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Circuito RLC de corriente alterna.
E: Un circuito RLC con constantes L D 0:4 H, R D 3:2  y C D 0:1 F se conecta a una fuente
de voltaje que proporciona 20 cos 3t V. ¿Cuál será la carga en el capacitor y la corriente por el
circuito, si al conectar la fuente, el capacitor tiene una carga de 5 C y circula una corriente de
12 A?
D: H La ED que modela la carga Q.t/ en el capacitor es
L
d 2Q
dQ
Q
d 2Q
dQ
Q
C
R
C
D
V
.t/
)
0:4
C
3:2
C
D 20 cos 3t;
dt 2
dt
C
dt 2
dt
0:1
que podemos reescribir, después de simplificar, como
d 2Q
dQ
C
8
C 25Q D 50 cos 3tI
dt 2
dt
cuya ED homogénea asociada es
dQ
d 2Q
C
8
C 25Q D 0:
dt 2
dt
La ecuación característica es
r 2 C 8r C 25 D 0:
Si aplicamos la fórmula general de solución de ecuaciones de segundo grado tenemos:
p
p
8 ˙ 64 4.1/.25/
8˙
36
rD
D
I
2
2
obtenemos las raíces r1 D
4 C 3i & r2 D 4
Qc .t/ D c1 e
4t
3i. Luego, la solución complementaria es
cos 3t C c2 e
4t
sen 3t:
Observemos ahora que la frecuencia angular del voltaje de entrada es w D 3, relacionada
con las raíces ˙3i, diferentes de las dos raíces de la ecuación característica; en consecuencia
proponemos como solución particular:
Qp .t/ D A cos 3t C B sen 3t:
Derivando se tiene:
Qp0 .t/ D
Qp00.t/
Sustituyendo ahora en la ED
D
3A sen 3t C 3B cos 3tI
9A cos 3t
9B sen 3t:
d 2Q
dQ
C
8
C 25Q D 50 cos 3t, resulta:
dt 2
dt
9A cos 3t 9B sen 3t C 8. 3A sen 3t C 3B cos 3t/ C 25.A cos 3t C B sen 3t/ D
D .16A C 24B/ cos 3t C . 24A C 16B/ sen 3t D 50 cos 3t:
4. canek.azc.uam.mx: 18/ 1/ 2011
2
De donde:
16A C 24B D 50I
24A C 16B D 0:
3A
De la segunda ecuación tenemos B D
; considerando este resultado en la primera ecuación
2
se tiene:
3A
50
25
75
50 D 16A C 24
) AD
D
& BD :
2
52
26
52
Por lo que la solución particular es
Qp .t/ D
75
25
cos 3t C
sen 3t
26
52
y la solución general de la ED no homogénea está dada por:
Q.t/ D
25
75
cos 3t C
sen 3t C c1 e
26
52
4t
cos 3t C c2 e
4t
sen 3t:
Derivando tenemos:
I.t/ D
D
225
75
sen 3t C
cos 3t 4c1 e 4t cos 3t 3c1 e 4t sen 3t 4c2 e 4t sen 3t C 3c2 e
26
52
75
225
sen 3t C
cos 3t C . 4c1 C 3c2 /e 4t cos 3t .3c1 C 4c2 /e 4t sen 3t:
26
52
4t
cos 3t D
Usando las condiciones iniciales Q.0/ D 5 & I.0/ D 12 tenemos:
25
C c1 D 5I
26
225
52
de donde c1 D
4c1 C 3c2 D 12:
105
413
y c2 D
, tenemos finalmente que la carga y la corriente están dadas por:
26
52
25
75
105 4t
413 4t
cos 3t C
sen 3t C
e
cos 3t C
e
sen 3t C;
26
52
26
52
75
225
399 4t
1141 4t
I.t/ D
sen 3t C
cos 3t C
e
cos 3t
e sen 3t A.
26
52
52
26
Q.t/ D