3.5 se deduce que ABCD es un paralelogramo.
EJEMPLO 3.14.
Un triángulo y su triángulo medial tienen el mismo baricentro.
Solución:
A
F
M
B
E
C
D
184
Sea DEF el triángulo medial de un triángulo ABC. El cuadrilátero AFDE es un paralelogramo y
del teorema anterior se sigue que sus diagonales AD y FE se bisecan en un punto que llamaremos
M. Así, M es mediana del triángulo medial. O sea, las medianas del triángulo ABC contienen las
medianas del triángulo DEF. En consecuencia, sus intersecciones coinciden.
EJEMPLO 3.15.
Los segmentos que unen los puntos medios de los pares de lados opuestos de un cuadrilátero y el
segmento que une los puntos medios de las diagonales son concurrentes y se bisecan.
A
Solución:
Q
M
X
D
O
Y
P
B
C
N
Sean M, N, P, Q los puntos medios de los lados AB, BC, CD, DA de un cuadrilátero ABCD.
Sean X,Y los puntos medios de las diagonales AC y BD. Los segmentos MP y NQ son las
diagonales del paralelogramo de Varignon del cuadrilátero ABCD y por el teorema 3.7 dichas
diagonales se bisecan en O. Por otro lado, de los teoremas 2.5 y el corolario 2.14 se ve que MX y
PY son paralelos a AD y valen su mitad. Por tanto, MX y PY son iguales y paralelos. Por el
teorema 3,.5 el cuadrilátero MXPY es un paralelogramo. Luego, sus diagonales XY y PM se
bisecan en O. hemos demostrado que MP, NQ y XY pasan por O y se bisecan allí.
EJEMPLO 3.16.
Las diagonales AC y BD de un paralelogramo ABCD se bisecan en el punto O. Supóngase que
AO = x + 20°, BD = 12 – 2x y OC = 2 – x. Halle AC, OB, OD, AO y OC.
Solución:
Como OA = OC se sigue que x + 20 = 2 – x y así x = -9. Luego, AC = 2OA = 2(-9 + 20) = -22,
1
1
OB = , OD = OB = 15, AO = -9 + 20 = 11 y OC = 2 – (-9) = 11. BD = [12 − 2(−4)] = 15
2
2
EJEMPLO 3.17.
Dos vértices opuestos de un paralelogramo equidistan de la diagonal que pasa por los otros dos
A
D
vértices.
Y
Solución:
O
X
B
C
Sean X,Y las proyecciones ortogonales de los vértices A, C sobre la diagonal BD de un
paralelogramo ABCD. Por el teorema 3.7 las diagonales AC y BD se bisecan en O. Entonces
OA = OC. Además, ∠AOX = ∠COY por ser ángulos opuestos por el vértice. Del criterio HA se
deduce que AOX ≅ COY. Por consiguiente, AX = CY.
185
EJEMPLO 3.18.
Sean AD, BE, CF las medianas de los lados BC, AC, AB en un triángulo ABC. Trace el
segmento FG paralelo e igual a la mediana BE. Entonces los lados del triángulo FCG son iguales
a las medianas del triángulo ABC. Si K es la intersección de las rectas FE, CG, entonces FK =
3
BC
4
A
y FK es mediana del triángulo FCG.
G
Solución:
F
E
K
B
C
D
Del teorema 3.5 se deduce que FBEG es un paralelogramo. Por tanto, FB y EG son iguales y
paralelos. Ya que DE es también paralela e igual a BF se concluye que D, E, G son colineales y E
es el punto medio de DG. Además, AB = 2FB = 2DE = DG y, AB y, DG son paralelas. Como
GD y, AC se bisecan en E, resulta que ADCG es un paralelogramo por el teorema 3.7. Así,
AD = CG. Como FE es paralela a BC se sigue que EK es paralela a DC. En el triángulo GDC
1
1
1
1
vemos que EK =
DC . Luego, FK = FE + EK =
BC + DC = DC + DC =
2
2
2
2
3
3⎛1
⎞ 3
DC = ⎜ BC ⎟ = BC . Por último, K es el punto medio de CG y FK es mediana del triángulo
2
2⎝2
⎠ 4
FCG.
EJEMPLO 3.19.
Sean E y F puntos interiores de los lados AC y AB de un triángulo ABC. entonces los segmentos
BE y CF no se bisecan.
A
Solución:
F
E
B
C
Si BE y CF se bisecan, entonces por el teorema 3.7 se ve que BCEF es un paralelogramo lo cual
es absurdo porque los lados opuestos BF y CE se cortan en A.
DEFINICIÓN 3.6.
Se llama rectángulo a un cuadrilátero equiangular.. Se llama rombo a un cuadrilátero equilátero.
Se llama cuadrado a un cuadrilátero equiangular y equilátero.
COMENTARIO 3.4.
ancho
Rectángulo
Rombo
largo
Cuadrado
186
En el corolario 2.1 vimos que un triángulo es equilátero sii es equiangular. En los cuadriláteros
eso no es cierto excepto para el cuadrado. Un rectángulo es equiangular, pero no es
necesariamente equilátero. Un rombo es equilátero más no es necesariamente equiangular. En un
rectángulo de lados consecutivos desiguales al lado mayor se acostumbra a llamar su largo, y al
lado menor su ancho o su alto.
COROLARIO 3.1.
Los ángulos de un rectángulo son rectos.
Demostración:
Ejemplo 3.5.
COROLARIO 3.2.
Todo rectángulo es un paralelogramo.
Demostración:
Si ABCD es un rectángulo, entonces por el teorema anterior A = C = 90 y B = D = 90. Por el
teorema 3.6 resulta que ABCD es un paralelogramo.
COROLARIO 3.3.
Todo rombo es un paralelogramo.
Demostración:
Si ABCD es un rombo, entonces AB = BC = CD = DA y debido al teorema 3.3 se tiene que es un
paralelogramo.
COROLARIO 3.4.
Todo cuadrado es un paralelogramo.
Demostración:
Basta ver que un cuadrado es un rectángulo.
TEOREMA 3.8.
Las diagonales de un rectángulo son iguales.
Demostración:
A
D
B
C
Sea ABCD un rectángulo. Entonces AB = CD y B = D = 90. Por el criterio de congruencia LAL
se tiene que ABC ≅ DCB y así AC = BD.
EJEMPLO 3.20.
Dado un rectángulo ABCD con AB = 3 y AD = 4, halle AC.
Solución:
Como ABD es un triángulo rectángulo en A al aplicar el teorema de Pitágoras se tiene que
BD2 = AB2 + AD2 = 32 + 42 = 25. Por tanto, BD = 5 al extraer raíz cuadrada. Por el teorema
anterior se tiene que AC = BD = 5.
187
EJEMPLO 3.21.
Un rectángulo tiene diagonal 15. El ancho del rectángulo es la mitad de su largo. Halle el
perímetro del triángulo.
Solución:
Si x es el ancho del rectángulo, entonces por las condiciones del problemas se tendrá que su largo
es 2x . Así, el perímetro es p = 2x + 2(2x) = 6x. El teorema de Pitágoras aplicado a uno de los
triángulos rectángulos se tiene que x2 + (2x)2 = 152. O sea, 5x2 = 225 y se tendrá que x 2 = 45. Por
tanto, x = 3 5 . En consecuencia el perímetro es p = 18 5
EJEMPLO 3.22.
Si el perímetro de un rectángulo es p y su diagonal es d, halle la diferencia entre el largo y el
ancho del rectángulo.
Solución:
Sean d = AC, x = BC, y = AB en la figura anterior. El perímetro es 2x + 2y = p y al dividir por 2
x+y=
p
2
......... (a).
Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo ABC se tiene que
x2 + y2 = d2 ......... (b)
Al elevar la igualdad (a) al cuadrado se obtiene que x2 + y2 + 2xy =
p2
y usando (b) se tiene que
4
p2
p2
d + 2xy =
y vemos que 2xy =
− d 2 . Por tanto, (x−y)2 = x2 + y2 − 2xy =
4
4
2
2
⎡p
⎤
1
p
y al extraer raíces cuadradas se tiene que x − y =
8d 2 − p 2 .
d 2 − ⎢ − d 2 ⎥ = 2d 2 −
2
4
⎣4
⎦
2
TEOREMA 3.9.
En un rombo las diagonales son perpendiculares
y son bisectrices de sus ángulos.
A
Demostración:
O
B
D
C
Si el cuadrilátero ABCD es un rombo, entonces es un paralelogramo por el corolario 3.2. Por el
teorema 3.7 las diagonales AC y BD se bisecan en O. Como B y D equidistan de A y C la recta
BD es mediatriz de AC. Luego, AC y BD son perpendiculares. Al ser OD, OB alturas en los
triángulos isósceles ABC, ACD son también bisectrices.
COROLARIO 3.5.
En un cuadrado las diagonales son perpendiculares entre sí, iguales y bisectrices de sus ángulos.
Demostración:
Si un cuadrilátero es un cuadrado, entonces es un rombo por el corolario 3.4 y del teorema
anterior se ve que sus diagonales son perpendiculares entre sí y son bisectrices de sus ángulos. Ya
que el cuadrado es un rectángulo se sigue del teorema 3.8 que sus diagonales son iguales.
188
EJEMPLO 3.23.
La suma de las distancias, de un punto cualquiera de un lado de un rectángulo, a las diagonales es
D
P
C
constante.
S
Solución:
X
Q
Y
O
K
A
D
Sea P un punto del lado CD de un rectángulo ABCD. Sean X e Y las proyecciones ortogonales de
P sobre las diagonales AC y BD. Sea K la proyección ortogonal de D sobre AC y sea Q la
proyección ortogonal de P sobre BD. En el cuadrilátero PQKX tres de los ángulos son rectos.
Luego, dicho cuadrilátero es un rectángulo. Por ende, PX = QK y PQ es paralelo a AC. Los
ángulos DPQ y DCA son iguales por ser ángulos correspondientes entre las paralelas PQ y AC
cortadas por CD. Por los teoremas 3.7 y 3.8 se ve que OD = OC. Por tanto, ∠CDO =∠DCO =
∠DPQ. Así, DS = PS donde S es el corte de PQ y BD. Por otro lado, ∠DSQ = ∠PSY por ser
ángulos opuestos por el vértice. Por el criterio de congruencia HA se tiene que los triángulos
DQS y PYS son congruentes, y se tiene que PY = DQ. Así, PY + PX = DQ + QK = DK y esta
cantidad es constante por ser la distancia del vértice A a la diagonal AC.
EJEMPLO 3.24.
Sean E y F puntos de los lados AB, CD de un rectángulo ABCD tales que DEBF es un rombo.
Halle EF si AB = a y BC = b.
Solución:
D
F
C
O
A
B
E
Sean DF = FB = BE = ED = x. Luego, FC = CD – DF = AB – DF = a – x. Por el teorema de
Pitágoras en el triángulo BCF, rectángulo en C, se tiene que BF2 = FC2 + BC2. Esto quiere decir
a 2 + b2
. Por el teorema de
que (x – a)2 + b2 = x2, o sea, 2ax = a2 + b2 y se tiene que x =
2a
Pitágoras en el triángulo BCD se ve que BD = a 2 + b 2 . Por el teorema 3.9 las diagonales BD y
EF del rombo DEBF son perpendiculares y se bisecan en O. De lo anterior se tiene que
a 2 + b2
. Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo OEB se obtiene que
2
2
a 2 + b2
a 2 + b2
2
2
2
2
2
2
OB = OE + EB , o sea,
= OE + x = OE +
. Por ende,
4
4a 2
OB =
1
BD =
2
(
)
189
(a
)
⎤
a 2 + b2 b2
a 2 + b2
+ b2
a 2 + b2 ⎡ a 2 + b2
−
. Al extraer raíces cuadradas se
OE =
=
=
−
1
⎢
⎥
4a 2
4
4 a2
4 ⎣ a2
⎦
b
b 2
ve que OE =
a 2 + b 2 y así EF = 2OE =
a + b2
a
2a
2
2
2
TEOREMA 3.10.
El lugar geométrico de los puntos que están a una distancia dada de una recta dada está formado
por dos rectas paralelas a la recta dada.
Demostración:
P
Q
n
d
m
X
Y
Sea d la distancia dada y sea m la recta dada. Sea P un punto que está a la distancia d de m. Trace
por P la recta n paralela a m y sea X la proyección ortogonal de P sobre m. Si Q es un punto
cualquiera de n e Y es su proyección ortogonal sobre m, entonces PXYQ es un paralelogramo y
se tiene que PX = QY = d. Recíprocamente, sean P y Q dos puntos que están a la distancia d de m
y a un mismo lado de ella. Si X y Y son las proyecciones ortogonales de P y Q sobre m, entonces
PX y QY son iguales y paralelas. Del teorema 3.5 se deduce que PXYQ es un paralelogramo y se
tiene que P y Q está en una paralela a m a la distancia d.
DEFINICIÓN 3.7.
Sean m y n dos rectas paralelas. Si P es un punto de n y Q es su proyección ortogonal sobre m,
entonces la distancia PQ se llama la distancia entre las rectas m y n.
EJEMPLO 3.25.
Sea ABC un triángulo dado. Trace un triángulo isósceles XBC tal que tienen la misma base BC y
alturas iguales.
X
A
Solución:
B
C
D
Como ambos triángulos tienen la base común BC y deben tener la alturas iguales el tercer vértice
debe estar en la recta paralela a BC que pasa por A. Además, ya que el nuevo triángulo es
isósceles X debe estar en la mediatriz de BC. Por ende, el trazado es así: Trace la reccta paralela a
BC por A hasta cortar la mediatriz de BC en X. El triángulo pedido es XBC.
DEFINICIÓN 3.8.
Un trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y los otros dos no.
Los lados paralelos se llaman las bases del trapecio, y la distancia entre ellas se llama la altura
del trapecio. El segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos se llama base
media del trapecio Un trapecio se dice isósceles si los lados no paralelos son iguales.
190
D
M
C
m
X
N
A
B
TEOREMA 3.11.
La paralela a las bases de un trapecio trazada por el punto medio de un lado no paralelo corta al
lado opuesto en su punto medio.
Demostración:
Vea la figura anterior. Sea ABCD un trapecio de bases AB y CD. Trace por el punto medio M del
lado AD la recta m paralela a las bases. Por el corolario 2.15 en el triángulo ABD la recta m corta
a BD en su punto medio X. Por el mismo corolario aplicado en el triángulo BCD la recta m corta
a BC en su punto medio N.
TEOREMA 3.12.
La base media de un trapecio es paralela a las bases e igual a la semisuma de las mismas.
D
C
Demostración:
N
M
P
A
B
Sea MN la base media de un trapecio ABCD de bases AB y CD. Trace la recta DN hasta cortar la
recta AB en un punto P. Los ángulos DNC y PNB son iguales por ser ángulos opuestos por el
vértice. Los ángulos DCN y PBN son iguales por ser ángulos alternos internos entre las paralelas
CD y AB cortadas por BC. BN = NC ya que N es el punto medio de BC. Por el criterio de
congruencia ALA los triángulos DCN y PBN son congruentes. Luego, DN = NP y CD = BP. Así,
N es el punto medio de DP. Aplicando el corolario 2.15 en el triángulo APD se ve que MN es
1
1
1
paralela a AB. Del teorema 2.5 vemos que MN = AP = (AB + BP) = (AB + CD)
2
2
2
EJEMPLO 3.26.
La suma de las distancias de una recta, que pasa por el baricentro de un triángulo, a dos de sus
vértices situados del mismo lado es igual a la distancia de la recta al tercer vértice.
A
Solución:
Z
Y
m
G U
X
B
D
C
Sea m una recta cualquiera que pasa por el baricentro G de un triángulo ABC. Sea D el punto
medio del lado BC y sean X, Y, U, Z las proyecciones ortogonales de B, D, A, C sobre m. Las
rectas BX, DY, CZ, AU son paralelas entre sí porque todas ellas son perpendiculares a la misma
191
recta m. Esto quiere decir que BCZX es un trapecio de bases BX y CZ, y su base media es DY.
Por el teorema anterior se tiene que
2DY = BX + CZ ......... (a)
Los ángulos YGD y UGA son iguales por ser ángulos opuestos por el vértice y los ángulos DYG
y AUG son iguales por ser rectos. Por el segundo criterio de semejanza se tiene que los
AG AU
triángulos AGU y DGY son semejantes. Luego,
. Pero, el primer miembro vale 2 por
=
GD DY
el teorema 2.35. Por tanto,
AU = 2DY ......... (b)
De (a) y (b) se concluye que AU = BX + CZ.
TEOREMA 3.13.
En un trapecio isósceles los ángulos de las bases son iguales y las diagonales son iguales.
D
C
Demostración:
y
x
z
A
P
B
Sea ABCD un trapecio de bases AB y CD con AD = BC. La paralela a AD por C corta a AB en
P. En el paralelogramo APCD se tiene que AD = CP y z = A por ser ángulos correspondientes
entre las paralelas AD y CP cortadas por AB . Por hipótesis se tiene que AD = PC = BC y así el
triángulo BCP es isósceles de base BP. Por ende, z = B. Luego, A = B. Además, x = B e y = A
por ser ángulos alternos internos entre las bases paralelas. Por tanto, x = y y se tendrá que
C = 180 − x = 180 − y = D. Por el criterio de congruencia ALAse ve que los triángulos DCB y
CDA son congruentes. Por consiguiente, BD = AC.
EJEMPLO 3.27.
Sea ABCD un trapecio isósceles con AD = BC. Si P y Q son las proyecciones ortogonales de D y
C sobre la recta AB, entonces AP = BQ.
D
C
Solución:
A
B
Q
P
Por el criterio de congruencia HC los triángulos rectángulos APD y BQC son congruentes. Por
ende, AP = BQ.
EJEMPLO 3.28.
Si la base mayor de un trapecio isósceles es igual a una diagonal y la base menor es igual a la
altura, halle la razón entre las bases menor y mayor.
Solución:
Vea la figura del ejemplo anterior. Se tiene que AP = BQ = y, CD = PD = PQ = x. Luego,
BD = AB = AP+QB = x+2y. Del teorema de Pitágoras aplicado al triángulo BPD se tiene que
BD2 = PD2 + BP2, i.e., (x+2y)2 = x2 + (x+y)2. Efectuando las operaciones y simplificaciones se
obtiene que x2 − 2xy − 3y2 = 0. Esta ecuación es equivalente a (x+y)(x−3y) = 0, y ya que el
192
primer factor es positivo por ser la suma de distancias se tiene que x = 3y. Por ende,
x
3y
3
=
= .
x + 2 y 3y + 2 y 5
EJEMPLO 3.29.
Las diagonales AC, BD de un trapecio ABCD se cortan en un punto O. Sea M el punto medio de
la base AB y sea X la intersección de AC, DM. Trace por X la paralela a AB hasta cortar AD, DB
y BC en U, Y y Z. Entonces UX = XY = YZ.
D
C
Solución:
O
U
A
X
Y
D
Z
C
En los triángulos semjantes DUX y DAM se tiene que
UX DX
=
......... (a)
AM DM
En los triángulos semejantes DXY y DMB se tiene que
DX XY
=
......... (b)
DM MB
UX XY
. Como AM = MB se obtiene que UX = XY.
De (a) y (b) se sigue que
=
AM MB
En los triángulos semejantes CXZ y CAB se tiene que
XZ CZ
=
......... (c)
AB CB
Por el teorema de Thales se tiene que
CZ DX
=
......... (d)
CB DM
XZ XY
. Ya que AB = 2MB se tendrá que XZ = 2XY y, en
De (c), (d), (b) se obtiene que
=
AB MB
consecuencia, XY = YZ.
193
EJERCICIOS §3.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
Toda recta paralela a un lado de un triángulo corta los otros dos lados o sus prolongaciones en puntos que
forman triángulos semejantes.
El segmento que une los pies de las alturas iguales de un triángulo isósceles es paralelo a la base.
Halle el perímetro del triángulo que se forma al prolongar los lados no paralelos de un trapecio, conociendo
sus cuatro lados.
Por el vértice C del paralelogramo ABCD se traza una recta que divide la diagonal BD en dos partes de
modo que una de ellas sea cuatro veces la otra. Entonces esa recta divide al lado AD en dos partes donde
una de ellas es el triple de la otra.
Un vértice de un triángulo variable es fijo y el lado opuesto, de longitud variable, está sobre una recta fija.
El lugar geométrico de las proyecciones ortogonales del vértice fijo sobre las bisectrices de los otros dos
ángulos del triángulo es una recta.
En un cuadrilátero ABCD una paralela a la diagonal BD corta a AB en E y a AD en F; otra paralela a BD
corta a BC en G y a CD en H. Entonces las rectas EG, FH, AC son concurrentes.
En todo cuadrilátero la recta que pasa por los puntos medios de las diagonales determinan sobre dos lados
opuestos segmentos proporcionales.
Sea F un punto de la prolongación del lado AD del paralelogramo ABCD. La recta FC corta a AB en el
AB AD
punto E. Entonces
+
= 1.
AE AF
Si la mediana AM del lado BC de un triángulo ABC se prolonga hasta D en su misma longitud, entonces los
pares de segmentos AB, CD y AC, BD son paralelos e iguales.
La mediana de un lado de un triángulo es menor que la media aritmética de los otros dos lados.
La suma de las medianas de un triángulo es menor que su perímetro.
Si dos medianas de un triángulo son iguales, entonces dicho triángulo es isósceles.
En un triángulo isósceles la bisectriz exterior del ángulo vertical es paralela a la base.
Exprese el recíproco del ejercicio anterior y demuéstrelo.
Si por un punto de la bisectriz de un ángulo se traza una paralela a uno de sus lados se forma un triángulo
isósceles.
En todo triángulo la paralela trazada por el incentro a uno de sus lados determina sobre los otros dos lados
un segmento que es igual a la suma de los segmentos comprendidos entre las paralelas.
El lugar geométrico de los puntos medios de los segmentos que unen los puntos de una recta dada con un
punto dado es una recta paralela a la dada.
El lado BC de un triángulo variable ABC es fijo y la suma AB+AC = k es constante. La recta DP trazada
por el punto medio D de BC y paralela a AB corta la paralela CP por C a la bisectriz interior AW del ángulo
A en P. El lugar geométrico de P es una circunferencia de centro D.
Sea P un punto exterior a dos rectas paralelas dadas m y n. Trace una transversal fija por P que corte a m y n
en A y B. Trace una transversal variable que corte a m y n en Q y S. Halle el lugar geométrico del punto de
intersección de las rectas AS y BQ.
Se prolonga el cateto CA de un triángulo ABC rectángulo en A hasta D de modo que AD = AC. Si H es la
proyección ortogonal de D sobre la recta BC y G es el corte de GH con AB, entonces CG es perpendicular a
BD.
La recta que pasa por un vértice de un triángulo y el punto medio de una mediana corta al lado opuesto al
vértice considerado en un punto de trisección.
Dos triángulos son congruentes si dos lados y la mediana comprendida entre ellos de un triángulo son
iguales a dos lados y la mediana comprendida entre ellos del otro triángulo.
AB > AC en el triángulo ABC. Si D es el punto medio de BC, entonces ∠CAD > ∠BAD.
Las bisectrices interior y exterior del ángulo C de un triángulo ABC cortan al lado AB en D y E. La recta
que pasa por D y es paralela a BC corta al lado AC en P. Entonces la recta EP corta al lado BC en su punto
medio.
Sea P un punto del lado AB de un triángulo ABC de modo que AB = 3AP. Si la mediana AM de BC corta a
CP en Q, entonces Q biseca a AM y PC = 4PQ:
Sea D un punto cualquiera del lado BC de un triángulo isósceles ABC de base BC, y sea F un punto de la
recta AC de modo que FD corta a BC en el punto medio M de DF. Entonces CF = BD.
El ángulo desigual A de un triángulo isósceles ABC es la mitad de un ángulo recto. Si la altura CQ corta la
altura AD en P, entonces PQ = QB.
194
28.
29.
30.
Sea I el incentro de un triángulo equilátero ABC. Las paralelas a AB y AC por I cortan a BC en los puntos
de trisección.
Sean AW la bisectriz del ángulo BAC, P un punto cualquiera del lado AC y PG la paralela a AW. Si Q es un
punto cualquiera de PG, entonces la diferencia de distancias de Q a los lados AB y AC es constante.
En la figura a la derecha los lados de ambos triángulos son paralelos entre sí.
A
Si EF = 5, DE = 4, DF = 6 y BC = 8, halle AB y AC.
D
E
B
31.
32.
33.
F
C
Si dos triángulos tienen sus lados paralelos son semejantes.
En un paralelogramo dos lados consecutivos son inversamente proporcionales a sus respectivas alturas.
Si dos triángulos semejantes tiene sus lados correspondientes paralelos, entonces las rectas que unen los
respectivos vértices correspondientes son concurrentes. Este punto de concurrencia se llama centro de
semejanza de ambos triángulos. ¿Cuál es la excepción de este caso?
34.
m
P
n
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
Dos rectas m y n se cortan fuera del dibujo. Se desea trazar por el punto P una recta que pase por la
intersección de m y n. Mediante la figura anterior indique cómo se hace eso.
Dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios.
Si los lados de dos ángulos son perpendiculares, entonces ambos ángulos son iguales o suplementarios.
Las bisectrices de dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son perpendiculares.
La suma de las diagonales de un trapecio es menor que su perímetro y mayor que su semiperímetro.
Si una diagonal de un paralelogramo es bisectriz de un ángulo, entonces dicho el paralelogramo es un
rombo.
La base media de un trapecio pasa por los puntos medios de las diagonales, y el segmento por ellas
determinado es igual a la semidiferencia de as bases.
Los puntos medios de los lados de un cuadrado son los vértices de un cuadrado.
Los puntos medios de los lados de un trapecio isósceles son los vértices de un rombo.
Dos rectas trazadas por el punto de intersección de las diagonales de un paralelogramo cortan sus lados en
puntos que son vértices de otro paralelogramo.
Si de los vértices de un paralelogramo se trazan perpendiculares a una recta cualquiera, fuera de él, la suma
de los segmentos trazados desde dos vértices opuestos es igual a la suma de los segmentos trazados desde
los otros dos vértices.
Si dos ángulos agudos tienen sus lados perpendiculares sus bisectrices son perpendiculares.
Si dos ángulos, uno agudo y otro obtuso, tienen sus lados perpendiculares sus bisectrices son paralelas.
Las rectas que pasan por un vértice de un paralelogramo y los puntos medios de los lados opuestos trisecan
una de las diagonales.
La proyección ortogonal de un vértice de un triángulo sobre la bisectriz de otro ángulo está en un lado de su
triángulo medial o en la prolongación de un lado.
Las proyecciones ortogonales de un vértice de un triángulo sobre las cuatro bisectrices de los otros dos
ángulos son colineales.
Los pies de las perpendiculares trazadas desde dos vértices de un triángulo sobre la bisectriz del tercer
ángulo y el punto medio del lado que une los dos primeros vértices, determinan un triángulo isósceles cuyos
lados iguales son paralelos a los lados del triángulo dado que incluye la bisectriz considerada.
Sea M la intersección de las diagonales de un cuadrado construido sobre la hipotenusa BC de un triángulo
rectángulo dado ABC. La perpendicular a AM por M corta a AB y AC en L y N. Entonces BL = AC y CN =
AB.
195
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
Sea P un punto dentro de un triángulo ABC. Se prolongan los lados AP, BP, CP hasta los puntos D, E, F de
modo que AP = PD, BP = PE, CP = PF. Entonces los triángulos ABC y DEF son semejantes.
Se toma un punto G de un lado AB de un triángulo isósceles ABC de base BC, y se prolonga AC hasta D de
modo que BG = CD. Entonces GD > BC.
Si ABCD es un cuadrilátero con AB = CD y C > B, entonces DB > AC y A > D.
Sean A, B, C tres puntos colineales en ese orden. Sean ABDE y ACFG dos cuadrados de lados AB y AC
construidos del mismo lado. La recta que pasa por A y es perpendicular a GB biseca al segmento EC.
La suma de las distancias de los vértices de un triángulo a cualquier recta es igual a la suma de las distancias
de los puntos medios de los lados del triángulo a la recta.
Si un triángulo y un cuadrilátero se trazan sobre la misma base y el cuadrilátero está completamente dentro
del triángulo, entonces el perímetro del triángulo es mayor que el perímetro del cuadrilátero.
Sea ABC un triángulo rectángulo en B. Sobre AB y BC se construyen dos cuadrados ABDE y BCGH fuera
del triángulo. Sean L y K las proyecciones ortogonales de E y G sobre la recta AC, entonces AC = EL+GK.
(a)
Las bisectrices de los ángulos de cualquier cuadrilátero determinan otro cuadrilátero en el que los
ángulos opuestos son suplementarios.
(b)
Si el primer cuadrilátero es un paralelogramo, el segundo es un rectángulo donde sus diagonales
son paralelas a los lados del paralelogramo e iguales a la diferencia de sus lados adyacentes.
(c)
Si el primer cuadrilátero es un rectángulo, el segundo es un cuadrado.
Un punto C está en un segmento AB de modo que AC = 2BC: Tres paralelas se trazan por A, B, C y cortan
una recta dada m en los puntos L, M, N de modo que estos puntos están todos del mismo lado de m.
Entonces AL + 2BM = 3CN.
La distancia del baricentro de un triángulo a una recta dada es igual a la media aritmética de las distancias
de sus vértices a la recta.
La suma de las distancias de un punto cualquiera de la base de un triángulo isósceles a los lados iguales es
constante.
La suma de las distancias de un punto interior de un triángulo equilátero a sus lados es constante.
Sobre los lados AB y AC de un triángulo ABC se construyen los cuadrados ABDE y BCJK fuera del
triángulo. Entonces CD y AK son perpendiculares.
En un triángulo la suma de dos medianas es mayor que la tercera.
Si los pares de lados opuestos de un cuadrilátero se prolongan hasta cortarse en dos puntos, entonces las
bisectrices de los ángulos en esos puntos forman un ángulo que es igual a la semisuma de dos ángulos
opuestos en el cuadrilátero.
Si M es la intersección de las rectas que unen los puntos medios de los pares de lados opuestos AB, CD y
BC, AD de un cuadrilátero ABCD, entonces la suma de las distancias de A, B, C, D a una recta m es igual a
cuatro veces la distancia de M a m.
Se construye un paralelogramo BCA`D` en un lado BC de un paralelogramo ABCD de modo que AB y BD`
sean lados contiguos. Se construye un tercer paralelogramo ABD`C`. Entonces AA`, BB`, CC` son
concurrentes.
La intersección de las diagonales del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo
equidista de sus catetos.
Sea ABCD un paralelogramo con AB = 2BC. El lado BC se prolonga en ambos lados hasta E y F de modo
que BE = BC = CF. Entonces AF es perpendicular a DE.
Si las diagonales de un paralelogramo son perpendiculares, entonces dicho cuadrilátero es un rombo.
(a)
Un triángulo equilátero tiene tres ejes de simetría
(b)
¿Cuántos tiene un cuadrado? ¿y un rectángulo?.
Sea ABC un triángulo rectángulo en A. Del pie H de la altura AH se trazan perpendiculares HE y HD sobre
AB y AC. Entonces
(a)
DE = AH
(b)
Si M es el punto medio de BC, entonces AM es perpendicular a DE.
(c)
Si N es el punto medio de AB y BX es paralela a DE, entonces MN y BX se cortan sobre AH.
(d)
AM y HD se cortan sobre BX.
Si dos ángulos opuestos de un cuadrilátero son rectos, entonces las bisectrices de los otros dos ángulos son
paralelas.
En un cuadrilátero ABCD se tiene que AB = AD, BC = CD y al prolongar los lados opuestos se cortan en
M y N. Entonces MN es paralela a BD.
196
78.
Si en el paralelogramo ABCD de la figura se tiene que DG = BE y CF = AH, entonces CFGH es un paraH
lelogramo.
A
D
G
E
B
C
F
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
97.
98.
99.
100.
101.
En un cuadrilátero la suma de las diagonales es mayor que la suma de dos lados opuestos.
En un paralelogramo ABCD se prolonga AB hasta E con BE = BC, y se prolonga AD hasta F con DF = DC.
Entonces ∠DEF = ∠BCE y los puntos F, C, E son colineales.
En un paralelogramo la recta que pasa por los puntos medios de dos lados opuestos se divide en dos partes
iguales por el punto de intersección de las diagonales.
Sobre los lados de un ángulo de vértice O se toman los segmentos OA y OB de modo que OA+OB = k (k
dado), y se construye un paralelogramo OBAC. ¿Cuál es el lugar geométrico del punto C?.
Halle el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos rectas dadas que se corten es
constante.
Halle el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a dos rectas dadas que se corten es
constante.
Se tiene un paralelogramo ABCD con CD = 2AD. Se unen A y B con el punto medio M del lado CD.
Entonces el ángulo AMB es recto.
La diferencia de distancias de un punto M de la prolongación de la base BC de un triángulo isósceles ABC a
los lados iguales es constante.
La mediana de un triángulo está comprendida entre la semisuma y la semidiferencia de los lados que parten
del mismo vértice.
Se prolongan los lados AB, BC, CD, DA de un cuadrado ABCD hasta los puntos M, N, P, Q de modo que
AB = BM, BC = CP, CD = DN, DA = AQ. Entonces MN = PQ.
Si M es un punto del lado AD de un cuadrado ABCD y N es un punto del lado CD de modo que AM = DN,
entonces AN y MN son perpendiculares.
Sobre los catetos BA y AC de un triángulo rectángulo ABC se construyen los cuadrados ABDE y ACFG. Se
trazan DD` y FF` perpendiculares a BC. Entonces DD` + FF` = BC, los puntos D, A, F son colineales y las
rectas DE, FG, AH son concurrentes.
Sobre los lados AB, BC, CD, DA de un cuadrado ABCD se toman los puntos A`, B`, C`, D` de modo que
AA`, BB`, CC`, DD` son un cuarto del lado del cuadrado. Entonces A`B`C`D` es un cuadrado y en ambos
cuadrados las diagonales se cortan en el mismo punto.
Sobre los lados de un cuadrado ABCD se cosntruyen exteriormente cuatro triángulos equiláteros AEB,
BFC, CGD y DHA. Entonces EFGH es un cuadrado.
Si dos paralelas son cortadas por una secante, entonces las biscetrices de los ángulos interiores forman un
rectángulo.
En un rombo ABCD se trazan BM perpendicular a AD y DN perpendicular a BC. Entonces BMDN es un
rectángulo.
De los vértices B y D de un rombo ABCD se trazan perpendiculares BM, BN, DP, DQ a los lados opuestos,
y se cortan en E y F. Entonces BFDE es un rombo y ambos rombos tienen iguales sus ángulos.
Los puntos medios de los lados de un trapecio isósceles son los vértices de un rombo.
Sean M, N, P los puntos medios de los lados AB, AC, BC de un triángulo ABC. Trace la altura AH.
Entonces MNPH es un triángulo isósceles.
Por el punto medio M del lado AB de un triángulo ABC se traza la perpendicular a AB hasta cortar a BC en
N. Si N es el punto medio de BC, entonces el triángulo ABC es rectángulo.
Por el punto medio M del lado AB de un triángulo ABC se traza una recta cualquiera que corta a AC en N.
Se prolonga NM en su misma longitud hata P. Entonces PB es paralela a AC.
Se trazan las medianas AM y BN en el triángulo AQBC. Por N se traza la paralela a BC hasta cortar en P a
la paralela a BN que pasa por C. Si D es el punto medio de PN, entonces CD es paralela a MN.
Sea AF la bisectriz de A en el triángulo ABC. Trace por F la paralela FE a AB y por E la paralela ED a BC.
Entonces AE = BD.
197
102.
103.
104.
105.
106.
107.
108.
109.
110.
111.
112.
113.
114.
115.
116.
117.
118.
119.
120.
121.
122.
123.
124.
125.
126.
127.
128.
129.
130.
En el trapecio isósceles ABCD se trazan las diagonales AC y BD. Las bisectrices de los ángulos DAB y
DBA se cortan en F, y las de los ángulos CBA y CAB en G. Entonces FG es paralela a AB.
Si ABCD es un trapecio donde la base menor CD es igual a la suma de los lados no paralelos AD y BC,
entonces las bisectrices de A y B se cortan en CD.
Se prolongan los lados no paralelos de un trapecio ABCD hasta cortarse en E. Se unen los puntos medios M
y N de AE y BE, y los puntos medios P y Q de las diagonales AC y BD. Entonces MNPQ es un trapecio.
Sean M y N los puntos medios de las bases AB y CD de un trapecio ABCD, y sean P y Q los puntos medios
de las diagoanles AC y BD. Entonces los ángulos M y N del cuadrilátero MNPQ son iguales al ángulo
formado por los lados no paralelos de trapecio al cortarse.
Por los extremos A y B de la base mayor de un trapecio ABCD se trazan paralelas a BC y AD hasta cortar a
CD en M y N. Entonces los ángulos en M y N son iguales a los ángulos B y A del trapecio dado.
Sean BE y CF dos medianas del triángulo ABC que miden 3 y 6, y son perpendiculares. Sea AD la otra
mediana. Se prolonga FE hasta P en su misma longitud. Calcule AP y DP. ¿Qué tipo de triángulo es APD?.
En un triángulo ABC las medianas AA`, BB`, CC` se cortan en G. Si D es el punto medio de AG y E es el
punto medio de BG, entonces BEA`B` es un paralelogramo.
Sean AD, BE, CF las medianas del triángulo ABC. Por el punto D se traza un segmento paralelo e igual a
BE. Entonces AD = CF.
Sea AB un segmento de la recta m y sea O un punto fuera de m. Trace A` y B` simétricos de A y B, respecto
de O. Entonces A`B` es paralelo a AB y A`B es paralelo a AB`.
En un rectángulo ABCD se tiene que el ángulo O de sus diagonales es 130, BE es perpendicular a AC y BF
es la bisectriz del ángulo OBE. Halle ∠BFC.
Establecer − si existen − el centro y el eje de simetrías en cada una de las siguientes figuras:
(a)
Un rectángulo.
(b)
Un rombo
(c)
Un cuadrado.
(d)
Un triángulo cualquiera.
En un paralelogramo el corte de las diagonales es su centro de simetría.
La figura simétrica de una recta, respecto de un punto, es una recta paralela a ella.
La figura simétrica de una recta, respecto de un eje, es una recta.
Sea P un punto interior de la base BC de un triángulo isósceles ABC. Las paralelas por P a los lados iguales
forman un paralelogramo cuyo perímetro es igual a la suma de los lados iguales del triángulo.
Los segmentos que unen los puntos medios de los pares de lados opuestos de un cuadrilátero se bisecan.
Sea ABCD un paralelogramo con AD > AB. La bisectriz de A corta a BC en G y la bisectriz de B corta a
AD en H. Entonces ABGH es un rombo.
Un cuadrilátero se llama un cometa si exactamente una diagonal es la mediatriz de la otra diagonal.
Entonces un cometa tiene dos pares de lados congruentes, pero sus lados opuestos no son congruentes.
En un triángulo equilátero BAC la altura AH es 9. Por H se trazan perpendiculares a los otros dos lados.
Entonces esos segmentos son iguales y calcule cada uno de ellos.
Sea ABC un triángulo isósceles de base BC y sea m una recta que pasa por A y no pasa por los otros dos
vértices. Sean X e Y dos puntos de m de modo que AX = AY = AB. Entonces los pares de rectas XC, YC y
XB, YB son perpendiculares.
Si el lado AB de un triángulo equilátero ABC se prolonga hasta D en su misma longitud, entonces ∠BCD =
30.
Si cada diagonal de un cuadrilátero biseca dos de sus ángulos, entonces el cuadrilátero es un rombo.
La suma de las longitudes de las perpendiculares desde cualquier punto de un lado de un triángulo
equilátero a los otros dos lados, es igual a la altura.
Sean M y N los puntos medios de los lados AB y AC de un triángulo ABC. Prolónguese CM hasta P y BN
hasta Q en sus mismas longitudes. Entonces A es el punto medio PQ.
Si M es el punto medio del lado AB de un triángulo ABC y D es un punto de AC de modo que AE > AC y
las rectas ME y BC se cortan en F, entonces FB.CE = FC.EA.
El triángulo ABC es rectángulo en C. La bisectriz de B corta a AC en D y la bisectriz del ángulo exterior en
B corta a AC en E. Si BD = 15 y BE = 20, halle el perímetro del triángulo.
La mediatriz de la bisectriz AD en el triángulo ABC corta a AC en E. Entonces DE es paralela a BC.
En un trapecio la bisectriz del ángulo que forman las prolongaciones de los lados no paralelos divide a las
bases en segmentos proporcionales a los lados no paralelos que les son adyacentes.
Una recta que pasa por los puntos medios de las diagonales de cualquier cuadrilátero corta dos lados
opuestos en segmentos proporcionales.
198
131.
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156.
157.
Sea ABCD un paralelogramo. Por el vértice C se traza una recta exterior al paralelogramo, y corta las
AB AD
prolongaciones de AB y AD en E y F. Entonces
+
=1.
AE AF
En un trapecio ABCD la suma de las bases AB+CD es igual a la suma BC+DA de los lados no paralelos.
Por el punto de intersección de las diagonales se traza una paralela a las bases y corta los lados AD y BC en
M y N. Entonces AM+BN = AB y DM+CN = DC.
En un paralelogramo ABCD las distancias de un punto cualquiera de la diagonal AC a los lados AB y AD
son inversamente proporcionales a esos lados.
Por el vértice A de un paralelogramo ABCD se traza una recta que corta las rectas BC y BD en E y F.
Entonces BE.DF = AB.AD.
Sea G el baricentro del triángulo ABC. Entonces AB2 + BC2 + CA2 = 3(AG2 + BG2 + CG2).
La suma de los cuadrados de los cuatro lados de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de
sus diagonales.
La suma de los cuadrados de las distancias de un punto M a los vèrtices opuestos A y C de un rectángulo
ABCD es igual a la suma de los cuadrados de las distancias de M a los otros dos vértices B y D.
Las distancias de un punto cualquiera de la diagonal AC de un paralelogramo ABCD a los lados AB y AD
son inversamente proporcionales a esos lados.
En un rectángulo ABCD se tiene que AB = AD 2 . Entonces las proyecciones ortogonales de A y C sobre
la diagonal BD la divide en tres partes iguales.
Por el vértice A de un paralelogramo ABCD se traza una transversal que corta la diagonal BD en el punto E
y a los lados CB, CD en F y G. Entonces EA es la media geométrica de EF y EG.
Considérese un paralelogramo ABCD. Entonces la mediana CM del triángulo ABC y la mediana AN del
triángulo ACD son paralelas. Halle además una condición necesaria y suiciente para que CM sea bisectriz
del ángulo ACB.
En un cuadrilátero ABCD el ángulo que forman las bisectrices de dos ángulos consecutivos es igual a la
semisuma de los otros dos ángulos. Uno de los ángulos que forman las bisectrices de dos ángulos opuestos
es igual a la senmidiferencia de los otros dos ángulos.
¿Cómo debe ser un cuadrilátero ABCD para que su paralelogramo de Varignon sea un rectángulo? ¿y para
que sea un rombo? ¿y para que sea un cuadrado?.
Sea ABC un triángulo rectángulo en B. Trace por C la perpendicular a la hipotenusa AC de modo que CP =
BC. Entonces BP es paralela o perpendicular a la bisectriz de A.
Supóngase que en un triángulo ABC la mediana AM es tal que ∠CAM = 2∠BAM. Prolongue AM hasta D
de modo que el ángulo DBA es recto. Entonces AD = 2AC.
En un cuadrado ABCD, M es el punto medio de AB. Una perpendicular a MC por M corta a AD en K.
Entonces ∠BCM = ∠KCM.
En un triángulo ABC sean P y Q las proyecciones ortogonales de C sobre las bisectrices de A y B. Entonces
PQ es paralela a BC.
¿Qué pasa en el ejercicio anterior si el triángulo BAC es equilátero?.
En un cuadrado ABCD, CF es bisectriz del ángulo ACD y la perpendicular por B a CF corta la diagonal AC
en P y al lado CD en Q. Entonces DQ = 2PE.
En un cuadrado ABCD se tiene que ∠EDC = ∠ECD = 15. Entonces el triángulo ABE es equilátero.
Sean D, E, F los puntos medios de los lados AC, AB, BC de un triángulo ABC. Sea BG la altura del lado
AC. Entonces ∠EGF = ∠EDF.
La suma de las distancias de un punto de un lado de un rectángulo a las diagonales es constante.
Sean G, K los puntos medios de los lados AB, BC de un triángulo ABC. Sean BE y AD sus alturas que se
cortan en H y sea F el punto medio de AH. Entonces ∠FGK = 90.
En un paralelogramo ABCD, M es el punto medio de BC y T es la proyección ortogonal de D sobre AM.
Entonces CT = CD.
Sea m una recta cualquiera que pasa por el vértice C de un triángulo ABC y corta al lado opuesto en un
punto interior. Si P y Q son las proyecciones ortogonales de A y B sobre m, entonces M equidista de P y Q.
En los lados AB y AD de un paralelogramo ABCD se trazan los triángulos equiláteros ABF y ADE.
Entonces FCE es un triángulo equilátero.
Si un cuadrado se traza externamente en cada lado de un paralelogramo, entonces
los centros de esos cuadrados forman un cuadrado.
(a)
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(b)
158.
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183.
las diagonales de este último cuadrado son concurrentes con las diagonales del paralelogramo
original.
La base mayor de un trapecio mide 97. El segmento que mide los puntos medios de sus diagonales mide 3.
Halle la medida del lado menor del trapecio.
Sea BE una mediana en el triángulo ABC y sea O el punto medio de BE. Trace AO hasta cortar a BC en D.
Trace CO hasta cortar a BA en F. Si CO = 15, OF = 5 y AO = 12, halle OD.
En el ejercicio anterior ¿qué relación hay entre OD y AO?.
En el paralelogramo BACD se eligen puntos E y F en la diagonal AC de modo que AE = FC. Si BE corta a
AD en H y BF corta a DC en G, entonces GH es paralela a AC.
Sea AD la bisectriz de A en el triángulo ABC y sea E la proyección ortogonal de B sobre AD. La paralela a
AC que pasa por E corta a AB en H y a BC en G. Si AB = 26, BC = 28 y AC = 30, ¿cuánto mide DG?.
Sean BE y CF dos alturas en el triángulo ABC. Prolongue BE hasta G de modo que EG = CF. Trace por G
la paralela a AC hasta cortar a AB en H. Entonces AH = AC.
Las diagonales AC y DB de un trapecio ABCD se cortan en P. Si M es el punto medio de CD, entonces
supóngase que AM corta a BD en E. Trace por E la paralela a AB hasta cortar a AD, AC y BC en los puntos
H, F y G. Entonces HE = EF = FG.
Sea P un punto cualquiera en la altura CD de un triángulo ABC. Sean Q y S los cortes de AP y BP con BC y
AC. Entonces ∠QDC = ∠SDC.
Sea D un punto cualquiera del lado BC de un triángulo ABC. Trace por A y B las paralelas a CD hasta
1
1
1
cortar a BC y AC en P y Q. Entonces
.
+
=
AP BQ CD
En un triángulo ABC el ángulo A mide 120. Exprese la longitud de la bisectriz de A en función de los dos
lados adyacentes.
Sea E el corte de las diagonales AC y BD de un trapecio ABCD. Trace por E la paralela a AB hasta cortar a
2
AD y BC en F y G. Entonces FG =
. Esto se expresa diciendo que FG es la media armónica
1
1
+
AB CD
entre AB y CD.
E es un punto del lado BC de un paralelogramo ABCD. AE corta la diagonal BD en G y a CD en F. Si AG =
6 y GE = 4, halle EF.
Sobre los lados AB y CD de un rectángulo ABCD se eligen puntos F y E de modo que AFCE sea un rombo.
Halle EF si AB = 16 y BC = 12.
Un hombre camina un kilómetro al este, un kilómetro al noreste y un kilómetro al este. Halle la distancia, en
kilómetros, entre la posición incial y la final.
En un cuadrilátero ABCD se tiene que AB = 9, BC = 12, CD = 13, AD = 14 y AC = 15. Halle la distancia
entre las proyecciones ortogonales de B y D sobre AC.
En un triángulo ABC rectángulo en C los catetos son iguales a 1. D es el punto medio de AC y P es la
proyección ortogonal de C sobre BD. ¿Cuánto vale la distancia de P al baricentro del triángulo?.
La suma de las medidas de las medianas de un triángulo está entre el semiperímetro y las tres cuartas partes
del perímetro del triángulo.
La suma de los cuadrados de las medianas de un triángulo es igual a las tres cuartas partes de la suma de los
cuadrados de sus lados.
La suma de los cuadrados de los lados de un triángulo es 120. Si dos de sus medianas miden 4 y 5, ¿cuánto
mide la tercera mediana?.
Si AE y BF son las medianas de los catetos del triángulo ABC rectángulo en C, halle el valor numérico de la
AE 2 + BF2
expresión
.
AB2
Halle la base menor de un trapecio si su base mayor mide 97 y el segmento que une los puntos medios de
sus diagonales mide 3.
Los cuatro ángulos de un cuadrilátero son de la forma x, x + 1, x + 2 y x + 3. Halle cada ángulo.
En un cuadrilátero no todos los ángulos pueden ser agudos.
En un cuadrilátero no todos los ángulos pueden ser obtusos.
Si en un cuadrilátero hay un ángulo obtuso, entonces debe haber otro agudo y viceversa.
Los ángulos de un cuadrilátero son enteros y están en progresión aritmética. ¿Cuáles son esos ángulos?}
200
184.
185.
186.
187.
188.
189.
190.
Los ángulos de un cuadrilátero son x + 17, 3x + 8, 2x – 5 y 3x + 12. ¿Cuáles son esos ángulos?
x
Si los ángulos de un cuadrilátero son 2x – 10, x + 40, + 65 y 3x – 60, entonces dicho cuadrilátero es un
2
rectángulo.
¿Es un trapecio un paralelogramo?¿Por qué?
¿Pueden existir paralelogramos cuyos ángulos estén en progresión geométrica?
En el paralelogramo MALO con con diagonales ML y AO se tiene que MO = 2x + 10, OL = x2 + 6 y
ED = 30 – 3x.. Halle el cuarto lado.
Si en el ejercicio anterior A = 3x y L = x + 40 halle todos sus ángulos.
¿Qué será el paralelogramo de Varignon si el cuadrilátero dado es un paralelogramo?¿Y si es un
rectángulo?¿Y si es un cuadrado?