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Condensador
Se denomina condensador al dispositivo formado por dos conductores cuyas cargas son
iguales pero de signo opuesto.
La capacidad C de un condensador se define como el cociente entre la carga Q y la
diferencia de potencia V-V’ existente entre ellos.
La unidad de capacidad es el farad o faradio F, aunque se suelen emplear submúltiplos
de esta unidad como el microfaradio µF=10-6 F, y el picofaradio, pF=10-12 F.
Un condensador acumula una energía U en forma de campo eléctrico. La fórmula como
demostraremos más abajo es
Condensador plano-paralelo
En primer lugar, calculamos el campo creado por una placa plana indefinida, cargada
con una densidad de carga  , aplicando la ley de Gauss.
Campo creado por una placa plana indefinida, cargada.
Para una placa indefinida cargada, la aplicación del teorema de Gauss requiere los
siguientes pasos:
1.-A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del
campo eléctrico.
La dirección del campo es perpendicular a la placa cargada, hacia afuera si la carga es
positiva y hacia la placa si la carga es negativa.
2.-Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo
Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de base S, cuya generatriz es
perpendicular a la placa cargada. El flujo tiene dos contribuciones

Flujo a través de las bases del cilindro: el campo y el vector superficie son
paralelos.
E·S1+E·S2=2EScos0º=2ES

Flujo a través de la superficie lateral del cilindro. El campo E es perpendicular al
vector superficie dS, el flujo es cero.
El flujo total es por tanto; 2ES
3. Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada
La carga (en la figura de color rojo) en el interior de la superficie cerrada vale q= S,
donde  es la carga por unidad de superficie
4.-Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico
El campo producido por una placa infinitamente grande es constante, su dirección es
perpendicular a la placa. Esta fórmula la podemos considerar válida para distancias
próximas a una placa en comparación con sus dimensiones.
Campo creado por dos placas planas cargadas con cargas iguales y
opuestas.
Supondremos que las placas son infinitamente
grandes o bien, que la separación entre las placas
es pequeña comparada con sus dimensiones.
En la figura de arriba, se muestra el campo
producido por cada una de las placas y en la
figura de abajo, el campo resultante.
Sea un condensador formado por dos placas
iguales de área S, separadas una distancia d,
pequeña en comparación con las dimensiones de
las placas. El campo se cancela en la región del
espacio situado fuera de las placas, y se suma en
el espacio situado entre las placas. Por tanto,
solamente existe campo entre las placas del
condensador, siendo despreciable fuera de las
mismas.
Como el campo es constante, la diferencia de
potencial entre las placas se calcula multiplicando
el módulo del campo por la separación entre las
mismas. El área del rectángulo de la figura.
La capacidad del condensador plano-paralelo será
donde Q= S es la carga total de la placa del condensador.
La capacidad del condensador solamente depende de su geometría, es decir, del área de
las placas S y de la separación entre las mismas d.
Energía de un condensador cargado
Para cargar un condensador pasamos carga de la placa de menor a la de mayor potencial
y requiere, por tanto, el consumo de energía. Imaginemos que el proceso de carga
comienza con ambas placas completamente descargadas y después, sacamos
repetidamente cargas positivas de una de ellas y las pasamos a la otra. En un momento
dado, tendremos una carga q en las placas y la diferencia de potencial entre las mismas
será V tal que
q=C·V
El trabajo necesario para incrementar en dq la carga del condensador será
dW=V·dq
El trabajo total realizado en el proceso de carga, mientras esta aumenta desde cero hasta
su valor final Q.
Electrómetro de placas

Carga constante
Conectamos el condensador plano-paralelo a una batería que carga las placas del
condensador con una carga q. A continuación, desconectamos la batería.
Supongamos que la separación entre las placas del condensador es x, y mediante una
fuerza mecánica externa Fm igual y opuesta a la fuerza de atracción electrostática Fe
aumentamos la separación entre las placas en dx.
El trabajo dWm=Fm·dx realizado por la fuerza mecánica se invierte en modificar la
energía U=q2/(2C) almacenada por el condensador en forma de campo eléctrico. Como
la batería está desconectada no suministra ninguna energía al condensador durante este
proceso, por lo que dWm=dU
Para un condensador plano-paralelo ideal C=ε0·S/x, la fuerza vale
Cuando la placa del condensador se desplaza Δx la capacidad disminuye, la energía del
condensador aumenta
El trabajo realizado por la fuerza exterior Fm=Fe para incrementar la separación de las
placas es
El trabajo realizado por la fuerza exterior Fm se emplea en incrementar la energía ΔUc
del condensador
Paradoja
El campo eléctrico en el condensador es constante y su valor es σ/ε0 o bien, q/(Sε0), la
fuerza que ejerce este campo sobre la placa cargada es q2/(Sε0), que es el doble de lo que
hemos deducido. ¿Cómo se entiende estos dos resultados dispares?.
Imaginemos que la carga en la superficie de la placa ocupa una capa delgada, como se
indica en la figura, el campo variará desde cero en la superficie interna de la capa hasta
σ/ε0 en el espacio entre las placas. El campo medio que actúa sobre la carga situada en la
capa delgada es σ/(2ε0 ), y por tanto las fuerza sobre la carga situada en la capa delgada
es qσ/(2ε0 )=q2/(Sε0). Esta es la razón del factor 1/2 que aparece en la expresión de la
fuerza que hemos deducido. (Véase Feynman)
La fuerza de atracción entre las placas Fe=-Fm es constante e independiente de su
separación x. La fuerza Fe la podemos obtener a partir de la energía almacenada en
forma de campo eléctrico en el condensador U=q2/(2C), mediante la expresión.

Potencial constante
La balanza de Kelvin mide la fuerza entre las placas de un condensador plano-paralelo
cargado. Una de las placas del condensador cuelga de un brazo de una balanza, en el
otro brazo se colocan pesas.
Las placas del condensador se ponen en contacto con una fuente ajustable de alto
voltaje, que va variando poco a poco hasta que la balanza se pone en equilibrio. Un
anillo metálico que rodea a la placa superior minimiza los efectos del campo que sale
por los bordes de las placas paralelas
Vamos a determinar la fuerza Fe de atracción entre las placas, suponiendo que el
condensador tiene inicialmente una capacidad C, y las placas están cargadas con una
carga q tal que q=C·V
Incrementamos en dx la separación entre las placas ejerciendo
una fuerza mecánica exterior Fm sobre la placa móvil igual y
opuesta a la fuerza de atracción eléctrica Fe entre las placas.
El trabajo realizado por la fuerza mecánica es dWm=Fm·dx
Si las placas del condensador se mantienen a una diferencia de potencial constante V
mediante una batería, al modificarse la capacidad, la batería realiza un trabajo para
suministrar o retirar una carga dq=V·dC. Este trabajo vale
dWV=V·dq=V2·dC
El trabajo total realizado sobre el condensador modifica la energía U=CV2/2
almacenada en el mismo en forma de campo eléctrico.
dU= dWV+ dWm
Como V es constante, tenemos que
½V2·dC=V2·dC+Fm·dx
Despejamos la fuerza Fm
Para un condensador plano-paralelo ideal C=ε0·S/x
La fuerza de atracción entre las placas Fe=-Fm es inversamente proporcional al
cuadrado de su separación x. La fuerza Fe la podemos obtener también, a partir de la
energía U=CV2/2 almacenada en forma de campo eléctrico en el condensador, mediante
la expresión.
Cuando la placa del condensador se desplaza Δx la capacidad disminuye, la energía del
condensador disminuye.
La fuerza Fm=Fe que debemos de hacer para desplazar la placa, de acuerdo a la
argumentación del punto anterior.
El trabajo de esta fuerza es
A medida que se separa las placas, decrece la capacidad, las placas pierden carga que va
a la batería.
El trabajo realizado sobre la batería es el producto de la pérdida de carga que
experimenta el condensador por la ddp V de la batería
La batería gana energía que proviene, la mitad, de la disminución de la energía
condensador ΔUc y la otra mitad, del trabajo realizado por la fuerza externa Wm.
Actividades
En el applet se trata de medir una tensión desconocida V, mediante un electrómetro
formado por dos placas planas y paralelas.
La diferencia de potencial V se calcula midiendo la fuerza F entre las placas, conocidos
los datos de la distancia x entre las placas y el área S de las mismas.
Cuando se pulsa el botón titulado Nuevo, se genera un número aleatorio que representa
la tensión V desconocida de un generador.
Cuando se pulsa el botón titulado Conectar, las placas del condensador se conectan a
dicho generador, atrayéndose entre sí. La balanza se desequilibra ya que su brazo está
unido a la placa superior del condensador, y tenemos que volverla a equilibrar para
medir la fuerza de atracción F.
Moviendo los cursores de la balanza (flechas de color azul, rojo y negro) equilibramos
la balanza y medimos la fuerza en miligramos.
Ejemplo:
Equilibramos la balanza desplazando con el puntero del ratón los cursores hasta marcar
481 mg.
Sabiendo que el área de las placas es de 400 cm2 y que su separación es de 1 cm.
Introducimos los datos en la fórmula de la fuerza en las unidades adecuadas.
Comparamos nuestros cálculos con la respuesta dada por el programa interactivo 1631.7
V, pulsando en el botón titulado Respuesta
Capacidad de un condensador cilíndrico
El campo existente entre las armaduras de un condensador cilíndrico de radio interior a,
radio exterior b, y longitud L, cargado con cargas +Q y –Q, respectivamente, se calcula
aplicando la ley de Gauss a la región a<r<b, ya que tanto fuera como dentro del
condensador el campo eléctrico es cero.
La aplicación del teorema de Gauss, es similar al de una línea cargada,y requiere los
siguientes pasos:
1.-A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del
campo eléctrico.
La dirección del campo es radial y perpendicular al eje del cilindro.
2.-Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo
Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de radio r, y longitud L. Tal como se
muestra en la figura. El cálculo del flujo, tiene dos componentes

Flujo a través de las bases del cilindro: el campo y el vector superficie son
perpendiculares, el flujo es cero.

Flujo a través de la superficie lateral del cilindro. El campo E es paralelo al
vector superficie dS, y el campo es constante en todos los puntos de la superficie
lateral, por lo que,
El flujo total es por tanto; E·2 rL
3. Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada
La carga en el interior de la superficie cerrada vale +Q, que es la carga de la armadura
cilíndrica interior
4.-Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico
Ahora, es fácil demostrar, aplicando el teorema de Gauss que el campo en las regiones
r<a y r>b es nulo.


En el primer caso, si tomamos una superficie cilíndrica de radio r<a y de
longitud L, dicha superficie no encierra carga alguna.
En el segundo caso, si tomamos una superficie cilíndrica de radio r>b y longitud
L, la carga total encerrada es +Q-Q=0, es nula, el flujo es cero y el campo es
cero.
En la figura, se muestra la representación gráfica del campo E en función de la distancia
radial r.
La diferencia de potencial entre las placas
del condensador se calcula integrando, (área
sombreada de la figura).
La capacidad es
La capacidad solamente depende de la geometría del condensador (radio a y radio b de
sus armaduras, y longitud L del condensador)
Si el cilindro interior no está completamente introducido en el exterior, sino solamente
una longitud x, la capacidad del condensador será
Energía del condensador
Electrómetro cilíndrico
La fuerza que actúa sobre el cilindro interior del condensador, manteniendo constante el
potencial V entre sus placas es
La fuerza es constante e independiente de x.
Actividades
En el applet se trata de medir una tensión desconocida V, mediante un electrómetro
formado por dos armaduras cilíndricas de radios a y b que tienen el mismo eje.
El potencial V se calcula midiendo la fuerza F, conocidos los datos del radio interior a y
el radio exterior b del condensador cilíndrico.
Cuando se pulsa el botón titulado Nuevo, se genera un número aleatorio que representa
la tensión V desconocida de un generador.
Cuando se pulsa el botón titulado Conectar, las placas del condensador se conectan a
dicho generador. El cilindro interior es atraído por el campo eléctrico y la balanza se
desequilibra. Tenemos que volverla a equilibrar para medir la fuerza de atracción F.
Moviendo los cursores (flechas de color azul, rojo y negro) equilibramos la balanza y
medimos la fuerza en miligramos.
Ejemplo:
Equilibramos la balanza desplazando con el puntero del ratón los cursores hasta marcar
57.7 mg.
Sabiendo que el radio interior a del cilindro es de 45 mm, y el radio del cilindro exterior
es de 50 mm. Introducimos los datos en la fórmula de la fuerza en las unidades
adecuadas.
Comparamos nuestros cálculos con la respuesta dada por el programa interactivo 1465.5
V, al pulsar el botón titulado Respuesta.