Download 5 5 2 4 25 25 + = + = + = + a a xa ax x x 8 34 925 8359 25 ≠ = + = +

3º E.S.O. PROBLEMAS C.D.I. TEMA 2: POTENCIAS Y RAÍCES.
PROFESOR: ANTONIO PIZARRO.
http://ficus.pntic.mec.es/apis0004
CDI 2008:
1) Marca con una cruz el círculo correspondiente a V o F, a la derecha de cada igualdad, según
sea la igualdad verdadera o falsa.
25 + x = 25 + x
4 x a = 2 xa
(a + 5)20 = a 20 + 5 20
Solución:
a) F. Falso. Solo se pueden sumar o restar radicales que sean iguales o equivalentes. De todas
formas, cuando tengas dudas, ponte un ejemplo de si es cierto. Por ejemplo si x=9:
25 + 9 = 5 + 3 = 8
25 + 9 = 34 ≠ 8
b) V. Verdadero. Se pueden multiplicar o dividir radicales que tengan el mismo índice.
4 x a = 4 xa = 2 2 ⋅ xa = 2 2 xa = 2 xa
c) F. Falso. Por ejemplo si a=-1, cada miembro queda
(− 4 + 5)20 = (1)20 = 1
(− 4)
20
+5
20
( − 4 )20 = 4 20
=
4 20 + 5 20 ≠ 1
CDI 2009:
2) Pon los exponentes que faltan para que las igualdades sean verdaderas:
a ) 35 ⋅ 3[ ] = 312
b) 4,2 x1015 = 4200 x10 [ ]
Solución:
a ) 35 ⋅ 3[7 ] = 312
b) 4,2 x1015 = 4200 x10 [12 ]
En el apartado a tenemos producto de potencias de la misma base, se pone la base y se suman
los exponentes. En el apartado b tenemos que pasar la coma tres lugares a la derecha, con lo
que “gastamos” 3 exponentes de base 10.
3)( DIVISIBILIDAD. MCM Y MCD) Pedro tiene dos números. Uno de ellos es el 630 y del otro
sólo sabemos que es una potencia de 2.
a) Escribe la descomposición factorial de 630 en números primos.
b) ¿Cuál es su máximo común divisor de esos dos números? Justifica la respuesta.
Solución:
a)
630 2 Luego 630 = 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7
315 3
105 3
35 5
7 7
1
b) 630 = 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7
x = 2n
n ∈ IN , n ≠ 0
http://ficus.pntic.mec.es/apis0004
Página: 1
3º E.S.O. PROBLEMAS C.D.I. TEMA 2: POTENCIAS Y RAÍCES.
PROFESOR: ANTONIO PIZARRO.
http://ficus.pntic.mec.es/apis0004
Hecha la descomposición, el máximo común divisor (como regla mnemotécnica es como al
revés de máximo) son los comunes elevados al menor exponente. Factores comunes de x y 630
tienen el 2 elevado al menor de los exponentes que será 1.
Por tanto el m.c.d. es 2.
CDI 2011:
4) (DIVISIBILIDAD. MCM Y MCD)
a) Halla los divisores comunes de los números 120 y 165.
b) Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de 120 y 165.
Solución:
a)
165 3 Luego 165 = 3 ⋅ 5 ⋅ 11
120 2 Luego 120 = 2 3 ⋅ 3 ⋅ 5
55 5
60 2
11 11
30 2
1
15 3
5 5
1
Divisores de 120 (El número total de divisores se halla multiplicado cada exponente +1, es
decir, son (3+1)(1+1)(1+1)=4*2*2=16)= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120.
El número total de divisores sirve para que no te falte ninguno al hallar los divisores de un
número. ¡Apréndete la fórmula, es fácil!
Divisores de 165 (El número total de divisores se halla multiplicado cada exponente +1, es
decir, son (1+1)(1+1)(1+1)=2*2*2=8)= 1, 3, 5, 11, 15, 33, 55, 165.
Por tanto, los divisores comunes son 1, 3, 5 y 15.
b) Hecha la descomposición en factores primos, el máximo común divisor (como regla
mnemotécnica es como al revés de máximo) son los factores comunes elevados al menor
exponente. Por tanto, m.c.d.(120,165)= 3 ⋅ 5 = 15 (lo cual coincide con el mayor de los
divisores comunes de 120 y 165 vistos en el apartado a)
Hecha la descomposición en factores primos, el mínimo común múltiplo (como regla
mnemotécnica es como al revés de mínimo) son los factores comunes elevados al mayor
exponente por los factores no comunes. Por tanto,
m.c.m.(120,165) = 2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11 = 120 ⋅ 11 = 1320
CDI 2012:
5) ¿Cuál ha de ser el valor de (a) para que sean correctas las siguientes igualdades?
a) 0,0034 = 34 x10 a
b) 20.000.000 = 2 x10 a
Solución:
a) a= -4, ya que tenemos que pasar la coma 4 lugares a la izquierda.
b) a= 7, ya que tenemos que pasar la coma 7 lugares a la derecha.
CDI 2013:
6) (DIVISIBILIDAD)
a) Halla los divisores comunes de 54 y 60.
b) De la siguiente lista de números, señala los que son números primos.
http://ficus.pntic.mec.es/apis0004
Página: 2
3º E.S.O. PROBLEMAS C.D.I. TEMA 2: POTENCIAS Y RAÍCES.
PROFESOR: ANTONIO PIZARRO.
http://ficus.pntic.mec.es/apis0004
23; 39; 27; 91; 53; 87
Solución:
a)
54 2 Luego 54 = 2 ⋅ 33
60 2 Luego 60 = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5
27 3
30 2
9 3
15 3
3 3
5 5
1
1
Divisores de 54 (El número total de divisores se halla multiplicado cada exponente +1, es decir,
son (1+1)(3+1)=2*4=8)= 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54.
Divisores de 60 (El número total de divisores se halla multiplicado cada exponente +1, es
decir, son (2+1)(1+1)(1+1)=3*2*2=12)= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
Por tanto, los divisores comunes son 1, 2, 3 y 6.
b) Son números primos aquellos que sus únicos divisores son 1 y ellos mismos. Son números
primos el 23 y 53.
Observación: el 39 no es por ser múltiplo de 3, por ejemplo; el 27 tampoco por lo mismo; 91
no es número primo por ser múltiplo de 7 y 87 no es por ser múltiplo de 3, por ejemplo.
http://ficus.pntic.mec.es/apis0004
Página: 3