Download Primer Examen 11º ONMAS Nacional

PRIMERA CATEGORÍA: PRIMARIA (PRIMER DÍA)
PROBLEMA 1
La profesora de matemáticas le asigna a Laura la siguiente tarea:
a) Escribir una lista de números comenzando con 1, 1, 2, 3.
b) Cada uno de los números siguientes que se agreguen, debe ser la suma de los cuatro números
anteriores.
Si los primeros números son 1, 1, 2, 3, 7, 13, 25,. . . , y en total Laura escribe 2011 números, ¿cuántos de ellos son
pares?
PROBLEMA 3
PROBLEMA 2
Para formar un polígono, se colocan pentágonos regulares iguales como se muestra en la figura. ¿Cuántos
pentágonos más se necesitan para completar el polígono?
Hay tres equipos cada uno de ellos con tres personas. Se quieren sentar alrededor de una mesa redonda con
sillas numeradas del 1 al 9. ¿De cuántas formas se pueden sentar las 9 personas en las sillas, de tal manera
que cualesquiera dos personas consecutivas del mismo equipo estén separadas entre sí por la misma
cantidad de sillas?
ASOCIACIÓN NACIONAL DE PROFESORES DE MATEMÁTICAS
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN DEL ESTADO DE YUCATÁN
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN
XI Olimpiada Nacional de Matemáticas para Alumnos Secundaria
II Olimpiada Nacional de Matemáticas para Alumnos de Primaria
Mérida, Yucatán; 12 al 15 de Mayo 2011
SEGUNDA CATEGORÍA: PRIMERO DE SECUNDARIA (PRIMER DÍA)
PROBLEMA 2
PROBLEMA 1
Para formar un polígono, se colocan pentágonos regulares iguales como se muestra en la figura. ¿Cuántos
pentágonos más se necesitan para completar el polígono?
Hay tres equipos cada uno de ellos con tres personas. Se quieren sentar alrededor de una mesa redonda con
sillas numeradas del 1 al 9. ¿De cuántas formas se pueden sentar las 9 personas en las sillas, de tal manera
que cualesquiera dos personas consecutivas del mismo equipo estén separadas entre sí por la misma
cantidad de sillas?
PROBLEMA 3
En una escuela se tienen 2011 grupos, cada uno con 2011 alumnos. Cada grupo tiene una caja en donde los
alumnos en orden consecutivo colocan pelotas siguiendo una progresión aritmética como se muestra en la
tabla:
Grupo 1
Grupo 2
Grupo 3
Grupo 4
...
Alumno 1
1
2
3
4
...
Alumno 2
2
4
6
8
...
Alumno 3
3
6
9
12
...
Alumno 4
4
8
12
16
...
...
...
...
...
...
...
Encuentra los grupos que en algún momento logran acumular exactamente 1265 pelotas dentro de su caja.
ASOCIACIÓN NACIONAL DE PROFESORES DE MATEMÁTICAS
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN DEL ESTADO DE YUCATÁN
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN
XI Olimpiada Nacional de Matemáticas para Alumnos Secundaria
II Olimpiada Nacional de Matemáticas para Alumnos de Primaria
Mérida, Yucatán; 12 al 15 de Mayo 2011
PROBLEMA 1
TERCERA CATEGORÍA: SEGUNDO DE SECUNDARIA (PRIMER DÍA)
Hay tres equipos cada uno de ellos con tres personas. Se quieren sentar alrededor de una mesa redonda con
sillas numeradas del 1 al 9. ¿De cuántas formas se pueden sentar las 9 personas en las sillas, de tal manera
que cualesquiera dos personas consecutivas del mismo equipo estén separadas entre sí por la misma
cantidad de sillas?
PROBLEMA 2
En una escuela se tienen 2011 grupos, cada uno con 2011 alumnos. Cada grupo tiene una caja en donde los
alumnos en orden consecutivo colocan pelotas siguiendo una progresión aritmética como se muestra en la
tabla:
Grupo 1
Grupo 2
Grupo 3
Grupo 4
...
Alumno 1
1
2
3
4
...
Alumno 2
2
4
6
8
...
Alumno 3
3
6
9
12
...
Alumno 4
4
8
12
16
...
...
...
...
...
...
...
PROBLEMA 3
Encuentra los grupos que en algún momento logran acumular exactamente 1265 pelotas dentro de su caja.
Seis enteros positivos y diferentes se escriben sobre las caras de un cubo (un número en cada cara). En cada
vértice del cubo se escribe el número que resulta de multiplicar los números de las 3 caras adyacentes al
vértice. La suma de estos 8 números es igual a 385.
a) ¿Cuál es la suma de los 6 números de las caras?
b) Determina todos los valores posibles para los números de las caras.
ASOCIACIÓN NACIONAL DE PROFESORES DE MATEMÁTICAS
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN DEL ESTADO DE YUCATÁN
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN
XI Olimpiada Nacional de Matemáticas para Alumnos Secundaria
II Olimpiada Nacional de Matemáticas para Alumnos de Primaria
Mérida, Yucatán; 12 al 15 de Mayo 2011
CUARTA CATEGORÍA: TERCERO DE SECUNDARIA (PRIMER DÍA)
PROBLEMA 1
En una escuela se tienen 2011 grupos, cada uno con 2011 alumnos. Cada grupo tiene una caja en donde los
alumnos en orden consecutivo colocan pelotas siguiendo una progresión aritmética como se muestra en la
tabla:
Grupo 1
Grupo 2
Grupo 3
Grupo 4
...
Alumno 1
1
2
3
4
...
Alumno 2
2
4
6
8
...
Alumno 3
3
6
9
12
...
Alumno 4
4
8
12
16
...
...
...
...
...
...
...
PROBLEMA 3
PROBLEMA 2
Encuentra los grupos que en algún momento logran acumular exactamente 1265 pelotas dentro de su caja.
Sean C una circunferencia y O un punto sobre C. Otra circunferencia C’ con centro en O corta a C en los
puntos B y C. Sea A un punto sobre la circunferencia C y sean C’ y B’ los puntos de intersección de C’
con los rayos AB y AC, respectivamente.
a) Muestra que los triángulos ABC y AB’C’ son semejantes
b) Muestra que los triángulos ABC y AB’C’ son congruentes
Seis enteros positivos y diferentes se escriben sobre las caras de un cubo (un número en cada cara). En cada
vértice del cubo se escribe el número que resulta de multiplicar los números de las 3 caras adyacentes al
vértice. La suma de estos 8 números es igual a 385.
c) ¿Cuál es la suma de los 6 números de las caras?
d) Determina todos los valores posibles para los números de las caras.
ASOCIACIÓN NACIONAL DE PROFESORES DE MATEMÁTICAS
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN DEL ESTADO DE YUCATÁN
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN
XI Olimpiada Nacional de Matemáticas para Alumnos Secundaria
II Olimpiada Nacional de Matemáticas para Alumnos de Primaria
Mérida, Yucatán; 12 al 15 de Mayo 2011