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INICIACIÓN
AL ÁLGEBRA ELEMENTAL
Flor M. Rodríguez Vásquez
Catalina Navarro Sandoval
Elika S. Maldonado Mejía
Jesús Romero Valencia
Maribel Vicario Mejía
Luis A. Campistrous Pérez
Celia R. Rizo Cabrera
Primera edición: 2015
2016
© Flor M. Rodríguez Vásquez
Catalina Navarro Sandoval
Elika S. Maldonado Mejía
Jesús Romero Valencia
Maribel Vicario Mejía
Luis A. Campistrous Pérez
Celia R. Rizo Cabrera
© Ediciones Díaz de Santos, S. A.
Reservados todos los derechos.
No está permitida la reproducción total o parcial de este libro,
ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna
forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico,
por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso
previo y por escrito de los titulares del Copyright.
Ediciones D. D. S. México
Cuicuilco 29C, col. Letrán Valle, C. P. 03650
Delegación Benito Juárez, México, D. F.
[email protected]
http://www.diazdesantosmexico.com.mx/
Ediciones Díaz de Santos
C/ Albasanz 2, 28037, Madrid, España
[email protected]
http:/www.editdiazdesantos.com
ISBN: 978-84-9969-758-1
Corrección ortográfica y de estilo: Adriana Guerrero Tinoco.
Impreso en México/Printed in Mexico
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Impreso en México/Printed in Mexico
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Corrección ortográfica y de estilo: Adriana Guerrero Tinoco.
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ISBN: 978-84-9969-758-1
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Ediciones Díaz de Santos
C/ Albasanz 2, 28037, Madrid, España
[email protected]
http:/www.editdiazdesantos.com
Contenido�
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Ediciones D. D. S. México
Cuicuilco 29C, col. Letrán Valle, C. P. 03650
Delegación Benito Juárez, México, D. F.
[email protected]
http://www.diazdesantosmexico.com.mx/
TEMA�1.�LOS�NÚMEROS�PARA�CONTAR�Y�SUS�OPUESTOS�..........................................................�15�
SUBTEMA�1.1.�LOS�NÚMEROS�PARA�CONTAR.�SIGNIFICADO�ORDINAL�Y�CARDINAL�........................................�16�
SUBTEMA�1.2.�MÁS�DE�NÚMEROS�NATURALES�.....................................................................................�17�
1.2.1.�PROPIEDADES�DE�LA�ADICIÓN�DE�NÚMEROS�NATURALES�......................................................................�17�
1.2.2.�PROPIEDADES�DE�LA�MULTIPLICACIÓN�DE�NÚMEROS�NATURALES�..........................................................�17�
1.2.3.�SOBRE�LA�SUSTRACCIÓN�DE�NÚMEROS�NATURALES.............................................................................�18�
1.2.4.�SOBRE�LA�DIVISIÓN�DE�NÚMEROS�NATURALES�...................................................................................�19�
SUBTEMA�1.3.�OPUESTOS�DE�LOS�NÚMEROS�NATURALES.�LOS�NÚMEROS�ENTEROS�......................................�21�
SUBTEMA�1.4.�OPERACIONES�CON�NÚMEROS�ENTEROS.�SIGNOS�DE�AGRUPACIÓN�........................................�24�
1.4.1.�ADICIÓN�DE�NÚMEROS�ENTEROS�.....................................................................................................�24�
1.4.2.�SUSTRACCIÓN�DE�NÚMEROS�ENTEROS�..............................................................................................�25�
1.4.3.�OPERACIONES�COMBINADAS�DE�SUMAS�Y�RESTAS.�SIGNOS�DE�AGRUPACIÓN�...........................................�27�
1.4.4.�MULTIPLICACIÓN�DE�NÚMEROS�ENTEROS�.........................................................................................�28�
1.4.5.�DIVISIÓN�DE�NÚMEROS�ENTEROS�....................................................................................................�29�
SUBTEMA�1.5.�PROPIEDADES�DE�LAS�OPERACIONES�CON�NÚMEROS�ENTEROS�..............................................�31�
1.5.1.�PROPIEDADES�DE�LA�SUMA�DE�NÚMEROS�ENTEROS�............................................................................�31�
1.5.2.�PROPIEDADES�DE�LA�RESTA�NÚMEROS�ENTEROS�.................................................................................�32�
1.5.3.�PROPIEDADES�DE�LA�MULTIPLICACIÓN�DE�NÚMEROS�ENTEROS�..............................................................�33�
No está permitida la reproducción total o parcial de este libro,
ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna
forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico,
por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso
previo y por escrito de los titulares del Copyright.
Reservados todos los derechos.
© Flor M. Rodríguez Vásquez
Catalina Navarro Sandoval
Elika S. Maldonado Mejía
Jesús Romero Valencia
Maribel Vicario Mejía
Luis A. Campistrous Pérez
Celia R. Rizo Cabrera
© Ediciones Díaz de Santos, S. A.
TEMA�2.�NÚMEROS�PARA�MEDIR�..............................................................................................�35�
SUBTEMA�2.1.�LOS�NÚMEROS�NATURALES�NO�SON�SUFICIENTES...............................................................�36�
SUBTEMA�2.2.�OPERACIONES�CON�NÚMEROS�RACIONALES�Y�EXPRESIONES�DECIMALES.�PROPIEDADES�..............�39�
2.2.1.�SUMA�DE�FRACCIONES�HOMOGÉNEAS�..............................................................................................�39�
2.2.2.�SUMA�DE�FRACCIONES�HETEROGÉNEAS�............................................................................................�40�
2.2.3.�RESTA�DE�FRACCIONES�HOMOGÉNEAS�..............................................................................................�41�
2.2.4.�RESTA�DE�FRACCIONES�HETEROGÉNEAS�............................................................................................�42�
Primera edición: 2015
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2.2.5.�MULTIPLICACIÓN��DE�FRACCIONES�...................................................................................................�43�
2.2.6.�DIVISIÓN�DE�FRACCIONES�..............................................................................................................�44�
SUBTEMA�2.3.�IGUALDAD�DE�RAZONES.�PROPIEDADES�DE�LAS�PROPORCIONES,�PROPORCIONALIDAD�ENTRE�
MAGNITUDES.�PORCENTAJES�............................................................................................................�45�
2.3.1.�IGUALDAD�DE�RAZONES�.................................................................................................................�45�
2.3.2.�PROPIEDADES�DE�LAS�PROPORCIONES�..............................................................................................�45�
2.3.3.�PROPORCIONALIDAD�ENTRE�MAGNITUDES�........................................................................................�46�
2.3.4.�PORCENTAJES�..............................................................................................................................�46�
TEMA�3.�MÁS�NÚMEROS�...........................................................................................................�49�
SUBTEMA�3.1.�LOS�NÚMEROS�RACIONALES�NO�SON�SUFICIENTES�..............................................................�50�
3.1.1.�LOS�NÚMEROS�REALES�..................................................................................................................�50�
3.1.2.�OPERACIONES�EN��.....................................................................................................................�51�
3.1.3.�AXIOMAS�DE�CAMPO�....................................................................................................................�51�
3.1.4.�POSTULADOS�DE�ORDEN�................................................................................................................�53�
SUBTEMA�3.2.�LA�RADICACIÓN�COMO�OPERACIÓN�INVERSA�DE�LA�POTENCIACIÓN,�PROPIEDADES.�RADICALES,�
CÁLCULO�CON�RADICALES�.................................................................................................................�56�
3.2.1.�POTENCIACIÓN�............................................................................................................................�56�
3.2.2.�RADICACIÓN�................................................................................................................................�59�
PROBLEMAS�Y�EJERCICIOS�BLOQUE�1�.........................................................................................�64�
�..................................................................................................................................�69�
TEMA�4.�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�........................................................................................�71�
SUBTEMA�4.1.�LENGUAJE�COMÚN�Y�LENGUAJE�ALGEBRAICO�...................................................................�72�
SUBTEMA�4.2.�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS,�VALORES�INADMISIBLES.�DOMINIO�...........................................�74�
SUBTEMA�4.3.�TÉRMINOS,�COEFICIENTES,�PARTE�LITERAL.�TÉRMINOS�SEMEJANTES,�REDUCCIÓN�DE�TÉRMINOS�
SEMEJANTES�.................................................................................................................................�76�
4.3.1.�REDUCCIÓN�DE�TÉRMINOS�SEMEJANTES�...........................................................................................�77�
4.3.2.�SUSTITUCIÓN,�VALOR�DE�UN�TÉRMINO�.............................................................................................�77�
SUBTEMA�4.4.�OPERACIONES�CON�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�................................................................�79�
4.4.1�SUMA�Y�RESTA�DE�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�....................................................................................�79�
4.4.2�MULTIPLICACIÓN�DE�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�................................................................................�79�
4.4.3�DIVISIÓN�DE�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�...........................................................................................�80�
TEMA�5.�POLINOMIOS�Y�OPERACIONES�.....................................................................................�83�
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TEMA�5.�POLINOMIOS�Y�OPERACIONES�.....................................................................................�83�
SUBTEMA�4.1.�LENGUAJE�COMÚN�Y�LENGUAJE�ALGEBRAICO�...................................................................�72�
SUBTEMA�4.2.�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS,�VALORES�INADMISIBLES.�DOMINIO�...........................................�74�
SUBTEMA�4.3.�TÉRMINOS,�COEFICIENTES,�PARTE�LITERAL.�TÉRMINOS�SEMEJANTES,�REDUCCIÓN�DE�TÉRMINOS�
SEMEJANTES�.................................................................................................................................�76�
4.3.1.�REDUCCIÓN�DE�TÉRMINOS�SEMEJANTES�...........................................................................................�77�
4.3.2.�SUSTITUCIÓN,�VALOR�DE�UN�TÉRMINO�.............................................................................................�77�
SUBTEMA�4.4.�OPERACIONES�CON�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�................................................................�79�
4.4.1�SUMA�Y�RESTA�DE�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�....................................................................................�79�
4.4.2�MULTIPLICACIÓN�DE�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�................................................................................�79�
4.4.3�DIVISIÓN�DE�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�...........................................................................................�80�
TEMA�4.�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�........................................................................................�71�
�..................................................................................................................................�69�
TEMA�6.�FACTORIZACIÓN�DE�POLINOMIOS�..............................................................................�119�
PROBLEMAS�Y�EJERCICIOS�BLOQUE�1�.........................................................................................�64�
SUBTEMA�6.1.�LA�DESCOMPOSICIÓN�EN�FACTORES�DE�NÚMEROS�ENTEROS�...............................................�120�
SUBTEMA�6.2.�EL�USO�DE�UN�FACTOR�COMÚN�PARA�DESCOMPONER�EN�FACTORES�.....................................�121�
SUBTEMA�6.3.�FACTORIZACIÓN�DE�BINOMIOS:�DIFERENCIA�DE�CUADRADOS�Y�SUMA�Y�DIFERENCIA�DE�CUBOS�..�124�
6.3.1.�DIFERENCIA�DE�CUADRADOS�........................................................................................................�124�
6.3.2.�SUMA�Y�DIFERENCIA�DE�CUBOS�.....................................................................................................�124�
SUBTEMA�6.4.�FACTORIZACIÓN�DE�TRINOMIOS:�TRINOMIO�CUADRADO�PERFECTO�Y�TRINOMIO�CUADRÁTICO�..�126�
6.5.1.�TRINOMIO�CUADRADO�PERFECTO�..................................................................................................�126�
6.5.2.�TRINOMIO�CUADRÁTICO�..............................................................................................................�126�
SUBTEMA�6.6.�FACTORIZACIÓN�DE�POLINOMIOS�DE�CUATRO�O�MÁS�TÉRMINOS.�USO�DE�LA�REGLA�DE�RUFFINI�.�127�
SUBTEMA�3.1.�LOS�NÚMEROS�RACIONALES�NO�SON�SUFICIENTES�..............................................................�50�
3.1.1.�LOS�NÚMEROS�REALES�..................................................................................................................�50�
3.1.2.�OPERACIONES�EN��.....................................................................................................................�51�
3.1.3.�AXIOMAS�DE�CAMPO�....................................................................................................................�51�
3.1.4.�POSTULADOS�DE�ORDEN�................................................................................................................�53�
SUBTEMA�3.2.�LA�RADICACIÓN�COMO�OPERACIÓN�INVERSA�DE�LA�POTENCIACIÓN,�PROPIEDADES.�RADICALES,�
CÁLCULO�CON�RADICALES�.................................................................................................................�56�
3.2.1.�POTENCIACIÓN�............................................................................................................................�56�
3.2.2.�RADICACIÓN�................................................................................................................................�59�
TEMA�7.�FRACCIONES�ALGEBRAICAS�........................................................................................�131�
TEMA�3.�MÁS�NÚMEROS�...........................................................................................................�49�
SUBTEMA�7.1.�FRACCIÓN�ALGEBRAICA,�NUMERADOR,�DENOMINADOR�Y�SIGNO�DE�UNA�FRACCIÓN�ALGEBRAICA132�
SUBTEMA�7.2.�FRACCIONES�EQUIVALENTES,�SIMPLIFICACIÓN�DE�FRACCIONES�............................................�134�
SUBTEMA�7.3.�DOMINIO�DE�UNA�FRACCIÓN�ALGEBRAICA.�VALOR�NUMÉRICO�...........................................�135�
2.2.5.�MULTIPLICACIÓN��DE�FRACCIONES�...................................................................................................�43�
2.2.6.�DIVISIÓN�DE�FRACCIONES�..............................................................................................................�44�
SUBTEMA�2.3.�IGUALDAD�DE�RAZONES.�PROPIEDADES�DE�LAS�PROPORCIONES,�PROPORCIONALIDAD�ENTRE�
MAGNITUDES.�PORCENTAJES�............................................................................................................�45�
2.3.1.�IGUALDAD�DE�RAZONES�.................................................................................................................�45�
2.3.2.�PROPIEDADES�DE�LAS�PROPORCIONES�..............................................................................................�45�
2.3.3.�PROPORCIONALIDAD�ENTRE�MAGNITUDES�........................................................................................�46�
2.3.4.�PORCENTAJES�..............................................................................................................................�46�
alge
a.m.
SUBTEMA�5.1.�MONOMIOS�Y�POLINOMIOS.�GRADO�DE�UN�MONOMIO�Y�DE�UN�POLINOMIO�..........................�84�
SUBTEMA�5.2.�OPERACIONES�CON�POLINOMIOS�...................................................................................�86�
5.2.1.�SUMA�Y�RESTA�DE�POLINOMIOS�......................................................................................................�87�
5.2.2.�MULTIPLICACIÓN�DE�POLINOMIOS�...................................................................................................�90�
5.2.3.�DIVISIÓN�DE�POLINOMIOS�..............................................................................................................�93�
SUBTEMA�5.3.�PRODUCTOS�NOTABLES�...............................................................................................�96�
5.3.1.�CUADRADO�DE�UN�BINOMIO�..........................................................................................................�97�
5.3.2.�CUADRADO�DE�LA�DIFERENCIA�DE�UN�BINOMIO�.................................................................................�99�
5.3.3.�PRODUCTO�DE�DOS�BINOMIOS�CON�UN�TÉRMINO�COMÚN�.................................................................�102�
5.3.4.�PRODUCTO�DE�DOS�BINOMIOS�CONJUGADOS�..................................................................................�104�
5.3.5.�BINOMIOS�CON�TÉRMINO�SEMEJANTE�............................................................................................�106�
5.3.6.�TRINOMIO�AL�CUADRADO�............................................................................................................�108�
5.3.7.�CUBO�DE�UN�BINOMIO�................................................................................................................�109�
5.3.7.�SUMA�DE��DOS�TÉRMINOS�AL�CUBO�...............................................................................................�112�
5.3.8.�RESTA�DE�DOS�TÉRMINOS�AL�CUBO�................................................................................................�112�
5.3.9.�MULTIPLICACIÓN�DE�DOS�BINOMIOS�CUALESQUIERA�........................................................................�113�
SUBTEMA�5.4.�DIVISIÓN�SINTÉTICA�DE�POLINOMIOS.�REGLA�DE�RUFFINI�..................................................�115�
PROBLEMAS�Y�EJERCICIOS�BLOQUE�2�................................................................................�139�
ALGO�QUE�DEBES�SABER.�TÉCNICAS�DE�RESOLUCIÓN�DE�PROBLEMAS�.....................................�143�
ALGUNOS�CONSEJOS�PARA�RESOLVER�PROBLEMAS�...............................................................................�143�
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¿SABÍAS�QUÉ…�HAY�DIFERENCIAS�ENTRE�LOS�EJERCICIOS�Y�LOS�PROBLEMAS?�............................................�144�
¿CÓMO�ENFRENTARSE�A�UN�PROBLEMA?�..........................................................................................�145�
ETAPAS�EN�LA�RESOLUCIÓN�DE�PROBLEMAS�.......................................................................................�146�
DESCRIPCIÓN�DE�TÉCNICAS�EN�LA�RESOLUCIÓN�DE�PROBLEMAS�...............................................................�147�
ANÁLISIS�DE�ALGUNAS�ESTRATEGIAS�.................................................................................................�150�
ALGUNOS�CONSEJOS�QUE�TE�AYUDARÁN�A�PENSAR�MEJOR�....................................................................�151�
LOS�AUTORES�..............................................................................................................................�152�
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Prólogo�
El�presente�libro�está�especialmente�dedicado�a�aquellos�estudiantes�de�bachillerato�que�quieren�
iniciar�sus�estudios�en�álgebra�elemental,�así�como�a�aquellos�estudiantes�de�bachillerato�que�
deben�fortalecer�sus�conocimientos�en�dicha�área�de�la�matemática.�
Hemos�considerado�diferentes�estilos�de�enseñanza�que�deben�ser�suscitados�en�el�proceso�
educativo�y,�asimismo,�acudimos�a��investigaciones�en�didáctica�sobre�álgebra�elemental.�
La�obra�se�ha�organizado�en�dos�bloques,�de�tal�forma�que�pueda�orientar�y�reforzar�sobre:�
Bloque�1.�Estructuras�numéricas:�naturales,�enteros,�racionales,�reales.��
Bloque�2.�Estructuras�algebraicas�básicas:�productos�notables,�factorización�y�operaciones�
con�polinomios.��
Cada��bloque�está�estructurado�por�temas�y�subtemas,�y�al�final�se�presenta�una�sección�dedicada�
a�las�técnicas�para�resolver�problemas�con�la�finalidad�de�que�ayuden�a�obtener�éxito�en�las�
actividades�sugeridas.�El�principal�objetivo�es�proveer�al�lector�de�una�estructura�organizada�para�
estimular�el�gusto�por�la�iniciación�en�el�estudio�del�álgebra�elemental,�así�como�coadyuvar�en�la�
comprensión�de�los�temas.��
Por�último,�queremos�externar�nuestro�agradecimiento�total�por�el�trabajo�y�esfuerzo�al�Cuerpo�
Académico�Educación�Matemática�UAGRO�CA�154,�así�como�a�los�colaboradores:�Yanet�Tejada,�
Gustavo�Antero,�Miguel�Cervantes,�Javier�García,�Martha�Rivera,�Florida�Pastrana�y�Yadira�Villareal,�
quienes�con�sus�conocimientos,�propuestas�y�dedicación�enriquecieron�el�texto.���
Esta�obra�fue�auspiciada�por�el�proyecto�Fortalecimiento�del�Cuerpo�Académico�“Educación�
Matemática”�aprobado�por�el�Programa�de�Mejoramiento�del�Profesorado.�Subsecretaría�de�
Educación�Superior.�Secretaría�de�Educación�Pública.�
�
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¿SABÍAS�QUÉ…�HAY�DIFERENCIAS�ENTRE�LOS�EJERCICIOS�Y�LOS�PROBLEMAS?�............................................�144�
¿CÓMO�ENFRENTARSE�A�UN�PROBLEMA?�..........................................................................................�145�
ETAPAS�EN�LA�RESOLUCIÓN�DE�PROBLEMAS�.......................................................................................�146�
DESCRIPCIÓN�DE�TÉCNICAS�EN�LA�RESOLUCIÓN�DE�PROBLEMAS�...............................................................�147�
ANÁLISIS�DE�ALGUNAS�ESTRATEGIAS�.................................................................................................�150�
ALGUNOS�CONSEJOS�QUE�TE�AYUDARÁN�A�PENSAR�MEJOR�....................................................................�151�
LOS�AUTORES�..............................................................................................................................�152�
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TEMA�1
1.�LOS�NÚ
ÚMEROS�P
PARA�CON
NTAR�Y�SU
US�OPUES
STOS�
�
Sabías�que…�
(
))�
Numeración�en�tablilla�cuneiforme�babilónica��
Los� números� naturalles� son� los� p
primeros� que
e� surgen� en� las�
eas� de� contar� y�
distintas� civilizacionees,� debido� a� que� las� tare
nar�son�las�m
más�elementaales�que�se�p
pueden�realizzar�
de�orden
en� el� trratamiento� de� las� canttidades.� La� necesidad� de�
efectuar� conteos,� desde� la� antigüedad,,� tuvo� com
mo�
consecue
encia� que� el� hombree� inventara� sistemas� de�
numeración� para� reepresentarloss.� Los� prim
meros� númerros�
fueron� ,� y� muccho� más� tarrde� apareció�� el�
cero.� Los� números� nnaturales� fueron� creado
os� para� conttar�
objetos� presentes�
p
en
n� la� naturaleeza,� de� ahí� su� nombre.� A
Así,�
cuando�d
decimos�“ten
ngo�herm
manos”,�“un� mes�tiene�
�o�
�días”,,� “tengo��aaños”,� “el� esstado� de� Gue
errero� tiene��
municipio
os”,� estamo
os� utilizando
o� números� n
naturales� paara�
determin
nar�cuántos�o
objetos�hay.�
Los�números�naturalees,�además�d
de�ayudarnos�a�contar,�n
nos�
sirven� para� ordena
ar.� Por� ejemplo:� decimoss� que� mayo� es� el� quinto
o� mes� del� añ
ño,� que� eress� el�
tercer�hijo�en�tu�fam
milia,�entre�o
otros�casos.�
Por�otro�lado,�en�ccuanto�a�los� números�enteros,�de�acu
uerdo�con�daatos�históricos,�durante� los�
siglos� I� y� II� a.� C.� en� China� yaa� se� utilizaban� los� númeeros� negativvos� (como� ccoeficientes� de�
ecuaciones)� y� se� usaban�
u
las� reglas�
r
operativas� de� los� signos;� en� Europa� esto
os� números� no�
llegaro
on�a�ser�cono
ocidos�sino�haasta�la�alta�Ed
dad�Media,�aa�través�de�los�textos�árab
bes.�
En�un�principio,�a�lo
os�números� negativos�no
o�se�les�recon
nocía�como�n
números�verd
daderos,�porr�lo�
que�se
e�les�denomin
naba�como�ffalsos,�ficticio
os,�absurdos ,�imposibles..�Todavía�durrante�los�siglos�
XVII� y� XVIII
X � tanto�su
u� concepto� co
omo�fundam
mentación�lóg
gica� no� estab
ban� claros,� aasí� que� algun
nos�
matem
máticos�siguie
eron�inventando�justificacciones,�mien tras�que�otro
os�seguían�prrotestando�p
por�
su� uso
o� hasta� principios� del� XIX.�. Su� construccción� formal�� a� partir� de� los� númeross� naturales,� ffue�
realiza
ada�por�Weierstrass�a�med
diados�del�sig
glo�XIX.��
A�pesa
ar�de�las�dificultades�que�representó�e
el�reconocimiiento�de�los�n
números�neg
gativos�a�travvés�
de�la�h
historia,�hoy� día�nadie�du
uda�de�su�existencia�como
o�modelo�maatemático,�y�menos�aún� de�
su� neccesidad� para� interpretar� y� representaar� diversas� ssituaciones� cotidianas� (so
obre� todo� paara�
repressentar�deudas,�temperatu
uras�por�debaajo�de�cero,�eentre�otras).�
Situa
ación�
prob
blema�
�
algebra_FINAL17x23.pdf 15
ele� a� un� compañero� que� lance�
l
3� dado
os� y� no� te� diga� el� resultado.� Ahora� paara�
Píde
“adivinar”�los�núm
meros�pídele�q
que�realice�lo� siguiente:�1)�m
multiplicar�porr��el�número� de�
mar�al� resul tado� anteriorr;� 3)� multiplicaar� por��la� sum
ma�
punttos� del� primer� dado;� 2)� sum
ante
erior;� 4)� sumaar��al� produccto� anterior;� 5)� sumar� los� puntos� del� se
egundo� dado� al�
últim
mo�resultado;� 6)�multiplicarr�por��la�sum
ma�anterior;�7))�sumar�los�puntos�del�terccer�
dado
o� al� producto
o� anterior;� 8)� restar�.� E l� resultado� qu
ue� se� obtiene
e� es� un� núme
ero�
cuya
as� centenas� so
on� los� puntoss� del� primer� d
dado,� las� deceenas� se� corressponden� con� llos�
punttos�del�segund
do�dado,�y�las�unidades�son� los�puntos�deel�tercer�dado.�Compruébalo
o.�
15�
27/11/2014 10:50:56 a.m.
.m.
Subte
ema�1.1.�Los�número
os�para�co
ontar.�Sign
nificado�orrdinal�y�ca
ardinal�
Los�nú
úmeros� �aparecen�como�núme
eros�ordinaless�(primero,�ssegundo,�terccero…)�y�com
mo�
númerros� cardinales� (número� natural�
n
correspondiente� aal� total� de� eelementos� de
e� un� conjunto).��
Una� fo
orma� de� con
nstruir� los� nú
úmeros� naturrales� queda� definida� porr� los� siguienttes� Axiomas� de�
Peano::�
1) �es�un�núm
mero�natural.�
2) Cada�núme
ero�natural��posee�un�succesor��(��ees�� ).�
3) �no�posee�antecesor,�e
es�decir,�en�lo
os�naturales�n
no�hay�un��ttal�que� �sea�.��
4) Si� ,�e
entonces� .�
5) Si��pertenece�a�un�con
njunto�de�núm
meros�naturaales�y�siemprre�que��está�en�el�conjun
nto��
su� sucesor��está� en� el� conjunto,� entonces�
e
est e� conjunto� ees� el� conjuntto� de� todos� los�
números�na
aturales.��
Por�lo�general,�el�co
onjunto�de�lo
os�números�n
naturales�se�rrepresenta�por�el�símbolo
o�.�
Regula
armente�los�n
números�naturales�se�ord
denan�y�se�re presentan�so
obre�la�semirrrecta�numérrica�
como�sse�muestra�a
a�continuación:�
�
Orige
en�o�punto�de�
referencia�
�
�
Para�la
a�construcció
ón�de�ésta,�partimos�de�u
un�punto,�al�q
que�le�llamam
mos�origen,� y�un�segmen
nto�
de�unidad.�Para�iniciar�la�constrrucción�coloccamos�un�exttremo�en�el� origen�y�en�d
donde�llegue
e�la�
mero�.�
otra�orrilla�derecha�del�segmentto�lo�marcamos�con�el�núm
Después�se�transporta�el�segm
mento�unidad�en�el��y�a�p
partir�del�uno
o�se�marca�e
el�otro�extrem
mo�
con� el�,� repitiendo
o� esta� operaación� se� marrcan� los� núm
meros� naturalles� sucesivoss� hasta� llegar� a�
tener�la�semirrecta�de�los�núme
eros�naturales.��
�
Así,�el�conjunto�de�números�natturales�es�inffinito�y�podem
mos�represen
ntarlo�como::��
�����
�
�
algebra_FINAL17x23.pdf 16
��
16�
27/11/2014 10:50:56 a.m.
algebra_FINAL17x23.pdf 17
27/11/2014 10:50:56 a.m.
17�
Subte
ema�1.1.�Los�número
os�para�co
ontar.�Sign
nificado�orrdinal�y�ca
ardinal�
�
Los�nú
úmeros� �aparecen�como�núme
eros�ordinaless�(primero,�ssegundo,�terccero…)�y�com
mo�
númerros� cardinales� (número� natural�
n
correspondiente� aal� total� de� eelementos� de
e� un� conjunto).��
Una� fo
orma� de� con
nstruir� los� nú
úmeros� naturrales� queda� definida� porr� los� siguienttes� Axiomas� de�
Peano::�
1) �es�un�núm
mero�natural.�
2) Cada�núme
ero�natural��posee�un�succesor��(��ees�� ).�
3) �no�posee�antecesor,�e
es�decir,�en�lo
os�naturales�n
no�hay�un��ttal�que� �sea�.��
4) Si� ,�e
entonces� .�
�
Por�ejemplo:�
5) Si��pertenece�a�un�con
njunto�de�núm
meros�naturaales�y�siemprre�que��está�en�el�conjun
nto��
su� sucesor��está� en� el� conjunto,� entonces�
e
est e� conjunto� ees� el� conjuntto� de� todos� los�
números�na
aturales.��
Por�lo�general,�el�co
onjunto�de�lo
os�números�n
naturales�se�rrepresenta�por�el�símbolo
o�.�
Regula
armente�los�n
números�naturales�se�ord
denan�y�se�re presentan�so
obre�la�semirrrecta�numérrica�
como�sse�muestra�a
a�continuación:�
Comprobación:��
�
Orige
en�o�punto�de�
referencia�
Por�ejemplo:�
�
�
Para�la
a�construcció
ón�de�ésta,�partimos�de�u
un�punto,�al�q
que�le�llamam
mos�origen,� y�un�segmen
nto�
de�unidad.�Para�iniciar�la�constrrucción�coloccamos�un�exttremo�en�el� origen�y�en�d
donde�llegue
e�la�
mero�.�
otra�orrilla�derecha�del�segmentto�lo�marcamos�con�el�núm
Comprobación:��
Por�ejemplo:�
Después�se�transporta�el�segm
mento�unidad�en�el��y�a�p
partir�del�uno
o�se�marca�e
el�otro�extrem
mo�
con� el�,� repitiendo
o� esta� operaación� se� marrcan� los� núm
meros� naturalles� sucesivoss� hasta� llegar� a�
tener�la�semirrecta�de�los�núme
eros�naturales.��
�
�
Así,�el�conjunto�de�números�natturales�es�inffinito�y�podem
mos�represen
ntarlo�como::��
�����
��
�
16�
�
algebra_FINAL17x23.pdf 16
27/11/2014 10:50:56 a.m.
a.m.
�
Propiedad� asociativa:� si� �son� números� naturales� cualesquiera,� se� cumple� que�
��
La� multiplicación� de� números� naturales� cumple� las� propiedades� asociativa,� conmutativa,�
elemento�neutro�y�distributiva�del�producto�respecto�de�la�suma.�
1.2.2.�Propiedades�de�la�multiplicación�de�números�naturales�
.�
Elemento�neutro:�el��es�el�elemento�neutro�de�la�suma�de�enteros�porque,�cualquiera�que�sea�
el�número�natural�,�se�cumple�que� .��
y�además� ,�por�lo�que�se�verifica�la�propiedad�conmutativa.���
.���
Propiedad� conmutativa:� si� �son� números� naturales� cualesquiera,� se� cumple� que������������������
.�
� .�
.�
.�
Propiedad� asociativa:� si� �son� números� naturales� cualesquiera,� se� cumple� que�
.�
La�adición�de�números�naturales�cumple�las�siguientes�propiedades:��
1.2.1.�Propiedades�de�la�adición�de�números�naturales��
�
Multiplicación�
Suma�
�
En� los� números� naturales� sólo� están� definidas� las� operaciones� de� adición� y� multiplicación.�
Cuando�se�suman�o�se�multiplican�dos�números�naturales,�el�resultado�es�otro�número�natural,�
esto�significa�que�la�operación�es�cerrada,�por�ejemplo:�
Subtema�1.2.�Más�de�números�naturales�
alge
.m.
emplo:�
Por�eje
.��
Comprrobación:�
.���
� .��
Los�ressultados�coin
nciden,�de�mo
odo�que�la�prropiedad�se�ccomprueba.��
Propiedad� conmutativa:� si� �son� núm
meros� natu
urales� cualesquiera,� se� cumple� q
que������������������
.�
Por�eje
emplo:�
.�
Elemen
nto�neutro:�e
el��es�el�elem
mento�neutro
o�de�la�multiiplicación�porque,�cualqu
uiera�que�seaa�el�
númerro�natural�,�sse�cumple�qu
ue� .��
Por�eje
emplo:�
�
Distrib
butiva� del� pro
oducto� respeccto� de� la� sum
ma:� si� �sson� númeross� naturales� cualesquiera,� se�
cumple
e�que� .��
Por�eje
emplo:�
.�
Para�co
omprobar�la�igualdad,�ressolveremos�ccada�miembrro�de�la�ecuacción:��
.�
.�
Como�los�resultado
os�coinciden,�la�propiedad
d�se�cumple.� �
�
1.2.3.�Sobre�la�susstracción�de
e�números�n
naturales��
al� que� la� sum
ma,� la� resta� es�
e una� operaación� que� see� deriva� de� laa� operación� de� contar.� P
Por�
Al� igua
ejemplo,�si�tenemo
os��gallinass�y�los�coyote
es�se�comen�
, ¿cuántas�g
gallinas�nos�quedan?��
Es�imp
portante�sabe
er�que�los�térrminos�de�la�resta�se�llam
man�minuendo
o�(las�gallinass�que�tenemo
os)�
y�sustrraendo�(las�ga
allinas�que�se
e�comieron�lo
os�coyotes).��
�
�
�
�
algebra_FINAL17x23.pdf 18
Minuendo
o
Resultado�
Su
ustraendo
18�
27/11/2014 10:50:56 a.m.
������
Esto� corresponde� a� realizar� un
na� operación
n� llamada� suustracción� o� rresta,� y� se� p
puede� expressar�
como:� .�
algebra_FINAL17x23.pdf 19
�
27/11/2014 10:50:56 a.m.
19�
emplo:�
Por�eje
.��
Comprrobación:�
�
.���
� .��
ଷ
௔
ସ
Los�ressultados�coin
nciden,�de�mo
odo�que�la�prropiedad�se�ccomprueba.��
�
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ସ
erente�que�� .�.
es�dife
௕
௔
௕
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ple�con�la�pro
opiedad�conm
mutativa.�No
o�es�lo�mismo
o� ��que�� ,��por�ejemplo,� ��
La�división�no�cump
Propiedad� conmutativa:� si� �son� núm
meros� natu
urales� cualesquiera,� se� cumple� q
que������������������
.�
݀
݀ሻ
��
ܿܿሻ
ଵଷ
ଵ଴ହ଴
ଵ଴
ଵଶହ
Por�eje
emplo:�
ଵ଴଴
ଵହ
ହ଴଴
ହ଴
଴
ଵ଴
଴଴
��
.�
�
݀ሻ
ܿሻ
Elemen
nto�neutro:�e
el��es�el�elem
mento�neutro
o�de�la�multiiplicación�porque,�cualqu
uiera�que�seaa�el�
númerro�natural�,�sse�cumple�qu
ue� .��
��
ܾ
ܾሻ ��
ଽ
ଵ଴
଴
�
ܽ
ܽሻ
ଵଶ
ଶହ
ସ
ଵ଴
Por�eje
emplo:�
ଷ
ହ
�
��
�
ܾሻ
ܽሻ �����
División�exacta�
Distrib
butiva� del� pro
oducto� respeccto� de� la� sum
ma:� si� �sson� númeross� naturales� cualesquiera,� se�
cumple
e�que� .��
Divissión�inexactaa�
�
Por�eje
emplo:�
஽
La�división�también
n�se�puede�re
epresentar�co
omo:�� �,�‫ܦ‬ǣ ݀
݀,‫ܦ‬ൗ݀ Ǥ�
ௗ
Si�el�re
esto�es�cero,�la�división�se�llama�exactaa,�y�en�caso�ccontrario,�es�inexacta.��
.�
Para�co
omprobar�la�igualdad,�ressolveremos�ccada�miembrro�de�la�ecuacción:��
.�
.�
������‫ݍ‬
‫ݍ‬
�݀���‫ܦ‬
‫�ܦ‬
�������‫�ݎݎ‬
�
Como�los�resultado
os�coinciden,�la�propiedad
d�se�cumple.� �
�������
D
Dividendo�
�
Divissor�
1.2.3.�Sobre�la�susstracción�de
e�números�n
naturales��
�
Resid
duo��
�
Cocieente�
�
al� que� la� sum
ma,� la� resta� es�
e una� operaación� que� see� deriva� de� laa� operación� de� contar.� P
Por�
Al� igua
ejemplo,�si�tenemo
os��gallinass�y�los�coyote
es�se�comen�
, ¿cuántas�g
gallinas�nos�quedan?��
Los�términos�de�la
a�división�se� llaman�divideendo�(el�núm
mero�de� objeetos),�divisor� (el�número� de�
sujetoss),�cociente�((el�número�que�le�corresp
ponde�a�lo�q ue�se�repartiió)�y�resto�o� residuo�(lo�q
que�
sobra)).��
Esto� corresponde� a� realizar� un
na� operación
n� llamada� suustracción� o� rresta,� y� se� p
puede� expressar�
como:� .�
La�división�es�la�operación�que�permite�repaartir�un�deterrminado�núm
mero�de�objettos�(dividend
do)�
entre�o
otro�determinado�número�de�objetos�o�sujetos�(d ivisor�que�tieene�que�ser�diistinto�de�cerro).�
En�otra
as�palabras,�lla�división�consiste�de�calcular�cuántass�veces�el�divvidendo�conttiene�al�diviso
or.��
Es�imp
portante�sabe
er�que�los�térrminos�de�la�resta�se�llam
man�minuendo
o�(las�gallinass�que�tenemo
os)�
y�sustrraendo�(las�ga
allinas�que�se
e�comieron�lo
os�coyotes).��
Minuendo
o
�
Resultado�
�
�
Por�eje
emplo:�
Su
ustraendo
�
18�
�
algebra_FINAL17x23.pdf 18
27/11/2014 10:50:56 a.m.
a.m.
�������
1.2.4.�Sobre�la�div
visión�de�nú
úmeros�natu
urales�
�ͺ െ Ͷ ൌ Ͷ,�pero�Ͷ െ ͺ ൌ െͶ.�Y�obviamente,,�Ͷ�es�diferen
nte�de�െͶ.�
e�con�la�propiiedad�conmu
utativa,�es�de cir,�ܽ െ ܾ ് ܾ െ ܽ.�
La�restta�no�cumple
alge
.m.
EJERCICIOS�RESUELTOS�
1.
Usando�las�propiedades�distributiva,�asociativa,�elemento�neutro�y�conmutativa,�resuelve�lo�
siguiente�según�corresponda:�
Ejercicio�
Solución�
�
���������������������
�
������������������ ���
�
�
��������
�
�
�
��
�
�����������������������������
�
�
�
���������������������� ��
�
�
�
2. El� fin� de� semana� la� mamá� de� Juanito� compró��kg� de� naranjas� por�,��kg� de� fresa� por�
�y��kg�de�manzana�por�.�¿Cuál�fue�el�costo�de�cada�tipo�de�fruta�por�kilo?�¿Cuánto�
gastó�en�las�frutas?�
Solución:�
Si� por��kg� de� naranjas� pagó�,� entonces� basta� con� dividir��por��kg,� por� lo� que� el�
kilogramo�de�naranja�costó�.�
Ahora,�si�por��kg�de�fresa�se�pagó�,�entonces�el�kg�costó�.�
Y�si�por��kg�de�manzanas�se�pagó�,�por�lo�que�el�kilo�costó�.�
En�total�se�gastó:�
�
�
�
algebra_FINAL17x23.pdf 20
�
20�
27/11/2014 10:50:56 a.m.
algebra_FINAL17x23.pdf 20
27/11/2014 10:50:56 a.m.
�
20�
�
�
1. Usa
ando� las� pro
opiedades� disstributiva,� associativa� y� cconmutativa� y� la� propied
dad� del� neuttro�
resu
uelve�las�sigu
uientes�operaaciones:���
b) �
f) �
d) h) �
j) �
l) �
En�total�se�gastó:�
k) i) g) e) �
c) �
a) �
�
Y�si�por��kg�de�manzanas�se�pagó�,�por�lo�que�el�kilo�costó�.�
�
Ahora,�si�por��kg�de�fresa�se�pagó�,�entonces�el�kg�costó�.�
Si� por��kg� de� naranjas� pagó�,� entonces� basta� con� dividir��por��kg,� por� lo� que� el�
kilogramo�de�naranja�costó�.�
2. Mi� amigo� José� nos� invitó� a� una� reunión
n� para� celebrrar� su� cumplleaños.� Comp
pró��pizzas� de�
�c/u,��reffrescos� de�
�c/u,��paquetes� de� va sos� de��c/u
u,��paquetes� de� platos� de�
�c/u�y��e
en�diversos�aartículos.�José
é�cuenta�con
n�.�
Solución:�
2. El� fin� de� semana� la� mamá� de� Juanito� compró��kg� de� naranjas� por�,��kg� de� fresa� por�
�y��kg�de�manzana�por�.�¿Cuál�fue�el�costo�de�cada�tipo�de�fruta�por�kilo?�¿Cuánto�
gastó�en�las�frutas?�
¿Cuántto�dinero�llevva�gastado�Jo
os��
¿Le�alccanzará�para�comprar�el�p
pastel�(que�cu
uesta�ccon�el�resto�d
del�dinero?��
¿Qué�o
operaciones�ttiene�que�reaalizar�para�haacer�el�cálculo
o�total?��
�
3. Un�número�natu
ural�de�tres�cifras�es��ve
eces�la�suma� de�sus�cifrass.�¿Cuál�es�el�n
número?�
�
�
���������������������� ��
�
�
��
Subte
ema�1.3.�O
Opuestos�d
de�los�núm
meros�natu
urales.�Loss�números�enteros�
�
En�el�p
primer�subtema�de�este�b
bloque�trabaajamos�los�nú
úmeros�natu
urales,�los�cuales�se�pued
den�
repressentar�sobre�la�recta�de�la�manera�sigu
uiente:�
�
��������
�
�����������������������������
�
Origen�o�punto�de�
re
eferencia�
�
�
�
�
�
�
�
�Ahora
a� bien,� en� esste� subtema� interesa� pre
esentar� los� o
opuestos� dee� los� número
os� naturales..� A�
partir� de� los�núme
eros� naturales�que�ya�con
nocemos,� a� llo�cuales�tam
mbién� se�les� llama� númerros�
entero
os� positivos� y� se� distingu
uen� por� ser� mayores� qu
ue� el� cero,� sse� construyen� los� númerros�
entero
os�negativos,�que�son�los� opuestos�de
e�los�número
os�naturales�yy�además�son�menores�q
que�
cero.�P
Para�expresar�el�sentido�d
de�un�número
o�se�utilizan� los�signos��y�,�los�cuales�se�colocan
n�a�
la�izquierda�del�núm
mero�natural.�
�
�
������������������ ���
���������������������
Ejercicio�
Usando�las�propiedades�distributiva,�asociativa,�elemento�neutro�y�conmutativa,�resuelve�lo�
siguiente�según�corresponda:�
�
1.
Solución�
EJERCICIOS�RESUELTOS�
alge
a.m.
EJERCICCIOS�PROPUESTTOS�
�
algebra_FINAL17x23.pdf 21
21�
27/11/2014 10:50:56 a.m.
.m.
o�de�referenccia,�y�ubicam
mos�
Entoncces,�para�ubicarlos�en�la�rrecta�numérica�partimos� de�un�punto
los�núm
meros��negattivos�y�positivvos�como�se�muestra�en�lla�siguiente�ffigura:�
�
El�número�de�referencia��
�
�
�
�
�
A�la�izquierda
a�del�cero�ubicamo
os�a�los�
núm
meros�negativos�
�
A�la�derecha�deel�cero�ubicamos�aa�los�
númerros�positivos�
�
�
�
Por� ta
anto,� a� los� números�
n
entteros� positivvos� los� podeemos� denotaar� por� �y� a� los� númerros�
entero
os�negativos�como� ,�de
e�modo�que�la�unión�de�
,� �y� rep
presenta�el�cconjunto�de�llos�
númerros�enteros�yy�es�representado�por�.�� ����������������
�
�
Los�nú
úmeros�enterros,�al�igual�q
que�los�núme
eros�naturale s,�están�ordeenados,�por�lo�que�cumpllen�
lo�siguiente:��
1) Todo�núme
ero�positivo�e
es�mayor�que
e�.�
quier�número�negativo.��
2) El��es�mayyor�que�cualq
3) Si� un� núme
ero� es� positiivo,� es� mayo
or� cuanto� maayor�
sea�su�símb
bolo�numérico.�
4) Si� un� núme
ero� entero�ess� negativo,� es�
e mayor� cuaanto�
menor�sea�su�símbolo�n
numérico.�
Así�
como�
podemos�
repreesentar� y� ubicaar� a� los�
númeeros� naturales� en
n� la� recta,�
tamb
bién� podemos� ub
bicar� a� los�
númeeros� enteros� po
ositivos� y�
negativos,� observando� su�
orden
n�y�posición.��
�
Por�últtimo,�para�po
oder�expresar�que�un�núm
mero�es�mayo
or�que�otro,�sse�utiliza�el�síímbolo�.�
Así:�
.���
�
EJERCICCIOS�PROPUESTTOS�
1. Loccaliza�en�la�re
ecta�los�siguie
entes�número
os:�
�
�
�
algebra_FINAL17x23.pdf 22
22�
27/11/2014 10:50:56 a.m.
algebra_FINAL17x23.pdf 22
27/11/2014 10:50:56 a.m.
�
22�
1. Loccaliza�en�la�re
ecta�los�siguie
entes�número
os:�
�
�
�
2. Obsserva� el� dibu
ujo� y� completa� las� oracciones� con� laas� distanciass� a� que� se� e
encuentran� los�
ob
bjetos�represe
entados,�del�nivel�del�marr.�
EJERCICCIOS�PROPUESTTOS�
Así:�
.���
�
Por�últtimo,�para�po
oder�expresar�que�un�núm
mero�es�mayo
or�que�otro,�sse�utiliza�el�síímbolo�.�
�
4) Si� un� núme
ero� entero�ess� negativo,� es�
e mayor� cuaanto�
menor�sea�su�símbolo�n
numérico.�
Así�
como�
podemos�
repreesentar� y� ubicaar� a� los�
númeeros� naturales� en
n� la� recta,�
tamb
bién� podemos� ub
bicar� a� los�
númeeros� enteros� po
ositivos� y�
negativos,� observando� su�
orden
n�y�posición.��
3) Si� un� núme
ero� es� positiivo,� es� mayo
or� cuanto� maayor�
sea�su�símb
bolo�numérico.�
�
La�base�del�helicóp
ptero�est�a���m��sobre��el�nivel�del�m
mar.�
1) Todo�núme
ero�positivo�e
es�mayor�que
e�.�
quier�número�negativo.��
2) El��es�mayyor�que�cualq
El�faro�está�a�_____
___�m�______
__��el�nivel�de
el�mar.�
Los�nú
úmeros�enterros,�al�igual�q
que�los�núme
eros�naturale s,�están�ordeenados,�por�lo�que�cumpllen�
lo�siguiente:��
El�ancla�del�barco�e
está�a��______
____�m�_____
_��el�nivel�dell�mar.�
La�estrrella�está�a��_
_________�m,,�o�bien,�a�___
_____�m�bajo
o�el�nivel�del�mar.�
�
La�torttuga�que�va�h
hacia�la�dereccha�se�encuentra�a�________m�de�profundidad�del�mar.�
�
La�torttuga�que�va�e
en�dirección�aal�faro�se�enccuentra��a�___
________�mettros.�
Por� ta
anto,� a� los� números�
n
entteros� positivvos� los� podeemos� denotaar� por� �y� a� los� númerros�
entero
os�negativos�como� ,�de
e�modo�que�la�unión�de�
,� �y� rep
presenta�el�cconjunto�de�llos�
númerros�enteros�yy�es�representado�por�.�� ����������������
3. En�lla�lista�de�loss��principales,�el�disco�favorito�de�Jaanet�estaba�ttres�lugares�m
más�abajo�de
e�lo�
qu
ue� había� esta
ado� la� semaana� anterior..� La� antigua� posición� erra� la�.� ¿Cuál� es� la� nue
eva�
po
osición?�
4. En�lla�tabla�de�la�liga�de�futbo
ol�mexicano, el�equipo�dee�las�Chivas�subió�cuatro�p
posiciones�essta�
sem
mana.�Anteriiormente�esttaba�en�la�possición�.�¿En
n�qué�posició
ón�se�encuentra�ahora?�
�
�
5. En� la� lista� de� lo
os��principales,� el� disco
o� favorito� dee� Susana� pasó� del� lugar�
r��al� lugar�
.�
ubió�o�bajó?�¿¿Cuántos�pue
estos?�
¿Su
�
�
A�la�derecha�deel�cero�ubicamos�aa�los�
númerros�positivos�
A�la�izquierda
a�del�cero�ubicamo
os�a�los�
núm
meros�negativos�
6. Un� día,�en�la�región�Montañ
ña�del�estado
o�de�Guerrerro,�la�temperratura�ascend
dió�entre
e�la�
sallida�del�sol�y�el�mediodía..�A�la�salida�d
del�sol�se�reg
gistraban�.�¿Cuál�era� la�temperatu
ura�
al�m
mediodía?�
�
�
7. En� el�estado�de� Guerrero,�laa�temperaturra�es�de��een�la�montañ
ña�alta�y�de�
�en�la�sierra�
de�Atoyac.�Si�allguien�hubiesse�viajado�de
e�la�montaña� a�la�sierra�dee�Atoyac,�¿haabría�notado�un�
mperatura?�
asccenso�o��desccenso�de�tem
�
�
�
8. La� computadora� de� Pedrro� costó� �más� q
que� la� de� Mariana.� Si� Pedro� paag�����������
�por�su
u�computadora,�¿cuánto�ccostó�la�de�M
Mariana?�
�
El�número�de�referencia��
�
o�de�referenccia,�y�ubicam
mos�
Entoncces,�para�ubicarlos�en�la�rrecta�numérica�partimos� de�un�punto
los�núm
meros��negattivos�y�positivvos�como�se�muestra�en�lla�siguiente�ffigura:�
alge
a.m.
�
es�mayor:���o�?�_____
_�������������������������������������¿Quéé�es�mayor:�
�o�?�______�
¿Qué�e
�
algebra_FINAL17x23.pdf 23
23�
27/11/2014 10:50:56 a.m.
.m.
Subte
ema�1.4.�O
Operacione
es�con�núm
meros�ente
eros.��
Signo
os�de�agrupación�
1.4.1.�Adición�de�n
números�en
nteros�
ma�en�los�núm
meros�entero
os�tiene�vario
os�significado
os,�entre�ello
os:�añadir,�ag
gregar,�avanzzar,��
La�sum
al�igual�que�en�los�n
números�naturales.�
Veamo
os�el�siguiente�ejemplo�ussando�la�representación�een�la�recta�nu
umérica:��
Sea� �y� .��Calcula�
.�
�
�
�
A�partiir�de��se�avvanza��unidades�hacia�laa�derecha,�pu
uesto�que��tiene�signo�po
ositivo.�El�
resulta
ado�es�el�núm
mero�,�lo�q
que�algebraicamente�corrresponde�a:�
�
�
Casos�de�la�suma�de�números�enteros.�
1. Si�lo
os�dos�núme
eros�que�se�suman�son�po
ositivos,�el�
resu
ultado�es�otrro�número�po
ositivo.�
Porr�ejemplo:�
.�
Cuando� sumaas� números� con� ssignos� iguales,�
ya� sean� posittivos� o� negativoss,� el� resultado�
conserva�el�sig
gno.�
�
mas� números� con� signos�
Cuando� sum
diferentes,� ell� resultado� conserva� el� signo�
del� número� mayor� en� valor� absoluto.� En�
este�caso,�las� cantidades�se�resstan.�
2. Aná
álogamente,� cuando� los� dos� númeross� que� se� sum
man� son� negativos,�el� ressultado� es�ottro�
núm
mero�negativvo.�
�����Porr�ejemplo:�
3. En� el� caso� en� que�
q los� sum
mandos� tengaan� distinto�
no,�el�resultado�puede�ser�positivo�o�n
negativo.�
sign
Porr�ejemplo:�
�
�y� .�
�
algebra_FINAL17x23.pdf 24
VALOR�ABSO
OLUTO�DE�UN�NÚ
ÚMERO.�
Se� llama� vaalor� absoluto� de
e� un� número�
entero� al� nú
úmero� natural� q
que� resulta� de�
eliminar�el�signo�del�número�e
entero.��
do� el� número�
Y� se� repressenta� escribiend
entero�entree�dos�barras�verticcales��
�
bsoluto� de� �e
es� el� número�
El� valor� ab
natural�:�
.�
�
24�
27/11/2014 10:50:56 a.m.
27/11/2014 10:50:56 a.m.
25�
Subte
ema�1.4.�O
Operacione
es�con�núm
meros�ente
eros.��
Signo
os�de�agrupación�
algebra_FINAL17x23.pdf 25
1.4.1.�Adición�de�n
números�en
nteros�
�
ma�en�los�núm
meros�entero
os�tiene�vario
os�significado
os,�entre�ello
os:�añadir,�ag
gregar,�avanzzar,��
La�sum
al�igual�que�en�los�n
números�naturales.�
Veamo
os�el�siguiente�ejemplo�ussando�la�representación�een�la�recta�nu
umérica:��
Sea� �y� .��Calcula�
.�
�
�
A�partiir�de��se�avvanza��unidades�hacia�laa�derecha,�pu
uesto�que��tiene�signo�po
ositivo.�El�
resulta
ado�es�el�núm
mero�,�lo�q
que�algebraicamente�corrresponde�a:�
�
�
Casos�de�la�suma�de�números�enteros.�
1. Si�lo
os�dos�núme
eros�que�se�suman�son�po
ositivos,�el�
resu
ultado�es�otrro�número�po
ositivo.�
Porr�ejemplo:�
.�
Cuando� sumaas� números� con� ssignos� iguales,�
ya� sean� posittivos� o� negativoss,� el� resultado�
conserva�el�sig
gno.�
�
mas� números� con� signos�
Cuando� sum
diferentes,� ell� resultado� conserva� el� signo�
del� número� mayor� en� valor� absoluto.� En�
este�caso,�las� cantidades�se�resstan.�
�
�
2. Aná
álogamente,� cuando� los� dos� númeross� que� se� sum
man� son� negativos,�el� ressultado� es�ottro�
núm
mero�negativvo.�
�����Porr�ejemplo:�
C
C
C
C
3. En� el� caso� en� que�
q los� sum
mandos� tengaan� distinto�
no,�el�resultado�puede�ser�positivo�o�n
negativo.�
sign
�
�
�
�
Porr�ejemplo:�
VALOR�ABSO
OLUTO�DE�UN�NÚ
ÚMERO.�
Se� llama� vaalor� absoluto� de
e� un� número�
entero� al� nú
úmero� natural� q
que� resulta� de�
eliminar�el�signo�del�número�e
entero.��
do� el� número�
Y� se� repressenta� escribiend
entero�entree�dos�barras�verticcales��
�
bsoluto� de� �e
es� el� número�
El� valor� ab
natural�:�
.�
C
C
�
�
�y� .�
C�
�
�
24�
�
algebra_FINAL17x23.pdf 24
27/11/2014 10:50:56 a.m.
a.m.
�
�
Esto�se
e�expresa�asíí:� .�
La�dife
erencia�es�de��grados,�pe
ero�en�sentido�negativo,�l uego�la�variaación�es�de�
.�
�
mómetro�ha�p
pasado�de�
C�a�marcar��Celssius.�
El�term
Cambio�:�registro� .�
�
El�cambio,�por�tantto,�es�de�,�yy�como�adem
más�ha�aumen
ntado,�enton
nces�es�positivva,�luego�la�
diferen
ncia�es�de�
�Esto�se�expresa�numé
éricamente�m
mediante�unaa�resta:�
�
El�term
mómetro�ha�p
pasado�de�maarcar�C
C�a�marcar�
�Celsius.�
Cambio�:�registro� .�
�
¿Cuáles�son�los�cam
mbios�sucesivvos�que�se�haan�ido�experim
mentando?�
�
Temperatura�
Registro�
�
gistros�de�tem
mperatura�to
omados�en�una�estación�m
meteorológicca�en�un�ciertto�periodo�de
e�
Los�reg
tiempo
o�son:�
on�el�siguiente�ejemplo:�
Para�este�subtema�iniciemos�co
n�de�número
os�enteros�
1.4.2.�Sustracción
alge
.m.
Cambio�:�registro� .�
mómetro�ha�p
pasado�de�
C�a��Celsius.�
El�term
�
�
La�dife
erencia�es�de��grados�en�sentido�negaativo,�es�deciir,��
Numérricamente�se
e�expresa�así �
�
Cambio�:�registro� .�
El�term
mómetro�ha�p
pasado�de�
C�a��Celsius.�
�
�
La�dife
erencia�es�de��grados�en�sentido�negaativo:�.�
Numérricamente�se
e�expresa�así:� .�
�
Cambio�:�registro� .�
El�term
mómetro�varíía�de�C�a��Celssius.�
�
�
Es�una�variación�po
ositiva�de��grados,�es�deccir:�.�
Se�exp
presa�así:�
.�
Al� igua
al�que� en�loss� números�naaturales,� algu
unos�signific ados� de� resttar� en� los� nú
úmeros� enterros�
son�qu
uitar,�eliminarr,�retrocederr,�entre�otros.�
�
�
algebra_FINAL17x23.pdf 26
26�
27/11/2014 10:50:56 a.m.
algebra_FINAL17x23.pdf 26
27/11/2014 10:50:56 a.m.
�
26�
�
�
Al� igua
al�que� en�loss� números�naaturales,� algu
unos�signific ados� de� resttar� en� los� nú
úmeros� enterros�
son�qu
uitar,�eliminarr,�retrocederr,�entre�otros.�
�
Se�exp
presa�así:�
.�
Minuendo
�
Resultado�
�
Es�una�variación�po
ositiva�de��grados,�es�deccir:�.�
�
�
Sustrraendo
�
�
1.4.3.�Operacione
es�combinad
das�de�sumas�y�restas.�SSignos�de�agrrupación�
Las� op
peraciones� combinadas�
c
y restas� pueeden� tener� ttantos� núme
eros� como� ssea�
de� sumas� y�
posible
e.� Por� tal� razzón,� es� convveniente� agru
upar� algunass� cantidades� para� indicarr� que� éstas� sson�
consid
deradas� como� una� sola.� Los� símbolo
os� usados� p
para� este� propósito� son:� el� parénte
esis�
circula
ar�u�ordinario� ,�el�paré
éntesis�rectan
ngular�o�corcchete� �y�laas�llaves�
.����
�
Cambio�:�registro� .�
El�term
mómetro�varíía�de�C�a��Celssius.�
Ejemp
plo�
La�dife
erencia�es�de��grados�en�sentido�negaativo:�.�
Re
eglas�para�ssuprimir�los�
síímbolos�de�a
agrupación�
Numérricamente�se
e�expresa�así:� .�
�
�
1. Cua
ando�
una�
expresión� �
compuesta�de�va
arias�cantidaades�
�
está� encerrada�
e
por�
p un� símb
bolo�
��������������� �
de� agrupación� prrecedido� po
or� el�
�
signo�,�el�símb
bolo�se�suprrime�
sin� ca
ambiar� los� signos� de� las�
cantid
dades�de�la�e
expresión.�
�
El�term
mómetro�ha�p
pasado�de�
C�a��Celsius.�
�
Cambio�:�registro� .�
2. Cua
ando�
una�
expresión� �
compuesta�de�va
arias�cantidaades�
�
está� encerrada�
e
por�
p un� símb
bolo�
�
de� agrupación� prrecedido� po
or� el�
�
�
signo�,�el�símb
bolo�se�suprrime�
cambiiando�el�signo�de�cada� una�
de� las�
l
cantid
dades� de� la�
expresión.�
Numérricamente�se
e�expresa�así �
�
La�dife
erencia�es�de��grados�en�sentido�negaativo,�es�deciir,��
�
mómetro�ha�p
pasado�de�
C�a��Celsius.�
El�term
�
Cambio�:�registro� .�
alge
a.m.
estar�número
os�enteros�se
e�suma�al�min
nuendo�el�opu
uesto�del�susstraendo.��
Para�re
�
algebra_FINAL17x23.pdf 27
27�
27/11/2014 10:50:56 a.m.
.m.
3. Una� cantidad� que� esté�
e
multip
plicando� a� una� expresión�
 �
encerrrada� en� un�
u símbolo� de�
�
agrupación� multtiplica� a� cada�
c
�
una�de�las�cantidades�que�esstán�
�
o�del�símbolo.�
dentro
�
4. Cua
ando� los� símbolos� de�
agrupación� está
án� contenidos�
unos� dentro� de�
d
otros,� es�
conve
suprimirlos�
eniente�
empezando� po
or� el� o� los�
símbo
olos� que� están� más�
adentro,� sin� qu
ue� esto� qu
uiera�
decir� que� los� símbolos� no�
an�ser�suprim
midos�en�fo
orma�
pueda
distintta.���
�
  
 
 �
 �
�
�
�
�
5. En�cualquier�ca
aso,�se�agru
upan� �
los� términos� positivos� y�
uman.�
negativos,�y�se�su
�
�
eros�enteros�
1.4.4.�Multiplicaciión�de�núme
Para� multiplicar�
m
do
os� números� enteros� se� multiplican� sus� valores� absolutos;� ssi� los� númerros�
tienen�el�mismo�sig
gno,�el�producto�será�po
ositivo;�si�tien
nen�signos�d
diferentes,�el�producto�se
erá�
negativo.�
�
�����Ejem
mplos:�
�
�
�
�
�
algebra_FINAL17x23.pdf 28
�
�
28�
27/11/2014 10:50:57 a.m.
algebra_FINAL17x23.pdf 28
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�
28�
�
�
�
�
plicación�
Regla�de�los�signoss�para�multip
�
�
El�producto
o�de�dos�núm
meros�enteross�positivos�ess�otro�númerro�entero�possitivo.�
El� producto
o� de� un� núm
mero� entero� positivo� po
or� otro� negaativo� es� un� n
número� ente
ero�
negativo.�
El�producto
o�de�dos�núm
meros�enteross�negativos�ees�un�número
o�entero�posiitivo.�
�����Ejem
mplos:�
�
1.4.5.�División�de�números�en
nteros�
Para� multiplicar�
m
do
os� números� enteros� se� multiplican� sus� valores� absolutos;� ssi� los� númerros�
tienen�el�mismo�sig
gno,�el�producto�será�po
ositivo;�si�tien
nen�signos�d
diferentes,�el�producto�se
erá�
negativo.�
La�división�puede�cconsiderarse�como�la�ope
eración�inverssa�de�la�multiplicación,�ess�decir,�si�dad
dos�

�en
n��tales� que� � �y�
�entoncces� ,� sin
n� embargo,� esto� no� siem
mpre� se� pue
ede�

realiza
ar� en� los� entteros,� por� ejemplo� �no� podría�
p
realiz arse� en� los� enteros� ya� q
que� no� hay� un�
entero
o�que�al�multiiplicarlo�por��nos�de�com
mo�resultado��.��Pero�estaa�operación�sse�realiza�com
mo�
sigue:��al�dividir��p
por��obtenem
mos�como�re
esultado��y�ccomo�residuo
o�,�en�símbo
olos�  .�En�g
general,�divid
dir�un�númerro�entero�llam
mado�dividen
ndo�entre�ottro�número�e
entero�llamado�
divisorr�es�encontra
ar�un�tercer� número�ente
ero,�llamado �cociente,�dee�tal�forma�q
que�el�cocien
nte�
por�el�divisor�más�e
el�resto�sea�ig
gual�al�dividendo.�
eros�enteros�
1.4.4.�Multiplicaciión�de�núme
�
�
�
�
Simbólicamente:�
,�donde� .�
5. En�cualquier�ca
aso,�se�agru
upan� �
los� términos� positivos� y�
negativos,�y�se�su
uman.�
�� ��� ����
�
�� �����
�
�
�
����������Ejemplos:�
�
  �
��������


 ����������asíí��  �
 �
��������
����������
  
 
�
�
�
�
�
4. Cua
ando� los� símbolos� de�
agrupación� está
án� contenidos�
unos� dentro� de�
d
otros,� es�
conve
suprimirlos�
eniente�
empezando� po
or� el� o� los�
símbo
olos� que� están� más�
adentro,� sin� qu
ue� esto� qu
uiera�
decir� que� los� símbolos� no�
an�ser�suprim
midos�en�fo
orma�
pueda
distintta.���
3. Una� cantidad� que� esté�
e
multip
plicando� a� una� expresión�
 �
encerrrada� en� un�
u símbolo� de�
�
agrupación� multtiplica� a� cada�
c
�
una�de�las�cantidades�que�esstán�
�
o�del�símbolo.�
dentro
�
alge
a.m.
�
Regla�de�los�signoss�para�divisió
ón�
Si��es�positivo,�por�la�rregla�de�la�m
multiplicación
n,�el�divisor�y� el�cociente�h
han�de�tenerr�el�
mismo�sign
no.�Por�tanto:�
Si��es�p
positivo,��es�positivo.�
Si��es�n
negativo,��ess�negativo.�
Si��es� neg
gativo,� por� la�
l regla� de� multiplicació
ón,� los� facto
ores��y��tien
nen� que� ten
ner�
distinto�sig
gno.�Por�tanto
o:�
�
algebra_FINAL17x23.pdf 29
29�
27/11/2014 10:50:57 a.m.
.m.
Si��es�positivo,��es�negativo.�
Si��es�negativo,��es�positivo.�
�
Si� el� dividendo� y� el� divisor� de� una� división� de� números� enteros� tienen� el� mismo� signo,� el�
cociente�es�positivo,�y�si�el�dividendo�y�el�divisor�tienen�distinto�signo,�el�cociente�es�negativo.�
��
EJERCICIOS�PROPUESTOS��
1.
Sean� .�Apoyándote�en�la�recta�numérica,�calcula:�
a) �
b) �
c) �
d) �
�
2. Resuelve�lo�siguiente:�
a) �
b) �
c) �
d) �
e) �
f) �
�
3. Calcula�el�valor�de�cada�expresión�utilizando�la�propiedad�distributiva�de�la�multiplicación.�
a) �
b) �
�
4. Suprime�los�símbolos�de�agrupación�y�reduce�términos�semejantes�en�las�expresiones�
algebraicas�siguientes:�
a) �
b)  �
c)     �
d)     �
�
algebra_FINAL17x23.pdf 30
30�
27/11/2014 10:50:57 a.m.
algebra_FINAL17x23.pdf 31
27/11/2014 10:50:57 a.m.
31�
Si��es�positivo,��es�negativo.�
Si��es�negativo,��es�positivo.�
�
�
Si� el� dividendo� y� el� divisor� de� una� división� de� números� enteros� tienen� el� mismo� signo,� el�
cociente�es�positivo,�y�si�el�dividendo�y�el�divisor�tienen�distinto�signo,�el�cociente�es�negativo.�
Por�ejemplo:�
��
�
EJERCICIOS�PROPUESTOS��
1.
Sean� .�Apoyándote�en�la�recta�numérica,�calcula:�
a) �
Para�comprobar:�
b) �
Por�ejemplo:�
c) �
d) �
�
�
2. Resuelve�lo�siguiente:�
a) �
Puedes�comprobar�esto�resolviendo�de�la�siguiente�manera:��
b) �
Por�ejemplo:�
c) �
d) �
e) �
f) �
�
�
3. Calcula�el�valor�de�cada�expresión�utilizando�la�propiedad�distributiva�de�la�multiplicación.�
a) �
b) �
�
4. Suprime�los�símbolos�de�agrupación�y�reduce�términos�semejantes�en�las�expresiones�
algebraicas�siguientes:�
a) �
b)  �
c)     �
d)     �
30�
�
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a.m.
�
ሺെ͵ሻ ൅ Ͳ ൌ Ͳ ൅ ሺെ͵ሻ ൌ െ͵.�
El�cero�es�el�elemento�neutro:�si�ܽ ‫ א‬Ժǡ ܽ ൅ Ͳ ൌ Ͳ ൅ ܽ ൌ ܽ.�
ሺെ͸ሻ ൅ ሺെ͵ሻ ൌ െͻ.�
ሺെ͵ሻ ൅ ሺെ͸ሻ ൌ െͻ.�
ሺെ͵ሻ ൅ ሺെ͸ሻ ൌ ሺെ͸ሻ ൅ ሺെ͵ሻ.�
Conmutativa:�Si��ܽǡ ܾ ‫ א‬Ժǡ ܽ ൅ ܾ ൌ ܾ ൅ ܽ.�
ሺെͷ െ Ͷሻ ൅ ሺെ͵ሻ ൌ ሺെͻሻ ൅ ሺെ͵ሻ ൌ െͳʹ.�
െͷ ൅ ሺെͶ െ ͵ሻ ൌ െͷ ൅ ሺെ͹ሻ ൌ െͳʹ.�
െͷ ൅ ሺെͶ െ ͵ሻ ൌ ሺെͷ െ Ͷሻ ൅ ሺെ͵ሻ.�
Asociativa:�si��ܽǡ ܾǡ ܿ ‫ א‬Ժǡ ܽ ൅ ሺܾ ൅ ܿሻ ൌ ሺܽ ൅ ܾሻ ൅ ܿ.�
�
Es�cerrada:al�sumar�dos�números�enteros,�siempre�se�obtiene�un�número�entero.�
1.5.1.�Propiedades�de�la�suma�de�números�enteros�
Subtema�1.5.�Propiedades�de�las�operaciones�con�números�enteros�
ˆሻ Ͷͷ ൅ ሺെͳͺሻ ൌ
‡ሻ ሺെͻͻሻ ൅ ʹͶ ൌ
†ሻ ͸ͺ ൊ ሺെʹͳሻ ൌ
…ሻ ሺെ͵ͻሻ ൊ ͳ͵ ൌ
b) ሺെͺͺሻ ൊ ሺെ͵ʹሻ ൌ�
a) ͵ͷ ൊ ʹͻ ൌ�
5. Resuelve�lo�siguiente�
alge
.m.
entero��tien
ne�asociado� a�él�un�númeero�entero�
,�de�tal�form
ma�
Inverso�aditivo:�todo�número�e
que� .��
El�inve
erso�aditivo�d
de�un�número
o�entero�es�o
otro�número� entero,�tal�que�
sumad
do� con� él� se
e� obtiene� el� cero.� Así,� ssi��es� un� n
número� ente
ero�
cualqu
uiera,�su�inverrso�aditivo�se
e�representa� por��.�
�
emplo:��
Por�eje
.�
�es�el�opuesto�de�,�porque� �es�e
el�opuesto�de
e�,�porqu
ue� .�
�
1.5.2.�Propiedade
es�de�la�resta
a�números�e
enteros�
Es�cerrrada:�la�difere
encia�de�dos�números�enteros�es�un�n
número�entero.�
�
No�es�a
asociativa:�en�general,�si�� �
Por�eje
emplo:��
.
.
, ya que .
Por tanto: �
No�es�cconmutativa
a:�en�general,�si .
Por tanto: , ya que .
�
No�tien
ne�elemento
o�neutro:�en�g
general,�si� .�
Por�eje
emplo:�
�
�
�
Inverso�aditivo:�si�
.�
Ejemplos:�
.�
.�
.�
�
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32�
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entero��tien
ne�asociado� a�él�un�númeero�entero�
,�de�tal�form
ma�
Inverso�aditivo:�todo�número�e
que� .��
�
El�inve
erso�aditivo�d
de�un�número
o�entero�es�o
otro�número� entero,�tal�que�
sumad
do� con� él� se
e� obtiene� el� cero.� Así,� ssi��es� un� n
número� ente
ero�
cualqu
uiera,�su�inverrso�aditivo�se
e�representa� por��.�
Para�comprobar�resultados:�
�
emplo:��
Por�eje
Por�ejemplo:�
.�
�es�el�opuesto�de�,�porque� �es�e
el�opuesto�de
e�,�porqu
ue� .�
�
1.5.2.�Propiedade
es�de�la�resta
a�números�e
enteros�
Por�ejemplo:�
Es�cerrrada:�la�difere
encia�de�dos�números�enteros�es�un�n
número�entero.�
�
�
No�es�a
asociativa:�en�general,�si�� �
Por�eje
emplo:��
.
.
Para�comprobar:�
, ya que .
Por tanto: �
Por�ejemplo:��
No�es�cconmutativa
a:�en�general,�si .
�
Por tanto: , ya que .
�
No�tien
ne�elemento
o�neutro:�en�g
general,�si� .�
Por�eje
emplo:�
�
�
�
Para�comprobar:��
Por�ejemplo:��
Inverso�aditivo:�si�
.�
�
Ejemplos:�
.�
.�
.�
�
32�
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a.m.
�
.�
.�
.�
Distributiva� de� la� multiplicación� respecto� de� la� suma:� para� todo� .�������
.�
Elemento�neutro,�el�:�para�todo� .�����
Por�tanto:� �ya�que� .�
.���
.�
.���
Conmutativa:�si�para�todo� .���
Por�tanto:�
�ya�que� .�
.�
.�
.�
Asociativa:�si�para�todo� .�
Ley�de�composición�interna:�al�multiplicar�dos�números�enteros,�siempre�se�obtiene�un�número�
entero.�Simbólicamente:�si� .��
1.5.3.�Propiedades�de�la�multiplicación�de�números�enteros�
�
alge
.m.
Distributiva� de� la� multiplicación� respecto� de� la� sustracción:� para� todo� .�
Por�ejemplo:�
.�
Para�comprobar�resultados:�
.�
.�
�
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