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Los modernos algoritmos de cálculo fueron posibles gracias a la introducción de los números árabes y
la notación decimal posicional. Los números arábigos, en los que se basa la aritmética actual, fueron
desarrollados por grandes matemáticos hindúes como Aryabhatta, Brahmagupta y Bhaskara.
La teoría de conjuntos ha aportado a la ciencia
mejores criterios de selección de objetos. Por
ejemplo, la taxonomía en la biología utiliza el
concepto de conjunto para la ordenación jerarquizada y sistemática de todos los seres vivos:
animales y vegetales.
El proceso de clasificación consiste en identificar
a los seres vivos con un determinado grupo de
características comunes que les son propios.
1.1.1. La Aritmética
1.1.1A. Concepto
La aritmética es la más antigua y elemental rama de la matemática que estudia la composición y descomposición de la cantidad representada por números así como las operaciones realizadas con estos.
Esta disciplina matemática es utilizada, en casi todo el mundo, en tareas cotidianas como contar y en
los más avanzados cálculos científicos. La palabra aritmética proviene de dos voces griegas: arithmos
que quiere decir número y techne habilidad.
El parisino Nicole Oresmes (1328 - 1382) generalizó el concepto de potencia, introduciendo los exponentes fraccionarios, sus reglas de operaciones y su notación, anticipándose a la idea de logaritmo. En
el siglo XV, Regiomontano enriqueció el concepto de número, introduciendo los radicales y las operaciones con ellos. En 1614 John Neper (1550 - 1617) presenta las primeras tablas de logaritmos y años
más tarde, con Henry Briggs (1561 - 1630) desarrollan el sistema logarítmico decimal.
La teoría de números se enriqueció con las famosas investigaciones de Fermat. En particular a él pertenece el conocido «Gran teorema de Fermat». En el año 1665 Pascal formuló el principio de inducción
matemática. Ya en el siglo XVIII los métodos del cálculo aritmético se enriquecieron con los logaritmos. En 1768 apareció la «Aritmética Universal» de Euler quien se ocupó de construir la actual teoría de
números y teoría de congruencias. El siglo XIX merece ser llamado más que ningún otro periodo anterior la edad de Oro de la Matemática. En esta época K.F. Gauss, N.H. Abel y E. Galois, introdujeron los
conceptos relativos a la teoría de grupos, subgrupos, anillos y estructuras. En el año 1872 surgieron una
serie de trabajos, escritos por Cantor, Dedekind, Weierstrass, Heine y Meray cuyo único objetivo era el
de dotar al número real de una teoría rigurosa, desarrollándose así la Teoría de conjuntos.
En la actualidad la aritmética se puede subdividir en: Aritmética Abstracta, Aritmética Concreta y Aritmética Mercantil. [Aritmética general y mercantil, Carlos Mataix Aracil, Ed. Dossat, 6ta Edición, 1962, Madrid]
1.1.2. Conjunto
1.1.2A. Concepto de conjunto
Entendemos como conjunto a una colección de cualquier tipo de objetos llamados elementos del
conjunto, que está determinado por una propiedad común de quienes lo forman y enunciada por
medio de un lenguaje preciso. [Teoría de la aritmética, Peterson & Hashisaki, Ed. Limusa, 1994, México]
Ejemplos.- Son conjuntos las siguientes colecciones:
a) Los hijos de Carmela: Marlon, Rocío y Daniel.
1.1.1B. Breve historia
b) Los números naturales: 1; 2; 3; ...; 20.
Se puede decir que la aritmética nace con la idea de número y éste de la necesidad de contar. Tales
hechos son tan antiguos como el hombre y se pierden en el tiempo.
1.1.2B. Notación de conjuntos
En la prehistoria, la aritmética estuvo limitada al uso de números naturales, encontrados inscritos en el
hueso Ishango de África central, que data entre 18000 y 20000 a. C. Hay evidencias de que los babilonios
tenían sólidos conocimientos de casi todos los aspectos de la aritmética elemental en 1800 a. C. Del
mismo modo, el Papiro de Ahmes (1650 a. C.) encontrado en Egipto, muestra sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, utilizando un sistema de fracciones.
Nicomachus de Gerasa (120 - 60 a. C.) resume la filosofía de Pitágoras enfocada a los números, y sus
relaciones, en su Introducción a la Aritmética. Es necesario precisar que la aritmética india era mucho
más simple que la aritmética griega, debido a la simplicidad del sistema numérico indio que, además,
poseía el cero y una notación con valor numérico posicional.
Es Fibonacci (también conocido como Leonardo de Pisa) quien presenta el «Método de los hindúes» en
Europa en 1202; en su tratado Liber Abaci. En la Edad Media, la aritmética fue considerada como una
de las siete artes liberales enseñada en las universidades.
10
Aritmética
Un conjunto se denota con letras mayúsculas (A; B; C; ...) y se representa mediante llaves: { }, en cuyo
interior se denotan sus elementos, representados por letras minúsculas, separados por comas o punto y
coma en el caso de ser números.
Ejemplo 1.- El conjunto formado por los hijos de Carmela, del ejemplo anterior, se puede denotar así:
C = {Marlon, Rocío, Daniel}
que se interpreta así: « C es un nombre para el conjunto de los elementos Marlon, Rocío y Daniel »
Ejemplo 2.- El conjunto de los números naturales del 1 al 20, se puede denotar como:
A = {1; 2; 3; ...; 20}
que se interpreta así: «A es un nombre para el conjunto cuyos elementos son los primeros 20 números
naturales no nulos »
Luego, todo conjunto es una colección de objetos, pero no toda colección de objetos es un conjunto.
Und. 1 – Teoría de Conjuntos
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Ejemplo 3.- Las siguientes son colecciones pero no son conjuntos:
a) Los astronautas que llegaron a la luna, los videojuegos gongbawn y las enfermedades venéreas.
b) Un personaje de Harry Potter, los damnificados de Chernobil, el autor de la Divina Comedia y el 45.
1.1.3. Determinación de un conjunto
Determinar un conjunto es listar o indicar, sin ambigüedades, los términos o condiciones mediante los
cuales un elemento dado es o no integrante de dicho conjunto.
1.1.3A. Por extensión
Un conjunto se determina por extensión cuando se listan, o enumeran, uno a uno sus elementos, o se da
una fórmula que define la secuencia de éstos. [Aritmética General y Mercantil, Dr. Carlos Mataix Aracil,
Ed. Dossat, Madrid, 1962]
Ejemplo.- Los elementos del conjunto A son: 2; 4; 6; 8 y 10. Luego determinamos el conjunto A, por
extensión, así:
A  {2; 4; 6; 8; 10}
También se puede escribir:
El signo  se lee: «menor o igual que».
1.1.5. Conjuntos especiales
1.1.5A. Conjunto vacío
El conjunto vacío es el conjunto que no tiene elementos y se denota comúnmente como:  o { }.
Ejemplo.- Sea A un conjunto cuyos elementos son los campeonatos mundiales de fútbol ganados por el
Perú durante el siglo XX. Como Perú no ganó ningún campeonato en dicho periodo, este conjunto no
tiene ningún elemento, luego:
A  { }, o , A  
1.1.5B. Conjunto universal
Dados el conjunto A o más conjuntos, el conjunto universal o de referencia de A, denotado por , es
otro conjunto cuyos elementos son todos los elementos de los conjuntos dados.
Ejemplo.- Sean los siguientes conjuntos: A  {1; 3; 5; 7; 9} y B = {0; 2; 4; 6; 8}
Luego el conjunto universal de los conjuntos A y B es:
A  {2k; donde k es un número natural 1  k  5}
1.1.3B. Por comprensión
Un conjunto se determina por comprensión cuando se enuncia a sus elementos por medio de una
propiedad o cualidad común a ellos y que le es válida únicamente a éstos.
  {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
Un conjunto universal o referencial se elige de manera arbitraria de acuerdo a la situación particular
que se esté estudiando. En el ejemplo anterior se ha supuesto que solo existen los conjuntos A y B.
1.1.6. Diagramas conjuntistas
Un conjunto por comprensión se denota así: A  {x|x tiene cierta propiedad}
que se lee: « A es el conjunto de todos los elementos x tal que x tiene cierta propiedad »
El símbolo | (barra vertical) se lee: « tal que » y el símbolo « x » se llama variable. [Teoría de Conjuntos y
Los diagramas conjuntistas son dibujos en los que se muestran las relaciones existentes entre dos o más
conjuntos.
Temas Afines, Ph.D Seymour Lipschutz, Ed. McGraw Hill, Cali, 1978]
Entre los diagramas más usuales tenemos:
Ejemplo.- Del ejemplo anterior podemos escribir: A  {a| a es par y 2  a  10}
1.1.6A. Diagramas de Venn - Euler
1.1.4. Relación de pertenencia
Llamamos relación de pertenencia a la correspondencia que existe entre un objeto, llamado elemento, y
un conjunto, de modo que el primero forma parte del segundo.
Son regiones planas limitadas por figuras geométricas cerradas que se utilizan para representar gráficamente a los conjuntos anotando, en su interior, a sus correspondientes elementos.
Se estila representar al conjunto universal mediante un rectángulo.
Ejemplo.- El siguiente es un diagrama de Venn - Euler de los conjuntos A, B, C y su conjunto universal :
Si un objeto « x » es elemento de un conjunto A, es decir, si A tiene a « x » como uno de sus elementos, se
escribe:
x  A, que se lee: « x pertenece a A», o « x está en A»
Si por el contrario, un objeto « x » no es elemento de un conjunto A, es decir, si A no tiene a «x» entre sus
elementos, se escribe:
xA
Obsérvese que la relación de pertenencia va de un objeto a otro, donde el segundo es necesariamente
un conjunto y el primero puede o no ser un conjunto.
A partir del diagrama mostrado, se puede determinar, por extensión, los siguientes conjuntos:
A  {1}, B  {2; 3}, C  {3; 4; 5}
Ejemplo.- Sean los conjuntos: A  {1; 2; 3} y B  {a; {b; c}}, entonces se puede afirmar que:
1 A; 2  A; 3 A; a  B; {b; c}  B
Asimismo podemos establecer que: a  A; 2  B.
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Aritmética
y finalmente, el conjunto universal:   {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Obsérvese que cada elemento se ha indicado por medio de un punto.
Und. 1 – Teoría de Conjuntos
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1.1.6B. Diagrama de Carroll
Ejemplo 1.- Sean los conjuntos P  {1; 3; 5} y Q  {1; 2; 3; 4; 5}
Este diagrama es un recurso gráfico que consiste en un plano dividido en rectángulos, en el que cada
región representa a un conjunto con dos o más características.
Como todo elemento de P también pertenece a Q concluimos que P es subconjunto de Q y se denota:
Ejemplo.- Sea el siguiente diagrama de Carroll:
PQ
Ejemplo 2.- El conjunto R  {2; 3; 4} es un subconjunto del conjunto S  {4; 3; 2}
En efecto, todo elemento de R: 2; 3 ó 4, también pertenece a S.
 RS
Lewiss Carroll, es el seudónimo con el que fuera conocido Charles L. Dodgson (1 832 - 1 898), escritor y
matemático inglés, autor de la obra «Alicia en el país de las maravillas ».
1.1.7. Relación entre conjuntos
1.1.7A. Igualdad de conjuntos
La igualdad de dos conjuntos A y B, denotada como A  B, es la relación que establece que cada
elemento de A es un elemento de B y cada elemento de B es un elemento de A.
A=B
Obsérvese que en este ejemplo también podemos decir que S está incluido en R.
Ejemplo 3.- Investigar si el conjunto C  {21; 22; 23; 24; ...} es o no un subconjunto del conjunto
D  {x|(x es par no nulo)}
En efecto: C  {2; 4; 8; 16; ...} y D  {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; ...}, luego inspeccionando uno a uno los
elementos de ambos conjuntos concluimos que:
CD
Si algún elemento de un conjunto A no pertenece a otro B entonces decimos que A no está incluido en
B, lo cual se denota así: A B.
B2. Subconjunto propio
Ejemplo.- Sean los conjuntos: D  {a, b, a, a} y E  {a, b}. Se observa que cada elemento del conjunto D
está en el conjunto E y cada elemento del conjunto E está en el conjunto D, por lo tanto: D  E.
Se establece que A es subconjunto propio de B, si todo elemento de A es elemento de B, y existe al
menos un elemento de B que no le pertenece a A.
Si una misma letra, número u objeto aparece más de una vez en cualquier lista de los elementos de un
conjunto será considerado como solamente una letra, un número o un objeto, respectivamente.
La condición de existencia: «al menos un elemento de B no le pertenece a A» significa que el conjunto
B no está incluido en A.
Así, en el ejemplo anterior, la letra «a » aparece tres veces en la lista de los elementos del conjunto D.
Para nuestro propósito el conjunto D tiene solamente dos elementos diferentes: a y b.
B es subconjunto propio de A si: B  A y B  A
1.1.7B. Inclusión
La inclusión de un conjunto en otro conjunto es la relación según la cual todos los elementos del
primero pertenecen al segundo.
Sobre la base de este tipo de relación se establecen dos definiciones:
B1. Subconjunto
Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un
subconjunto de B, y se denota como A  B.
En algunos libros: «A es un subconjunto de B», se denota A  B, porque puede ocurrir que
A  B o A  B. En adelante, al referirnos a subconjunto y subconjunto propio, emplearemos la misma
notación: , en el entendido que se reconoce, desde ahora, la diferencia entre ellos.
Ejemplo.- Sean los conjuntos: M  {1; 2; 3} y N  {0; 1; 2; 3}
Se puede reconocer que todos los elementos de M son también los elementos de N, pero N tiene al
menos un elemento, el 0, que no le pertenece al conjunto M. Luego M es subconjunto propio de N, lo
cual denotaremos y graficaremos así:
MN y NM
A  B  ( x  A, x  B)
Los símbolos y  se leen como «si, y sólo si» y «para todo», respectivamente.
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Aritmética
En adelante, al referirnos a subconjunto y subconjunto propio, emplearemos la misma notación: , en el
entendido que el lector reconoce, desde ahora, la diferencia entre ellos.
Und. 1 – Teoría de Conjuntos
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Propiedades:
Ejemplo 3.- Sean: + = {x|x es un número positivo} y – = {x|x es un número negativo}
1ro. Todo conjunto está incluido en sí mismo.
Puesto que ningún elemento de cualquiera de los conjuntos está en el otro, se concluye que:
+ y – son conjuntos disjuntos.
 A se cumple que: A  A
2do. El conjunto vacío está incluido en cualquier conjunto e inclusive en él mismo.
 A se cumple que:   A
Ejemplo 4.- Sean A y B dos conjuntos no comparables, entonces A y B se describen por alguno de los
siguientes diagramas:
Obsérvese que si A = , entonces se cumple que:   
1.1.7C. Comparabilidad
Dos conjuntos A y B se llaman comparables si se cumple que:
AB o BA
De acuerdo con esta definición, dos conjuntos A y B son comparables si uno de los conjuntos es subconjunto del otro. Por esta misma razón, todo conjunto es comparable consigo mismo.
Ejemplo 1.- Sean los conjuntos: A  {a, b} y B  {a, b, c}
1.1.8. Clases de conjuntos
Entonces A es comparable con B, pues A es un subconjunto de B.
1.1.8A. Conjunto finito
Si A y B son dos conjuntos comparables entonces sólo es posible que: A  B o B  A. En cualquiera de
los dos casos se puede escribir A  B. Luego A y B se describen por alguno de los diagramas:
Un conjunto es finito cuando se puede listar exhaustivamente sus elementos en algún orden y en consecuencia contarlos uno a uno hasta alcanzar el último. [Aplicaciones matemáticas a la administración, Kleiman
& Kleiman, Ed. Limusa, 1988, México]
Ejemplo.- Sea A el conjunto de letras del abecedario: A = {a, b, c, ..., z}
Como los elementos de A se pueden listar hasta el último, concluimos que A es un conjunto finito.
1.1.8B. Conjunto infinito
En cambio, dos conjuntos se llaman no comparables si se cumple que:
AB y BA
Obsérvese, en este último caso, que si A no es comparable con B, entonces hay en A, al menos un
elemento que no está en B y hay también, al menos, un elemento de B que no está en A.
Un conjunto es infinito cuando no se pueden listar exhaustivamente sus elementos en algún orden y en
consecuencia no posee un último elemento.
Ejemplo.- Si  es el conjunto de los números naturales, entonces:
 = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; ...}
Ejemplo 2.- Sean los conjuntos: C  {a, b, c} y D  {b, c, d}
Se observa que a  D, luego C  D. Asimismo d  C, luego D  C.
 C y D son conjuntos no comparables.
Se observa que no es posible alcanzar el último elemento de este conjunto, luego  es un conjunto
infinito.
1.1.9. Cardinal de un conjunto
1.1.7D. Conjuntos disjuntos
Si dos conjuntos A y B no tienen elementos comunes, es decir, si ningún elemento de A está en B y si
ningún elemento de B está en A, se dice que A y B son disjuntos.
1.1.9A. Definición
Ejemplo 1.- Sean los conjuntos: A  {a, b, c} y B  {1; 2; 3; 4}
El cardinal de un conjunto A, denotado como n(A), es el número natural que indica la cantidad de
elementos diferentes que tiene dicho conjunto.
Se observa que ningún elemento de A está en B y ninguno de B está en A:
Ejemplo 1.- Sea el conjunto A = {a, b, c, d, e, f }, entonces su cardinal n(A) se obtiene así:
 A y B son conjuntos disjuntos.
Ejemplo 2.- Sean los conjuntos: R  {a, b, c} y S  {c, d, e, f }
Puesto que « c » está en R y en S concluimos que R y S no son disjuntos.
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Aritmética
Und. 1 – Teoría de Conjuntos
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Este ejemplo nos permite comprender que el cardinal de un conjunto es « n» si cada uno de sus elementos diferentes se hace corresponder, uno a uno, con el conjunto de números naturales {1; 2; 3; ...; n}
Ejemplo 2.- Dado: A = {1; 2; 3} mediante combinaciones determinamos todos los subconjuntos de A:
Más adelante definiremos el conjunto de números naturales con mayor propiedad.
– Conjuntos de 1 elemento = 3:
Ejemplo 2.- Sean los conjuntos:
– Conjuntos de 2 elementos= 3: {1; 2}, {2; 3}, {1; 3}
a) A  { }
– Conjunto de 3 elementos = 1:
Puesto que A es un conjunto que no presenta elementos, es decir, es un conjunto vacío, se propone que:
n (A)  0. En adelante se aplicará: n ()  0.
A partir de los subconjuntos de A se puede construir el conjunto potencia de A:
b) B  {x  |3  x  5}
– Conjunto sin elementos
P( A) 
Sabiendo que el símbolo  significa « menor que », concluimos que 4 es el único número natural que
verifica la condición dada, luego: B  {4}, y por consiguiente: n(B)  1.
Dado que « B » tiene un único elemento se llama conjunto unitario.
c) C  {}
En este caso el conjunto C tiene un elemento, este elemento es el conjunto vacío, por consiguiente se
trata de un conjunto unitario y se cumple que: n (C)  1
d) D  {x|x es un miembro del equipo de fútbol profesional que está jugando en cancha}
Dado que un equipo de fútbol profesional, jugando en cancha, está constituido de 11 jugadores, se
concluye que: n(D)  11.
= 1: 
{1}, {2}, {3}
{1; 2; 3}
,  1 ,  2  ,  3  ,  1; 2  ,  2; 3  ,  1; 3  ,  1; 2; 3  
 

 


Subconjuntos propios de A
A
Obsérvese que el conjunto A tiene 3 elementos, el conjunto potencia de A tiene 8 elementos de los
cuales 7 son subconjuntos propios y 1 es conjunto propio. Por otro lado estos números verifican las
siguientes relaciones:
8 = 23 ; 7 = 23 - 1 ; 8 = 7 + 1
En general, si n (A) es el cardinal del conjunto A, entonces el cardinal del conjunto potencia de A,
denotado como n[P(A)], y el número de subconjuntos propios de A, denotado como s A, están dados
por:
n  P ( A)  2n( A)
;
s A  2n( A )  1

n  P ( A)   s A  1
1.1.9B. Conjunto de conjuntos
donde el signo  , se lee como: «entonces».
El conjunto de conjuntos, llamado también clase o familia de conjuntos, es el que tiene por elementos a
otros conjuntos. [Teoría de conjuntos y temas afines, Ph. D. Seymour Lipschutz, Ed. McGraw Hill, 1969, Cali]
Ejemplo 3.- Dado: A = {a; b; c; d} mediante combinaciones determinamos todos los subconjuntos de A:



– Conjuntos de 1 elemento = 4: {a}, {b}, {c}, {d}
 Subconjuntos propios
– Conjuntos de 2 elementos = 6: {a; b}, {a; c}, {a; d}, {b; c}, {b; d}, {c; d} 

– Conjunto de 3 elementos = 4: {a; b; c}, {a; b; d}, {a; c; d}, {b; c; d}

– Conjunto sin elementos
Ejemplo 1.- Sea C el conjunto cuyos elementos son: {a, b}, {a, c} y {d }. Luego podemos escribir el
conjunto de conjuntos C así:
C  {{a, b}, {a, c}, {d }}
En teoría es posible que un conjunto tenga entre sus elementos algunos que sean a su vez conjuntos y
otros que no lo sean, pero en las aplicaciones de la Teoría de Conjuntos este caso se presenta rara vez.
Ejemplo 2.- El conjunto: D  {{0; 1}; {1}; 2; 3}, es una familia de conjuntos.
= 1: 
– Conjunto de 4 elementos = 1: {a; b; c; d}
Luego: n[P(A)] = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 y sA = 16 – 1 = 15
1.1.9C. Conjunto potencia
Obsérvese que: n(A) = 4 y 16 = 24, verificándose que: n[P(A)] = 2n(A)
Dado un conjunto A, se denomina conjunto potencia de A, denotado como P (A), a la familia de conjuntos cuyos elementos son todos los subconjuntos de A.
Ejemplo 4.- ¿Cuántos elementos tiene el conjunto cuyos subconjuntos propios suman 31?
Debemos recordar que en la lista de todos los subconjuntos de un conjunto está el conjunto vacío.
Sea A el conjunto dado y n(A) el número de elementos que éste posee. Luego, aplicando la relación:
sA  2n( A)  1
Ejemplo 1.- Sea A  {a; b}, determinemos su conjunto potencia:
P (A)  {, {a}, {b}, {a, b}}
Obsérvese que se han listado los conjuntos de ninguno, uno y dos elementos.
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Aritmética
donde por dato se sabe que: sA  31

Comparando exponentes se concluye que:
Und. 1 – Teoría de Conjuntos
31  2n( A)  1

32  2n( A)

25  2n( A)
n(A) = 5
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1.1.10. Conjuntos numéricos
El conjunto de los enteros positivos, es:      1;  2;  3;  4;  5;  6; ...
El conjunto de los enteros negativos, es:    ...; -6; -5; -4; -3; -2; -1
1.1.10A. Noción básica de número
Designamos con el nombre de número a aquella característica común que tienen dos conjuntos con
igual cantidad de elementos.
Finalmente el conjunto de los enteros se puede denotar así:
     0   
Los símbolos que representan a los números se llaman numerales.
Nota.- El signo  denota una operación entre conjuntos llamada unión de conjuntos. Aunque esta
operación recién se definirá en el siguiente capítulo diremos por ahora que sirve para reunir, en un solo
conjunto, los elementos de los conjuntos involucrados.
Los números pueden ser naturales: 0; 1; 2; 3; ..., enteros: ...; -2; -1; 0; 1; 2; ..., racionales: ...; -4/5; -1/8;
0; 1/8; 4/5; ..., irracionales: ...; - 3 ; - 2 ; 2 ; 3 ; ..., reales: cualquiera de los anteriores o una
combinación de ellos.
1.1.10E. Conjunto 
Los numerales que representan a los números naturales del 0 al 9 se llaman dígitos o cifras. Los numea
rales de la forma a /b o b denotan un tipo de números llamados fracciones. Algunos racionales se
pueden escribir como una expresión decimal o como un tanto por ciento: 2/5  0,4  40%.
Los numerales
2;
3 , se llaman raíz cuadrada de 2 y de 3 respectivamente.
1.1.10B. Definición de conjunto numérico
Se llaman conjuntos numéricos a aquellos conjuntos cuyos elementos son números.
Los conjuntos numéricos que con más frecuencia trabajamos se conocen como el conjunto de los
números naturales (), el conjunto de los números enteros (), el conjunto de los números racionales
(), el conjunto de los números irracionales ( ), el conjunto de los números reales ().
Todos estos conjuntos se construyen sobre un determinado grupo de axiomas que se expondrán en
detalle en los siguientes capítulos.
Ejemplo.- Los siguientes son conjuntos numéricos:
i)
A  2; 4; 6; 8; 10; ...  x x es un número par
ii) B  1; 3; 5; 7; 9; ...   x x es un número impar
Es el conjunto numérico cuyos elementos son los números racionales.

  ...;  63 ;  54 ; -1;  54 ;  35 ;  72 ; 0;  51 ;  32 ;  1;  23 ; 
4
2

;  25 ;  3; ...
El conjunto de los racionales excepto el cero (0), es:


   ...;  63 ;  45 ; -1;  45 ;  35 ;  72 ;  51 ;  32 ;  1;  23 ;  24 ;  25 ;  3; ...    0
El conjunto de los racionales positivos, es:

   ...;  51 ;  23 ;  1;  23 ; 
4
2

;  25 ;  3; ...
El conjunto de los racionales negativos, es:

   ...;  63 ;  54 ; -1; 
4
5

;  35 ;  72 ;...
Finalmente el conjunto de los racionales se puede denotar así:      0   
1.1.10F. Conjunto 
Es el conjunto numérico cuyos elementos son los números reales.
  ...; - ; - 3 ; - 2 ; -1; -1/ 5; -1/ 7; 0;  1/ 5;  2 / 3;  1;  2;  3 ;   ;...
1.1.10C. Conjunto 
Es el conjunto numérico cuyos elementos son los números naturales, que en este texto lo definimos así:
  0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; ...
El conjunto de los naturales excepto el cero (0), es:
   1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; ...    0
1.1.10D. Conjunto 
El numeral  se llama pi, es un número irracional y vale, aproximadamente:  = 3,1415926...
El conjunto de los reales excepto el cero (0), es:
   ...; - ; - 3; - 2; -1; -1/ 5; -1/ 7;  1/ 5;  2 / 3;  1;  2 ;  3 ; ...    0
El conjunto de los reales positivos, es:
   ...; 1/ 5;  2 / 3;  1;  2;  3; ...
Es el conjunto numérico cuyos elementos son los números enteros.
  ...; -6; -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; ...
El conjunto de los enteros excepto el cero (0), es:
  ...; -6; -5; -4; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 4; 5; 6; ...    0
20
Aritmética
El conjunto de los reales negativos, es:
   ...; - ; - 3; - 2; -1; -1/ 5; -1/ 7;... 
Finalmente el conjunto de los reales se puede denotar así:
Und. 1 – Teoría de Conjuntos
     0   
21
Conclusiones: En términos conjuntistas se puede plantear que:


1.1.12. Definición de intervalo
Se llama intervalo a un subconjunto de  contenido en la recta numérica y entre dos números llamados
extremos, que en algunos casos forman o no parte del intervalo e incluso pueden no existir.
1.1.11. Definiciones complementarias
1.1.11A. Recta numérica
La recta numérica es una representación geométrica del conjunto de los números reales en la que a
cada punto de ella se le hace corresponder un número real.
Esta recta tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido
(generalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (generalmente hacia la izquierda).
-
1.1.11B. Comparación de números reales
Comparar dos números reales es establecer una relación de orden entre ellos o estimar sus diferencias.
Al representar el conjunto  en la recta numérica se hace de forma ordenada y secuencial, de modo
que el crecimiento de los valores es de izquierda a derecha. De este modo, si « a » y « b » son dos
números reales, tal que « a » se ubica a la izquierda de « b », entonces a < b:
Observaciones:
1.1.11C. Valor absoluto
El valor absoluto de un número real « a », denotado por |a|, se define como la distancia, medida sobre
la recta numérica, desde el punto « a » hasta el cero (0).
El valor absoluto de « a », es decir |a|, se determina por medio de la siguiente regla:
 a , si a  0
a 
 - a , si a  0
Ejemplo.- A continuación calculemos el valor absoluto de los siguientes números: |-2,31| = 2,31;
|0| = 0; |-4,8| = 4,8. Obsérvese que el valor absoluto de cualquier número es siempre un número
nulo o positivo, pero nunca negativo. En términos prácticos, podemos decir que, determinar el valor
absoluto de un número consiste en obtener otro, a partir del primero, eliminando sólo su signo original.
Por ejemplo: |+5| = 5 ; |-8| = 8
22
Aritmética
1ra.- Los intervalos se expresan a través de desigualdades de modo que ambos conceptos siempre están
ligados. Cada expresión de la columna notación, se llama «extensión de x »
2da.- Si una variable tiene un valor perteneciente a un intervalo dado, significa que puede tomar cualquiera de los valores que éste contiene.
3ra.- Dado que un intervalo es un conjunto de números reales, se afirma que todo intervalo numérico
puede ser expresado en términos de un conjunto.
Ejemplo 1.- Sean a y b dos números reales tales que a < b. Si estos números son los extremos de un
intervalo abierto A =a; b, entonces, el conjunto que lo determina por comprensión es:
A = {x  | a < x < b}, es decir: a; b = {x  | a < x < b}
Ejemplo 2.- Sean a y b dos números reales tales que a < b. Si estos números son los extremos de un
intervalo abierto por la izquierda y cerrado por la derecha B =a; b, entonces, el conjunto que lo determina
por comprensión es:
B = {x  | a < x  b}, es decir: a; b= {x  | a < x  b}
Und. 1 – Teoría de Conjuntos
23
01.- Identifica con (C), las expresiones que constituyen
conjuntos y con (N) los que no:
a. Los números naturales.

D = {3x + 2 | x  , x < 0}
(
)
E = {5x – 1| x  , x  0}
(
)
___
b. Los cursos de primero de secundaria.
___
c. La paz en el mundo
___
d. Las estrellas del sistema solar
___
e. La solidaridad de los peruanos
___
f. Los satélites artificiales de la Tierra
___
02.- Sabiendo que el símbolo  significa «menor o igual»,
determina por extensión cada uno de los siguientes conjuntos:
a. A = {x| x es un planeta del sistema solar}
________________________________
b. C = {x| x  y 1 < x  9}
________________________________
________________________________
b. C = {0; 2; 4; 6; 8; ...}
________________________________
(
)
B = {x | x  , 3 < x < 4}
(
)
C = {2x| x  , 8 < x < 9}
(
)
24
Aritmética
___
f. N = {x| x   y x es múltiplo de 5}
___
g. P = {x| x  , x es par y x < 2}
___
h. Q = {3; 6; 9; 12 ...}
___
08.- Escribe el símbolo  o  para que cada expresión sea verdadera.

Unidades de medida
Metro, kilogramo
Polígonos
Cuadrilátero
Números pares
Persona
Continentes
a. 4 ___ A
b.
12 ___ D
Triángulo
Figuras geométricas
c. 2 ___ B
d.
1 ___ C
País
Números naturales
Múltiplos de 6
Población
e. 8 ___ 
f.
4 ___ D
Mamífero
Medios de transporte
g. 9 ___ B
h.
10 ___ A
___
j. S = {x| x es un animal mamífero}
___
11.- Indica con (F) o (I), en cada uno de los siguientes
conjuntos, si es «conjunto finito» o «conjunto infinito»,
respectivamente:
Conjunto
Tipo de
conjunto
09.- Dado el conjunto: A = {1; 2; {3; 4}; 5}, señalar si son
verdaderas o falsas las siguientes proposiciones:
b.
p  B _____
a.
2 A
(
)
c. 0  C ____
d.
4  C _____
b.
5 A
(
)
e. f  A ____
f.
a  B _____
c.
 A
(
)
g. 1  C ____
h.
{2} C _____
d.
{3; 4}  A
(
)
e. {1; 2; 5} A
(
)
f.
(
)
07.- Observa el diagrama:
i. R = {x | x    8 < x  9}
i. 7 ___ C
a. a  A ____
{3; 4}  A
12.- Determina y escribe el cardinal del conjunto potencia de cada uno de los siguientes conjuntos:
A = {b, a, r, c, e, l, o, n, a} ..... n[P(A)] = .......
10.- Identifica con (F), (I), (V) o (U), cada uno de los siguientes conjuntos, si estos son: finito, infinito, vacío o
unitario, respectivamente:
04.- Dado el siguiente grupo de conjuntos, indicar en cada
uno con (V) si es vacío y con (U) si es unitario.

e. M = {1; 2; 3; 4 ... 9}
Múltiplos de 3
________________________________
A = {x | x  ; 2  x < 3}
C = { ............................................................. }
Animales
c. E = {Luna}

___
Barco
03.- Determina por comprensión los siguientes conjuntos:
a. A = {Pizarro, Luque, Almagro}
d. H = {x | x    0 < x < 1}
05.- Relaciona con líneas cada elemento de la izquierda
con uno o más conjuntos de la derecha que resulten ser su
conjunto universal.
06.- Si: A = {a, b, c, d, e}, B = {p, q, r } y C = {1; 2; 3}, indica
cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas (V)
y cuáles son falsas (F):

B = { ............................................................. }
Determina, por extensión cada uno de los conjuntos
dados.
A = { .............................................................. }
B = {c; a; m; p; e; ó; n}
..... n[P(B)] = .......
C = {a; m; a; r }
..... n[P(C)] = .......
a. A = {a, b, c, d ... z}
___
b. B = {x| x   y 4 < x < 6}
___
D = {d, i, o, s}
..... n[P(D)] = .......
___
E = {c; o; l; o; s; a; l }
..... n[P(E)] = .......

c. G = {x | x  , es par  150 < x < 154}
Und. 1 – Teoría de Conjuntos
25
Prob. 05
(UNPRG 99 – II)
Dado el conjunto M = {{1}, 2 {3}; {4;5}}; de las
siguientes proposiciones:
Prob. 01
(UNPRG 06 – II)
Dado el conjunto unitario:
El elemento de «A» en la posición 50 es:
Determine el valor de E = a2 + b2
B) 74
C) 104
D) 90
E) 39
Si «A» es un conjunto unitario y tiene aparentemente tres elementos, todos ellos deben ser iguales entre sí, es decir:
i)
(UNI 01 – I)
Sea el conjunto: A   x   k  x  1 , k  
A = {a + b; a + 2b – 3; 12}
A) 80
Prob. 03
a + b = a + 2b – 3  b = 3
. . . (1)
A) 2 104
B) 2 205
D) 2 402
E) 2 403
Elevando al cuadrado y despejando la variable
«x», se tiene: x = k 2 + 1, donde: k  0; 1; 2; 3; . . .
Finalmente nos piden: E = a2 + b2 = 92 + 32
Si:

(UNPRG 06 – II)
B) 3
C) 4
D) 6
E) 8
Prob. 04
n(A) = 4
Distribuyendo los elementos de dos en dos en la
forma de un diagrama de árbol, proponemos:
Nro de subconjuntos de 2 elementos = 6
26
Aritmética
IV. {4; 5}  M
x  -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4

Luego los elementos de A los determinaremos
2
tabulando los valores de (x – 1):
Son verdaderas solamente:
A) I y II
B) II y IV
D) II y III
E) III y IV
C) I y IV
calcule el número de subconjuntos propios de «A».
A) 213 – 1
B) 219 – 1
231 –
232 –
1
E)
Tengamos en cuenta que la notación: x  M indica que «x» es un elemento de M. Asimismo:
{x}  M indica que {x} es un subconjunto de M, y
recordando la definición de inclusión:
{x}  M  x  M
i)
(UNI 06 – II)
A = {2; 6; 12; 20; ..... ;992}
C) 223 – 1
1
{3}  M, es falso ya que 3  M
ii) {{4; 5}}  M, es verdadero ya que {4; 5}  M
iii) 2  M; es verdadero ya que 2 es un elemento
de M (esto se verifica inspeccionando el conjunto)
iv) {4; 5}  M, es falso ya que 4 y 5 no son elementos de M.
 Luego, son verdaderas II y III
Para obtener el número de subconjuntos de «A»
necesitamos determinar el número de sus elementos. Y analizando la secuencia se tiene:
2 ; 6 ; 12 ; 20 ; .....; 992

Así obtenemos los subconjuntos formados por
dos elementos: {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d},
{c, d} que son en total 6.
III. 2  M
analicemos cada una de las afirmaciones:
Si «A» es un conjunto dado por:
D)
De acuerdo con las condiciones del problema podemos suponer que:
A = {a; b; c; d} 
x = 492 + 1

 x = 2 402
Si el conjunto «A» tiene cuatro elementos, ¿cuántos subconjuntos de dos elementos tiene «A» ?
A) 2
k = 49
E = 90
Prob. 02
II. {{4;5}} M
x  1  k ; k  y k  0
Se tiene:
Reemplazando (1) en (2): a + 3 = 12  a = 9
. . . (2)
{3} M
x    -3  x  5
C) 2 301
Para k = 0 se obtiene el primer elemento, para
k = 1 el segundo, finalmente para k = 49 obtenemos el término de lugar 50.
ii) a + b = 12
I.
Según condición se tiene que:
1· 2 ; 2· 3; 3· 4 ; 4· 5 ; .....; 31· 32
Así obtenemos la secuencia: 1; 2; 3; ...; 31, que
posee 31 elementos. Luego el cardinal del conjunto original es n(A) = 31. Finalmente el número de subconjuntos propios está dado por:
sA = 2
n(A)
–1
31
 sA = 2
–1
Prob. 06
(UNPRG 99 – I)
A = {-1; 0; 3; 8; 15} 
n(A) = 5
Obsérvese que los elementos repetidos se han
considerado una sola vez. Ahora, conociendo los
elementos del conjunto A, podemos afirmar que:
1.
n(A) = 8 (F)
3. 8  A =
2. 1  A = (V)
(V)
4. 4  a = (F)
 Con lo cual concluimos que son correctas
2 y 3.
Prob. 07
(UNFV 08)
Determine por extensión el siguiente conjunto
A = {x | 5x + 1 < 3x + 11 < 4x + 10} y dar
como respuesta la suma de los elementos de «A».
A) 3
B) 4
C) 5
D) 5
E) 11
Con respecto al conjunto:
A = {x 2 – 1| x , -3 x < 5}
2. 1 A
1. n(A) = 8
3. 8  A
4. 4  A
A) 2 y 4
B) 3 y 4
D) 1 y 3
E) 1 y 4
Und. 1 – Teoría de Conjuntos
De acuerdo a las condiciones del problema
5x + 1 < 3x + 11 < 4x + 10 ; x  
¿qué afirmaciones son correctas?
C) 2 y 3
Transformando esta expresión en dos inecuaciones, se tiene:
5x + 1 < 3x + 11 y 3x + 11 < 4x + 10
5x – 3x < 11 – 1
y 11 – 10 < 4x – 3x
27
2x < 10
y
1<x
x<5
y
1<x
Luego la cantidad total de varones es:
Según las condiciones del problema se tiene que:
De aquí se tiene que «x» es mayor que 1, pero
menor que 5, luego A = {2; 3; 4}. Como nos piden
la suma de los elementos de A, se tiene:
 Suma de elementos de A = 2 + 3 + 4 = 9
Prob. 08
Si: p  P, entonces: p  Q
Puesto que esta condición corresponde a la definición de inclusión de conjuntos elaboramos el
siguiente diagrama de Venn - Euler:


A) 1
B) -3
 
C) 4
D) 5
Si 46 personas están de acuerdo, entonces las
personas que no están de acuerdo son:
i)
M = {3; x} es unitario, de donde: x = 3
ii)
N
y2  1; 1 es unitario, de donde:
y
11
2

y
2
2

B) Si 13 P entonces 13  Q; es falso ya que 13
podría estar fuera de P pero dentro de Q.
 
C) Si 10  Q entonces 10  P; es verdadero ya
que si 10 está fuera de Q es claro que estará
también fuera de P.
Finalmente nos piden:
D) Si 0,10  Q entonces 0,10  P; es falso ya que
si 0,10 está dentro de Q, podría estar fuera o
dentro de P.
x–y+z
Sustituyendo los valores obtenidos, se tiene :
x–y+z= 3–4+6
 x–y+z=5
Prob. 09
E) Si 1 Q entonces 1  P; es falso ya que si 1
está fuera de Q es imposible que esté dentro
de P.
Sean «P» y «Q» dos conjuntos tales que: si p  P,
entonces p  Q . Luego se puede afirmar que:
Prob. 10
E) Si 1  Q
A) 18
B) Si 13  P
, entonces 13  P
C) Si 10  Q , entonces 10  P
28
, entonces 1  P
Aritmética
B) 20
C) 24
D) 28
E) 64
x = 24
Prob. 11
(cepre uni 06 – II)
En una selección de 100 personas, hay diez varones de provincia y 40 damas limeñas. Si el número
de damas provincianas excede en 10 al número de
varones limeños, ¿cuántos varones hay en la selección?
A) 24
B) 27
C) 30
D) 33
E) 34
Según los datos del problema hay tantos hombres como mujeres y como el total es 200 , entonces:
Elaboramos un diagrama de Lewis Carroll y anotamos los datos:
a + b = 100
. . . (1)
m + n = 100
. . . (2)
Además, 50 varones usan lapicero, es decir
a = 50. Reemplazando en (1) se tiene que:
(cepre uni 03 – I)
D) Si 0,10  Q , entonces 0,10  P
, entonces -3  P
D) 72
b = 50
De 100 personas encuestadas sobre si están de
acuerdo con la regionalización, se ha obtenido que
30 mujeres no están de acuerdo y 46 de las personas encuestadas están de acuerdo. ¿Cuántos hombres no están de acuerdo?
A) Si -3  Q

 La alternativa correcta es C
(UNI 05 - II)
C) 78
Elaboramos un diagrama de Carroll para anotar
los datos y visualizar la relación entre ellos.
30 + x = 54
A) Si -3 Q entonces -3 P; es falso ya que -3
podría estar dentro de Q, pero fuera de P (observe el gráfico)
y4
iii) P  3z ; 9 es unitario, de donde:
2
3 z  9  3 z  18  z  6
2
B) 75
De los datos y de la nueva información obtenida
podemos plantear que:
Analicemos ahora las alternativas:
De acuerdo con las condiciones del problema:
(UNFV 04)
A una conferencia asisten 200 personas, mitad varones y mitad mujeres de los cuales 50 varones usan
lapicero. Si hay tantas personas con lapicero como
mujeres que no lo usan, ¿cuántas mujeres no usan
lapicero?
A) 85
100 – 46 = 54
E) 6
En la selección hay 30 varones
Prob. 12
(UNPRG 04 – II)
y
Si: M = {3; x}, N   1;1 y P  3z ;9 son con2
2
juntos unitarios, entonces el valor de x – y + z es:
10 + x = 10 + 20 = 30
Como los conjuntos son disjuntos, entonces conviene elaborar un diagrama de Lewiss Carroll:
E) 32
Si la cantidad de varones (V) limeños es «x», por
condición del problema, la cantidad de damas
(D) provincianas será x + 10.
Asimismo, como hay tantas personas con lapicero como mujeres que no lo usan, entonces:
a+m=n
Sustituyendo a = 50, se tiene:
Asimismo se cumple que:
50 + m = n
10 + x + 10 + x + 40 = 100
60 + 2x = 100
Und. 1 – Teoría de Conjuntos

x = 20

n – m = 50
. . . (3)
29
Finalmente, como nos piden determinar el número «n» de mujeres que no usan lapicero, resolvemos (2) y (3), obteniéndose:
n  100  50  150
2
2

n = 75
Prob. 14
De los 96 asistentes a una fiesta se sabe que el
número de hombres es igual al número de mujeres
solteras. Si hay 18 hombres casados y más de 29
mujeres casadas, ¿cuántas personas son solteras
si entre ellas hay más de 14 hombres?
A) 28
Prob. 13
B) 32
C) 38
D) 45
Prob. 15
(cepre uni 06 – I)
B) 80
C) 85
D) 75
E) 95
Los hombres que no gustan del café y las mujeres que sí gustan del café son respectivamente
40 y 70. Ahora, si asumimos que los hombres
que sí gustan del café son «x», por condición
del problema, las mujeres que no gustan del café
son 3x.
Según este análisis construimos un diagrama de
Carroll para anotar los datos:
96 – (x + 18) – 18 – x = 96 – x – 18 – 18 – x
= 60 – 2x
Según este análisis elaboramos un diagrama de
Carroll para visualizar los datos:
A) 10
- 20 personas no gustan de vino alguno.
B) 20
C) 40
D) 50
E) 80
Elaboramos un diagrama de Carroll para visualizar los datos y establecer la relación entre ellos:
De acuerdo con los datos del problema podemos
plantear lo siguiente:
a + b + c + d = 150

x + 70 = 15 + 70 = 85
30
Aritmética
C) 12
D) 20
E) 28
Por tratarse de conjuntos disjuntos con algunas
condiciones comunes distribuimos los datos según un diagrama de Carroll y según un diagrama de Venn - Euler. Veamos:
. . . (1)
. . . (2)
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
29 < 60 – 2x
 2x < 31
x < 16
De donde deducimos que «x», es decir, el número de hombres solteros, es menor que 16. Pero por
dato del problema éstos son más de 14, luego:
14 < x < 16
x = 13
Finalmente, nos piden determinar a cuántos les
gusta el café, esto es:
B) 10
60 de éstos son mujeres, esto es:
a + c = 80
4x = 60
Determine el número de mujeres que prefieren el
vino tinto y el moscato.
La encuesta se tomó a 150 estudiantes, por tanto:
c + d = 60
Por dato del problema las mujeres casadas son
más de 29, es decir:
4x + 110 = 170
- 10 mujeres prefieren sólo el moscato.
A) 8
. . . (3)
Como 80 estudian biología, se cumple que:
x + 40 + 70 + 3x = 170
- 30 personas gustan del vino tinto pero no del
moscato.
- 80 hombres gustan del moscato.
a + b = 90
Si en total hay 170 personas se debe cumplir que:
(cepre uni 06 – II)
En una encuesta realizada a 150 personas que gustan del vino se obtuvo la siguiente información.
E) 48
De acuerdo con los datos hay 18 hombres casados. Y si llamamos «x» al número de hombres
solteros, el total de hombres sería (x + 18). Pero
según condiciones el número de hombres es igual
al número de mujeres solteras, con lo cuál éstas
también serían (x + 18) . Por otro lado el número
de mujeres casadas se puede calcular como el
número total de personas menos las mujeres solteras y menos el número de hombres, esto es:
Prob. 16
En una encuesta de 150 estudiantes, se sabe que
60 son mujeres, 80 estudian biología, 20 son mujeres que no estudian biología, ¿Cuántos hombres
no estudian biología?
(UNSA 07 – II)
En una reunión de 170 personas, 40 son varones
que no les gusta el café, 70 son mujeres que sí gustan del café. Si el número de varones que les gusta
el café es la tercera parte de las mujeres que no les
gusta el café, ¿a cuántos les gusta el café?
A) 90
(cepre uni 06 – I)
x = 15
Finalmente el número de personas solteras, es:
x + (x + 18) = 15 + (15 + 18)

2x + 18 = 48
Según condiciones del problema la zona «sombreada» contiene 30 elementos y la zona de «puntos» contiene 80 elementos. De ello se tiene que:
. . . (4)
30 + 80 + x + 10 + 20 = 150
Reemplazando (4) en (1) se tiene:
b + d = 70
 x = 10
. . . (5)
20 son mujeres que no estudian biología, esto es
d = 20, luego reemplazando en (2) y en (1), se
obtiene:
c = 40 y b = 50.
Reemplazando b = 50 en (3), se obtiene: a = 40
Finalmente, nos piden, cuántos hombres no estudian biología lo cual, según el gráfico, está
dado por:
b = 50
Und. 1 – Teoría de Conjuntos
Prob. 17
(cepre uni 08 – I)
A un matrimonio asistieron 150 personas, el número de hombres es el doble del número de mujeres. De los hombres 23 no usan reloj pero si tienen
terno y 42 tienen reloj. De las mujeres, las que no
usan minifalda son tantas como los hombres que
no usan terno ni reloj y 8 tienen mini y reloj. ¿Cuántas mujeres usan minifalda pero no usan reloj?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 5
E) 9
31
Dado que las condiciones del problema son similares a las del problema anterior elaboramos
el siguiente diagrama:
Hacemos un diagrama para conjuntos disjuntos:
- 14 alumnos no tienen 17 años, luego los que
tienen 17 años son los que tienen 16 años u otra
edad, por tanto del gráfico:
i) Se eliminan las que tienen 3 fallas:
d = 1 000 – 987
ii) Se venden a mitad de precio las de 2 fallas,
entonces las que no se vendieron a mitad de
precio fueron de 1 falla y 0 fallas, es decir:
n(H) + n(M) = 150
a + b = 975
n(H) = 2n(M)
Resolviendo:
n(M) = 50
iii) Pero no tienen fallas:
n(H) = 100
Asimismo se tiene que:

d + h = 45
6 + 12 + 8 + 3 + m + n = 45
b + c = 42
m + n = 16
Prob. 19
Sustituyendo a = 35:
8 + x + 35 = 50
(UNFV 02)
A) 6
x=7
B) 16
C) 27
D) 12
E) 3
Prob. 20
(cepre uni 05 – II)
De un total de 1 000 camisas se piensa eliminar
aquellas que tengan 3 fallas y vender a la mitad de
precio las que tengan dos de ellas. Si luego de la
inspección de las camisas no se eliminó a 987 de
ellas y se vendieron, pero no a la mitad de precio
875 camisas, 500 de los cuales no tenían fallas, calcule cuántas camisas tenían solamente una falla.
A) 200
B) 375
D) 50
E) 84
32
Aritmética
Elaboramos un diagrama de Carroll de acuerdo
a los datos del problema. Veamos:
- 8 alumnos y 3 alumnas no tienen 16 ni 17 años,
por tanto éstos deben tener otras edades, lo cual
se anota directamente en el diagrama:
(UNI 02 – II)
Un grupo de personas decide viajar y resulta que
40 mujeres van al extranjero, 37 hombres van a provincias, 29 casados van al extranjero y 45 solteros
van a provincias. Si se sabe que hay 42 hombres
casados y que 18 mujeres solteras viajan al extranjero, entonces el número de mujeres solteras es:
A) 60
Prob. 18
g = 18
. . . (6)
Ahora:
m + n = 16
De un grupo de 45 cachimbos se sabe que 14 alumnos no tienen 17 años, 20 alumnos no tienen 16 años,
8 alumnos y 3 alumnas no tienen 16 y 17 años.
¿Cuántos alumnos y alumnas tienen 16 y 17 años?
8 + x + a = 50

. . . (5)
- Reemplazando g = 18 en (1):
a = 35
Luego:
. . . (4)
- Si 18 mujeres son solteras y viajan al extranjero:
Finalmente, nos piden cuántas alumnas tienen
16 ó 17 años, que según el gráfico es:
23 + 42 + a = 100

. . . (3)
- Si hay 42 hombres casados:
29 + m + n = 45
b = 375
. . . (2)
- Si 45 solteros van a provincia:
a + b + 8 + 3 + m + n = 45
a = 500
500 + b = 375
c + d = 37
b + e = 28
- En total hay 45 personas por tanto:
. . . ()
Luego sustituyendo este valor en (), se tiene:
- Si 37 hombres van a provincia
b = 12

. . . (1)
- Si 28 casados van al extranjero:
b + 8 = 20
d = 13

g + e = 40
a=6
- 20 alumnos no tienen 16 años, análogamente
los que no tienen 16 años son los que tienen 17
años u otra edad, por tanto:
Por condiciones del problema se tiene:
Pero:
- Si 40 mujeres viajan al extranjero:
a + 8 = 14

Por condiciones del problema se sabe que:
De acuerdo con los datos y observando el diagrama podemos establecer que:
B) 62
C) 64
D) 66
e = 40 – 18 = 22
- Reemplazando e = 22 en (3):
b = 28 – 22 = 6
- Reemplazando b = 6 en (5):
c = 42 – 6 = 36
E) 68
- Reemplazando c = 36 en (2):
Construimos un diagrama de Carroll y Venn Euler para anotar los datos:
d = 37 – 36 = 1
- Reemplazando d = 1 en (4):
h = 45 – 1 = 44
Finalmente, nos piden el número de mujeres solteras que, según el diagrama, está dado por:
C) 500
g + h = 18 + 44 = 62
Und. 1 – Teoría de Conjuntos
33
34
Aritmética
Und. 1 – Teoría de Conjuntos
35
Determine:
A) {x|x = 8k, k }
B) {x|x = 15k, k }
I.
C) {x|x = 10k, k }
D) {x|x = 18k, k }
P(A) tiene 4 elementos
II. {}  P(A)
01.- Indicar verdadero o falso según corresponda:
A) VVV
B) VVF
I. Si x  A , entonces x no puede ser un conjunto.
D) FVV
E) VFF
II. Si A  B entonces A y B no son comparables.
III.   { }
05.- Sea: A = {2; 3; {2}; {3}; {2; 3}; ; {}}, de
las siguientes proposiciones, ¿cuántas son correctas?
IV. Si A = B, entonces A y B son no disjuntos.
I.
A) FVVF
B) FFVV
D) FFVF
E) VFFV
C) FVVV
02.- Se dan las siguientes afirmaciones:
I. s() = 0
C) VFV
III.   {}
03.- Dado el conjunto: A = {3; 4; {3}; ; {{}}}
y los enunciados:
A = {x  | 10 < x < 20}
A) 4
B) 8
V. A
VI. {2; 3; {3}}  P(A)
D) 64
E) 128
B) {x  | 4 < x < 14}
A) 1
B) 2
D) 5
E) 6
C) 3
A = {a + b; a + 2b – 3; 12},
2
II. {{}}  P(A)
11.- Dado el conjunto A = {3; 8; 3; {3; 4}}, dar el
valor de verdad de las siguientes proposiciones:
IV. P(A)
I.
II. n(P(A)) = 16
III. {{3; 4}} A
¿Cuántas son correctas?
A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
C) 3
A) FFF
B) FVF
D) FVV
E) VVF
C) VVV
12.- Señale la secuencia correcta al determinar si
las proposiciones dadas son verdaderas (V) o falsas (F).
III. 4  A
IV. A
I.
V. {4}  A
VI. {{}}  A
II. {}  A  {{}}  A
II. {} es el conjunto vacío.
Indique el número de proposiciones verdaderas:
III. {a, }  A  {{a}, {}}  A
III. Si {{1}; {2}} = B, entonces {1; 2}  B.
A) 2
B) 3
A) Sólo II y III B) Sólo I y III
D) 5
E) 6
C) 4
D) Sólo II
04.- Si: A = {{3; 3}; 3; {3}; {3; {3}}}, determinar
el valor de verdad de:
I.
{3}  A
III. A tiene 3 elementos
36
Aritmética
{a}  A  {a}  A
II. {3}  A
I.
C) Sólo I
E) Sólo III
08.- Si: A = {2; 6; 12; 20; ...; 992}, determine:
n[P(A)]
13
A) 2
31
D) 2
B) 2
19
32
E) 2
C) 2
23
Si A  , {A} es un conjunto unitario.
A) VFF
B) FVF
D) FFF
E) FVV
A) 80
B) 74
D) 90
E) 39
AB
II. {{B}}  A
III.   B
IV. A  {A, {B}}
V. A  B
A) FVFVF
B) VFFFF
D) VFVVV
E) VFVFF
C) FFFFF
17.- Dados los conjuntos: A = {, {x}, {x, }}
B = {} y C = {{x}, x, },
C) FFV
13.- Dados los conjuntos numéricos:
C) 104
16.- Dados los conjuntos A = {{B},, {}} y
B = {{A}, {}, A}. Determinar el valor de verdad
de las siguientes afirmaciones.
I.
II. A
{}  A
2
calcular el valor de E = a + b
E) {x  | 5  x  13}
{3; 4}  A
C) 16
15.- Dado el conjunto unitario:
C) {x  | 3  x < 14, x impar}
07.- Si: A = {a, {a}, {}, }, ¿cuál(es) de los siguientes enunciados son verdaderos?
I.
B = {15; 16; 17}
D) {x  | 4 < x < 14, x impar}
{}  P(A)
V. {}  P(A)
E) 4
E) FFV
14.- Determine el número de conjuntos que sean
subconjuntos de A y que sean disjuntos con B.
A) { x  | 4  x < 14}
¿Cuántas de estas son verdaderas?
D) 2
D) FVV
C) VFV
IV. {2; 3}  A
III. P(A)
C) 0
B) VVF
III. {}  P(A)
I.
B) 3
A) VVV
II. A
{2; 3}  A
IV. n({}) = n({0})
A) 1
E) {x|x = 20k, k }
III. P(P(A))
10.- Determine por comprensión el siguiente conjunto:
A = {5; 7; 9; 11; 13}
06.- Sea: A = {, B, C} y P(A) el conjunto potencia de A. De las afirmaciones:
II. n() = 0
 B C  C C C
09.- Se define el conjunto A = {1; 1; {1}; }. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
determine el valor de verdad de:
BA
II. B  C
A = {m + n; 8; 2m – 2n + 4} el cual es unitario
III. B  C = 
IV. C  A
B = {x | x = mk, k }
A) VVFV
B) FVVF
C = {x|x = nk, k }.
D) VVFF
E) VVVV
Und. 1 – Teoría de Conjuntos
I.
C) FFFF
37
18.- Sea el conjunto B ={a; ;{a}; { }}, de las
siguientes afirmaciones:
I. n(B) < 4
II. s(B) = 7
I.
III. n(P(B)) = 8
D) II y III
B) I y II
C) Todas
E) I, II y III
B) FFF
D) FVV
E) VVF
C) VVV
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
C = {{7}; {8}; {2}; {3}; {4}; {9}; {10}}
I.
{7; 8}  A
II. {7; 8}  A
III. {7}  {7; 8}
IV. {7; 8}  B
V. {7; 8}  B
VI. B = C
A) VFFVFV
B) VFFVFF
D) VFVFVF
E) FVVFVF
C) FVFVFV
A = {0; 1; {0}; {1; 0}; {0; {0}}}
y con respecto al conjunto A, se tienen las siguientes proposiciones:
{0}  A
III. {0; 1}  A
II. s(C)  s(A)
s(P(B)) = 1
III. P(B)  P(A)
A) VVV
D) VFV
B) VFF
E) FFF
{3; 5; {3}}  A
III. {1; 3}  A
II. {{3; 5}}  A
IV. {}  P(A)
V. {{3}; {5}; {1; 3}}  P(A)
B) 3
D) 15
E) 63
26.- En una selección de 100 personas, hay diez
hombres de provincia, hay 40 damas limeñas, el
número de damas provincianas excede en 10 al
número de varones limeños, ¿cuántos varones hay
en la selección?
A) 24
B) 27
D) 33
E) 34
C) 30
27.- En una fiesta de fin de semana asistieron un
total de 96 personas. Se sabe que el número total
de hombres es igual al número de mujeres solteras.
Si hay 18 hombres casados y hay más de 29 mujeres casadas. ¿Cuántas personas son solteras si entre ellas hay más de 14 hombres?
A) 28
B) 32
D) 49
E) 56
C) 36
E = -2; 4
II. {0}  A
D) 3
E) 6
IV. {{0}}  A
24.- ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones son
correctas?
I.
C) 7
28.- Sean los subconjuntos en :
B) 5
Sean P y Q dos cantidades definidas por:
A) 1
VI. {{{1; 3}}}  P(A)
A) 2
V. {1; {0}}  A
B = {{1}; 3; 5; 6}
C) VVF
23.- Si: A = {3; 5; {3}; {5}; {1; 3}}
Indicar cuántas de las siguientes proposiciones son
verdaderas:
I.
20.- Sea A un conjunto definido por:
I.
A) VFV
B = {7; 8; 2; 3; 4; 9; 10}
Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
A = {1; {1}; {1; 1}; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
Determine el número de subconjuntos no vacíos de
A, disjuntos con B.
B =  y C = {{b, a}, {a, b}, }
A = {{7; 8}, {2; 3; 4}; {9; 10}}
25.- Sean los conjuntos:
II. {}  A
22.- Sean: A = {{a}, {a, b}, {a, b, c}}
19.- Sean los conjuntos:
I.
P({a})  A
III. P(P())  P(A)
¿Cuáles son verdaderas?
A) Sólo I
21.- Sea el conjunto A = {a, {a}, , {}}, determine la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones:
C) 4
2
A = {x – 1| x  ,-3 < x < 3}
Determinar n(P(A)).
Sean A y B conjuntos de un universo . Si
A  B y B  A, entonces A = B.
A) 32
B) 16
D) 8
E) 2
C) 4
 Q es el número de proposiciones falsas.
Entonces, establecer la correcta relación entre los
valores de P y Q.
III. Sean A y B conjuntos del universo . Si
B  P(A) y A  P(B) entonces A = B.
29.- En un autobús viajan 32 pasajeros entre peruanos y extranjeros en el cual hay 9 extranjeros de
sexo femenino, 6 niños extranjeros, 8 extranjeros
de sexo masculino, 10 niños, 4 niñas extranjeras, 8
señoras y 7 señores. ¿Cuántas niñas peruanas hay
en el autobús?
A) Q > P
B) P = 4Q
A) Sólo III
B) Sólo I
A) 1
B) 2
D) P – Q = 1
E) P < 4Q
D) I y III
E) I, II y III
D) 4
E) 5
38
Aritmética
C) 2P + Q = 8
C) I y II
A) 6
B) 7
D) 9
E) 10
C) 8
31.- En una encuesta realizada entre 100 personas,
todos los hombres tienen más de 20 años, en el grupo hay 50 mujeres, hay 60 personas de más de 20
años, 25 mujeres casadas, 15 personas casadas con
más de 20 años de edad y 10 mujeres casadas con
más de 20 años. Determinar la cantidad de hombres solteros.
A) 35
B) 45
D) 65
E) 75
C) 55
32.- La ficha de datos personales llenados por 74
estudiantes que ingresaron a la UNI es el siguiente:
20 estudiantes son de Lima, 49 se prepararon en
academia, 27 postularon por primera vez, 13 de
Lima se prepararon en academia, 17 postularon por
primera vez y se prepararon en academia, 7 de Lima
postularon por primera vez, 8 de provincias que no
se prepararon en academia postularon por primera
vez. Determinar respectivamente: ¿cuántos alumnos de Lima que se prepararon en academia postularon por primera vez?
A) 3
B) 4
D) 6
E) 7
C) 5
6
II. Sean A y B conjuntos del universo . Si A  B
y B  C, entonces A  C.
 P es el número de proposiciones verdaderas.
30.- De un grupo de «M» mujeres: El 24% de ellas
tienen ojos azules, pero no tienen 15 años, El 8%
no tienen ojos negros ni azules y son mayores de
18 años, El 14% no tienen ojos negros ni azules y
no son mayores de 18 años. ¿Qué porcentaje son
quinceañeras de ojos azules, si ellas son la quinta
parte de todas las que tienen ojos negros?
Und. 1 – Teoría de Conjuntos
C) 3
01
C
02
E
03
C
04
A
05
E
06
D
07
B
08
D
09
D
10
D
11
A
12
A
13
B
14
D
15
D
16
A
17
D
18
C
19
D
20
B
21
D
22
D
23
D
24
E
25
D
26
C
27
D
28
D
29
C
30
D
31
B
32
C
39