Download sistemas de numeración

SISTEMAS DE NUMERACIÓN
www.portalelectrozona.com
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
SISTEMA DECIMAL
El sistema decimal, como su nombre indica, tiene diez cifras o dígitos distintos,
que son:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Por lo tanto, diremos que la BASE del sistema de numeración DECIMAL es 10
(base 10).
Pongamos un ejemplo:
3.427
El número 3.427 lo podemos expresar de la siguiente forma:
3.427 = 3.000 + 400 + 20 + 7
o lo que es lo mismo,
3.427 = (3 × 1.000) + (4 × 100) + (2 × 10) + (7 × 1)
www.portalelectrozona.com
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
3.427 = (3 × 1.000) + (4 × 100) + (2 × 10) + (7 × 1)
Como vemos, cada cifra está multiplicada por un “uno” (1) seguido de “ceros” (0).
El número de “ceros” viene determinado por el lugar que ocupa cada cifra.
A esto se le llama “peso”.
El lugar que ocupa cada cifra va numerado de derecha a izquierda y se empieza
por el número 0, es decir, en nuestro ejemplo, la cifra menos significativa, la de
menor peso es el 7 que ocupa la posición 0, la siguiente es el 2 que ocupa la
posición 1, la siguiente es el 4 que ocupa la posición 2, y por último, la cifra más
significativa, la de mayor peso, es el 3 que ocupa la posición 3, tal como se indica
a continuación:
posición
3
2
1
0
número
3
4
2
7
peso
103
102
101
100
www.portalelectrozona.com
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Con lo que el número 3.427 lo podremos expresar de la siguiente forma:
3.427 = 3 × 103 + 4 × 102 + 2 × 101 + 7 × 100 (*)
y esta es la forma general de expresión en cualquier sistema de numeración:
NÚMERO = ....+....+ cifra × (base)3 + cifra × (base)2 + cifra × (base)1 + cifra × (base)0
Para distinguir unos sistemas de numeración de
los otros lo expresaremos de la siguiente forma:
3.427
10
en donde 10 nos indica que la base del sistema de numeración es 10 y por lo
tanto el sistema es el DECIMAL.
(*) NOTA: 100 = 1
(cualquier número o expresión elevada a cero vale 1)
www.portalelectrozona.com
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Vamos a ver ahora como se forman los números del sistema decimal:
Los números que podemos formar con una sola cifra son:
Como ya hemos utilizado todos los
Dígitos del sistema de numeración,
si queremos formar números mayores
tendremos que combinar dos cifras,
la más pequeña distinta de 0 es el 1,
con lo que combinaremos el 1 con
todos los dígitos del sistema que son
del 0 al 9, es decir:
www.portalelectrozona.com
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Como ya hemos realizado todas las combinaciones con el 1,
la siguiente combinación será con el 2, formando los números
20, 21, 22, ....... hasta llegar al 29, luego lo haremos utilizando
como primer dígito el 3,
30, 31,..., 39, y así hasta llegar al
último número con dos cifras que es el 99. A partir de aquí
tendremos que formar números de tres cifras, con lo que
empezaremos por 100, 101, ..., hasta el 109, 110, etc. Hasta
el 999, y así sucesivamente hasta formar cualquier número.
www.portalelectrozona.com
0
1
2
3
:
:
9
10
11
:
:
19
20
21
:
:
:
:
99
100
101
con 1 cifra
con 2 cifras
con 3 cifras
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
SISTEMA BINARIO
El sistema binario, como su nombre indica, tiene dos cifras o dígitos distintos,
que son:
0
1
Por lo tanto, diremos que la BASE del sistema de numeración DECIMAL es 2
(base 2).
Pongamos un ejemplo:
101110
2
que lo expresaremos de forma similar al que hemos visto antes:
101110 2 = 1 × 25 + 0 × 24 + 1 × 23 + 1 × 22 + 1 × 21 + 0 × 20
Como vemos, cada cifra está multiplicada por la base del sistema de numeración
elevado al exponente según el lugar que ocupa la cifra (peso).
www.portalelectrozona.com
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
101110 2 = 1 × 25 + 0 × 24 + 1 × 23 + 1 × 22 + 1 × 21 + 0 × 20
posición
5
4
3
2
1
0
número
1
0
1
1
1
0
peso
25
24
23
22
21
20
Si seguimos operando:
101110 2 = 1 × 25 + 0 × 24 + 1 × 23 + 1 × 22 + 1 × 21 + 0 × 20 =
= 1 × 32 + 0 × 16 + 1 × 8 + 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × 1 =
= 32 + 0 + 8 + 4 + 2 + 0 = 46 10
Con lo que acabamos de pasar del sistema BINARIO al sistema DECIMAL
101110 2 = 46 10
www.portalelectrozona.com
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Paso de DECIMAL a BINARIO
Si queremos pasar de DECIMAL a BINARIO tendremos que dividir el número
decimal sucesivamente entre 2:
46
0
2
23
1
2
11
1
2
5
1
2
2
0
2
1
El número binario obtenido se lee a partir del último cociente y seguido de los
restos de todas las divisiones, de abajo hacia arriba, con lo que nos queda:
46 10 = 101110 2
www.portalelectrozona.com
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
En el sistema binario los números se forman de la misma manera que se ha
explicado para el sistema decimal, es decir, a partir de las cifras que forman el
sistema de numeración se van haciendo combinaciones entre ellas hasta que
no podamos hacer más, en cuyo caso aumentamos el número de cifras del número:
0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
10000
10001
:
:
:
11111
con 1 cifra
con 2 cifras
con 3 cifras
con 4 cifras
con 5 cifras
www.portalelectrozona.com
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
SISTEMA HEXADECIMAL
El sistema hexadecimal tiene dieciséis cifras o dígitos distintos, que son:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
Por lo tanto diremos que la BASE del sistema de numeración HEXADECIMAL
es 16 (base 16).
Pongamos un ejemplo:
7FA1
16
que lo expresaremos de forma similar al que hemos visto antes:
7FA1
16
= 7 × 163 + F × 162 + A × 161 + 1 × 160
Como vemos, cada cifra está multiplicada por la base del sistema de numeración
elevado al exponente según el lugar que ocupa la cifra (peso).
www.portalelectrozona.com
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
7FA1
16
= 7 × 163 + F × 162 + A × 161 + 1 × 160
posición
3
2
1
0
número
7
F
A
1
peso
163
162
161
160
La equivalencia de los dígitos con letra del sistema hexadecimal con el decimal
es la siguiente:
A = 10
B = 11
C = 12
D = 13
E = 14
F = 15
Por lo que si seguimos operando:
7FA1 16 = 7 × 163 + F × 162 + A × 161 + 1 × 160 =
= 7 × 163 + 15 × 162 + 10 × 161 + 1 × 160 =
= 7 × 4.096 + 15 × 256 + 10 × 16 + 1 × 1 =
= 32.673 10
www.portalelectrozona.com
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Con lo que acabamos de pasar del sistema HEXADECIMAL al sistema DECIMAL
7FA1 16 = 32.673 10
Si queremos pasar de DECIMAL a HEXADECIMAL tendremos que dividir el número
decimal sucesivamente entre 16:
32.673 16
1
2.042
10
(A)
16
127
15
(F)
16
7
El número hexadecimal obtenido se lee a partir del último cociente y seguido de los
restos de todas las divisiones, de abajo hacia arriba, con lo que nos queda:
32.673
10
= 7FA1 16
www.portalelectrozona.com
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
En el sistema hexadecimal los números se
forman de la misma manera que se ha
explicado para el sistema decimal y el binario,
es decir, a partir de las cifras que forman el
sistema de numeración se van haciendo
combinaciones entre ellas hasta que no
podamos hacer más, en cuyo caso
aumentamos el número de cifras del número:
0 con 1 cifra
1
2
3
:
9
A
B
:
F
10 con 2 cifras
11
12
:
19
1A
1B
:
1F
20
21
:
2F
99
9A
:
9F
www.portalelectrozona.com
A0
A1
:
AF
:
:
FF
100 con 3 cifras
101
:
10A
:
10F
:
:
FFF
1000 con 4 cifras
1001
:
100A
:
100F
:
:
:
FFFF
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
EQUIVALENCIAS
Y
CONVERSIONES
www.portalelectrozona.com
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
EQUIVALENCIAS
DEC
BINARIO
HEX
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
2
0
0
1
0
2
3
0
0
1
1
3
4
0
1
0
0
4
5
0
1
0
1
5
6
0
1
1
0
6
7
0
1
1
1
7
8
1
0
0
0
8
9
1
0
0
1
9
10
1
0
1
0
A
11
1
0
1
1
B
12
1
1
0
0
C
13
1
1
0
1
D
14
1
1
1
0
E
15
1
1
1
1
F
8
4
2
1
pesos
www.portalelectrozona.com
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Paso de HEXADECIMAL a BINARIO:
Por ejemplo, si queremos pasar el número hexadecimal 7FA1 a binario, tomaremos
cada cifra por separado y pondremos su equivalente en binario (ver tabla anterior):
7
F
A
1
0110
1111
1010
0001
con lo que la equivalencia será:
7FA1
16
= 01101111010001
www.portalelectrozona.com
2
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Paso de BINARIO a HEXADECIMAL:
El proceso es análogo, es decir, agrupamos las cifras del número binario de 4 en 4
yendo de derecha a izquierda. Si al agrupar los últimos dígitos no llegamos a cuatro
completaremos con ceros a la izquierda hasta formar el cuarteto. Solamente queda
poner su equivalente en hexadecimal (ver tabla anterior).
Por ejemplo, si tenemos el número binario 11101111101001, lo agrupamos de 4 en 4
empezando por la derecha. Como solo nos quedan dos cifras en el último cuarteto,
completamos con ceros a la izquierda para tener un total de cuatro cifras y obtenemos
el último cuarteto.
00 11
1011
1110
1001
3
B
E
9
con lo que la equivalencia será:
11101111101001
www.portalelectrozona.com
2
= 3BE9 16
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Sistema BCD (Decimal Codificado en Binario):
De forma análoga a como hemos visto para los sistemas hexadecimal y binario
se puede formar otro sistema de numeración binario con el sistema decimal,
llamado BCD (Decimal Codificado en Binario).
EQUIVALENCIAS
DEC
BINARIO
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
2
0
0
1
0
3
0
0
1
1
4
0
1
0
0
5
0
1
0
1
6
0
1
1
0
7
0
1
1
1
8
1
0
0
0
9
1
0
0
1
www.portalelectrozona.com
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
El paso de decimal a BCD y de BCD a decimal se hace de igual forma que entre
hexadecimal y binario, es decir, cada dígito del número decimal lo cambiaremos
por sus correspondientes cuatro dígitos en BCD, y viceversa, agruparemos de 4
en 4 los dígitos en BCD y pondremos su dígito equivalente en decimal.
NOTA: A efectos prácticos podemos decir que el sistema decimal y el BCD
son lo mismo, y análogamente, que el sistema hexadecimal y el binario
natural también son lo mismo.
DECIMAL = BCD
HEXADECIMAL = BINARIO
www.portalelectrozona.com