Download DIBUJO TÉCNICO UNIDAD DIDÁCTICA V: Geometría 3D (II)

Curso 2010/11
CURSO PAU 25
DIBUJO TÉCNICO
UNIDAD DIDÁCTICA V: Geometría 3D (II)
1 ÍNDICE
Página:
1 ABATIMIENTOS...................................................................................... 2
1.1 GENERALIDADES.......................................................................... 2
1.2 ABATIMIENTO DE UN PLANO....................................................... 2
1.2.1 ABATIMIENTO DE UN PLANO PROYECTANTE........... 2
1.2.2 ABATIMIENTO DE UN PLANO GENÉRICO.................... 3
1.2.3 ABATIMIENTO DE UNA FIGURA PLANA....................... 4
2 DISTANCIAS........................................................................................... 4
2.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS............................................... 5
2.2 DISTANCIA ENTRE PUNTO P Y RECTA R.................................. 5
2.3 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS R Y S PARALELAS.............. 5
2.4 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO A Y UN PLANO α..................... 6
2.5 DISTANCIA ENTRE UNA RECTAS Y UN PLANO........................ 6
2.6 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS R Y S QUE SE CRUZAN..... 6
3 ÁNGULOS................................................................................................ 7
3.1. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS R y S.................................... 7
3.2. ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO.........................................7
3.3 ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS α Y β......................................7
4. POLIEDROS............................................................................................8
4.1 EL TETRAEDRO........................................................................ 8
4.2 EXAEDRO.................................................................................. 10
4.3 OCTAEDRO............................................................................... 11
4.4 EL DODECAEDRO.................................................................... 11
4.5 EL ICOSAEDRO........................................................................ 11
5 SOLUCIÓN A EJERCICIOS UNIDAD 3................................................... 13
6 PROPUESTA DE EJERCICIOS Y LECTURAS....................................... 19
UNIDAD DIDÁCTICA V Geometría 3D (II)
UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ
Autores: Manuel Gabriel Serrano Cardona
1
Francisco Irles Mas.
Curso 2010/11
CURSO PAU 25
DIBUJO TÉCNICO
1 ABATIMIENTOS.
1.1 GENERALIDADES.
Los abatimientos son uno de los métodos del sistema diédrico más
utilizados para situar ángulos o magnitudes en el espacio o bien para obtener sus
verdaderas magnitudes, frente a los giros o cambios de plano no incluidos en el
programa oficial de PAU-25.
El concepto general de abatimiento va siempre ligado a dos planos (figura
1), el que se abate α y aquel sobre el que abatimos π. Los elementos que
intervienen en el proceso además de estos dos planos son:
- La charnela del abatimiento es la recta de interseccíón del plano α con el
plano π.
- El sentido en el que se abate,
pudiendo haber siempre dos opciones
hacia un lado u otro de la charnela.
Figura 1: Elementos de un abatimiento.
- Los elementos a abatir, que en
cualquier caso siempre deberán estar
contenidos en el plano α.
1.2 ABATIMIENTO DE UN PLANO.
Para abatir cualquier elemento nos basaremos en un plano que le
contenga. La nomenclatura que emplearemos es: las mismas letras que en
proyecciones pero entre paréntesis, pudiendo aparecer como subíndice, fuera del
paréntesis, el nombre del plano con que se ha abatido (esto se emplea para no
confundirnos cuando hay más de un abatimiento en una construcción).
Aunque se pueden hacer abatimientos sobre
cualquier plano, nos vamos a centrar en los que se
producen sobre los del diedro de referencia, que son
los más comunes.
1.2.1 ABATIMIENTO DE UN PLANO PROYECTANTE.
Para abatir un plano proyectante se puede hacer
sobre el PPV o sobre PPH. Si, por ejemplo, se trata de Figura 2: Abatimiento de
un proyectante horizontal, para abatirlo sobre el PPH un plano proyectante
horizontal sobre PPH.
bastará con levantar por su vértice una perpendicular a
la traza no ortogonal a la línea de tierra, con lo que ya tenemos su vértice en VM
UNIDAD DIDÁCTICA V Geometría 3D (II)
UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ
Autores: Manuel Gabriel Serrano Cardona
2
Francisco Irles Mas.
Curso 2010/11
CURSO PAU 25
DIBUJO TÉCNICO
(Verdadera Magnitud) y la traza α2 abatida sobre el PPH (α2) . Para abatir
cualquier punto A de α basta con llevar sobre una perpendicular por A1 a la
charnela α1 la cota de A a partir de α1.
También se puede abatir el mismo plano sobre
el PPV, de forma que la charnela ahora es α2 y
la (α1) queda superpuesta con la LT. Para
abatir un punto A llevamos la distancia de A1 al
vértice del plano sobre (α1) y mediante una
paralela a α2 hasta encontrarse con la
trayectoria de abatimiento de A, que será la
perpendicular a α2 por A2 .
Figura 2: Abatimiento de un plano
proyectante horizontal sobre PPV.
Figura 3: Abatimiento de
α sobre PPH
1.2.2 ABATIMIENTO DE UN PLANO GENÉRICO.
Para abatir un plano genérico α lo normal es
auxiliarnos de un punto P de la traza que no actúa como
charnela, de forma que la distancia VP2 es conocida en
VM, por estar sobre el PPV. Al abatir el punto P,
describe una trayectoria circular alrededor de la
charnela con centro en O hasta situarse sobre el plano
de proyección. Esta trayectoria queda vista como un filo
en la proyección: una recta perpendicular a la charnela
por P1 que interseca con la circunferencia de radio VP2
y centro en V, en el punto (P), por el cual pasará (α2).
Hay ocasiones que
interesa
realizar
otra
construcción
pues
no
tenemos dentro de los
límites del dibujo el vértice
del plano.
Esta construcción se
basa en el triángulo que
forma sobre el diedro la
recta de máxima pendiente
(si abatimos sobre PPH) o
inclinación (si abatimos
sobre PPV) que pasa por
P, triángulo P2,P1,O. De
forma que el radio de la
trayectoria del punto P será
la
hipotenusa.
Para
determinar su magnitud en Figura 4: Abatimiento de un plano genérico α.
VM usamos el plano
proyectante β que es perpendicular al plano sobre el que deseamos abatir α.
UNIDAD DIDÁCTICA V Geometría 3D (II)
UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ
Autores: Manuel Gabriel Serrano Cardona
3
Francisco Irles Mas.
Curso 2010/11
CURSO PAU 25
DIBUJO TÉCNICO
Debemos abatir en primer lugar el punto P intersección de PPV, α y β por medio
de un abatimiento sobre PPH de β.
De esta forma obtenemos la VM
del segmento OP, (O)(P), ya que
O=(O) al estar sobre la charnela
β1. Llevamos esta VM a partir de
O1 sobre la trayectoria de P
alrededor de la charnela α1, es
decir, sobre la perpendicular a α1
por P1 y obtendremos (P)α de
forma que por ese punto pasa
(α2). Esta misma construcción se
ha de repetir con otro punto Q si no
se pudiese conocer V.
1.2.3 ABATIMIENTO
FIGURA PLANA.
DE
UNA
Para abatir una figura plana
debemos conocer su plano
Figura 5: Abatir α, sin disponer de V requiere
(aplicando criterios de pertenencia
repetir la construcción de abatir P con el punto Q.
de la unidad anterior), de forma
que bastará con abatir todos sus puntos y unirlos en el abatimiento. Para abatir un
punto de un plano, que no está sobre
la trazas, debemos auxiliarnos de una
recta que pase por él de forma que
abatimos las trazas de la recta (la que
está sobre la charnela queda sobre sí
misma, si no es que es un punto del
infinito) y uniéndolas la recta (r).
Donde interseque (r) a la trayectoria
circular que describe el punto
alrededor de la charnela (que la
vemos como un filo y perpendicular a
la charnela por la proyección del
punto) tendremos el punto abatido.
2. DISTANCIAS.
Las distancias en sistema
diédrico,
como
en
cualquier
proyección cilíndrica, sólo se verán en
VM cuando estén dispuestas paralelas
Figura 6: Abatir el triángulo ABC, conocido su
al plano de proyección. Es decir, se
plano α y la proyección vertical A2, B2, C2.
ven en VM en la PH si están
horizontales y en la PV si son frontales. En cualquier otra orientación se van a
proyectar reduciendo su dimensión, y en ningún caso ampliándola.
UNIDAD DIDÁCTICA V Geometría 3D (II)
UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ
Autores: Manuel Gabriel Serrano Cardona
4
Francisco Irles Mas.
Curso 2010/11
CURSO PAU 25
DIBUJO TÉCNICO
La resolución de problemas de distancias en diédrico se reduce a tener el
concepto de distancia claro, determinar mediante rectas, planos e intersecciones
el segmento que la representa y entonces abatirlo mediante un plano para verlo
en verdadera magnitud.
2.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.
Es la longitud del segmento recto que los
une. Para obtener su VM bastará con abatirlos
mediante un plano que los contenga, usualmente y
por comodidad un proyectante.
2.2 DISTANCIA ENTRE
PUNTO A Y RECTA R.
Figura 7: Distancia AB.
Es la longitud del
segmento que se define entre el punto A y el pie B de
la perpendicular a la recta por el punto A.
Para determinar dicho pie hay dos formas:
Figura 8: Distancia de un
punto a una recta r.
1/ Obtener el plano α definido por A y
R, abatir α, A y R y de determinar la
distancia trazando la perpendicular a
(R) desde (A).
2/ Trazar la recta S perpendicular a R
por A que la corte y determinar su
intersección
B.
Rectas
S
perpendiculares por A a R, hay
infinitas. Definimos el lugar geométrico
de todas ellas mediante el plano β
perpendicular a R por A y
determinamos el punto B como la
intersección de R con β. Abatimos
finalmente AB.
2.3 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS R
Y S PARALELAS.
Figura 9: Distancia de P a R, método 1.
Si son paralelas definen un plano que las contiene. De nuevo podemos
plantear el problema de dos formas:
UNIDAD DIDÁCTICA V Geometría 3D (II)
UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ
Autores: Manuel Gabriel Serrano Cardona
5
Francisco Irles Mas.
Curso 2010/11
CURSO PAU 25
DIBUJO TÉCNICO
1/ Trazar un plano perpendicular a
ambas rectas γ y determinar los puntos
intersección para entonces abatir el segmento
definido por ellos que será la VM de la
distancia.
2/ Obtener
el plano α que las
contiene y abatir Figura 10: Distancia entre r y s.
con él R y S de
forma que en el abatimiento trazaríamos la
perpendicular a (r) y (s), determinando las
intersecciones con ellas el segmento distancia en
VM.
2.4 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO A Y UN
PLANO α.
Figura 11: Distancia entre R
y S mediante método 1/.
Trazamos la recta R perpendicular desde el
punto A al plano α. Su intersección con el plano nos
define el segmento AB que abatido nos da la VM.
2.5 DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN
PLANO.
Sólo está definida si son paralelos. En
tal caso tomamos un punto cualquiera A de la
recta y resolvemos según el punto anterior
(hay otros métodos).
Figura 13: Distancia entre dos rectas R y S que se
cruzan.
Figura 12: Distancia de un punto a α.
2.6 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS R Y S QUE SE CRUZAN.
En el caso de que se crucen en el espacio debemos trazar por un punto
cualquiera P de R una recta paralela a S que llamamos T, para trazar con T y R
un plano α. Por un punto cualquiera A de S trazamos una recta Q perpendicular
a α y determinamos el punto B de intersección con α mediante un plano auxiliar
β. Abatimos el segmento AB por medio de β y tendremos en (A)(B) la VM de la
distancia.
UNIDAD DIDÁCTICA V Geometría 3D (II)
UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ
Autores: Manuel Gabriel Serrano Cardona
6
Francisco Irles Mas.
Curso 2010/11
CURSO PAU 25
DIBUJO TÉCNICO
3 ÁNGULOS.
Ya se definió el ángulo en geometría 2D como la magnitud que diferencia la
dirección de dos rectas, y que lo representábamos mediante dos segmentos
unidos por su extremo, el vértice del ángulo, y un pequeño arco. En el espacio
mantenemos esa definición con el añadido de que esas dos rectas definen el
plano en que estamos midiendo el ángulo. Los ángulos en sistema diédrico se
van a ver deformados salvo que se sitúen en un plano frontal o en uno
horizontal, pudiéndose ver reducidos o aumentados a diferencia de las
distancias.
Definimos a continuación como obtener los ángulos entre rectas y
planos, si bien el obtener su verdadera magnitud siempre será mediante un
abatimiento del plano en que lo medimos y de las dos rectas que lo conforman.
3.1. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS R y S.
Si no se cortan, tomamos un punto A cualquiera de ellas, por ejemplo R,
y trazamos por el una recta T paralela a S por A. Con R y T obtenemos el plano
α que las contiene. Abatimos α y con R y T. El ángulo entre (R) y (T) es el
buscado.
3.2. ÁNGULO
PLANO.
ENTRE
RECTA
Y
Llamamos ángulo entre una
recta R y un plano α al ángulo
mínimo que podemos encontrar
entre R y las infinitas rectas de α.
Este se va a producir sobre el plano
β perpendicular a α que pase por R. Figura 14: Ángulo entre recta y plano.
Entre R y la recta intersección α con β.
Para obtener ese plano β trazamos una recta
S perpendicular a α por un punto cualquiera P
de R, obteniendo sus trazas por las de las
rectas.
3.3 ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS α Y β.
Es aquel que se produce sobre un plano γ
perpendicular a ambos sobre las rectas
intersección R de γ con α y S de γ con β.
Partiendo de este concepto tomamos la recta
intersección I de los planos α y β y trazar γ
perpendicular a ella. Otro método más rápido
Figura 15: Ángulo entre 2 planos.
es determinar el ángulo que forman las rectas
tomadas desde un punto cualquiera perpendiculares a los planos dados.
UNIDAD DIDÁCTICA V Geometría 3D (II)
UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ
Autores: Manuel Gabriel Serrano Cardona
7
Francisco Irles Mas.
Curso 2010/11
CURSO PAU 25
DIBUJO TÉCNICO
4. POLIEDROS.
Se define como poliedro la figura geométrica tridimensional formada por
un volumen que encierra una superficie formada por varias caras planas. De
esta forma podemos tener poliedros convexos o cóncavos. Son convexos
aquellos que todos los ángulos entre dos caras contiguas son menores de 180º
medidos desde el interior del volumen, y cóncavos los demás.
Los poliedros pueden ser regulares o no. Para ser regular debe tener
todas sus caras iguales, y deben ser además el mismo polígono regular.
Definido de esta forma sólo existen cinco: tetraedro, exaedro, octaedro,
dodecaedro e icosaedro.
Se definen los poliedros conjugados como aquellos que resultan de unir
los puntos centrales de sus caras. Y los poliedros truncados que resultan de
cortar los vértices de los poliedros regulares originando nuevas caras también
polígonos regulares.
Se define como sección plana la intersección de un plano con un
volumen. Por ejemplo, en los poliedros obtendremos como secciones planas
polígonos. Cada poliedro tiene una serie
de secciones que son características para
cada uno de ellos y que albergan
elementos notables; es lo que llamaremos
secciones principales.
Los poliedros tienen muchas
aplicaciones, como puedan ser estudio de
cristalografía, esculturas, estructuras, el
clásico balón de fútbol, etc.
4.1 EL TETRAEDRO.
Figura 16:Tetraedro y sección
principal.
Como su nombre indica tiene 4
caras. Son triángulos equiláteros, con lo
que tiene 4 vértices y 6 aristas. Su
sección principal está según un plano que
pase por una arista y sea perpendicular a
la opuesta pasando por su punto medio.
La sección resultante es un triángulo
isósceles cuyo lado desigual es la arista y
los otros alturas de cara. En esta sección
principal esta la altura del tetraedro,
segmento perpendicular desde un vértice
a la cara opuesta, y que corresponde a la
UNIDAD DIDÁCTICA V Geometría 3D (II)
UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ
Autores: Manuel Gabriel Serrano Cardona
8
Francisco Irles Mas.
Curso 2010/11
CURSO PAU 25
DIBUJO TÉCNICO
altura de uno de los lados iguales de la sección principal. La altura del lado
desigual es la distancia entre aristas opuestas, que se cruzan en el espacio
formando 90º. Su poliedro conjugado es otro tetraedro.
Los
problemas típicos que se
plantean
en
un
tetraedro suelen ser
de situarlo a partir
de ciertos datos de
alguno
de
sus
elementos notables.
Casi siempre se
resuelven mediante
construcciones
a
partir de su sección
principal
para
obtener
los
Figura 17: Proyecciones diédricas de un tetraedro en diversas
restantes elemenposiciones, apoyado sobre el PPH por una cara, por una arista y
tos,
que
luego
en posición genérica.
situamos mediante
abatimientos, perpendiculares, etc.
Veamos un ejemplo: Dibuja las proyecciones de un tetraedro con los siguientes
datos:
1/ La arista AB se da y está situada en el PPH.
2/ La arista AC está en el PPV.
3/ El vértice D está en el primer diedro.
Si las aristas AB y AC
están
sobre
los
planos del diedro,
tendremos que A esta
sobre la LT y además
es el vértice del plano
α que contiene la cara
ABC, cuyas trazas
estarán superpuestas
con AB y AC. Por
tanto ya conocemos
α1. Dibujamos a 60º
(α)
con
lo
que
tenemos el plano
abatido. Situamos la
cara
ABC
y
la
desabatimos
Figura 18: Caso práctico.
sabiendo que C está
en el PPV, con lo que obtenemos α2. Para levantar el vértice D determinamos
UNIDAD DIDÁCTICA V Geometría 3D (II)
UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ
Autores: Manuel Gabriel Serrano Cardona
9
Francisco Irles Mas.
Curso 2010/11
CURSO PAU 25
DIBUJO TÉCNICO
el pie de su altura O a un tercio de la altura de cara de ABC, que trazamos
uniendo A con el punto medio de BC (no esta en VM, pero la reducción es
uniforme, por lo que ½ y 1/3 siguen siéndolo). Por O trazamos una
perpendicular R a α, y la abatimos junto con O por medio de un plano
proyectante β. En construcción aparte, por no emborronar la cara abatida con
α, obtenemos la sección principal y la altura h del tetraedro, la cual llevamos a
partir de (O) hacia el primer diedro y la desabatimos con β. Por último resta unir
todos los vértices como corresponde y
discernir aristas ocultas de vistas.
4.2. EL EXAEDRO.
Más conocido como cubo, es el
poliedro de seis caras cuadradas. Tiene por
tanto 12 aristas, 8 vértices y cuatro
diagonales. Su sección principal esta
formada por dos aristas diagonalmente
opuestas y dos diagonales de cara
formando
un rectángulo, en el que
destacan el lado, la diagonal de cara, la
Figura 19: Sección principal del cubo.
diagonal y las proyecciones de los vértices
incluidos en esa sección sobre la diagonal. Su poliedro conjugado es el
octaedro y es además el conjugado de él.
La resolución de problemas sigue los mismos criterios que para el
tetraedro, pero con la particularidad de que como las aristas son paralelas en
grupos de 4 bastará con posicionar 3 ortogonales para, por paralelas, sacar el
resto.
Figura 20: Posiciones típicas del cubo: frontal, apoyado sobre una cara, sobre una arista, sobre
un vértice y genérica.
UNIDAD DIDÁCTICA V Geometría 3D (II)
UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ
Autores: Manuel Gabriel Serrano Cardona
10
Francisco Irles Mas.
Curso 2010/11
CURSO PAU 25
DIBUJO TÉCNICO
Figura 21: Proyecciones de un octaedro apoyado sobre un vértice,
genérico.
una arista y un plano
4.2. EL OCTAEDRO.
Es el poliedro de ocho caras triángulos
equiláteros. Tiene 6 vértices y 12 aristas. Su
sección principal es la que produce un plano
que pase por dos vértices opuestos y los puntos
medios de las aristas intermedias. Queda
formada por un rombo de alturas de cara como
lados y diagonales la del propio octaedro
llamada principal y como diagonal menor un
lado. Su conjugado es el cubo.
Figura 22: Sección principal del
octaedro.
4.4. EL DODECAEDRO.
Es un poliedro formado por pentágonos, tiene 12 caras, 20 vértices y 30
aristas. Su conjugado es el icosaedro. No vamos a estudiarlo con profundidad
ya que su complejidad escapa a los objetivos de este curso.
4.5 EL ICOSAEDRO.
Es un poliedro formado por triángulos equiláteros, tiene 20 caras, 12
vértices y 30 aristas. No vamos a estudiarlo con profundidad ya que su
complejidad escapa a los objetivos de este curso. En base al icosaedro,
UNIDAD DIDÁCTICA V Geometría 3D (II)
UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ
Autores: Manuel Gabriel Serrano Cardona
11
Francisco Irles Mas.
Curso 2010/11
CURSO PAU 25
DIBUJO TÉCNICO
mediante un trucado a un tercio de los lados se logra un poliedro formado por
Figura 22: Diversas proyecciones diédricas del dodecaedro: sobre cara, sobre vértice, sobre
arista paralela a LT, sobre arista, sobre plano genérico.
hexágonos y pentágonos que es el que se ha
utilizado en el conocido balón de fútbol.
Figura 23: Proyecciones de un
icosaedro en posición genérica.
Figura 24: Icosaedro truncado. Poliedro de
hexágonos y pentágonos.
UNIDAD DIDÁCTICA V Geometría 3D (II)
UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ
Autores: Manuel Gabriel Serrano Cardona
12
Francisco Irles Mas.
Curso 2010/11
CURSO PAU 25
DIBUJO TÉCNICO
5 SOLUCIÓN A EJERCICIOS UNIDAD 3
1/ Determina el centro de homotecia “O” de los siguientes pares de figuras
homotéticas y la razón de homotecia “K” de cada una de ellas. La K la debes
calcular analíticamente y gráficamente (utilícese de unidad el cm.)
Figura 25: de ejercicio 1.
Analíticamente bastará medir los segmentos homotéticos para calcular K:
De izquierda a derecha:
K= A’C’/AC= 27 / 45 = 0,6
K=OB’/OB= -20 / 40 =-0,5
K=OA’/OA= 16,5 / 9 =1,8
2/ Dibuja un eneágono estrellado de paso 4 conocida la distancia de la cuerda
de cada paso L=10 cm. ¿Cuántos triángulos distintos eres capaz de identificar?
¿Qué geometría queda como contorno interior en la parte central?
Se diferencian al menos
4 triángulos distintos.
Otro eneágono regular.
UNIDAD DIDÁCTICA V Geometría 3D (II)
UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ
Autores: Manuel Gabriel Serrano Cardona
13
Francisco Irles Mas.
Curso 2010/11
CURSO PAU 25
DIBUJO TÉCNICO
3/ La distancia entre dos puntos representados en un mapa es de 32 mm. Si en
la leyenda del mismo pone que la escala a la que está realizado es de E
1:50.000 ; ¿Cuál es la distancia real entre estos dos puntos?. ( No hay que
tener en cuenta la esfericidad de la tierra, ni el desnivel que pueda existir ).
4/ Tenemos un plano de la ciudad de Alicante. Una manzana de casas mide 64
metros. Si en el plano dicha manzana mide 8 mm.; ¿A qué escala está
realizado el plano?
5/ La maqueta de un velero está realizada a la escala E 1:72 . Si el mástil mide
12,5 centímetros de altura, ¿cuánto mide el mástil real?
6/ Calcular la altura de la maqueta de un edificio 62,4 metros de altura a la
escala E 1:75.
UNIDAD DIDÁCTICA V Geometría 3D (II)
UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ
Autores: Manuel Gabriel Serrano Cardona
14
Francisco Irles Mas.
Curso 2010/11
CURSO PAU 25
DIBUJO TÉCNICO
7/ Tenemos un mapa a la escala E 1:50.000. Queremos confeccionar una
escala gráfica que nos mida kilómetros sobre dicho mapa. ¿Qué separación
tendremos entre dos líneas consecutivas?
8/ Representar la escala gráfica correspondiente a la Escala 3,7 : 5,2 para
medir en centímetros.
Ateniéndonos a la definición de escala gráfica, tendremos que realizar
una regla que mida centímetros en esta escala. Dicho de otro modo:
suponiendo que nos dieran un plano en cuya leyenda indicara la escala 3,7:5,2,
con dicha regla nosotros pudiéramos medir directamente sobre el dibujo y
averiguar las medidas reales del objeto en cuestión.
9/ Realizar la escala gráfica correspondiente a la Escala 84:648 e indicar en
que unidades estaremos midiendo.
UNIDAD DIDÁCTICA V Geometría 3D (II)
UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ
Autores: Manuel Gabriel Serrano Cardona
15
Francisco Irles Mas.
Curso 2010/11
CURSO PAU 25
DIBUJO TÉCNICO
Como una de las dos
magnitudes
es
demasiado grande como
para
representarla
directamente, tomaremos
unidades más pequeñas.
Así a partir del punto P
tomamos 129,6 mm (para
que quepa aplicamos una
escala 1/5 648/5=129,6)
y trazamos las divisiones
de 100 en 100 cada 2
cms. En la recta del
dibujo
tenemos
que
tomar las unidades que
corresponden porque de
otro modo deformaríamos
la escala. Obtenemos la
figura y con ella la regla
que le correspondería.
10/
Construir la
escala
gráfica de
la
Escala
12,75:
47175 con
las
unidades
que
convengan.
Para
que
quepa
usamos la
escala 1/5:
47,175 /5 =
94,35
UNIDAD DIDÁCTICA V Geometría 3D (II)
UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ
Autores: Manuel Gabriel Serrano Cardona
16
Francisco Irles Mas.
Curso 2010/11
CURSO PAU 25
DIBUJO TÉCNICO
11/ En una oficina técnica se trabaja con un plano a escala 1:2.000. Se sabe
que una obra tiene 72 metros de longitud. Se hace una fotocopia en una
máquina y la representación de la misma obra resulta medir 4 milímetros
menos que en el original. Averiguar la nueva escala del plano en la fotocopia.
12/ Tenemos un plano de situación de una parcela a la Escala 1:5000. Calcular
la superficie real de la parcela sabiendo que en el plano tiene una superficie de
521 milímetros cuadrados.
Al tratarse de una superficie a escala debemos multiplicar por E2:
S = 521 x 5000 2 = 1,3025 x 10 10 mm. 2 = 13025 m. 2
13/ Suponiendo que la figura representa las vistas de un depósito realizado en
hormigón, y que el plano está a Escala 1:150, calcular el volumen de hormigón
necesario para llevar a cabo la obra.
Se puede resolver de dos formas distintas:
1/ Tomar las medidas en milímetros de papel y
pasarlas a metros de realidad y luego calcular el
volumen.
2/ Calcular el volumen en mm3 a partir de las
medidas tomadas en papel y luego convertir el
volumen a m3 de realidad.
1/ Volumen del prisma exterior – volumen del
prisma interior:
V = 26,5 x150 x 64 x150 x 37,5 x 150 – 19 x 150
x 30 x 150 x 56,5 x 150 = 1,05958125 x 1011 mm.3 = 105,958125 m.3
2/ Volumen del prisma exterior – volumen del prisma interior:
V = 26,5 x 64 x 37,5 – 19 x 30 x 56,5 = 31385 mm.3 de papel = 31385 x 150
mm.3 de hormigón = 1,05958125 x 1011 mm.3 = 105,958125 m.3
3
UNIDAD DIDÁCTICA V Geometría 3D (II)
UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ
Autores: Manuel Gabriel Serrano Cardona
17
Francisco Irles Mas.
Curso 2010/11
CURSO PAU 25
DIBUJO TÉCNICO
14/ Determina en el siguiente
par de figuras cual es la
traslación y el giro que a que
debe someterse el trapecio
isósceles para ajustarse a la
oquedad
del
heptágono
irregular. ATENCIÓN: no se
pide realizar el giro y la
traslación sólo determinar su
magnitud, dirección, sentido y
en el caso del giro su centro.
6 PROPUESTA DE EJERCICIOS Y LECTURAS
1/ Dibujar las proyecciones de de un triángulo equilátero que esté
contenido en α sabiendo que el vértice A esta sobre α2, B sobre α1, el lado
mide 25 mm. y uno de los lados es frontal de plano. Dibuja sólo la solución del
primer diedro.
2/ Determina la distancia en VM entre las rectas r y s, que son paralelas.
3/ Determina las trazas de un plano β que diste 20 mm. del punto A y
sea paralelo a α, quedando por encima de él.
4/ Determina el ángulo en VM formado por R y S sabiendo que se
cortan.
5/ Determina el ángulo en VM que forman α y β.
6/ Sobre el plano α apoya sobre una cara un cubo de forma que se
“cuelga” por un vértice del punto A. Es decir por acción de la gravedad una
diagonal de la cara que apoya estará sobre la recta de máxima pendiente que
pasa por A. Lado del cubo = 20 mm.
Las lecturas de esta unidad se realizarán sobre cualquier libro que
aborde el sistema diédrico, en concreto los temas de abatimientos; distancias y
ángulos (solamente mediante abatimientos, no por giros o cambios de plano);
poliedros regulares.
UNIDAD DIDÁCTICA V Geometría 3D (II)
UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ
Autores: Manuel Gabriel Serrano Cardona
18
Francisco Irles Mas.
Curso 2010/11
CURSO PAU 25
DIBUJO TÉCNICO
UNIDAD DIDÁCTICA V Geometría 3D (II)
UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ
Autores: Manuel Gabriel Serrano Cardona
19
Francisco Irles Mas.