Download enunciados varios - Art of Problem Solving

ENUNCIADOS VARIOS
1
Halle todas las soluciones n; x; y; z; t ∈
de la ecuación n x + n y + n z = n t .
2
Halle todos los enteros positivos m; n que cumplen con la ecuación 2 m − 3n = 1 .
3
Halle todos los enteros positivos m; n que cumplen con la ecuación 3n − 2 m = 1 .
4
Pruebe que para n ∈ la ecuación x1 + x2 + … + xn = x1 x2 … xn tiene al menos una
solución con x1 ; x2 ;… ; xn ∈ .
5
Pruebe que no existen números de la forma 8k + 3 u 8k + 5 , con k ∈ , que pueda
ser representado de la forma x 2 − 2 y 2 con x; y ∈ .
6
Encuentre la fórmula del n -ésimo término de la secuencia infinita definida por
u1 = a , u2 = b , un + 2 = 2un +1 − un∀n ∈ .
7
Encuentre la fórmula del n -ésimo término de la secuencia infinita definida por
u1 = a , u2 = b , un + 2 = − ( un + 2un +1 ) ∀n ∈ . Investigar los casos particulares
a = 1; b = −1 y a = 1; b = −2 .
8
Encuentre la fórmula del n -ésimo término de la secuencia infinita definida por
u1 = a , u2 = b , un + 2 = 2un + un +1 .
9
Halle todos los enteros a ≠ 0 tales que a a = a∀n ∈
n
.
10 Pruebe que el término un de la sucesión de Fibonacci satisface la relación
un2 = un −1un +1 + ( −1)
n −1
∀n = 2; 3;… .
11 Pruebe que el número
( ( 3!)!)! , escrito en el sistema decimal, tiene más de mil
dígitos, y halle el número de ceros al final de la expansión.
12 Halle todos los enteros positivos n tales que n + 1| n 2 + 1 .
13 Pruebe que 13 | 270 + 370 .
14 Pruebe que 7 | a 2 + b 2 ⇒ 7 | a ∧ 7 | b∀a; b ∈ .