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Modulaciones de espectro ensanchado
Origen: combatir interferencias en sistemas militares
Aplicaciones actuales
Acceso múltiple
Mitigar efectos de distorsión no lineal del canal
Ancho de banda considerablemente superior al dado por
Nyquist
Inmunidad frente a interferencias localizadas en frecuencia
Mejores prestaciones en canales con zonas de gran
atenuación
Acceso múltiple
CDMA: acceso múltiple por división de código
MMC (UC3M)
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Modulaciones multipulso
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Aumento del ancho de banda
Señal PAM
s(t) =
!
n
A[n] · g(t − nT), Ss (jω) =
1
· SA (ejωT ) · |G(jω)|2
T
Aumentar el ancho de banda del filtro de transmisión
Tasa de sı́mbolo Rs = T1
Factor de expansión: N
Ancho de banda: πT · N (BB) ,
ISI: pulsos en coseno alzado
2π
T
· N (PB)
Función de ambigüedad localizada en el tiempo
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Espectro ensanchado por secuencia directa
Familia de pulsos
g(t) =
N−1
!
m=0
x[m] · gc (t − mTc )
x[m]: secuencia ensanchadora (secuencia de chip)
Tc : perı́odo de chip Tc = NT
gc (t): pulso cuya función de ambigüedad cumple Nyquist a
Tc
Señal modulada
s(t) =
!
n
A[n] ·
MMC (UC3M)
N−1
!
#=0
x["] · gc (t − "Tc − nT)
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Espectro ensanchado por secuencia directa - Notación
alternativa
s(t) =
!
A[n]
n
=
!
n
nN+N−1
!
m=nN
A[n]
!
m
x[m − nN] · gc (t − mTc )
x̃[m] · wN [m − nN] · gc (t − mTc )
Secuencia periódica x̃[m]
x̃[m] =
!
k
x[m − kN]
Equivalente a modular gc (t) con la secuencia
!
s[m] = x̃[m] ·
A[n] · wN [m − nN]
n
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Transmisor DSSS - Diagrama de bloques
DSSS: Direct Sequence Spread Spectrum
Muestras de la señal
s[m] = x̃[m] ·
!
n
A[n] · wN [m − nN]
Diagrama de bloques del transmisor
A[n]
! ↑N
! wN [m]
.....
! .........!
.
s[m]
"
!
gc (t)
s(t)
!
x̃[m]
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Espectro de la señal espectro ensanchado por secuencia
directa
Espectro de potencia de la señal en banda base s(t)
" jωT #
1
Ss (jω) = · SA e
· |G(jω)|2
T
Respuesta en frecuencia del pulso
G(jω) = Gc (jω) ·
N−1
!
m=0
x[m] · e−jωmTc
Espectro de la señal
Ss (jω) =
MMC (UC3M)
# $ "
#$ 2
"
1
· SA ejωT · $X ejωTc $ · |Gc (jω)|2
T
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Receptor en banda base
Suponiendo f (t) = g∗ (−t), y v(t) señal recibida en BB
q[n] =(v(t) ∗ g∗ (−t))|t=nT
=
=
N−1
!
m=0
N−1
!
m=0
x∗ [m] · (v(t) ∗ g∗c (−t − mTc ))|t=nT
x∗ [m] · (v(t) ∗ g∗c (−t))|t=nT+mTc
v[m]: muestrear v(t) ∗ g∗c (−t) a perı́odo de chip
q[n] =
N−1
!
m=0
MMC (UC3M)
x∗ [m] · v[nN + m]
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Receptor en banda base - Diagrama de bloques
Observación a la salida del demodulador
q[n] =
N−1
!
m=0
x∗ [m] · v[nN + m]
=(v[m] · x̃∗ [m]) ∗ wN [−m − nN]
Diagrama de bloques del receptor
v(t)
! gc (−t)
# v[m]! .....!
... !
#
wN [−m] ! ↓ N
.... ...
"
$
t = m · Tc
MMC (UC3M)
q[n]
!
DECISOR
Â[n]!
x̃∗ [m]
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Caracterı́sticas de ruido en el receptor
Canal: ruido aditivo gausiano n(t) con Sn (jω)
Si se cumple
f (t) = g∗ (−t)
n(t) blanco con Sn (jω) = N0 /2 W/Hz
z[n] es blanco y circularmente simétrico
σz2 = N0
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Canal discreto equivalente
Canal discreto equivalente
p[n] = (g(t) ∗ heq (t) ∗ f (t))|t=nT
Filtro receptor f (t) = g∗ (−t)
p[n] =
=
N−1
! N−1
!
#=0 m=0
N−1
! N−1
!
#=0 m=0
x["] · x∗ [m] · (gc (t − "Tc ) ∗ heq (t) ∗ gc (−t − mTc )))t=nT
x["] · x∗ [m] · d[nN + m − "]
Canal discreto equivalente en banda base a perı́odo de chip
d[m] = (gc (t) ∗ heq (t) ∗ gc (−t)))t=mTc
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Condición para la ausencia de ISI
Condición para ausencia de ISI
N−1
!
m=0
x[m + k] · x∗ [m] = δ[k]
Función de ambigüedad de x[m] sea una delta
$ jωT $2
$X(e c )$ es constante
Secuencias con espectro constante
x[m] = ejθ · δ[m − k] (no es práctica)
Secuencia de seudo-ruido
MMC (UC3M)
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Inmunidad a las interferencias de banda estrecha
Planteamiento del problema
Señal de espectro ensanchado con frecuencia de portadora
ωc
Pulsos en raı́z de coseno alzado en transmisión y recepción
Señal de interferencia de frecuencia cercana a ωc
J(t) = AJ · cos(ωJ t + φ)
Contribución de la señal a la salida del demodulador
qJ [n] =
N−1
!
m=0
siendo
MMC (UC3M)
%
J[m] = J(t) · e
x∗ [m] · J[nN + m]
−jωc t
∗
√
&
2 · gc (−t)
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t=m·Tc
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Inmunidad a las interferencias de banda estrecha (II)
Si ωJ cae en la banda del filtro receptor
√
2
J[m] =
· AJ · G∗c (jωJ − jωc ) · ej(ωJ mTc −ωc mTc +φ)
2
Caracterización estadı́stica de qJ [n] (suponiendo x[m] blanca
∈ {± √1N })
A2J
E{qJ [n]} = 0, Var{qJ [n]} =
· |Gc (jωJ − jωc )|2
2
Ejemplo: BPSK
' √
(
TA2J
2Es
2Es N
Pb = Q √
, J0 = Var{qJ [n]} =
, SNR =
2N
N0 + J0
TA2J
Ganancia de procesado
10 log10 N
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Espectro ensanchado por salto en frecuencia
Canal con “valles” de atenuación
Repartir casos favorables y desfavorables
Frecuencia portadora con cambios periódicos
Perı́odo de salto T2
Se puede implementar para múltiples modulaciones
Opción más utilizada: FSK de fase continua (CPFSK)
Clasificación
De salto lento: T2 /T = N ∈ Z > 1
De salto rápido: T/T2 = N ∈ Z > 1
%
%
MMC (UC3M)
T2
T
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%T !
!
%T2!
!
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Expresiones para una CPFSK
Señal CPFSK M-aria: I[n] ∈ {±1, ±3, · · · , ±(M − 1)}
x(t) =
)
%
2Es !
π &
·
sen ωc t + I[n] t · wT (t − nT)
T
T
n
Señal de espectro ensanchado de salto lento
x(t) =
)
T2 /T−1
%
2Es ! !
π
π &
·
sen ωc t + x[m] t + I[n + mN] t ·wT (t−nT−mT2 )
T m
T
T
n=0
Señal de espectro ensanchado de salto rápido
x(t) =
)
'
(
T/T2 −1
2Es ! !
π
π
·
sen ωc t + x[m + nN] t + I[n] t ·wT2 (t−nT−mT2 )
T n
T2
T2
m=0
x[m]: secuencia determinista que hace variar la frecuencia (2kM)
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Receptores RAKE
Propagación multitrayecto
heq (t) =
L
!
#=1
h# · δ(t − τ# )
Si heq (t) es conocido: receptor mediante filtro adaptado
f ∗ (−t) =g(t) ∗ heq (t)
=
L
!
#=1
h# · g(t − τ# )
Filtro receptor
f (t) =
* L
!
#=1
MMC (UC3M)
+
h∗# · g∗ (−t)
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∗ δ(t + τ# )
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Receptor RAKE - Diagrama de bloques
$%
! & ! δ(t − τ1 ) !
#
"#
"
$%
!
! δ(t − τ2 ) !
&
#
g∗ (−t) ! "#
Σ
"
h∗1
v(t)!
..
.
h∗2
$%
!&
# ! δ(t − τL ) !
"#
"
#
#
!
Â[n]
!
DECISOR
$
t = nT
h∗L
MMC (UC3M)
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Receptor RAKE en tiempo discreto
..
! ...........&
...... ! δ[m − m ] !
1
"
h∗1
v(t)
! gc (−t)
...... !
..
# ! ! ...........&
δ[m − m2 ] !
.. ....!
#
....
wN [−m]! ↓ N !
Σ ! .........&
"
"
..
h∗2
$
.
ŝ∗ [m]
t = mTc
...... !
! ...........&
..
δ[m − mL ] !
"
h∗L
MMC (UC3M)
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DECISOR
Modulaciones multipulso
Â[n]
!
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Receptores RAKE (II)
Basado en la estima de heq (t) (ĥeq (t))
Receptor: f ∗ (−t) = g(t) ∗ ĥeq (t)
Canal discreto equivalente
p[n] =
L
!
#=1
h# · ĥ∗# · δ[n]
Posible atenuación y rotación
Varianza de ruido
σz2
MMC (UC3M)
= N0 ·
L
!
#=1
|ĥ# |2
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Estima de los parámetros del canal
Caso simplificado: L = 1 (parámetros h1 y τ1 )
Canal discreto equivalente a tiempo de chip
d[m] = (gc (t) ∗ h1 δ(t − τ1 ) ∗ gc (−t))t=mTc
Pulsos en raı́z de coseno alzado
d[m] ≈ h1 · δ[m − k1 ], k1 ≈ τ1 /Tc
k1 = m1 + n1 N, m1 ∈ {0, · · · , N − 1}, n1 ∈ Z
Señal a la salida del muestreador
!
v[m] =h1 · x̃[m − k1 ] ·
A[n] · wN [m − k1 − nN]
n
=h1 · x̃[m − m1 ] ·
MMC (UC3M)
!
n
A[n − n1 ] · wN [m − m1 − nN]
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20 / 25
Estima de los parámetros del canal (II)
# v[m]! .....!
... !
#
wN [−m + m∆ ]
... ....
"
$
v(t)
! gc (−t)
t = m · Tc
a[n] ... ..
! ......!
....
!
"
! ↓N
a[n]
!
x̃∗ [m − m∆ ]
n∆!
+M−1
n∆
P
•
!
ESTIMADOR
!
ĥ1!
Â∗ [n − n∆ ]
MMC (UC3M)
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Estima de los parámetros del canal (III)
N−1
!
m=0
=h1
x̃∗ [m − m∆ ] · v[m]
!
#
=h1
!
#
A[" − n1 ]
A[" − n1 ]
=h1 · A[n − n1 ]
=h1 · A[n − n1 ]
N−1
!
m=0
N−1
!
m=0
!
m=0
!
m=0
x̃∗ [m − m∆ ] · x̃[m − m1 ] · wN [m − m1 − "N + nN]
x̃∗ [m] · x̃[m − m∆ + m1 ] · wN [m − "N + nN]
x[m] · x̃∗ [m − m∆ + m1 ]
x[m − m1 + m∆ ] · x̃∗ [m]
Estima de m1 : correlar con x[m − m∆ ]
Estima de n1 : correlar con A∗ [n − n∆ ]
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Diseño de pulsos para espectro ensanchado
N−1
!
m=0
x[m + k] · x∗ [m] = δ[k], x[m] = ejθ · δ[m − k] (no prácticas)
Condición en el dominio de la frecuencia
!
X(ejω ) · ejωm · x∗ [m] = |X(ejω )|2 = 1, para todo ω
m
Cumplimiento en ω = 2πk
N , k = 0, · · · , N − 1
$
$
$ j 2πk
$2
N
$X(e )$ = 1, k = 0, · · · , N − 1
x[m] ⊗ x̃∗ [−m] = δ[m], m = 0, · · · , N − 1
N−1
!
#=0
x̃["] · x̃∗ [" + m] = δ[m], m = 0, · · · , N − 1
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Acceso múltiple (CDMA)
Parámetros idénticos para todos los usuarios
gc (t), T, Tc
Señales multiusuario CDMA
,
!
√
xi (t) = 2 · Re
Ai [n] · gi (t − nT) · ejωc t
n
√
= 2 · Re
,
! N−1
!
n
#=0
Ai [n] · xi ["] · gc (t − "Tc − nT) · ejωc t
-
Señal con L usuarios (denotando gr,i (t) = gi (t) ∗ hi (t))
, L−1
!!
√
y(t) = 2 · Re
Ai [n] · gr,i (t − nT) · ejωc t + n(t)
i=0
MMC (UC3M)
n
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Condición de ortogonalidad de los pulsos
)gi , gj * =
=
=
.
∞
gi (t) · g∗j (t) dt
−∞
N−1
! N−1
!
m=0 #=0
N−1
! N−1
!
m=0 #=0
xi [m] · xj∗ ["] · (gc (t − mTc ) ∗ g∗c (−t − "Tc ))t=0
xi [m] · xj∗ ["]
Condición sobre las secuencias de código
N−1
! N−1
!
m=0 #=0
MMC (UC3M)
xi [m] · xj∗ ["] = δ[i − j], i, j = 0, · · · , L − 1
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