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Elementos de Pre-Cálculo
«Material Didáctico en Validación»
Dr. Clemente Moreno
Diciembre 2015
Elementos de Pre-Cálculo
ÍNDICE
ÍNDICE.................................................................................................................................................. II
Prefacio .............................................................................................................................................. IV
PRE-TEST.............................................................................................................................................. 1
CAPÍTULO 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS .............................................................................................. 7
El Conjunto de los Números Naturales
....................................................................................... 7
Operaciones con Números Naturales ......................................................................................... 7
El Conjunto de los Números Enteros ........................................................................................... 8
Operaciones con Números Enteros............................................................................................. 9
Criterios de Divisibilidad ............................................................................................................ 12
Mínimo Común Múltiplo ........................................................................................................... 14
Máximo Común Divisor ............................................................................................................. 14
Algoritmo de Euclides................................................................................................................ 14
Actividad N0 1 ................................................................................................................................ 15
La Estrategia de Tanteo en la Solución de Problemas .............................................................. 16
Problemas resueltos con estrategia de tanteo ......................................................................... 17
Actividad N0 2 ................................................................................................................................ 19
El Conjunto de los Números Racionales
.................................................................................... 21
Operaciones con Números Racionales ...................................................................................... 22
El Conjunto de los Números Irracionales .................................................................................... 24
El Conjunto de los Números Reales ........................................................................................... 25
Axiomática en
....................................................................................................................... 25
Operatividad en
..................................................................................................................... 26
Biyección entre
y la Recta Numérica ..................................................................................... 27
Subconjuntos Infinitos en
...................................................................................................... 27
Operaciones entre Intervalos .................................................................................................... 28
Desigualdades e Inecuaciones Lineales en
........................................................................... 29
II
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
Radicación en
........................................................................................................................ 31
Actividad N0 3 ................................................................................................................................ 32
CAPÍTULO 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS ........................................................................................ 38
Operaciones con Expresiones Algebraicas .................................................................................... 38
Adición....................................................................................................................................... 38
Multiplicación. ........................................................................................................................... 38
Productos Notables. .................................................................................................................. 38
Factorización. ............................................................................................................................ 40
Simplificación de fracciones algebraicas ................................................................................... 42
Operaciones con fracciones algebraicas ................................................................................... 43
Actividad N0 4 ................................................................................................................................ 43
CAPÍTULO 3: ECUACIONES E INECUACIONES EN
........................................................................... 47
Ecuación cuadrática. ..................................................................................................................... 47
Raíces Enteras y Fraccionarias de una Ecuación Polinómica ........................................................ 49
Inecuaciones cuadráticas. ............................................................................................................. 52
Inecuaciones Polinómicas de Grado Mayor a 2 ............................................................................ 54
Inecuaciones racionales ................................................................................................................ 55
Inecuaciones Modulares ............................................................................................................... 56
Ecuaciones e inecuaciones exponenciales y logarítmicas ............................................................. 58
Actividad N0 5 ................................................................................................................................ 60
POST-TEST ......................................................................................................................................... 63
Respuestas a Pre-Test y Post-Test..................................................................................................... 71
Respuestas a las Actividades Propuestas .......................................................................................... 71
III
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
PREFACIO
La matemática es una ciencia viva que evoluciona buscando solución a los
problemas que le son propios o aquellos que le plantea el entorno. Está presente en la
mayor parte de los eventos que nos circundan, de modo que cuando se conocen
algunos de sus conceptos, principios y teorías se le encuentra en todas partes,
prestando apoyo para solventar los retos y tareas que plantea el entorno. Desde esta
óptica, es insustituible en los planes y programas de formación del profesional
universitario, especialmente de quienes eligen carrearas técnicas en áreas de
ingeniería y administración.
Sin embargo, el buen desempeño de los alumnos en la matemática que soporta
buena parte de la formación técnica universitaria, suele estar afectado, entre otras
variables, por las escasas competencias
de los participantes en el manejo de los
métodos y conceptos básicos de la matemática preuniversitaria. Este hecho, que al
juzgar por la literatura especializada, parece un problema común en muchas partes del
mundo, alcanza dimensiones desmesuradas en el contexto venezolano, incidiendo
decisivamente en las tasas de deserción y repitencia de los estudiantes en los primeros
semestres de los
estudios universitarios. A esta problemática común al ámbito
universitario, suele enfrentarse de manera situada desde la acción didáctica del aula en
sentido amplio. En atención a ello, el presente curso ofrece algunas técnicas y
elementos de pre-cálculo, tratados desde una perspectiva que propicia la evocación,
manejo y consolidación de un conjunto de ideas básicas de matemáticas elementales,
que serán centrales en la conformación de conocimientos previos para el aprendizaje
significativo de los conceptos del cálculo, el álgebra y la geometría, presentes en los
programas de matemática que enseña la universidad a fin de fomentar el desarrollo de
las competencias del perfil de sus egresados.
El curso se estructuró en tres capítulos: el primero versa sobre los diversos
conjuntos numéricos que componen al conjunto de los números reales
; el segundo,
trata el aspecto de las operaciones con expresiones algebraicas a fin de dar soporte al
problema de la factorización y simplificación; el tercero, centra su atención en la
búsqueda del conjunto solución a las ecuaciones e inecuaciones en
.
El primer capítulo, asociado a los conjuntos numéricos, contiene la construcción
del conjunto de los números reales
por deficiencia de sus subconjuntos. El desarrollo
de este apartado está encaminado a revisar el manejo operativo que se deriva del
estudio de
,
, y
, así como la aplicación de esta operatividad en la solución de
IV
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
problemas matemáticos y ámbitos afines al contexto académico de los estudiantes;
sigue con la conformación de
a partir de la unión entre
y
, esto es «
»
y la discusión de los axiomas que lo caracterizan como cuerpo ordenado y completo;
luego contempla la biyección entre
y la recta numérica para dar pie a la exploración
de los intervalos y las inecuaciones lineales; continúa con la revisión de la radicación
en
y culmina con un nutrido grupo de ejercicios y problemas con sus respectivas
respuestas, pensados y organizados para brindar al estudiante, la oportunidad de
superar las fragilidades conceptuales y operativas que aún estén presentes.
El segundo capítulo, vinculado a las expresiones algebraicas, contempla la
revisión de las operaciones entre estos objetos matemáticos como acción que
generaliza la operatividad en
, a fin de evocar y encarar el problema de la
factorización y simplificación. Concluye con el apartado de ejercicios y sus respectivas
respuestas, pensados y organizados para que el participante se reconcilie con el
manejo conceptual y operativo de esta idea básica de la matemática previa al cálculo.
El tercer capítulo, ligado a la resolución de ecuaciones e inecuaciones en
,
sintetiza en este aspecto la aplicación central del curso y busca consolidar los
esquemas conceptuales de los participantes para que enfrenten con éxito el
aprendizaje de la matemática y sus implicaciones en el contexto universitario. El grupo
de ejercicios y problemas con respuestas, dispuestos al final del apartado tienen este
propósito.
No obstante, el propósito del curso puede plantarse en terreno infértil, si los
ejercicios y problemas planteados en las actividades se realizan sin un juicioso análisis
que permita la comprensión del objeto matemático que les dio sentido. Por ello, es
preciso apertrecharse con las teorías y los procesos exhibidos en los ejemplos antes
de iniciar la búsqueda de solución a la problemática planteada en las actividades de
cierre de los capítulos.
Este curso también contiene un pre-test y un post-test. Su desempeño en el
pre-test, a corroborar mediante el contraste de sus respuestas con la clave de
corrección dispuesta al final del material, será el indicativo del esfuerzo a realizar
durante el desarrollo del curso. Del mismo modo, su desempeño al responder la
actividad de post-test, colocado al final del material, le indicará el aprovechamiento del
curso y el posible éxito en el futuro estudio de la matemática en el contexto
universitario.
V
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
PRE-TEST
Tiempo. 1 hora con 30 minutos
INSTRUCCIONES
A continuación hay un conjunto de interrogantes, cada una con cuatro respuestas
probables pero sólo una es correcta, selecciónela encerrando en un círculo la letra que
se corresponda con ésta. Si es necesario, efectué cálculos antes de emitir respuesta.
1. El número
también se escribe como:
a)
b)
c)
d)
2. La expresión
equivale a:
a)
b)
c)
d)
3. Si
entonces
es igual a:
a)
b)
c)
d)
1
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Elementos de Pre-Cálculo
4. Si la suma de una fracción y su inversa es igual a
igual a
a)
y
b)
y
c)
y
d)
y
5. Si el
y la diferencia de ambas es
, entonces la fracciones son:
de
es igual al
de
, entonces el valor de
es:
a)
b)
c)
d)
6. Si
y
a)
y
b)
y
, entonces
c)
d)
7. El valor de
2[( ) ] 3
(
) es:
a)
b)
( )
c)
d)
( )
2
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
8. Si
√
y
entonces el valor de
es:
a)
b)
c)
d)
9. Si
y
entonces « » es igual a:
a)
b)
c)
d)
10. Al simplificar la expresión
(
) (
) (
)
(
) se obtiene:
a)
b)
c)
d)
11. La expresión
es igual a:
a)
b)
c)
d)
3
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
12. Los valores de « » que satisface la identidad
a)
y
b)
y
c)
y
d)
y
son:
13. Un número es el triple de otro y la diferencia de sus cuadrados es
. ¿Cuáles son
los números?
a)
y
b)
y
c)
y
d)
y
14. La expresión
también se escribe como:
a)
b)
c)
d)
15. Para
el cociente
es equivalente a:
a)
b)
c)
d)
4
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Elementos de Pre-Cálculo
(
16. Si
)
(
)y
,
- entonces
es el
intervalo
a)
b)
(
c)
*
d)
*
)
(
)
(
)
+
+
17. ¿Para cuáles valores de « » se cumple la desigualdad
?
a)
b)
c)
d)
18. El conjunto solución de la desigualdad
|
|
es:
a)
b)
(
,
c)
d)
)
(
-
)
19. La solución a la inecuación
(
)
es el intervalo
a)
b)
c)
d)
5
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
20. El valor de « » que hace cierta la igualdad
es:
a)
b)
c)
d)
6
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
CAPÍTULO 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS
El Conjunto de los Números Naturales
Para una aproximación intuitiva al conjunto
a. Este conjunto
se puede considerar que:
tiene por elementos a los números que utilizamos para contar a
los cuales se denominan «números naturales».
b. Que existe un objeto matemático llamado cero indicado con el símbolo « », y
c. Que se da una relación en
mediante la frase «es siguiente de»
Bajo estas premisas los números naturales se consideran como el conjunto
que
satisface las condiciones siguientes:
a.
pertenece a
b. Si
»
, en símbolos «
pertenece a
,«
» su siguiente «
» pertenece a
,«
De este modo, todos los números naturales pertenecen al conjunto
»
el cual
mediante un «abuso de notación» se acostumbra a indicar por:
{
}
Tal sucesión de números naturales suele representarse mediante puntos distantes,
una unidad entre sí. Los cuales se disponen en forma lineal, como ilustra la figura.
.
1
.
2
.
3
.
4
.
5
.
6
En esta secuencia, dados dos naturales
.
7
y
.
8
.
9
.
, estos siempre pueden compararse,
es decir, entre ellos se cumple una y sólo una de las relaciones siguientes:
o bien
o bien
Operaciones con Números Naturales
Adición. Si
y
son naturales, existe un único número
Los números naturales
Ejemplo. Los números
y
llamado suma, tal que:
corresponden a los «términos» de la suma « ».
y
son los términos de la suma
con
7
Dr. Clemente Moreno
,
Elementos de Pre-Cálculo
Nota 1. La diferencia
donde
una operación no cerrada en
pues los números
mismo que su diferencia
sentido en
, con
,
y
y
números naturales, es
son números naturales, lo
ya que
; pero
pues no existe un número natural que sumado a
Multiplicación. Para cada
y
en
carece de
sea igual a
existe un único número « » en
.
llamado
producto, tal que:
Los números naturales
y
Ejemplo. Los números
corresponden a los «factores» del producto « ».
y
son los factores del producto
,
donde
Nota 2. La división
donde
con
,
y
números naturales,
no
siempre es un número natural.
Ejemplo. Los números
que
y
son de
, mientras que
lo mismo que su división
carece de sentido en
número natural que multiplicado por
sea igual a
ya
, pues no existe un
.
La deficiencia señalada en la primera nota, conduce a la ampliación del conjunto
de los números naturales hasta un nuevo conjunto, donde la diferencia entre los
números « » y « » siempre sea posible. Para ello, a cada número natural « » se le
» ampliando la operación suma mediante «la propiedad del
agrega su opuesto «
número opuesto» es decir:
para todo número « ».
Ejemplo. La diferencia
tiene como resultado
ahora es posible, pues
, al sumar 6 se
. Con esta
0 , esto es
ampliación se obtiene al conjunto
El Conjunto de los Números Enteros
{
}
Cuando
se define
{
}
Cuando
se define
{
}
Cuando
se define
{
}
Luego,
{
}
8
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Elementos de Pre-Cálculo
Al igual que
el conjunto de los números enteros
se representa mediante
puntos distantes, una unidad entre sí, dispuestos en forma lineal, como en la figura.
.
.
-7
.
-6
Nota 3. En
.
-5
.
-4
.
-3
.
-2
.
-1
.
1
.
0
.
3
.
2
se define el valor absoluto del entero
.
4
.
5
.
6
.
.
7
« » denotado | |, al número que
se calcula mediante la regla
| |
Ejemplo.
; |
| |
|
y
,
| |
Desde el punto de vista geométrico, el valor absoluto del número entero
interpreta como la distancia existente entre el origen
Ejemplo.
| |
mismo modo
y el número
, indica que la distancia entre el entero
|
|
« ».
y el entero
, señala que la distancia entre el entero
« » se
es
y el entero
, del
es
.
Operaciones con Números Enteros
Adición. Al igual que en
si
y
son números enteros, entonces existe un único
entero « » llamado suma, tal que:
En esta operación « » puede ser positivo, negativo o nulo. En la determinación del
signo de « » se presentan los siguientes casos:
a. Si
y
entonces
Ejemplo.
y
, pero si
son
y
se tiene
.
los términos de la suma
, de igual modo
y
,
con
son términos de la suma
, donde
b. Si
y
o
y
, es decir
y
tienen signos diferentes,
entonces el signo de « » será el signo del término mayor en valor absoluto.
y
Ejemplo.
ya que
|
|
tienen distinto signo, luego su suma
| |; mientras que
ya que
| |
|
|
Lo expresado en los incisos (a) y (b) se resume indicando que: «la suma de dos
enteros con igual signo, es otro entero con el mismo signo de los sumandos; mientras
9
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
que la suma de dos enteros con diferente signo, es la diferencia entre los términos de
la suma donde prevalece el signo del término mayor en valor absoluto».
, entre los enteros
Nota 4. La diferencia
es una operación cerrada en
Ejemplo.
es un entero.
y
; asimismo
si
y
son números enteros, su producto « » es
un número entero único, de la forma
a. Positivo, si los factores
y
, el cual será:
son del mismo signo, es decir
. En particular,
y
; de igual modo
factores «con igual signo» del producto
b. Negativo, si los factores
.
y
y
y
y
signo» del producto
son los
, donde
.
son de signo diferente, es decir
Así,
o
conforman los factores «con igual signo»
, donde
del producto
y
ya que
.
Multiplicación. Al igual que en
y
,
definida por la expresión
ya que
pues
y
y
y
o bien
conforman los factores «con distinto
, con
, asimismo
los factores «con distinto signo» del producto
y
, con
son
.
Lo expresado en los incisos (a) y (b) se resume indicando que: «el producto de
dos enteros con igual signo, es otro entero con signo positivo; mientras que el
producto de dos enteros con distinto signo, es otro entero con signo negativo».
Nota 5. Al producto del entero « » «n-veces» por sí mismo, es decir
se llama potenciación en
impar
. En
Cuando
se tiene que para
y « » es par
,
Ejemplo
a. Si
,
no está definido.
.
sin importar que « » sea par o impar.
la potenciación verifica las propiedades siguientes:
,
Ejemplo para
b. Si
mientras que
pero
Cuando
En
, peros si « » es
,
y
,
y
entonces
y
.
se tiene
con
entonces
10
.
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
Ejemplo para
,
,
c. Si
,
Ejemplo, para
d. Si
,
,
y
Ejemplo. Si
y
donde
o
y
y
se tiene
, se tiene
entonces
entonces
,
Nota 6. Al igual que en
si
.
es [
y
y
]
son números enteros, entonces
, no siempre es un entero. Pero si
bien «
divida a
es divisible por
» y se escribe
se escribe
.
« » divide a « » o
se dice que
| . Así, |
debido a que
| | «cuando
donde
donde
,
; si
divide a
no
».
Lo esgrimido habla de la prioridad operativa en la ejecución de operaciones. Así,
{
[
]
}
{
[
{
[
{
[
{
[
}
]
]
]
{
,
,
[ (
)]
[
(
[ (
)]
-
}
}
)]
[
,
(
)]
-
se tiene:
-
{
}
{
}
{
}
{
{
}
}
{
Ejemplo 2. Al operar la expresión
}
}
}
11
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
Nota 7. Un número entero « » es primo, si
y sus únicos divisores son
y
.
De acuerdo con esto, para averiguar si un número entero es primo se divide
sucesivamente por los números primos
,
,
,…
hasta obtener un cociente natural
menor o igual que el primo que se ensaya. Si el cociente no es exacto, el número es
primo.
Ejemplo.
23
1
luego
es un número primo, pues
2
11
23
2
3
7
23
3
; y en las divisiones sucesivas, se tiene:
5
4
y 5 no es un divisor de
,
es un entero primo.
Los números enteros que no son primos, son números compuestos. Estos se
caracterizan por escribirse como el producto de sus factores primos. Así,
es un
número compuesto, debido a que
Criterios de Divisibilidad
a. Un número se divide entre
Ejemplo. El número
, si su última cifra es un número par o cero.
es divisible por
b. Un número se divide entre
Ejemplo. El número
ya que
, si la suma de sus cifras es un número múltiplo de
es divisible por
.
, debido a que
y
c. Un número se divide entre
Ejemplo. El número
, si su última cifra es cero o cinco.
es divisible por
d. Un número se divide entre
, ya que
, si separada la primera cifra de la derecha,
multiplicada y restado este producto de lo que queda a la izquierda hasta la última
cifra da cero o múltiplo de
Ejemplo. Los números
.
y
son divisibles por
12
, debido a que:
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
Para investigar si un número se divide entre
,
o
se sigue un proceso
análogo, excepto que para el criterio de divisibilidad entre 13, 17 o 19 al separar la
cifra de la derecha se multiplica por 9, 5 o 17 respectivamente. En particular, se tiene:
divide a
divide a
e. Un número se divide entre
divide a
, si la suma de sus cifras que ocupan los lugares
pares menos la suma de las cifras que ocupan los lugares impares es igual a cero.
Ejemplo. El número
es divisible por
, ya que
.
Estos criterios de divisibilidad son útiles al momento de descomponer un número
compuesto en sus factores primos. Así, al descomponer el número
se tiene:
Luego
El número de divisores de un entero positivo se determina por el producto de cada
uno de los exponentes de los factores aumentado en
. Así, el número de divisores de
es
Para obtener los divisores, al lado de 1 se escribe el primo más pequeño y sus
potencias en la primera fila de una matriz y en la primera columna después de
se
colocan en orden creciente los otros factores primos junto a sus potencias y sus
productos hasta que se agoten los factores. Para el entero
13
se tiene:
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
Mínimo Común Múltiplo. Al entero positivo que es múltiplo de una serie de enteros
positivos se le denomina común múltiplo. Si existen varios múltiplos, al más pequeño
de ellos se llama «mínimo común múltiplo». Ejemplo, cada número entero del conjunto
{
} es múltiplo de
y
. Como el entero
es el menor de
todos los números del conjunto, entonces el
Máximo Común Divisor. Un número entero que es divisor de cada uno de los
números enteros dados se llama divisor común de esos números. En caso de que
existan varios divisores comunes al más grande de ellos se le denomina máximo
común divisor. Ejemplo, en el conjunto
{
} los divisores de
,
y
son:
Luego el
Algoritmo de Euclides. Para determinar el
entre dos números naturales
y
,
mediante el algoritmo de Euclides, se divide el número mayor entre el número menor.
Si esta división es exacta, entonces el número menor es el máximo común divisor.
Ejemplo, en la determinación del
se tiene:
41580 630
3780 66
000
Luego el
Si la división no es exacta, lo que en esta era divisor se divide entre el primer
resto, el cual será el dividendo para el segundo resto, y así hasta que el resto sea cero.
Este último divisor es el máximo común divisor. Así, en el
se procede como se indica:
1176604
496584
183436
22264
3872
2
9196
2
496584
129712
9196
1452
183436
2
3872
2
183436
53724
3872
968
129712
1
1452
2
129712
22264
1452
482
53724
2
53724
9196
22264
2
968
968
482
1
000
2
Luego el
14
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
En la práctica, para determinar el «
y el
entre varios números, se
procede a descomponer los números en sus factores primos. Para hallar el
de
estos, se toma el producto de sus factores comunes o no con su mayor exponente y
para el
, el producto de estos factores comunes con su menor exponente.
Ejemplo, para hallar el
y el
Siendo
entre
,
y
, se tiene:
entonces
Actividad N0 1
Resuelva los ejercicios siguientes teniendo en cuenta la prioridad de operaciones
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. (
)
[
]
(
]
[
9.
]
[
{
10.
8.
)
{
[
]
[
}
]
[
(
)]
}
11.
12. Si
entonces a)
y b)
equivalen a:
13. ¿Qué número entero representa la expresión *
14. Si
,
y
(
)+
si
¿Qué número representa el cociente
y
?
?
15. ¿Cuál es el valor de « » que hace ciertas las siguientes identidades? e indique
además si
o
15
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
[
]
16. ¿Cuáles de los siguientes números son primos?
a)
; b)
; c)
; d)
; e)
; f)
; g)
; h)
; i)
; j)
;
17. ¿Cuáles son los divisores de los números siguientes?
a)
; b)
; c)
; d)
; e)
; f)
; g)
; h)
;
18. Escriba los enteros siguientes como producto de sus factores primos
a)
; b)
; d) [
; c)
) y mínimo común múltiplo (
19. Halle el máximo común divisor (
a) (
,
,
); b) (
,
,
); c) (
] ; e);
,
,
); d) (
,
,
); e) ( ,
) en:
,
,
);
La Estrategia de Tanteo en la Solución de Problemas.
En
se puede encontrar solución a una gran variedad de problemas relacionados
con el entorno académico y profesional del estudiante. Con el propósito de brindar
herramientas para darle solución a éstos, se propone la estrategia de tanteo a fin de
contribuir con la traducción algebraica dada en el problema planteado.
Ejemplos sobre traducción al lenguaje algebraico:
Ejemplo 1
Procedimiento
Descripción algebraica
Dado un número, hacer
Sea
1) Multiplicar el número dado por
3)
1) Dividir el número dado entre
2)
2) Restar lo obtenido en (2) de lo obtenido en (1)
16
el número dado
3) Modelo algebraico
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
Ejemplo 2
Procedimiento
Descripción algebraica
Dado un número diferente de cero, hacer
Sea x el número y
1) Elevar al cubo el número dado
1)
2) Dividir este resultado entre
2)
3) Inverso del número dado
4) Multiplicar por
x0
3)
el resultado de
5) Sumar lo obtenido en (4) al resultado de (2)
4)
( )
5) Modelo algebraico
( )
Ejemplo 3
Procedimiento
Descripción algebraica
Dado un número diferente de , hacer
Sea
1) Multiplicar por 3 el número dado
1)
2) A este resultado restarle
2)
3) Inverso de lo obtenido en
4) Multiplicar por
el número y
3)
el número dado
4)
5) Al número dado restarle
6) Dividir el resultado de (4) entre el resultado
5)
6)
de (5)
7) Restar lo obtenido en (6) de lo obtenido en (3)
7) Modelo Algebraico
Problemas resueltos con estrategia de tanteo:
Ejemplo 1. A la pregunta, ¿cuántos libros tiene el estante?, el individuo responde: «si
tuviera el doble de lo que tengo, más la mitad de lo que tengo, y además siete, tendría
treinta y dos libros» ¿Cuántos libros cree que tiene el estante?
Tanteo
Procedimiento
Descripción algebraica
Dado el N0 6 hacer
Dado un número, hacer
Sea
1) 2 . (6)
1) Multipl. por
1)
2)
2) Dividir entre
3)
el número dado
el número dado
3) Sumar el resultado de (1) y (2)
mas
17
el número dado
2)
3)
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
4)
4) Igualar a
?
Si
resultado de (3)
, entonces
o bien
Ejemplo 2. Una persona tiene
¿Cuántos billetes de Bs.
4)
bolívares en
, luego
billetes de
Procedimiento
0
Dado el N 30, hacer
Descripción algebraica
Dado un número, hacer
Sea
1) Restar número dado de
1)
billetes de Bs.50)
2) Multipl. por
2)
2)
3) Mult.
3)
4)Sumar resultado de (2) y (3)
4)
4)
5) Igualar a
5)
1)
(N
bolívares.
tiene?
Tanteo
0
y
.
de
número dado
el resultado de (1)
resultado (4)
el número dado
3)
?
5)
Si
, entonces
es el número de billetes de Bs.
, es decir
Ejemplo 3. Un padre tiene
años y su hijo
o también
.
. ¿Dentro de cuántos años será la edad
del padre el doble de la edad del hijo?
Tanteo
Procedimiento
Descripción
algebraica
Dado un número, hacer
Sea
1)
1) Aumentar en
el número dado
1)
2)
2) Aumentar en
el número dado
2)
3)
3) Multipl. por
resultado de (2)
3)
4)
4) Igualar resultados de (1) y (3)
4)
Dado el N0
, hacer
Siendo
, entonces
Ejemplo 4. En una granja hay
los animales suman
luego
el número dado
.
animales entre pollos y chivos. El total de patas de
. Si los animales son sanos. ¿Cuántos chivos hay en la granja?
18
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
Tanteo
Procedimiento
Descripción
algebraica
Dado el N0 80, hacer
Dado un número, hacer
Sea
1) Restar el número dado de
1)
de pollos)
2) Multiplicar por
2)
2)
3) Multipl. por
3)
4) Sumar lo obtenido en (2) y (
4)
5) Igualar
5)
(N0
1)
4)
el número dado
resultado de ( )
al resultado de ( )
5)
Siendo
de chivos que hay en la granja.
, entonces
el número dado
3)
, luego
es el número
Actividad N0 2
I. Resuelva cada uno de los planteamientos siguientes:
1.
¿Cuál es el número que multiplicado por 7 y disminuido en 6 da por resultado 29?
2.
Si José tiene tres hermanas y cada hermana tiene un hermano, ¿Cuántos
hermanos y hermanas son en total?
3.
Un tanque puede almacenar 800 litros de agua; un grifo que vierte 10 litros por
minuto ha estado abierto durante una hora, y otro que vierte 20 litros por minuto
ha estado abierto por 5 minutos. ¿Cuántos litros de agua faltan para llenar el
tanque?
4.
Si el número 80 se divide en dos partes, de modo que la parte menor es la tercera
parte de la mayor, entonces el número menor es:
5.
La suma de dos números es 240 y su diferencia es 116. ¿Cuáles son los números?
6.
La suma del triple de un número con el duplo de otro es 142 y la suma de sus
mitades es 25. ¿Cuáles son los números?
7.
En una jaula hay 58 animales entre conejos y gallinas, si todos son sanos y hay
180 patas. ¿Cuántos conejos hay en la jaula?
8.
En su finca, Pedro tiene aves y caballos, si en total tiene 43 animales y 120 patas.
¿Cuántas aves hay en la finca?
9.
A la pregunta ¿Cuántas gallinas y cerdos tienes? El granjero contesto, tengo 30
cabezas y 100 patas, calcule usted cuantas gallinas y cerdos tengo.
10. El menor de 5 hermanos tiene 21 años y cada uno de los otros le lleva tres años al
que le sigue. ¿Cuántos años suman las edades?
19
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
11. Tres amigos tienen 46, 18 y 17 años de edad respectivamente. Cuanto tiempo ha
de transcurrir para que la suma de las edades de los más jóvenes sea igual a la
edad del mayor.
12. En 5 años, la edad de Jesús será el doble de la edad que tenía hace 6 años. En la
actualidad, cuántos años tiene Jesús?
13. La edad de « » es la mitad de la edad de « »; la edad de « » es el triple de la
edad de « » y la de « » el doble de la de « ». Si las cuatro edades suman 132
años. ¿Qué edad tiene cada uno?
14. Un ganadero ha comprado doble número de vacas que de toros. Por cada vaca
pago 70$ (dólares) y por cada toro 85 $. Si el importe de la compra fue de 2700
dólares. ¿Cuántas vacas y toros compro el ganadero?
15. Un estudiante compro triple número de lápices que de cuadernos. Cada lápiz le
costó Bs 5 y cada cuaderno Bs 6. Si en total pago Bs 147. ¿Cuántos lápices y
cuadernos compro?
16. El triple de un número es aumentado en tres, su resultado dividido entre tres y
luego disminuido en tres para obtener tres, entonces este número es:
17. Cuál ha de ser la menor longitud en metros lineales que debe tener un rollo de
tela, que desea cortarse exactamente en pedazos iguales de 12, 15 y 20 metros.
18. Seis hombres que trabajan simultáneamente, limpian un campo en 8horas
¿Cuántas horas tardaran cuatro de esos hombres en realizar el mismo trabajo?
19. La edad de un padre es cuatro veces la edad del hijo y en cinco años será su
triple, entonces la edad del hijo es:
20. Se tienen tres cajas que contienen 160Kg, 200Kg y 320Kg de un material. El
material está dividido en bloques del mismo peso y el mayor posible. ¿Cuántos
bloques de ese material hay en total?
21. Cuando un pelotón de soldados se forma en filas de 2, de 3 o de 4 soldados, queda
un hueco en la última fila. Sin embargo, cuando se forman en filas de 5 no quedan
huecos. ¿Cuántos soldados hay en el pelotón?
22. Un trabajador recibe un 20% de incremento en su sueldo mensual pero el
sindicato le descuenta 5%, luego el incremento mensual fue de:
20
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
El Conjunto de los Números Racionales
De acuerdo con la «nota N0 6», si
donde
y
son números enteros, la división
, no siempre es un número entero. Esta imposibilidad conduce a ampliar
el conjunto de los números enteros, a fin de que la división por un divisor no nulo, sea
siempre posible; para ello, al entero
se le agrega su inverso « », ampliando el
producto, mediante la propiedad del número inverso, es decir
Ejemplo. La operación
y
es ahora posible, debido a que
.
, lo cual se
denota por
Con esta ampliación se obtiene el conjunto de los números racionales
{
Si
entonces
,
,
entonces
unidad, si
Ejemplo. Los números
,
, es decir
y
entonces
Ejemplo. Los racionales
son fracciones propias.
es el racional nulo, si
es múltiplo de
Si
}
es un racional propio.
Ejemplo. Los racionales
Si
, es decir:
el racional
, entonces
corresponden a los enteros
es la fracción
es el entero
y
.
respectivamente.
es un racional impropio.
,
,
son fracciones impropias o mixtas. Estos números
pueden escribirse como la suma de un entero y una fracción propia, así
igual modo
; y
; de
.
Esta clasificación es de utilidad al momento de ubicar a los números racionales en
la secuencia de puntos alineados. En esta tarea se sugiere representar primero a los
enteros y, después de identificar el tipo de fracción, se le asigna el punto que le
corresponde en el espacio comprendido entre los enteros. La figura ilustra esta tarea.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
3
1
1
0
1
1
3
2
2
2
2
21
.
2
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
Intuitivamente, en cualquier segmento de esta secuencia de puntos, por pequeño
que sea, hay infinitos puntos que pueden asociarse a números racionales, es decir,
puntos que se acumulan en todas partes, caracterizando a
como conjunto denso,
por ello, todas las magnitudes medibles tanto en la vida cotidiana como en la ciencia
aplicada, pueden expresarse con buena aproximación mediante números racionales.
Comentario.
Entre las fracciones, es de particular importancia, la que divide a la unidad en cien
partes iguales, esta se conoce como el tanto por ciento de un número y se denota con
el símbolo
En particular, la fracción
equivale a
.
El porcentaje de un número, es el producto de dicho número por la fracción que
indica el porcentaje.
Ejemplo. El
de
En general, el
es
.
de un número
mientras que el aumento o disminución
las expresiones
se calcula con la identidad
en términos de porcentaje se determina con
y
es el punto inicial,
;
respectivamente. Aquí
el nuevo precio y
el porcentaje de aumento o disminución
según sea el caso.
Ejemplo. Un artículo que costaba
ahora cuesta
, debido a la devaluación de la moneda
. Cuál es el porcentaje de aumento que corresponde a dicha
devaluación.
Solución. Siendo
entonces
luego
,
. En consecuencia
es el porcentaje de aumento.
Operaciones con Números Racionales
Adición. Si
número
con
y
con
son números racionales, entonces el
también es un racional.
Ejemplo. La suma entre los racionales
y
es,
Sustracción. Sustraer o restar a un número racional
con
, no es más que sumar al racional
22
con
el opuesto de
, otro racional
, que es (
), es decir:
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
(
).
Ejemplo. Al restar
de
Multiplicación. Sí
(
se tiene
y
con
y
es otro racional con signo
o
)
son números racionales, su producto
, según que los factores tengan el mismo o
diferente signo.
Ejemplo. El producto entre
los factores está en
y
, digamos
(
es
) entonces
pero si uno de
(
)
.
Nota 8. Como ocurre en
, al producto del racional
mismo, esto es
( ) se le denomina potenciación en .
. . …
Ejemplo. La cuarta potencia de
Ejemplo.
( )
[( ) (
División. Si
( )
(
) ]
,
con
(
)
) (
)
,
veces» por sí
se extienden de manera natural a la
. Además, se verifica que
[( ) ]
«
( )
se escribe
Las propiedades de la potenciación en
potenciación en
con
( )
( )
( )
( )
( )
y
( )
para cada
y
.
( )
( )
son números racionales, su cociente
es otro número racional, ajustado a la regla de los signos del producto.
Ejemplo. El cociente entre los racionales
Nota 9. Aun cuando
y
es el racional
es denso, los números racionales no agotan la secuencia de
puntos que conforman la recta numérica que se ha venido construyendo. Así, en el
racional
al efectuar la división de
entre
en el sistema decimal pude aparecer:
(a) Una expresión decimal exacta, ejemplo
23
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
(b) Una expresión decimal pura, ejemplo
(c) Una expresión decimal periódica mixta, ejemplo
De manera inversa, dada una expresión decimal exacta o una expresión decimal
periódica se le puede hacer corresponder un número de la forma . Ejemplos:
(a) al decimal
(b)
se asocia el racional , es decir,
equivale a
Así
(c)
̂ o bien
esto es
es decir
̂ ; si
. En efecto,
̂ , es decir
equivale a
.
o bien
̂ . Pero
, con
, luego
o bien
̂
, luego
̂ ; si
En efecto
. Luego
̂ entonces
̂ implica
implica
,
.
No obstante, expresiones decimales como
√
;
;
; √ =1,732050807…;
;
donde no se
observa un período y por ello no es posible asociarles un número de la forma
, es
decir números no racionales, a los cuales se les llama irracionales debido a la
imposibilidad de representarlos como la «razón» de dos enteros, complementan a
.
El Conjunto de los Números Irracionales
Se llama así al conjunto que contiene todas las expresiones decimales infinitas «es
decir, con infinitas cifras» no periódicas
{
}
Estos números completan los puntos que hacen falta a la secuencia de puntos que
se viene construyendo hasta conformar una recta continúa, es decir, que entre el
conjunto de los números racionales
junto con el conjunto de los irracionales , se
establece una biyección entre estos dos tipos de números y los puntos de la recta.
Para representar, por ejemplo al irracional
√ en la recta, se hace coincidir el vértice
24
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
de uno de los lados de longitud
de un triángulo isorectángulo con el origen
de la
recta y luego con la abertura del compás igual a la longitud de la hipotenusa se lleva
sobre la recta, tal como se indica en la figura.
2
3
1
Debido a la densidad de
0
1
2
3
2
, en la práctica, los números irracionales se grafican y
expresan con la aproximación que se quiera través de números racionales. Así, el
irracional
√
de infinitas cifras decimales, se puede aproximar mediante racionales
expresados por decimales finitos, como
;
;
;
;….
El Conjunto de los Números Reales
Siendo
entonces
, pero
luego los números reales
comprenden tanto a los números racionales como a los números irracionales. En
se
define las operaciones de adición y multiplicación con la axiomática siguiente:
Axiomática en
Axiomas de la Adición
1.
2.
y
,
,
3.
4.
«la adición es conmutativa»
,
«la adición es asociativa»
,
tal que
«
,
,
«
es el elemento neutro»
es el opuesto de
»
Axiomas de la Multiplicación
1.
y
«la multiplicación es conmutativa»
,
«la multiplicación es asociativa»
2.
,
y
3.
tal que
« es el elemento neutro»
4.
y
«
25
es el inverso de
»
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
Axioma de Distributividad
1.
,
y
,
Axiomas de Orden
2.
y
, se cumple una y solo una de las relaciones siguientes:
o
3.
Si
4.
o
y
«Propiedad de tricotomía de los números reales»
, con
Para todo
y
y
, entonces
,
y
si y sólo si
Operatividad en
1. La operatividad en
no ajustada a la normativa expresada en los axiomas de este
conjunto lleva a conclusiones erróneas. Así, el clásico ejemplo de probar que
0 1,
pretende alertar al estudiante de razonamientos que lucen correctos cuando en
realidad son incorrectos.
{
}
{
}
{
}
2. Los axiomas de la suma, el producto, la distributividad y el orden, caracterizan a
como un cuerpo ordenado y completo, donde puede operarse sin restricciones,
obviando mencionar la propiedad o propiedades que se aplican cuando se ejecuta la
operación.
Ejemplo. El número que resulta al operar
(
)
̂(
(
)
(
)
)
(
(
(
)
)
̂(
(
)
)
1 es:
)
)
(
(
(
0
)
)
26
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
Biyección entre
y la Recta Numérica
Cada número real se asocia a uno y sólo un punto de la recta numérica, con lo
que se establece una biyección entre los puntos de esta recta y el conjunto de los
números reales
. Esta biyección se representa ubicando el número real «cero» en el
centro de la recta, luego se ubica a los enteros, seguidos de los racionales e
irracionales, mediante los procesos esgrimidos en el estudio de estos conjuntos, hasta
lograr la ubicación de la muestra de números reales que se desee representar. La
figura ilustra este proceso
3
2
1 2
0 1
3
2
3
2
1
3
2
Subconjuntos Infinitos en
Los subconjuntos infinitos de
se denominan intervalos y corresponden a
espacios métricos comprendidos entre dos valores
reales, con
las siguientes
especificaciones:
a. Los números reales
. La figura exhibe su representación grafica
0
b. Los números reales negativos
{ }
, si se incluye a cero se escribe
]. Su representación gráfica se muestra en la figura
0
c. Los números reales positivos
{ }
, si estos incluyen a cero se tiene
]. Su representación gráfica se exhibe en la figura
0
27
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
d. Los números reales excluyendo a cero
. La representación
gráfica se muestra en la figura
∘
0
e. Intervalo cerrado [
]
}. Su representación gráfica es:
{
[
]
𝑎
f. Intervalo abierto
{
𝑏
} La representación gráfica es:
⁄
𝑎
g. Intervalo semi-cerrado [
𝑏
{
[
𝑎
h. Intervalo semi-abierto
]
𝑏
{
}. La representación gráfica es:
⁄
]
𝑎
i. Intervalo a menos infinito
}. La figura muestra su gráfica
⁄
𝑏
]
}. Su representación gráfica es:
{
]
𝑎
j. Intervalo al más infinito [
}. La representación gráfica es:
{
[
𝑎
Operaciones entre Intervalos
Los intervalos pueden operarse mediante la unión y la intersección de conjuntos.
Así, si
y
son intervalos, su «unión»
es un nuevo intervalo conformado por la
parte común y no común de los dos intervalos, mientras que la «intersección»
el intervalo conformado por la parte común entre
Ejemplo. Si
se tiene
[
o
[
{
y
.
}y
⁄
]
o bien
28
es
]
{
{
}
⁄
⁄
},
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
su representación gráfica es intervalo coloreado en rojo, exhibido en la figura
7
6
5 4
3
2
1
[
Mientras que
0
[
2
1
]
]
3
4
5
] o bien
{
},
⁄
su representación gráfica es el intervalo coloreado en rojo, mostrado en la figura
7 6
5 4
3 2 1
0
1
[
]
2
3
5
4
Desigualdades e Inecuaciones Lineales en
Los axiomas de orden derivan las siguientes propiedades de las desigualdades:
a. Transitiva. Si
En efecto,
y
y
esto es
Ejemplo. Para
y
b. Adición. Para
y
se tiene
,
luego
.
y
y
.
. Si
implica
esto es
Ejemplo. Para
.
implica
o bien
En efecto,
entonces
entonces
.
luego
o bien
.
y
c. Producto, para
se tiene
,
o bien
y
entonces
«la desigualdad permanece», mientras que
.
y
y
implica
implica
«la
desigualdad cambia de sentido»
Ejemplo. Para
para
y
, se tiene
se tiene
o bien
o bien
; mientras que
.
Cuando los miembros de una desigualdad contiene variables, ésta compone una
inecuación, la solución a este objeto matemático es un intervalo de números reales.
Las inecuaciones de la forma
o reducibles a ella son inecuaciones lineales
en una variable. Su conjunto solución se halla aplicando las propiedades de las
desigualdades.
Ejemplo. Al hallar el conjunto solución de
, se tiene que:
«carácter aditivo, propiedad b»
implica
29
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
«ejecutando operaciones»
o su equivalente
Pero
( )
implica
Así,
«carácter multiplicativo, propiedad c»
( )
, luego
implica
(
+
⁄
,
-, su
representación gráfica se muestra en la figura
]
1
1 0
1
3
Ejemplo 2. Al hallar el conjunto solución de
se tiene que:
implica
o también
«propiedad b»
«ejecutando operaciones»
Pero
(
implica
esto es
)
(
) «propiedad b»
«ejecutando operaciones»
Ahora bien
Así
implica
*
, luego
( )
( )
) o bien
«propiedad c»
,
-, la figura adjunta
muestra su representación gráfica
1
[
0 13
1
55
En la práctica se omite explicitar las operaciones y propiedades que se aplican en
la búsqueda del conjunto solución. En su lugar, se movilizan términos y factores como
si se fuese una ecuación.
Ejemplo. En
̂
se tiene:
̂
o bien
30
[
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
Nota. Sobre el tema de las inecuaciones se volverá una vez estudiado el apartado
correspondiente a las expresiones algebraicas.
Radicación en
Si
por
y
√
es un número natural, entonces la raíz
es un número real « » si « » es la potencia
√
siempre que
√
modo,
-ésima de « ». En símbolos
√
. En particular,
» denotada
-ésima de «
ya que
. De igual
debido a que
Siendo
√
entonces
√
√
. Así
.
Propiedades de los Radicales y Operatividad
Producto de Radicales con índice o Raíz de un Producto
√
√
√
√
√
. Así
inversamente √
√
√
√
√
√
√
√
√
√
,
√
Cociente de Raíces con igual índice o Raíz de un Cociente
√
√ . Ejemplo
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
De manera inversa se tiene
√
√
Un número o factor de un número se extrae de un radical en el caso de que sea
raíz exacta, tal como se muestra
√
√
√
En forma inversa, para introducir un factor en un radical, se eleva el factor a una
√(
√
potencia igual al índice del radical. Así,
)
√
Si los radicales tienen diferentes índices, su producto y/o cociente se efectúa una
vez que estos radicales se han ampliado a otros radicales equivalentes con igual índice.
Así
donde
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
.
31
Dr. Clemente Moreno
,
Elementos de Pre-Cálculo
Raíz de una Raíz
√√
√ . Así √
√√
√
√
√
Radicales Semejantes.
Los radicales que tienen el mismo índice e igual cantidad sub-radical son
semejantes y pueden sumarse o restarse según sea el caso.
Ejemplo. √
√
√
√
√
√
√
√
√
√ .
Racionalización.
Racionalizar el denominador o numerador de una fracción radical es transformar
la fracción dada en otra equivalente, pero sin radicales en el denominador o
numerador según el caso.
Ejemplos:
(c)
(a)
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
;
(b)
√
√
√
√
√
;
√
.
Actividad N0 3
I. Realice cada una de las operaciones siguientes, cuando sea posible simplifique los
resultados
1)
2)
(
3)
)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
14)
*(
)
(
)+
32
)
(
)
( )
12)
13)
15)
(
(
( )
)
( )
√
( )
( )
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
{
16)
17)
{*
(
18)
19)
(
(
)+
)
)
[
( )
(
)
(
)( )
0
*
1
0
[ (
(
)
2
1
( )
+
[
*
][
}
(
)+
]}
3
]
21)
22)
23)
24)
28)
]
( )
( )
20)
26)
)
25)
√
[( ) ( ) ( ) ]
(
) ( )
√
27)
√
/ .√
0.√
.√
/1
/
√
√
29)
(
√
)(√
(√
30)
[
/ .√
31
/
√
33)
]
(√√
√
34)
36)
√
√
√
̂√
√
√
√ )
√
√
√
√
37)
38)
√
√ )(√√
√
32)
√
/
]
√
[
√
.√
)
√
.
)
√
√
√
√
35)
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
33
√
√
√
√
√
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
√
39)
√
40)
√
41)
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
II. Racionalizar las siguientes expresiones
1)
2) √
√
3)
√
4)
√
5)
√
6)
7)
√
8)
√
9) √
11) √
√
√
13) √ √
√
√
√
12) √
√
14) √
√
√
18) √
17) √
√
√
20) √
√
√
√
√
15) √ [(√
√
√
16) √
19)
√
√
10)
√
√
21) √
√
√ ) (√
√ )]
√
√
√
√
III. Encuentre la solución a las siguientes ecuaciones
1)
(
)
(
)
2)
̂
3)
4)
5)
6)
7)
8)
IV. Encuentre el valor de
1)
5) Si
que hace verdadera a las identidades siguientes:
2)
√
6) ¿Qué valor de
3)
4)
entonces el valor de
hace cierta la igualdad
7) ¿Cuál es el valor de
en
√
es:
√√
√
?
34
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
8) Si
√
, entonces el valor de
9) ¿Cuánto vale
en
√
, para
√
√
en
es:
?
V. Encuentre la solución a los siguientes planteamientos:
1. Defina y grafique los siguientes intervalos en
1.a
[
√ ];
2. Dados
2.a
;
1.b
( √
+;
[ √
];
(
2.b
;
1.c
√
(
);
2.c
;
);
1.d
(
);
2.d
;
(
);
1.e
*
*
√
);
); determine:
2.f
2.e
;
3. Encuentre el conjunto solución de las inecuaciones siguientes:
3.a
;
(
3.d
3.f
√
3.b
)
√ ;
(
̂
);
̂(
3.e
);
3.c
(
√
√
3.g
√
√
)
(
;
)
(
;
);
VI. Resuelva cada uno de los planteamientos siguientes:
1)
Juan, Pedro, Jesús y María comparten una torta; Juan se come dos sextas partes,
Pedro la tercera parte y Jesús la sexta parte. ¿Cuánto le dejaron a María?
2)
¿Cuánto costó un artículo que al venderse en Bs 900 reportó una pérdida de
respecto de su precio?
3)
¿Cuánto falta por pavimentar de una carretera donde se ha pavimentado las
de ésta?
4)
¿Cuál es el
de
?
5)
¿De qué número es
6)
Un televisor que hace dos meses costaba Bs
el
?
, hoy cuesta
¿En
qué porcentaje aumentó el precio del televisor?
35
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
7)
Si en
los
Kg de naranjas, el
es de naranja pequeña y las medianas son
del resto. ¿Cuántos son los kilos de naranjas grandes?
8)
Descuentos sucesivos de
9)
Si a un producto cuyo precio es Bs 5000 se le hace un descuento del
luego otro del
10)
y
son equivalentes a un único descuento de?
y
, ¿Cuál será el precio final del producto?
En un colegio de 1300 alumnos, el
son extranjeros y de ellos el
son
colombianos. ¿Cuántos colombianos hay en el colegio?
11)
¿Cuánto cuesta un almuerzo, si el recibo es por Bs
de servicio y el
12)
y están incluidos el
del cubierto?
Un comerciante conviene en pagar a su ayudante un décimo de la ganancia que
obtenga su comercio en un mes. Después de pagarle lo convenido al ayudante, al
comerciante le queda una ganancia neta de Bs
. ¿Qué ganancia produjo
el comercio en el mes?
13)
Si a los términos de una fracción se le suma
se le resta
14)
2
1
la fracción toma como valor
y si
la fracción toma valor . ¿Cuál es la fracción?
Hace quince años la edad de María era el triple de la edad de Ana, pero ahora la
edad de María dobla a la edad de Ana. ¿Qué edades tienen actualmente?
15)
Un objeto vale Bs 1000, al pasar del mayorista al vendedor el precio se recarga
en un
y luego se vende con un nuevo aumento del
. ¿Cuál es el precio
de venta al público de este artículo?
16)
Halle dos números tales que su suma sea 37 y que al dividir el mayor por el
menor, su cociente es 3 y resto 5?
17)
Una persona gastó la mitad de su dinero y luego la tercera parte de lo que le
quedaba. ¿Qué proporción de dinero ha gastado?
18)
Un padre distribuyó una bolsa de caramelos a sus hijos, de manera que un hijo
recibió la mitad, otro una cuarta parte, otro una quinta parte y el último 7
caramelos. ¿Cuántos caramelos tenía la bolsa?
19)
Un jugador ha perdido los
de los
de Bs 450. ¿A cuando asciende la perdida?
20)
Un padre le propuso a su hijo que por cada problema que resolviera le daría Bs
30, pero por cada uno de los no resueltos le quitaría Bs 10. Fueron 100 los
problemas propuestos al muchacho y al final obtuvo una ganancia de Bs 2300.
¿Cuántos problemas resolvió?
36
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
21)
Un chorro llena un tanque en 20 minutos y su desagüe lo vacía en 30 minutos.
¿Cuánto tarda en llenarse el tanque estando vacío si el chorro y desagüe se
abren simultáneamente?
22)
Antes de un aumento de precios, un producto costaba 600 Bs. Después del
aumento paso a costar 960 Bs. ¿qué tanto por ciento aumento el producto?.
37
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
CAPÍTULO 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Se llama expresión algebraica a cualquier combinación de números y letras «que
representan números» donde están indicadas una o más operaciones fundamentales.
Así
;
√
;
y
son expresiones algebraicas.
Las expresiones algebraicas que contienen a otras más simples, entre las cuales
se indican sumas y diferencias, se denominan sumas algebraicas. Cada uno de los
sumandos se llama «términos» de la expresión.
En un término, cualquier factor o producto de factores se llaman «coeficiente/s»
del resto del término.
Son términos semejantes los que tienen las mismas letras e igual los exponentes.
Ejemplo. La expresión
es semejante a
y
es semejante a
√
√
.
Operaciones con Expresiones Algebraicas
Adición. Para hallar la suma entre dos o más expresiones algebraicas se utiliza el
axioma de la asociatividad y se reduce a uno todos los términos semejantes. Ejemplo,
(
)
{
[
]
}
{
}
Multiplicación. Para multiplicar dos o más expresiones algebraicas se utiliza el
axioma de la distributividad de la multiplicación con respecto a la adición junto a las
propiedades de la potenciación.
Ejemplos: 1)
(
)
2)
3)
Productos Notables.
1)
Ejemplo.
;
.
38
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
2)
Ejemplo.
;
(
)(
)
3)
;
Ejemplo.
4)
;
Ejemplo.
5)
;
Ejemplo. (
)(
)
6)
;
Ejemplo.
7)
;
Ejemplo.
8)
;
Ejemplo.
9)
;
Ejemplo.
;
División de Expresiones Algebraicas
División de un polinomio por un monomio. Para dividir un polinomio por un
monomio se divide cada término del polinomio por el monomio, lo cual es posible, ya
que la división es distributiva con respecto a la adición.
Ejemplo. Al dividir
resulta:
, de modo clásico se tiene:
6a 3b 2 12a 5 b 3 24a 8 b 5 18a 7 b 6
6a 3 b 2
6a 3 b 2
1 2a 2 b 4a 5 b 3 3a 4 b 4
5 3
0 12a b
12a 5 b 3
0 24 a 8 b 5
24a 8 b 5
0 18 a 7 b 6
18a 7 b 6
0
39
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
División de un Polinomio por otro Polinomio. Para dividir dos polinomios se
recomienda seguir los pasos siguientes: (a) Dividendo y divisor se ordenan en forma
decreciente, (b) se divide el primer término del dividendo entre el primer término del
divisor, y se obtiene el primer término del cociente, (c) se multiplica el divisor por el
primer término del cociente y el producto se resta del dividendo, obteniéndose un
residuo parcial, (d) se divide el primer término del residuo por el primer término del
divisor, para obtener el segundo término del cociente, (e) se multiplica este segundo
término del cociente por el divisor y se resta del primer residuo parcial, (f) el proceso
se repite hasta que el resto sea cero o de grado inferior al divisor. Ejemplo,
5 x 5 0 x 4 3x 3 0 x 2 x 3
5x 5 5x 4 10 x 3
x2 x 2
5x 3 5x 2 18x 28
0 5x 4 13x 3 0 x 2
5x 4 5x 3 10 x 2
0 18x 3 10 x 2 x
18x 3 18x 2 36 x
0 28x 2 35x 3
28x 2 28x 56
0 63x 59
Si el divisor es un binomio de la forma
el proceso de dividir se simplifica
con la llamada «división sintética». Así al dividir
se
tiene:
Luego
Factorización. Casos comunes
Con base en la propiedad distributiva del producto respecto a la adición, se
efectúa el proceso de factorización, el cual consiste en descomponer una expresión en
un producto de dos o más factores. Los casos más comunes son:
a) Factor común. Se llama así al «
» entre los términos de una suma algebraica,
el cual se extrae en un proceso inverso a la propiedad distributiva.
Ejemplos: 1)
2)
40
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
b) Diferencia de cuadrados. Como al multiplicar
entonces la diferencia de cuadrados
resulta
,
se factoriza como la suma de dos
términos por su diferencia.
Ejemplos: 1)
(√
2)
)
[√
][√
]
c) Trinomio de segundo grado.
c.1) Trinomio de segundo grado «cuadrado perfecto». Si en el trinomio
los extremos tienen raíz cuadrada exacta y el doble producto de estos es igual al
término central, entonces
es un trinomio cuadrado perfecto. Así:
, pues √
1)
2)
;√
, debido a que
y
√
;
√
y
c.2) Trinomio de segundo grado «no cuadrado perfecto». En el trinomio, si
se ensaya su factorización buscando dos números cuyo producto sea el extremo « » y
cuya suma o resta sea el término central « ».
Ejemplos: 1)
ya que
2)
debido a que
Si en el trinomio
,
y
y
se procede como se indica.
Ejemplos: 1)
2)
(
)
41
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
En cualquier caso, el trinomio
se factoriza a través del «método de
completar el cuadrado perfecto», el cual se desarrolla como se indica:
(
)
*(
)
[(
)
(
0(
)
(
[(
(
Ejemplo.
(
)]
√
)
)+
) 1, con
√
(
√
)] [(
)
√
)
)(
(
√
(
)]
)
*(
)
[(
)
+
( ) ]
(
)(
(
)
)
d) Diferencia de cubos. La diferencia
se factoriza como
Ejemplo.
e) Suma de cubos. La suma
Ejemplo:
se factoriza como
[
, ejemplo
][
]
Simplificación de fracciones algebraicas. Para simplificar fracciones algebraicas se
factoriza numerador y denominador de la fracción y se simplifican los factores comunes
Ejemplo 1.
, siempre que
Ejemplo 2.
, con
42
,
y
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
Operaciones con fracciones algebraicas
Adición. La entre dos o más fracciones algebraicas se efectúa como si se tratara de
una adición entre racionales. Ejemplo,
Multiplicación. Al igual que el producto de fracciones, para multiplicar fracciones
algebraicas se multiplican sus numeradores para hallar el numerador del producto, y
se multiplican sus denominadores para hallar el denominador del producto.
Ejemplo.
(
)(
)
, para
.
Operaciones combinadas. Se llama así, a las operaciones con fracciones algebraicas
donde están indicadas una o más operaciones fundamentales.
Ejemplos: 1)
(
)(
)
(
)(
)
2)
[
] [
]
Actividad N0 4
I. Efectúe los siguientes productos «notables»
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
43
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
9)
(
)(
)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
(
19)
(√
√
21)
(
)(
)
(
)(
)
23)
25)
27)
(
)(
(
)(
29) (
)(
(
)(
)
)(
)
)
18)
(
)
20)
[
22)
(
)(
24)
(
)(
26)
(
28)
(
)(
30) (
)(
)
)
)
]
)
)
)(
)
)
)
II. Factorice cada una de las siguientes expresiones algebraicas
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
44
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
29)
30)
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
38)
39)
40)
41)
42)
43)
44)
45)
46)
47)
48)
49)
50)
51)
52)
53)
54)
55)
56)
57)
58)
59)
60)
61)
62)
63)
64)
65)
66)
67)
68)
69)
70)
III. Simplifique cada una de las siguientes fracciones algebraicas
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
45
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
IV. Resolver y simplificar
(
1)
2)
)
3) (
)(
)
4)
5)
6)
(
7)
8)
*(
9)
11)
)(
)
(
(
)
)
(
)+ *(
)
(
(
)
)
)+
10)
12)
13)
46
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
CAPÍTULO 3: ECUACIONES E INECUACIONES EN
En el contexto matemático, el estudio de
junto al de las expresiones
algebraicas se aplica en todo el quehacer matemático, aquí
se restringirá a
la
búsqueda de solución a las ecuaciones e inecuaciones que trascienden la linealidad. Sin
embargo, en tales conceptos su utilidad es incuantificable, debido a que en estos
objetos matemáticos desemboca una infinidad de problemas que debe resolver el
estudiante en su tránsito por la universidad y más adelante en su ámbito profesional.
Por esta razón, es preciso evocar los modos usuales «además de los lineales,
estudiado arriba» en que estos objetos matemáticos suelen manifestarse, donde
resaltan los siguientes:
Ecuación cuadrática.
Una ecuación cuadrática es una igualdad con un miembro igual a trinomio
cuadrado y el restante igual a cero, es decir
. El conjunto solución o
los valores de « » que satisfacen la identidad se pueden determinar por radicales.
En efecto
«transponiendo términos»
equivale a
Pero
implica
y
«multiplicando por
implica
Así
«sumando
√
o bien
√
»
, luego la expresión
genera el conjunto solución o las « » que satisfacen la identidad
Ejemplo 1. En la búsqueda del conjunto solución de
(i) Identificar
,
y
se tiene:
; (ii) estudiar
para ver si la ecuación tiene o no solución en
. En este caso hay dos raíces distintas,
√
y (iii) aplicar la resolvente para hallar las raíces, esto es
√
»
es decir
o bien
, luego
o
bien
o su equivalente
. También es usual escribir
Ejemplo 2. Encontrar el conjunto solución a la ecuación
47
,
y
-.
implica:
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
(i)Distinguir
,
,
,
;(ii) estudiar
en este caso, la ecuación solo tiene una raíz real doble; y (iii) aplicar la resolvente, es
√
decir
así
o bien
Ejemplo 3. La ecuación
,
; o también
-.
carece de soluciones reales debido a que
.
Ejemplo 4. Si un número excede a otro en tres unidades y la suma de sus cuadrados
es
, ¿cuáles son esos números?
Procedimiento
Descripción algebraica
Dado un número diferente de , hacer
Sea
el número y
1) Identificar el Nº dado como el mayor
1) sea
2) Disminuir en
2)
el número dado en (1)
3) Elevar al cuadrado los números de (1) y (2)
el número menor
3)
4) Sumar los números dados en (3)
y
4)
5) Igualar a 65 el resultado de (4)
5)
Como (5) equivale a
entonces
√
el número mayor
,
o bien
esto es
luego
y
son los
números requeridos
Comentarios
√
1. Siendo
√
y
√
suma
√
(
y su producto
decir
las raíces de la ecuación cuadrática, su
o bien
Ejemplo 1. En
√
√
)(
√
)
así
√
es
.
la suma de sus raíces
mientras que su producto
Ejemplo 2. Si
√
y
,
.
son las raíces de una ecuación cuadrática, ¿cuál es su expresión
algebraica?
48
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
Por una parte la ecuación
otra
equivale a
o bien
y
tiene que
, por la
es decir
, luego al sustituir se
es la ecuación pedida.
2. Las ecuaciones de la forma
llamadas ecuaciones bicuadradas,
pueden reducirse a una ecuación cuadrática solo con cambiar «
, de este modo
implica
.
Ejemplo. Hallar el conjunto solución de
(i) Cambiar de variable
implica:
y rescribir la ecuación, es decir
√
(ii) Resolver la ecuación,
o bien
(iii) Devolver el cambio de variable, es decir
y
entonces
» por « », es decir
{
;
así
y
implica
;
y
luego
} es el conjunto solución de la ecuación.
Las ecuaciones de tercer grado también pueden resolverse por radicales, pero la
complejidad de la resolvente para este caso, junto a la imposibilidad de utilizar
radicales para resolver ecuaciones de grado mayor a tres, es un asunto fuera del
alcance de este curso. Sin embargo, se revisaran algunas estrategias algebraicas para
hallar la solución a este tipo de ecuaciones.
Raíces Enteras y Fraccionarias de una Ecuación Polinómica
La ecuación
, con
enteros y
,
,
,…
el polinomio asociado a la
ecuación, posee raíces enteras, si verifica las condiciones siguientes:
a. Toda raíz entera de la ecuación con coeficientes enteros es un divisor de
b. Todo divisor entero de
(i)
(ii)
que es raíz probable de la ecuación debe verificar:
es múltiplo de
donde
es múltiplo de
«
» es divisor de
.
Ejemplo 1. Encontrar el conjunto solución de
implica:
(i) Asociar la ecuación al polinomio, es decir
divisores de
.
que son
{
; hallar los
}, determinar
49
y
Dr. Clemente Moreno
.
Elementos de Pre-Cálculo
(ii) Para
se tiene:
, luego
(iii) Para
y
es múltiplo de
es una raíz probable a verificar por división sintética.
se tiene:
, luego
(iv) Para
es múltiplo de
es múltiplo de
, pero
no es múltiplo de
no es raíz de la ecuación.
se tiene:
no es múltiplo de
, luego
no
es raíz de la ecuación.
(v) Para
se tiene:
luego
múltiplo de
múltiplo de
,
es una raíz probable a verificar por división sintética. Esto es:
La división genera las raíces
Así
y
,
,
y el factor
o bien
.
- es el conjunto solución a la ecuación.
Si la ecuación
no posee raíces
enteras, se procede a la búsqueda de las raíces fraccionarias, para ello se hace
que transforma
en:
lo que implica
es decir
o bien
.
raíces
,
,
,…
de donde se deriva
De esta ecuación, se calculan sus
,
,
…
que
son las raíces fraccionarias de la ecuación.
Ejemplo 2. Hallar el conjunto solución de
implica;
,
Asociar la ecuación al polinomio, es decir
hallar los divisores de
que son
{
}, calcular
y
entonces:
(i)
es múltiplo
y
es múltiplo de
. Sin embargo
, luego
50
no es raíz;
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
(ii) 42 es múltiplo de
, pero
no es múltiplo
, luego
no
es raíz de la ecuación;
(iii)
no es múltiplo
(iv)
múltiplo de
, luego
, pero
no es raíz de la ecuación;
no es múltiplo de
, luego
no
es raíz de la ecuación. De (i), (ii), (iii) y (iv) se sigue que la ecuación no tiene raíces
enteras.
Al buscar las raíces fraccionarias se hace
y se escribe la ecuación
equivalente a la dada en la nueva variable, esto es:
su equivalente
o
y se reitera el proceso seguido
arriba, es decir:
, divisores
Polinomio asociado a la ecuación
de
que son
{
.
«
y
(i)
}, calcular
y
se descartaron en la ecuación equivalente», luego
es múltiplo de
y
, luego
es múltiplo de
es una raíz probable y debe verificarse
(ii)
es múltiplo de
, pero
no es múltiplo de
, luego
no es raíz de la ecuación
(iii) 1332 no es múltiplo de
, luego
no es raíz de la ecuación
(iv) 1332 es múltiplo de (-8-1)=-9 y 518 es múltiplo de (-8+1)=-7, luego y=-8 es una
raíz probable y debe verificarse, esto es:
Siendo
es un polinomio irreducible entonces
equivalentes
ecuación o también
y
,
y
o sus
son las raíces fraccionarias de la
- su conjunto solución.
51
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
Inecuaciones cuadráticas.
Una inecuación cuadrática es una desigualdad con un trinomio cuadrado en uno de sus
miembros y cero en el miembro restante, decir
;
;
;
o reducibles a ellas, cuando tanto « » como « »
son distintos de cero, pero sí « » o « » son iguales a cero, este objeto matemático se
simplifica. El conjunto solución puede encontrarse siguiendo una de las siguientes
técnicas: (i) factorizando el trinomio y luego resolviendo las inecuaciones por
intersección y unión de intervalos; (ii) factorizando el trinomio por «completación de
cuadrados» seguido de la aplicación de las siguientes propiedades del módulo o valor
absoluto:
1)
√
| |; 2) | |
{
;
3)
| |
{
; y (iii) se factoriza el
trinomio seguido del estudio de los signos a la izquierda y derecha del número que
anula a los factores, la solución es el intervalo o unión de intervalos con el mismo
signo de la desigualdad. Todas estas estrategias conducen a una única solución, pero
las tres deben tenerse presentes debido al contexto y las particularidades del problema
que las deriva.
Ejemplo 1. En la búsqueda del conjunto solución de
se tiene:
1. Aplicando la técnica (i)
Como
equivale a
Nota.
implica el sistema {
{
(1)
es decir
]
[
que aplicado a (1) resulta
{
]
o también
o bien
{
[
. Su representación
luego
gráfica se muestra en la figura.
3
]
2
[
1
1
0
2
3
2. Aplicando la técnica (ii)
Como
equivale a
entonces
52
√
√
es decir
| |
| |,
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
pero
| |
implica
{
luego
[
]
3. Aplicando la técnica (iii)
Como
equivale a
se anulan en
y
y los factores de esta desigualdad
, se estudian los signos como se ilustra en la
]
Luego
[
𝑥
𝑥
𝑥
]
o bien
[
Ejemplo 2. Al hallar el conjunto solución de
se tiene en cuenta que
equivale a
, desigualdad que se verifica si
sus factores tienen signos diferentes, el estudio de éstos genera el sistema
{
es decir
{
o también
{
luego
o bien
Ejemplo 3. Al hallar el conjunto solución de
puede pensarse que
equivale a
|
|
es decir
lo cual implica {
Luego
es decir {
(
)
( ) o bien
o bien
{
. Su representación gráfica se muestra en la figura
4
3
2
1
0
Ejemplo 4. El conjunto solución de
1
2
puede hallarse pensando que
equivale a
y el estudio de signos señala
53
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
Luego
(
)
(
𝑥
𝑥
). Su representación gráfica se exhibe en la figura
2 3 1
21
0
2
3
Inecuaciones Polinómicas de Grado Mayor a 2
En la práctica, el estudio de los signos es suficiente para identificar el conjunto
solución de las inecuaciones cuadráticas o aquellas de grado mayor a 2, así como el de
las inecuaciones racionales, tal como se ilustra en los ejemplos siguientes:
Ejemplo 1. Hallar el conjunto solución de
implica:
(i) Factorizar el polinomio del primer miembro de la desigualdad. Para ello, éste puede
imaginarse como una igualdad y hallar las raíces de la ecuación, las identidades
resultantes se transforman en factores cuyo producto es la factorización del polinomio.
Esto es
Por ello
,
y
son los factores de
, luego
;
(ii) Estudiar los signos de
como indica la tabla
54
𝑥
𝑥
3𝑥
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
(
Luego
)
es el conjunto solución de la inecuación dada.
Inecuaciones racionales
Una inecuación racional es una desigualdad de la forma
donde
y
[
son polinomios. Cuando el
]
o bien
[
y
]
,
, el conjunto
solución se determina del mismo modo que en las inecuaciones lineales, en otro caso
se procede con la transformación y/o factorización de
y
seguido del estudio de
signos ilustrado arriba
Ejemplo 1. Para hallar el conjunto solución de la inecuación
(i) determinar el intervalo donde
es decir
es suficiente con:
, debido a que
,
luego
Ejemplo 2. Al hallar el conjunto solución a la inecuación
se tiene que:
(i) Estudiar el cabio de signos de los factores como en las inecuaciones cuadráticas,
(
(ii) Escribir el conjunto solución
𝑥
3𝑥
)
*
Ejemplo 3. Hallar el conjunto solución de la inecuación
).
implica:
(i) Desigualar a cero seguido de la transformación del primer miembro de la
desigualdad, es decir
esto es
o bien
(ii) Estudiar el cambio de signos de los factores que componen la desigualdad
Luego
[
𝑥
𝑥
es el conjunto solución
Ejemplo 3. Al hallar el conjunto solución de la inecuación
55
se tiene que:
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
(i) factorizar los polinomios que componen la inecuación y escribir su equivalente. Así
la inecuación dada
es equivalente a
(ii) Estudiar el cambio de signos de los factores y escribir el conjunto solución, esto es
(
Luego
)
3𝑥
𝑥
2𝑥
𝑥
es el conjunto solución a la inecuación
Ejemplo 5. Para hallar el conjunto solución de
se tiene que:
(i) Desigualar a cero y ejecutar las operaciones del primer miembro de la desigualdad,
esto es
es decir
o bien
en definitiva
(ii) Estudiar el cambio de signo de los factores y escribir el conjunto solución, es decir
Luego
[
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
] es el conjunto solución a la inecuación
Inecuaciones Modulares
Si la inecuación tiene valor absoluto en uno de sus miembros o ambos, el
conjunto solución se determina aplicando las propiedades del módulo señaladas arriba.
56
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
Ejemplo 1. Al hallar el conjunto solución de la inecuación
|
|
se tiene:
(i) Suprimir el módulo aplicando sus propiedades, es decir:
|
|
{
implica
es decir
{
o bien
{
;
(ii) Estudiar el cambio de signo de los factores de las inecuaciones del sistema, para
determinar el conjunto solución de cada inecuación, esto es:
[
{
{
implica
;
(
+
(iii) Determinar la intersección entre los conjuntos solución de las inecuaciones del
sistema, que es el conjunto solución requerido, vale decir
[
((
+
) luego
Ejemplo 2. Hallar el conjunto solución a la inecuación
*
+.
|
|
implica
(i) Suprimir el módulo aplicando sus propiedades, es decir
{
esto es
{
o bien
{
(ii) Hallar el conjunto solución de las inecuaciones del sistema, esto es
{
implica
(iii) Determinar
decir
(
(
{
)
(
por intersección de
(
))
es
).
Ejemplo 3. Al determinar el conjunto solución de
|
|
|
| se debe:
(i) Aplicar las propiedades del módulo para suprimir el valor absoluto en ambos lados
|
de
la
desigualdad,
esto
es
|
|
|
|
| implica {
es
|
57
decir
|
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
|
|
{
o bien
|
{
{
así
luego
|
{
{
{
{
[
(
√ )][
(
√ )]
[
(
√ )][
(
√ )]
{
{
o también
{
{
(ii) Se determina el conjunto solución de cada subsistema del sistema, es decir
((
{
√ ) )
((
√ )
)
[(
o bien
{
[(
{
[(
{
√ ) ]
[(
√ )
√ )
√ )
)
)
)
(iii) Se determina la solución al sistema por intersección de las soluciones parciales
((
√ ) )
((
√ )
)
Ecuaciones e inecuaciones exponenciales y logarítmicas
En las ecuaciones e inecuaciones derivadas de la función exponencial y
logarítmica, objeto matemático presente en la educación básica pero cuyo estudio se
retoma en la formación universitaria, el conjunto solución se determina atendiendo a la
definición y las propiedades que rigen dicho objeto matemático, que son:
(i) Definición. El logaritmo del número « » de base « » es
,
luego la identidad logarítmica se satisface si se cumple la identidad exponencial y a la
inversa.
Ejemplo 1. ¿Cuál es el
√
?
58
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
Si
√
se tiene
√
consecuencia
, luego
o bien
. En
√
(ii) Propiedades
1.
«en este contexto, para escribir el número
, se escribe
»
2.
«en este contexto, para escribir el número
, se escribe
»
3.
«el logaritmo es un homomorfismo que transforma el
producto en una suma»
4.
( )
«el logaritmo es un homomorfismo que transforma el
cociente en una diferencia»
5.
«el logaritmo de una potencia es igual al producto del
exponente por el logaritmo de la base»
6.
«identidad logarítmica»
7.
«identidad exponencial»
8.
para
«equivalencia entre las bases de los logaritmos»
Ejemplo 1. Para hallar el valor de « » en la identidad
se tiene:
(i) Escribir la identidad equivalente en una misma base, así
implica
con
se tiene
bien
,
[
o bien
]
[
, al componer
] esto es
, luego
o
- es el conjunto solución de la ecuación dada.
Ejemplo 2. Hallar el conjunto solución de la ecuación
implica
(i) Escribir una ecuación equivalente que se reduzca a una forma algebraica conocida,
equivale a
o bien
es decir
que es una ecuación cuadrática cuando
, esto es
(ii) Resolver la ecuación equivalente, devolver el cambio y establecer la solución, así
implica
. En consecuencia
, luego
o bien
, entonces
o también
{ } es el conjunto solución
Ejemplo 3. Al resolver la ecuación
se tiene
59
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
(i) Escribir una ecuación equivalente con forma algebraica conocida, así
(
equivale a
)
(
entonces
) es la
expresión algebraica asociada
(ii) Resolver la ecuación encontrada y escribir el conjunto solución, así
es decir
{
o bien
} es el conjunto solución
Ejemplo 4. Encontrar el conjunto solución de la inecuación
implica
(i) Escribir la desigualdad equivalente en términos algebraicos, esto es
implica
o bien
(
)
de este modo
es la desigualdad algebraica asociada
(ii) Resolver la inecuación equivalente y escribir el conjunto solución
]
[
Ejemplo 5. Hallar el conjunto solución de la inecuación
implica
(i) Escribir la desigualdad equivalente en términos algebraicos, así
implica
, luego
(
)
o bien
(
)
es la inecuación algebraica asociada
(ii) Resolver la inecuación equivalente y escribir el conjunto solución, esto es
o bien
[
esto es
luego
] es el conjunto solución
Actividad N0 5
I. Encuentre la solución o conjunto solución de las ecuaciones siguientes:
1)
;
3)
2)
;
4)
;
;
5)
;
6)
7)
;
8)
9)
11)
13)
15)
;
;
;
10)
12)
;
;
;
;
14)
;
16)
60
;
;
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
17)
;
18)
19)
;
;
20)
21)
;
22)
23)
;
24)
;
;
;
II. Encuentra el conjunto solución de las siguientes inecuaciones
1)
;
2)
3)
;
4)
5)
;
7)
11)
;
6)
;
8)
;
9)
;
;
;
10)
√
12)
;
13)
;
17)
;
14)
;
15)
;
;
16)
;
18)
19)
;
21)
20)
;
;
24)
25)
;
26)
29)
;
|
33)
|
35)
|
37)
|
39)
|
|
;
|
;
|
;
|
;
;
;
28)
;
31)
;
22)
23)
27)
;
| |;
|
|
;
30)
;
32)
|
34)
|
36)
|
|
38)
|
|
|; 40) |
61
|
;
|
;
;
|
|
|;
|
|;
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
41)
43)
;
(
)
42)
;
44)
;
III. Resuelva cada uno de los planteamientos siguientes:
1) Si un número duplica a otro y
es la diferencia de sus cuadrados, entonces los
números son:
2) ¿Cuáles son los dos números positivos cuya diferencia es
cuadrados es
y la suma de sus
?
3) ¿Cuáles son los dos números naturales consecutivos pares cuya suma de cuadrados
es
?
4) ¿Cuál es el perímetro de un rectángulo, cuyo largo excede en
tiene un área
a su ancho y
?
5) Sabiendo que la altura de un triángulo rebasa a su base en 3cm y que su área
alcanza a
, ¿cuál es la longitud de la base y la altura del triángulo?
6) El piso de un salón está recubierto por 1200 baldosas, si el número de mosaicos en
cada fila excede en 10 al número de filas. ¿Cuántas baldosas hay en cada fila?
7) Hace 29 años la edad de Juan era la raíz cuadrada de la edad que tendrá en un año.
¿Qué edad tiene Juan en la actualidad?
8) Un granjero compro cierto número de pollitos por Bs. 150. Si hubiese comprado 5
pollitos más por el mismo dinero, cada pollito le habría costado 5 bolívares menos.
¿Cuántos pollitos compro el granjero?
9) Si la suma de dos números es 23 y su producto 120, ¿cuáles son los números?
10) ¿Cuál es el valor de k para que la ecuación
tenga dos raíces
iguales?
62
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
POST-TEST
Tiempo. 1 hora con 30 minutos
INSTRUCCIONES
A continuación hay un conjunto de interrogantes, cada una con cuatro respuestas
probables pero sólo una es correcta, selecciónela encerrando en un círculo la letra que
se corresponda con ésta. Si es necesario, efectué cálculos antes de emitir respuesta.
1. De las expresiones siguientes, la que no representa una igualdad, es:
a)
b)
c)
d)
2. El inverso del número
( )
( )
es:
a)
b)
c)
d)
3. Al operar la expresión
resulta:
a)
b)
c)
d)
63
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
4. Descuentos sucesivos del
y
equivalen a un único descuento de:
a)
b)
c)
d)
5. Pedro Pérez ganaba Bs.
, si su sueldo se aumenta en
impuestos se le disminuye un
y por concepto de
, entonces su nuevo sueldo es:
a)
b)
c)
d)
6. El valor de
2[(
) ] 3
[( ) ] es:
a)
b)
c)
d)
7. Si
y
entonces el valor de
es:
a)
b)
c)
d)
64
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
8) El valor de « » en la expresión
√√
√√
√ es:
a)
b)
c)
d)
9) Al operar la expresión
√
√
resulta:
a)
b)
√
c)
d)
√
10) El valor de « » que hace cierta la igualdad
es:
a)
b)
c)
d)
11) El valor de « » para que el trinomio
sea un cuadrado perfecto, es:
a)
b)
c)
d)
65
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
12) La ejecución del producto
da por resultado:
a)
b)
c)
d)
13) Al factorizar la expresión
es:
a)
b)
c)
d)
14) Cuando
la expresión
(
)(
)
equivale a:
a)
b)
c)
d)
15) Si
entonces el cociente
equivale a:
a)
b)
c)
d)
66
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
16) La fracción equivalente a la expresión
es:
a)
b)
c)
d)
17) Si
entonces la suma de las raíces de la ecuación
√
es igual a:
a)
b)
c)
d)
18)
Un número excede a otro en 2 unidades y la suma de sus cuadrados es 130,
entonces el número mayor es:
a)
b)
c)
d)
19) Siendo
entonces siempre es cierto que:
a)
b)
c)
d)
67
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
(
20) Si
+
*
) y
,
⁄
- entonces
es el
intervalo
(
+
*
c)
(
+
*
d)
(
a)
)
b)
)
)
21) El conjunto solución de la inecuación
es:
a)
b)
c)
d)
22) Los valores de « » que satisfacen la desigualdad
están entre:
a)
b)
c)
d)
23) El conjunto solución de la inecuación
a)
(
)
b)
(
√
c)
(
√
|
|
es:
)
)
(
√
)
d)
68
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
24) Si
y
entonces el valor de « » es:
a)
b)
c)
d)
25) La solución a la inecuación
(
a)
b)
(
)
c)
(
)
d)
(
)
(
)
es el intervalo:
)
26) Hace 4 años la edad de Juan era el triple de la edad de José, si dentro de 2 años la
edad de Juan será el doble de la edad de José. ¿Cuál es la edad de Juan?
a)
b)
c)
d)
27) Jesús tiene Bs.
en
billetes de Bs.
y de Bs.
. ¿Cuántos billetes de Bs.
tiene?
a)
b)
c)
d)
69
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
28) Si
( )
entonces el valor de « » es:
a)
b)
c)
d)
29) Si
entonces el valor de
es:
a)
b)
c)
d)
30) El valor de « » que hace cierta la igualdad
es:
a)
b)
c)
d)
70
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
RESPUESTAS A PRE-TEST Y POST-TEST
Respuestas a Pre-Test
1)
(a);
2)
(c);
3)
(b);
4)
(a);
5)
(c);
6)
(b);
7)
(a);
8)
(c);
9)
(b);
10) (a);
11) (d);
12) (a);
13) (c);
14) (a);
15) (a);
16) (d);
17) (c);
18) (b);
19) (b);
20) (d);
Respuestas a Post-Test
1)
(b);
2) (b);
3) (a);
4) (b);
5) (a);
6)
(c);
7) (c);
8) (a);
9) (a);
10) (b);
11) (b);
12) (c);
13) (d);
14) (a);
15) (b);
16) (a);
17) (c);
18) (b);
19) (d);
20) (a);
21) (d);
22) (b);
23) (c);
24) (b);
25) (a);
26) (b);
27) (a);
28) (c);
29) (a);
30) (b);
RESPUESTAS A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS
Respuestas Actividad Nº 1
1.
;
2.
;
3.
;
4.
8.
;
9.
;
10.
;
11. ;
14. ;
15a.
15e.
;
;
15f.
;
15g.
16c.
;
16d.
16g.
;
16h.
;
16i.
17a.
{
};
17e.
{
18b.
;
;
12b.
;
;
;
15h.
;
16j.
17b.
;
13.
;
15d.
;
16e.
;
;
7.
;
16a.
;
16f.
;
;
{
};
};
{
17h.
12a.
6.
{
17d.
17g.
;
15c.
;
17f.
5.
15b.
16b.
17c.
;
};
};
{
};
{
};
{
};
;
18c.
71
18a.
;
;
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
18d. [
]
18e. [
;
19a.
]
y
19b.
y
19c.
y
;
;
;
;
19d.
y
19e.
y
;
;
Respuestas Actividad Nº 2
1.
;
2.
7.
;
8.
13.
,
17.
;
3.
;
4.
;
;
9.
;
10.
,
,
;
14.
18.
;
19.
;
5.
;
11.
;
20.
;
;
6.
;
12.
15.
;
21.
;
5.
;
;
;
16.
;
22.
;
Respuestas Actividad Nº 3
Parte I
4.
;
;
1.
;
2.
;
3.
7.
;
8.
;
9.
;
10.
13.
;
14.
;
15.
;
16.
19.
;
20.
24.
;
25.
(
;
30.
√
;
34.
√ ;
√
29.
√
33.
√ ;
√
38.
21.
;
;
) ;
39.
;
11.
;
22.
√ ;
26.
;
√ ;
40. [
√ ;
;
;
]√
;
) ;
√
36.
;
18.
23. (
27.
;
12.
;
√
31.
35.
;
17.
;
6.
28.
;
√
37.
;
;
√
32.
√ ;
√
41.
;
√ ;
√
Parte II
√ ;
1.
7.
√
2.
;
8.
√ ;
√
3.
;
√
4.
;
9.
5. √
√ ;
√
;
72
10.
√
;
;
11.
√ ;
6.
√
√
;
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
12.
√
√
√
16.
20.
;
;
17.
[
√ )√ √
(√
√ √
13.
;
;
√
√
19.
;
√
15.
;
√
18.
21.
;
√
14.
]
√
√
√
;
;
;
Parte III
1.
;
2.
7.
;
8.
;
3.
;
4.
;
5.
;
4.
;
5.
-;
1.c {
6.
;
;
Parte IV
1.
;
7.
2.
;
;
8.
3.
;
;
9.
;
√ };
1.b ,
⁄ √
-; 1.e ,
⁄
;
6.
;
Parte V
1.a {
1.d
,
2.c
(
⁄
);
√
3.b
(
*
3.e
];
2.d
;
√
-;
[ √
2.e
2.a
* √
];
2.f
[ √
(
3.f
);
);
2.b
);
(
3.g
*
}
);
3.a
[
3.d
√ )];
3.c
√ )
);
√
⁄
;
;
);
Parte VI
1.
7.
13.
2.
;
;
;
19.
8.
;
3.
;
4.
;
9.
14.
y
;
15.
20.
y
;
21.
;
5.
10.
;
;
;
16.
22.
;
y
;
;
6.
11. 600
12.
17. ;
18.
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Respuestas Actividad Nº 4
Parte I
73
Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
1.
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5.
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Parte II
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Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
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Parte III
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Parte IV
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Dr. Clemente Moreno
Elementos de Pre-Cálculo
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Respuestas Actividad Nº 5
Parte I
1.
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Parte II
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Elementos de Pre-Cálculo
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Parte III
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8)
;
Bibliografía
1. Barnett, R. (1978). Precálculo: Algebra, geometría analítica y trigonometría. Editorial
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4. Rada, S. (1982). Un desafío a la juventud: Problemas de las olimpiadas matemáticas
venezolanas. Editorial CENAMEC. Caracas
5. Rada, S. (1992). Un desafío a la juventud II: Problemas de las olimpiadas
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77
Dr. Clemente Moreno
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