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IV
NÚMEROS FRACCIONARIOS.
4.1 ¿Qué es una fracción?
4.2 Fracciones equivalentes.
Definición.
Reconocimiento.
Obtención.
4.3 Simplificación de fracciones.
4.4 Comparación de fracciones.
4.5 Operaciones con fracciones.
Suma y resta de fracciones.
Producto de fracciones.
Cociente de fracciones.
Operaciones combinadas. Prioridad de operaciones.
Ficha o cuadro resumen. Recuerda.
Aprenderemos a:
.
Conocer el concepto de fracción.
Comprender, reconocer y obtener fracciones equivalentes.
Simplificar y amplificar fracciones.
Trabajar con las operaciones básicas con fracciones.
Aplicar la prioridad de operaciones con fracciones
Unidad 1: Números.
39
4.1 ¿ QUE ES UNA FRACCIÓN ?
Una fracción se puede entender bajo tres puntos de vista.
1º PUNTO:
Como una representación de la unidad, de la cual la dividiremos en varias partes
iguales, de las cuales tomaremos algunas.
Por ejemplo:
XXXXXXXXXXXXXXXX
XXXXXXXXXXXXXXXX
La unidad la dividimos en 5 partes, de las cuales tomamos 2. Su representación en
forma de fracción será 2/5.
Por ejemplo:
De 4 partes tomamos 1.
2º PUNTO:
1/4
Como un operador. La fracción opera sobre la unidad y lo transforma. De manera que
se multiplica por el numerador y el resultado lo dividimos por el denominador.
3
3 ⋅ 40
de 40 =
= 30
4
4
3
3 ⋅ 34
de 34 =
= 51
2
2
Unidad 1: Números.
40
3º PUNTO:
Como una representación de la división o cociente entre dos números.
La fracción se representa mediante la notación:
A
B
A es el numerador de la fracción
B es el denominador de la fracción ( B ≠ 0)
A
B
Por ejemplo:
Fracción
3/4
Cociente
3:4
Número
0,75
1/2
1:2
0,5
8/5
8:5
1,6
-6/3
-6 : 3
-2
La fracción 3/4 representa el cociente de 3 entre 4, obteniéndose como resultado 0,75.
La fracción 1/2 indica el cociente de 1 entre 2, obteniéndose como resultado 0,5.
La fracción 8/5 será el cociente entre 8 y5, cuyo resultado es el número 1,6.
-6/3, nos lleva a obtener el número 2, al dividir -6 entre 3.
48. Completa el siguiente cuadro:
Fracción
1/5
Cociente
Número
3:8
0,4
25/100
-3,7
16 : 4
Unidad 1: Números.
41
S 49. Calcula:
A:
1
de 600
12
B:
5
de 90
6
C:
4
de 450
3
Las fracciones se pueden clasificar en :
•
Fracciones propias : son aquellas cuyo numerador es menor que
el denominador.
•
Fracciones impropias : son aquellas cuyo numerador es mayor
o igual que el denominador.
Cuando una fracción impropia, el numerador sea múltiplo del denominador, dicha fracción nos conducirá
a un número entero, y tendremos una fracción aparente.
Ejemplos de fracciones propias:
1 3 7 11
, , ,
5 4 8 23
Ejemplos de fracciones impropias:
8 23 7 10
, , ,
7 4 5 2
Ejemplos de fracciones aparentes:
12
= 4,
3
10
=5,
2
− 45
= −9
5
S 50. Entre las siguientes fracciones diferéncialas entre fracciones propias y fracciones impropias. ¿
Existe alguna fracción que sea aparente ? ¿Cuál ?
5 12 22 1 224 7 0 15
, , , ,
, , ,
9 3 3 3 301 1 4 7
Unidad 1: Números.
42
4.2 FRACCIONES EQUIVALENTES.
DEFINICIÓN:
Dos o más fracciones se dicen equivalentes cuando nos conduzcan a un mismo valor numérico.
Por ejemplo:
Fracción
5/2
Cociente
5:2
Número
2,5
10/4
10 : 4
2,5
25/10
25:10
2,5
Como puede observarse en la tabla adjunta las tres fracciones que aparecen nos llevan al mismo
valor numérico que es 2,5; con lo cual las fracciones 5/2, 10/4 y 25/10 se considerarán
equivalentes.
RECONOCIMIENTO:
Para comprobar si dos fracciones son equivalentes, se debe verificar que:
a c
=
b d
a.d=b.c
Algunos ejemplos demostrativos serían:
Unidad 1: Números.
5 10
=
2 4
5 . 4 =10 . 2
luego 5/2 y 10/4 serían fracciones equivalentes.
1 3
=
4 12
1 . 12 = 3 . 4
1/4 será equivalente a 3/12.
43
S 51. Compara las siguientes fracciones y comenta si existen algunas iguales o equivalentes.
A:
12 4
,
15 5
B:
1 3 8
, ,
4 5 32
C:
29 15 3
, ,
7 5 1
D:
−3 6
,
4 −8
E:
3 18
,
2 12
F:
−7 1
,
− 21 3
OBTENCIÓN:
Para obtener fracciones equivalentes, acudiremos a la propiedad fundamental de las
fracciones:
Cuando se multiplican o dividen los dos términos de una fracción, por
un mismo número, se obtendrá una fracción equivalente, esto es, la
fracción no variara su valor numérico
Obtengamos fracciones equivalentes por ejemplo a 3/5
3 3.2 6
6.3 18 18 ÷ 2 9
=
= =
=
=
=
5 5.2 10 10.3 30 30 ÷ 2 15
3/5
6/10
18/30
9/15
Serán todas fracciones equivalentes, pues todas ellas nos conducen al mismo valor numérico: 0,6
Mencionar por último que el número de fracciones equivalentes o iguales que se podrán obtener
a partir de una dada son infinitas.
52. Calcula tres fracciones equivalentes a :
21
=
14
−7
C:
=
5
A:
Unidad 1: Números.
2
=
3
20
D:
=
15
B:
44
S 53. Comprueba si son equivalentes las siguientes fracciones, justificando la respuesta.
A:
3 9
,
4 12
B:
7 14
,
2 6
C:
27 9
,
6 2
D:
− 48 12
,
8 −2
S 54. Busca una fracción equivalente a 3/10 cuyo numerador sea 6.
S 55. Busca una fracción equivalente a 15/ 2 cuyo denominador sea -6.
S 56. Calcula el valor de x en las siguientes expresiones:
A:
3 9
=
4 x
B:
x 14
=
3 6
4.3 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES.
La simplificación de fracciones es el proceso por el cual obtenemos la fracción equivalente, cuyos
términos son los menores que podemos encontrar.
Vamos a simplificar algunas fracciones, por ejemplo:
36 36 ÷ 2 18 18 ÷ 3 6
=
=
=
=
30 30 ÷ 2 15 15 ÷ 3 5
5/6 no podemos seguir simplificándola.
9
9÷3 3
=
=
12 12 ÷ 3 4
3/4 no podemos seguir simplificando.
Como observamos, para simplificar una fracción bastará con dividir numerador y denominador por un
mismo número, hasta conseguir una fracción que no se puede simplificar más.
A esta fracción se le denomina fracción irreducible.
S 57. Simplifica las siguientes fracciones, hasta obtener la fracción irreducible.
A:
− 35
40
Unidad 1: Números.
B:
120
18
C:
34
22
D:
3
−7
E:
69
45
45
Cuando simplifiquemos una fracción, tendremos en cuenta:
1º Para obtener la fracción irreducible, bastará dividir el numerador y el
denominador por su máximo común divisor ( m.c.d. ).
2º Cuando tanto el numerador como el denominador sean primos entre sí, la
fracción no se podrá simplificar, y dicha fracción será irreducible.
Ejemplo: Transforma las siguientes fracciones utilizando el m.c.d.
30
75
Divisores de 30 = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
Divisores de 75 = 1, 3, 5, 15, 25, 75.
m.c.d. ( 30, 75 ) = 15
30 30 ÷ 15 2
=
=
75 75 ÷ 15 5
72
54
Divisores de 72 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 36, 72.
Divisores de 54 = 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54.
m.c.d.( 72, 54 ) = 18
72 72 ÷ 18 4
=
=
54 54 ÷ 18 3
Algunos ejemplos de fracciones irreducibles son:
Unidad 1: Números.
3 1 11 7 13 − 19
, , , , ,
2 5 3 5 11 7
46
4.4 COMPARACIÓN DE FRACCIONES.
Antes de comparar fracciones ( decir cuales son mayores ), recordar también que una fracción puede ser
negativa, siempre y cuando tengamos:
−a
a
a
=
=−
b
−b
b
Lógicamente toda fracción negativa es más pequeña que una fracción positiva.
Cuando el numerador de una fracción es cero, dicha fracción representa al número cero.
0
0
=
=0
b −b
Para compara fracciones vamos a distinguir dos situaciones:
1º SITUACIÓN: si las fracciones a comparar poseen igual denominador.
•
En este caso las fracciones serán mayores conforme mayor sean los numeradores.
Ejemplo:
3 1 8 −7 0 −5
, , ,
, ,
si las ordenamos de forma decreciente, obtendríamos:
4 4 4 4 4 4
8 3 1 0 −5 −7
> > > >
>
4 4 4 4
4
4
2ª SITUACIÓN: si las fracciones a comparar poseen diferente denominador.
•
En este caso podemos hacerlo de dos formas:
1ªforma: obteniendo el valor numérico de cada una de las fracciones.
2ªforma: reduciendo las fracciones a común denominador ( m.c.m. ).
lo que haremos será sustituir cada fracción por una equivalente, de manera que todas las
fracciones a comparar tengan el mismo denominador, que será el m.c.m. de los
denominadores, y como numeradores se obtendrá el resultado de dividir el nuevo
denominador entre el antiguo multiplicando por el numerador.
Unidad 1: Números.
47
Ejemplo: Ordenamos las siguientes fracciones en orden creciente.
6 1 −6 0 2
, ,
, ,
5 4 4 2 3
1º forma: Obteniendo el valor numérico de cada una de las fracciones
6/5
1/4
-6/4
0/2
2/3
=
=
=
=
=
6:5
1:4
-6 : 4
0:2
2:3
=
=
=
=
=
1,2
0,25
-1,5
0
0,66
6 2 1 0 −6
> > > >
tendríamos la siguiente ordenación: 5 3 4 2
4
1,2 > 0,66 > 0,25 > 0 > −1,5
2ºforma: reduciendo las fracciones a un común denominador.
Calculemos el m.c.m. de los denominadores
2 = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18...
4 = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32...
3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27..
5 = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40...
m.c.m.(2, 3, 4, 5, )= 60
6 1 0 −6 2
, , ,
,
5 4 2 4 3
72 15 0 − 90 40
, , ,
,
60 60 60 60 60
Donde ya podríamos ordenar las fracciones atendiendo al criterio de que tienen igual denominador.
72 40 15 0 − 90
>
>
>
>
60 60 60 60
60
6 2 1 0 −6
> > > >
5 3 4 2
4
que referido a fracciones iniciales
S 58. Compara las siguientes fracciones, ordenándolas de menor a mayor.
7 −4 5 −6 1 2
,
, ,
, ,
3 3 3 3 3 3
S 59. Compara las siguientes fracciones, transformándolas en números decimales:
7 3 6 5 1
, , , ,
10 5 6 3 5
60. Reduce a común denominador las fracciones del ejercicio anterior y ordénalas en orden
creciente.
Unidad 1: Números.
48
4.5 OPERACIONES CON FRACCIONES.
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES.
Distinguiremos dos posibles situaciones:
1ºCASO: Cuando las fracciones que se suman y/o restan poseen igual
denominador:
En este caso dejaremos el mismo denominador sumando y/o restando los numeradores.
Por ejemplo:
3 9 7 3−9+7 1
− + =
=
4 4 4
4
4
7 2 6 7+2−6 3
+ − =
=
5 5 5
5
5
2º CASO: Cuando las fracciones que se suman y/o se restan poseen diferente
denominador:
En este caso deberemos reducirlos a común denominador, y cuando tengan igual denominador,
actuaremos como en el primer caso.
Veamos algunos ejemplos:
3 1 6
5 6 + 5 11
+ = + =
=
5 2 10 10
10
10
1 9 2 3
9
8 3−9+8 2 1
− + = − + =
= =
4 12 3 12 12 12
12
12 6
Puede ocurrir que cuando sumemos y/o restemos fracciones aparezcan números enteros; en este caso el
denominador de estos números enteros será la unidad. Así actuaremos, según los ejemplos:
2 3 2 15 2 17
= + = + =
5 1 5 5 5 5
1
1 1 5 1 3 75 5 73
+5− = + − = +
− =
5
3 5 1 3 15 15 15 15
3+
S 61. Resuelve las operaciones:
A:
3 1 9 7 2
+ − − + =
4 4 4 4 4
B:
3 1 3
+ − =
5 2 10
Unidad 1: Números.
49
C:
2
1 6
+4− + =
3
5 5


D: 1 −
4  1
 + − + 6 +
3  5
3
=
4
E:
6 1 7 5
− + − =
4 3 2 6
F:
1
−5 2
 4
+ − 5 + − 8 + =

4
3
 3
 3
G:
4
3 2 −3
+1− + +
+4=
7
7 3
3

H:  4 −

1 
1
3 7
+ 2 −  − 5 +  − =
3 
5
8 3
PRODUCTO DE FRACCIONES.
Cuando se multiplican dos fracciones, como resultado se obtiene otra nueva fracción, que tendrá
como numerador el producto de los numeradores y como denominador el producto de los
denominadores.
a c a.c
• =
b d b.d
Luego según hemos mencionado, resolvamos los ejemplos siguientes:
7 1 7 ⋅1 7
• =
=
3 2 3⋅ 2 6
1 4 7 1 ⋅ 4 ⋅ 7 28 14
• • =
=
=
3 5 2 3 ⋅ 5 ⋅ 2 30 15
Cuando al multiplicar dos fracciones, intervienen números enteros, el denominador del número será
la unidad.
4 3 4 3 ⋅ 4 12
= • =
=
5 1 5 1⋅ 5 5
3 − 5 3 − 5 ⋅ 3 − 15
− 5⋅ =
• =
=
2
1 2
1⋅ 2
2
3⋅
Unidad 1: Números.
50
S 62. Resuelve:
3 4 1
• • =
5 3 2
−4 5
B:
• =
7 2
7
C: 8 ⋅ =
3
 − 3 3
D: 7 ⋅ 
⋅ =
 2  7
A:
Dos fracciones se llaman inversas, cuando al realizar su producto se obtiene la unidad.
a b a.b
• =
=1
b a b.a
Por ejemplo:
2/7
6/4
su fracción inversa
su fracción inversa
7/2
4/6
S 63. De los 30000 votantes a unas elecciones 1/5 so votantes del partido verde ¿ Cuantos votantes
tiene ese partido? De ellos 3/4 tienen menos de 25 años ¿ Qué cantidad representan ?
COCIENTE DE FRACCIONES.
Para dividir dos fracciones, lo que hacemos es multiplicar el dividendo entre el inverso del divisor, o lo
que es lo mismo, multiplico el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda para
obtener el numerador, y para obtener el denominador multiplicaremos el denominador de la primera
fracción por el numerador de la segunda ( términos cruzados ).
a c a d a⋅d
÷ = • =
b d b c b⋅c
Unidad 1: Números.
51
Ejemplo:
3 1 3 5 3 ⋅ 5 15
÷ = • =
=
4 5 4 1 4 ⋅1 4
1 −2
1⋅ 5
5
÷
=
=
3  5  − 2⋅3 − 6
5 7 5 7 ⋅ 3 21
7÷ = ÷ =
=
3 1 3 5 ⋅1 5
S 64. Realiza las siguientes divisiones:
4 5
÷ =
3 8
−5 7
B:
÷ =
6
4
7
C: ÷ 6 =
8
3
4 1
D:
÷ ÷ =
− 10 6 3
3
E: − 5 ÷ =
8
A:
OPERACIONES COMBINADAS ( PRIORIDAD DE OPERACIONES ).
Ya vimos en el apartado de números enteros, como podían aparecer combinadas o mezcladas las
operaciones de suma, resta, producto y cociente.
El criterio para resolver estos casos, era primero realizar productos y cocientes, y por último sumas y
restas. Este mismo criterio lo seguiremos aplicando con los números fraccionarios.
Este orden de prioridad tan solo se verá alterado en el caso que apareciesen paréntesis o corchetes, en
cuyo caso, se comenzará por los paréntesis más interiores; y en el caso que también aparezcan mezcladas
las operaciones aplicaremos la prioridad ya mencionada.
En definitiva en el trabajo con fracciones, el orden de prioridad o de realización de las operaciones será
el mismo que el ya estudiado en los números enteros.
ORDEN DE PRIORIDAD
1º Paréntesis y corchetes.
2º Productos y cocientes.
3º Sumas y restas.
Unidad 1: Números.
52
Veamos algunos ejemplos:
1 2 1 6 1 2 6 1 1 6 3
2 36 3 + 2 − 36 − 31
+ • − = + − = + − =
+ −
=
=
4 3 4 2 4 12 2 4 6 2 12 12 12
12
12
3 
1
1  1  3  25 1  3 113 36 − 113 − 77
 1  3 
−  2 + ÷ 3  −  = −  2 +  −  = −  −  = −
=
=
5 
4
12  5  5  12 5  5 60
60
60
 5  5 
65. Calcula el resultado de las siguientes operaciones:
A:
3
1
÷4+ =
6
3
B:
6 6 1
− • =
5 5 2
C:
1 7 8 1
+ ÷ − =
4 8 3 6
D:
1 2 
1 
÷ − 6 + • 9 =
5 3 
6 
E:
2 1 6 9
 3 − 3 • 4  + 2 =
F:
1 
6 1 
7
÷  2 +  • − 3 3 ÷  =
4 
5 4 
3
 4 1   7 7
+ • 5  − 6 + − =
 3 4   5 5
G:  − 
Unidad 1: Números.
53
FICHA O CUADRO RESUMEN.
RECUERDA.
•
Una fracción puede ser una representación de la unidad, que puede actuar sobre un número
como un operador, y que además nos representa un cociente o razón entre dos números.
•
Fracciones equivalentes son aquellas que nos llevan aun mismo valor numérico. De forma
que para obtener una fracción equivalente a una dada, bastará con multiplicar o dividir
numerador y denominador por un mismo número. Siendo a/b equivalente c/d cuando se
verifique a . d = b . c
•
Simplificar fracciones consiste en buscar fracciones equivalentes a la fracción inicial de
forma que sus términos sean los menores posibles. Aquella fracción que no se pueda
simplificar más será la llamada fracción irreducible.
•
Para poder sumar o restar fracciones es necesario que las fracciones posean el mismo
denominador. Si no poseen el mismo denominador, habrá que buscar fracciones
equivalentes a las dadas que si posean el mismo denominador (esto se conseguirá
calculando el m.c.m. de los denominadores de las fracciones con las cuales se opera ).
•
Para multiplicar dos fracciones utilizaremos la siguiente regla:
a c a⋅c
• =
b d b⋅d
•
Si dividimos dos fracciones usaremos el siguiente criterio:
a c a⋅d
÷ =
b d b⋅c
•
En el caso que aparezcan combinadas las operaciones básicas, seguiremos el criterio de la
prioridad de operaciones, que nos facilita operar con ellas según la secuencia:
1º
Paréntesis y corchetes.
2º
Productos y cocientes.
3º
Sumas y restas.
Unidad 1: Números.
54