Download Ejercicios Tipo Examen - Departamento de Energía UAM

Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Azcapotzalco
Departamento de Energı́a
2
Área de Ingenierı́a Energética y Electromagnética∇
Ejercicios Tipo Examen:
Transformadores y Máquinas Sı́ncronas (1131074)
20 de mayo de 2016
1. El transformador ideal de la Figura 1 con N1 = 100 vueltas y N1 = 200 vueltas,
tiene un flujo de
2
acoplamiento mutuo descrito por la función parabólica φm (t) = −0,05 t − 2t Wb. Determine las
tensiones en las terminales de las bobinas e1 y e2 .
ϕm
+
v1
-
iϕ
+
e1
-
+
e2
-
Figura 1: Transformador ideal de los problemas 1 y 2
Observaciones:
Se recomienda calcular la relación de transformación.
Ecuaciones fundamentales:
a=
N1
V1
I2
=
=
N2
V2
I1
1
(1)
e=N
dφm (t)
dt
(2)
donde:
a= relación de transformación.
N = número de vueltas.
N1 = número de vueltas del devanado primario.
N2 = número de vueltas del devanado secundario.
V1 = voltaje primario.
V2 = voltaje secundario.
I1 = corriente primaria.
I2 = corriente secundaria.
φm = flujo magnético.
2
2. Supongamos que se conecta una resistencia de 100 Ω al secundario del transformador ideal de la Figura
1. Si V1 = 10 V, determinar iφ y v2 .
Observaciones:
Se recomienda calcular la relación de transformación.
Es necesario calcular I2 .
Para calcular I2 se debe conocer V2 y R2 (la proporciona el problema).
V2 se calcula utilizando la relación de transformación.
Iφ es la corriente primaria I1 y se puede calcular utilizando la relación de transformación.
Ecuaciones fundamentales:
a=
N1
V1
I2
=
=
N2
V2
I1
(3)
donde:
a= relación de transformación.
N1 = número de vueltas del devanado primario.
N2 = número de vueltas del devanado secundario.
V1 = voltaje primario.
V2 = voltaje secundario.
I1 = corriente primaria.
I2 = corriente secundaria.
3
3. Un transformador reductor de 2.4 kVA, 2400/240 V y 60 Hz tiene los parámetros siguientes: R1 =1.5
Ω, X1 =2.5 Ω, R2 =0.02 Ω, X2 =0.03 Ω, Rc1 =6 kΩ y Xm1 =8 kΩ. El transformador opera a plena carga.
Utilizando el circuito equivalente exacto, calcular la eficiencia η y la regulación de voltaje %RV si se
le conecta una carga con: a) fp=1, b) fp=0.8(-) y c) fp=0.8(+). Tambien trazar el diagrama fasorial
para todos los casos.
Observaciones:
Es indispensable dibujar el circuito equivalente exacto del transformador.
Los subı́ndices 1 y 2 indican que son parámetros referidos al lado de alto voltaje y bajo voltaje,
respectivamente.
Se recomienda calcular la relación de transformación.
El transformador opera a plena carga.
Para calcular η y %RV se necesita conocer Ṽ1 , I˜1 , Ṽ2 y I˜2 .
En el cálculo de η se recomienda utilizar la potencia compleja. Para la %RV , sólo se implementan
magnitudes de voltajes.
El voltaje secundario Ṽ2 se considera constante y se toma como referencia Ṽ2 =240 ∠0◦ V.
Para calcular I2 se utiliza la potencia aparente S y V2 .
Para obtener I˜2 se utiliza su magnitud, y su fase se calcula como ∠±arc cos(fp). El signo se elige
positivo si fp(+) o negativo cuando fp(-).
Una vez que se conocen Ṽ2 y I˜2 , sólo basta analizar el circuito para obtener las variables eléctricas
faltantes.
Ecuaciones fundamentales:
a=
N1
V1
I2
=
=
N2
V2
I1
(4)
S = V1 I 1 = V2 I 2
η=
%RV =
(5)
Po
Re{Ṽ2 I˜2⋆ }
× 100 =
× 100
Pin
Re{Ṽ1 I˜1⋆ }
Vsc − Vpc
V1 − aV2
× 100 =
× 100 =
Vpc
aV2
V1
a
(6)
− V2
× 100
V2
(7)
donde:
a= relación de transformación.
N1 = número de vueltas del devanado primario.
N2 = número de vueltas del devanado secundario.
4
V1 = voltaje primario.
V2 = voltaje secundario.
I1 = corriente primaria.
I2 = corriente secundaria.
S= potencia aparente.
Po = potencia de salida.
Pin = potencia de entrada.
Vsc = voltaje sin carga.
Vpc = voltaje a plena carga.
5
A continuación se muestran los diagramas fasoriales para los diferentes factores de potencia. Es importante mencionar que, la escala de los diagramas ası́ como sus ángulos, ha sido modificada con el
objetivo de ejemplificar su elaboración.
Eje imaginario
V '1 = 240
240.48572 0.1482°
240.485
I 2 = 10 0°
I1 ' jX 1 ' = 0.
0.3580 77.93°
0.1482°
0.0756°
Eje real
-12.07°
I1 ' R1 ' = 0.2
0.2148 -12.07°
V2 = 240 0°
I '1 = 14.3
14.323 -12
12.07°
I 2 R2 = 0.2 0°
I 2 jX 2 = 0.3 90°
E2 = 240.2001 0.0756
0
°
(a) fp=1.
Eje imaginario
V '1 = 240.74
240. 0.06
0. °
-36.87°
I1 ' jX1 ' = 0.375
0
53.14°
0.06°
0.02°
Eje real
V2 = 240 0°
-36.86°
I1 ' R1 ' = 0
0.2 -3
36.86°
I 2 jX 2 = 0.3 5
53.13°
E2 = 240.3
240.34 0.02°
I '1 = 15 -36.86
3
°
I 2 R2 = 0.2 -36
36.87°
I 2 = 10 -36.87
3
°
(b) fp=0.8(-).
Eje imaginario
I 2 = 10 36.87
3
°
V '1 = 240.
240.08 0.16
0. °
I '1 = 12.3 14.06
14.0 °
I1 ' jX1 ' = 0.3
0.3075104.06°
I1 ' R1 ' = 0.1
0.1814.06°
36.87°
Eje real
14.06°
0.02°
0.16°
V2 = 240 0°
I 2 jX 2 = 0.312
0.3126.87°
E2 = 240.34 0.02
0 °
I 2 R2 = 0.2 36
36.87°
(c) fp=0.8(+).
Figura 2: Diagramas fasoriales.
6
4. Los siguientes datos se obtuvieron de la prueba de un transformador reductor de 25 kVA y 2300/460
V y 60 Hz. Determinar el circuito equivalente del transformador como se observa desde: a) lado de
alto voltaje, b) lado de bajo voltaje y c) trazar el circuito equivalente exacto.
Tabla 1: Mediciones de cada prueba.
Prueba Voltaje [V] Corriente [A] Potencia [W]
460
1.48
460
108.7
10.87
709
Observaciones:
Se debe determinar en qué lado se realizó cada prueba.
Los parámetros que se calculen estarán referidos de manera automática al sitio en donde se
realizó la prueba.
Las pruebas de circuito abierto y cortocircuito proporcionan información para obtener los parámetros del circuito equivalente aproximado del transformador. Sin embargo, para construir el circuito
equivalente exacto es necesario considerar el criterio de diseño óptimo [1]..
Para construir, por ejemplo, el circuito equivalente aproximado referido al lado de bajo voltaje,
es necesario utilizar parámetros referidos al lado de bajo voltaje.
Los subı́ndices L y H indican que se tratan de parámetros referidos al lado de bajo voltaje y alto
voltaje, respectivamente.
Rc =
Voc2
Poc
(8)
Xm =
Voc2
Qoc
(9)
p
(10)
Soc = Voc Ioc =
2 + Q2
Poc
oc
RcH = a2 RcL
(11)
XmH = a2 XmL
(12)
Req =
Psc
2
Isc
(13)
7
Zeq =
Zeq =
q
Vsc
Isc
2 + X2
Req
eq
(14)
(15)
ReqH = a2 ReqL
(16)
XeqH = a2 XeqL
(17)
donde:
a= relación de transformación.
Voc = voltaje de la prueba de circuito abierto.
Vsc = voltaje de la prueba de cortocircuito.
Poc = potencia activa de la prueba de circuito abierto.
Psc = potencia activa de la prueba de cortocircuito.
Qoc = potencia reactiva de la prueba de circuito abierto.
Qsc = potencia reactiva de la prueba de cortocircuito.
Soc = potencia aparente de la prueba de circuito abierto.
Rc = resistencia de pérdidas en el núcleo.
Xm = reactancia de magnetización.
Req = resistencia equivalente del devanado.
Xeq = reactancia equivalente del devanado.
Zeq = impedancia equivalente del devanado.
8
5. Un transformador de 25 kVA, 4000/400 V y 60 Hz tiene los parámetros siguientes: R1 =18 Ω, X1 =25
Ω, R2 =0.18 Ω, X2 =0.250 Ω, Rc1 =15 kΩ y Xm1 =25 kΩ. Si se efectúan las pruebas de circuito abierto
y de cortocircuito en este transformador. ¿Cuáles son las lecturas de los instrumentos en cada caso?
Tabla 2: Mediciones de cada prueba.
Prueba
Voltaje [V] Corriente [A] Potencia [W]
Circuito Abierto
Cortocircuito
Observaciones:
Se debe determinar en qué lado se realizó cada prueba.
Los parámetros que se calculen estarán referidos de manera automática al sitio en donde se
realizó la prueba.
Los parámetros que proporciona el problema corresponden al circuito equivalente exacto. Debido
a esto, la resistencia y reactancia equivalente no corresponden a la información proporcionada.
No obstante, mediante el criterio de diseño óptimo se pueden obtener [1].
Los subı́ndices L y H indican que se tratan de parámetros referidos al lado de bajo voltaje y alto
voltaje, respectivamente.
Este problema se resuelve de forma inversa al problema .
Rc =
Voc2
Poc
(18)
Xm =
Voc2
Qoc
(19)
p
(20)
Soc = Voc Ioc =
2 + Q2
Poc
oc
RcH = a2 RcL
(21)
XmH = a2 XmL
(22)
Req =
Psc
2
Isc
(23)
9
Zeq =
Zeq =
q
Vsc
Isc
2 + X2
Req
eq
(24)
(25)
ReqH = a2 ReqL
(26)
XeqH = a2 XeqL
(27)
donde:
a= relación de transformación.
Voc = voltaje de la prueba de circuito abierto.
Vsc = voltaje de la prueba de cortocircuito.
Poc = potencia activa de la prueba de circuito abierto.
Psc = potencia activa de la prueba de cortocircuito.
Qoc = potencia reactiva de la prueba de circuito abierto.
Qsc = potencia reactiva de la prueba de cortocircuito.
Soc = potencia aparente de la prueba de circuito abierto.
Rc = resistencia de pérdidas en el núcleo.
Xm = reactancia de magnetización.
Req = resistencia equivalente del devanado.
Xeq = reactancia equivalente del devanado.
Zeq = impedancia equivalente del devanado.
10
6. Un transformador trifásico se ensambla conectando tres transformadores monofásicos de 720 VA y
360/120 V. Los parámetros de cada transformador son R1 =18.9 Ω, X1 = 21.6 Ω, R2 =2.1 Ω, X2 = 2.4
Ω, Rc1 = 8.64 kΩ y Xm1 =6.84 kΩ. Para una configuración Y-Y, determine el voltaje nominal y las
especificaciones de potencia del transformador trifásico. Trace el circuito equivalente exacto por fase.
Observaciones:
Los parámetros que proporcionan corresponden a cada transformador y con ellos se puede construir el circuito equivalente exacto por fase. Por lo tanto, no es necesario modificar dichos parámetros.
Las variables eléctricas de cada transformador son monofásicas. Sin embargo, la especificación de
voltaje y potencia en un
√ transformador se da en forma trifásica, por lo que para los voltajes es
necesario considerar el 3 y la potencia aparente trifásica es la suma de la potencia aparente de
cada transformador.
11
7. Un transformador trifásico conectado en Y-Y, de 150 kVA, 2080/208 V y 60 Hz, consta de tres
transformadores monofásicos idénticos. Cada transformador tiene los parámetros siguientes: R1 =0.45
Ω, X1 =2.2 Ω, R2 =0.0045 Ω, X2 =0.022 Ω, Rc1 =10 kΩ y Xm1 =8 kΩ. El transformador opera a plena
carga. Debido a la naturaleza de la impedancia conectada, la corriente se retrasa respecto al voltaje y
consume 90 kW con el voltaje nominal en terminales. Calcular: a) la eficiencia y b) la regulación de
voltaje.
Los parámetros que proporcionan corresponden a cada transformador y con ellos se puede construir el circuito equivalente exacto por fase. Por lo tanto, no es necesario modificar dichos parámetros.
Las especificaciones eléctricas del transformador son trifásicas.
Para realizar un análisis por fase es necesario
considerar voltajes y potencias por fase. Las poten√
cias se dividen por 3 y los voltajes por 3.
El factor de potencia está implı́cito en la información que se proporciona.
Las siguientes recomendaciones son las mismas del problema .
Ecuaciones fundamentales:
a=
V1
I2
N1
=
=
N2
V2
I1
(28)
S = V1 I 1 = V2 I 2
η=
%RV =
(29)
Re{Ṽ2 I˜2⋆ }
Po
× 100 =
× 100
Pin
Re{Ṽ1 I˜1⋆ }
Vsc − Vpc
V1 − aV2
× 100 =
× 100 =
Vpc
aV2
V1
a
(30)
− V2
× 100
V2
(31)
donde:
a= relación de transformación.
N1 = número de vueltas del devanado primario.
N2 = número de vueltas del devanado secundario.
V1 = voltaje primario.
V2 = voltaje secundario.
I1 = corriente primaria.
I2 = corriente secundaria.
S= potencia aparente.
Po = potencia de salida.
Pin = potencia de entrada.
Vsc = voltaje sin carga.
Vpc = voltaje a plena carga.
12
Referencias
[1] B. S. Guru, H. R. Hiziroglu, and J. E. Brito, Máquinas eléctricas y transformadores. Oxford University
Press, 2003.
13