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Matemáticas Discretas
Tc1003
Conceptos Fundamentales
Adivinando números
1. Explica por qué puedo adivinar los dos números que has pensado si me dices el
resultado de estas operaciones: Piensa un número. Multiplícalo por dos. Súmale 5.
Multiplica el resultado por 5. Piensa otro número del 0 al 9. Súmalo al resultado
anterior. Resta 25 al resultado obtenido.
Demostración:
1) Piensa un número: a
2) Multiplícalo por dos: 2a
3) Súmale 5: 2a + 5
4) Multiplica el resultado por 5: 5 (2a + 5) = 10a + 25
5) Piensa otro número: b
6) Súmalo al resultado anterior: 10a + 25 + b
7) Resta 25 al resultado obtenido: 10a + 25 + b − 25 = 10a + b = ab
El último dígito es el segundo número, lo que queda entre 10 es el primer número.
2. ¿Cómo se puede justificar que sepa el resultado?: Escribe el año en que naciste.
Súmale el año de algún acontecimiento importante de tu vida. A este súmale los
años que tendrás en 2007. Finalmente, a eso súmale el número de años que van a
transcurrir desde que se produjo el acontecimiento importante de tu vida hasta el
año 2007. La respuesta será 4014.
Demostración:
1) Escribe el año en que naciste a
2) Súmale el año de algún acontecimiento importante de tu vida a + b
3) A este súmale los años que tendrás en 2007 (a + b ) + (2007 − a ) = 2007 + b
4) Súmale el número de años que van a transcurrir desde que se produjo el
acontecimiento
importante
de
tu
vida
hasta
el
año
2007
(2007 + b ) + (2007 − b ) = 2007 + 2007 = 4014
3. Piensa un número de 3 cifras, después, repítelo para formar un número de 6
cifras. Divídelo entre 7. Observa que el residuo es cero. El resultado divídelo entre
11. Finalmente, el resultado divídelo entre 13.El resultado es el número original,
explica porque.
Demostración
abc
abcadb = a × 10 5 + b × 10 4 + c × 10 3 + a × 10 2 + b × 10 + c
= a (10 5 + 10 2 ) + b(10 4 + 10) + c(10 3 + 1)
= 100100a + 10010b + 1001c
7 × 11 × 13 = 1001
100100a + 10010b + 1001c
= 100a + 10b + c = abc
1001
Velocidades
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1.2 Aritmética
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Conceptos Fundamentales
4. Un pescador que llevaba un gran sombrero de paja estaba remando corriente
arriba por un río cuya corriente llevaba una velocidad de 3 Km./h. En cierto
momento el sombrero se le cayó al agua, aunque no se dio cuenta hasta que estuvo
a 5 Km. de distancia. En ese momento empezó a remar corriente abajo hasta que
los recogió. En aguas quietas la velocidad con la que rema el pescador es de 5
Km./h, por tanto su velocidad corriente arriba será de 2 Km./h, mientras que
corriente abajo será de 8 Km./h. Si el pescador perdió su sombrero a las 2 de la
tarde, ¿a que hora lo recuperó?
Solución
Hora inicial
distancia
velocidad
Tiempo
Hora final
2:00 p.m.
5 Km.
2 Km. /HR.
2.5 Hrs.
4:30 p.m.
4:30 p.m.
5 Km.
8 Km. / HR.
5/8 de HR.
5:07 p.m.
= 37.5 min.
Otra solución:
Si el sombrero se mueve río abajo a 3 km/hr:
Hora
2:00
4:30
5:30
6:30
7:00
Pescador
río arriba a 2 km/hr
Recorrió 5 km
2.5 hrs se tardó
Sombrero
río abajo a 3 km/hr
2.5 hrs después está a 5
km + 7.5 km del pescador.
Se encuentra a 12.5 km de
distancia del pescador
Recorrió 8 km río abajo
recorrió 3 km río abajo=
15.5 km
Recorrió 16 km río abajo
Otros 3 km = 18.5 km
Recorrió 4 km río abajo= 1.5 km más = 20 km
20 km
Lo alcanzó el pescador.
El salario
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1.2 Aritmética
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Conceptos Fundamentales
5. Supongamos que estás negociando el salario con tu jefe y éste te da a elegir entre
2 ofertas:
A) 2.000.000 por tu primer año de trabajo y un aumento de 400.000 pesos
anuales en los 5 años siguientes.
B) 1.000.000 por tu primer semestre de trabajo y un aumento de 100.000 pesos
cada semestre durante los 5 años siguientes.
¿Qué oferta elegirías y por qué?
Solución
Año
A
B
1
2´000,000
1´000,000
1´100,000
2
2´400,000
1´200,000
1´300,000
3
2´800,000
1´400,000
1´500,000
4
3´200,000
1´600,000
1´700,000
5
3´600,000
1´800,000
1´900,000
total
14´000,000 14´500,000
Los cuatro cuatros
6. El problema de los cuatro cuatros es el siguiente: Escribir con cuatro cuatros y
signos matemáticos una expresión que sea igual a un número entero dado. En la
expresión no puede figurar, aparte de los cuatro cuatros, ninguna cifra o letra o
símbolo algebraico que suponga letras, tal como: log, lim, etc. Pero si puede usarse
la parte entera. Afirman los pacientes calculadores que será posible escribir con
cuatro cuatros todos los números enteros desde 0 hasta 100. A veces será necesario
recurrir al signo de factorial ( ! ) y al de la raíz cuadrada. La raíz cúbica no puede
ser empleada a causa del índice 3. Escribe con cuatro cuatros todos los números
del 0 al 10.
Solución
4 4
4× 4
4 4
4+4+4
4−4
4× 4 + 4
0= −
1=
2= +
3=
4 = 4+
5=
4 4
4× 4
4 4
4
4
4
6=
4+4
+4
4
7=
44
−4
4
8= 4+4+4−4
9 = 4+4
4
4
10 =
44 − 4
4
Acertijo con dinero
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1.2 Aritmética
3
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Conceptos Fundamentales
7. Cuando el Sr. Martínez fue al banco se dio cuenta de que se había quedado en
números rojos (debiéndole al banco). Sin comprender cómo había sucedido, le
explicó al Director del Banco lo siguiente: Inicialmente tenía 100.000 pesos en mi
cuenta. Retiré sucesivamente 6 cantidades de dinero que sumaban 100.000, pero
según mis registros únicamente había 99.000 disponibles. Las cifras exactas
fueron las siguientes:
Retiros Cantidad que quedaba en depósito
50.000 50.000
25.000
25.000
10.000
15.000
8.000
7.000
5.000
2.000
2.000
0
100.000 99.000
Como ve, aparentemente debo 1.000 pesos al banco. – Dijo el Sr. Martínez
Apreciamos su honestidad, le dijo el Director del banco, pero no nos debe nada.
Entonces, ¿hay algún error en mis cifras?
No, sus cifras son correctas. ¿Dónde está el error?
Solución
El error está en comparar la suma de retiros con la suma de saldos
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1.2 Aritmética
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Conceptos Fundamentales
Reparto justo
8. Los hermanos Zipi y Zape me encargaron que vendiera en el mercado dos
partidas de melones. Zipi me encargó 30 melones que debían ser vendidos al precio
de 3 por una moneda de 500 pesetas; Zape me entregó también 30 melones para
los que estipuló un precio más caro: 2 melones por una moneda de 500 pesetas.
Lógicamente, después de efectuada la venta Zipi tendría que recibir 10 monedas de
500 pts y Zape 15. El total de la venta sería pues 25 monedas de 500 pts. Para
mayor comodidad, empecé a venderlos en lotes de 5 por 1000 pts: Si tenía que
vender 3 por 500 pts y luego 2 por 500 pts, sería más sencillo vender 5 por 1000
pts. Vendidos los 60 melones en 12 lotes de cinco melones cada uno, recibí 24
monedas de 500 pts. ¿Cómo se explica esta diferencia de 500 pts entre lo recibido y
lo que se supone que habría que recibir?
Solución
Melones vendidos
Melones que quedan
Melones que quedan
de Zipi
de Zape
5
3: 30-3=
27
2: 30-2=
28
10
3: 27-3=
24
2: 28-2=
26
15
3: 24-3=
21
2: 26-2=
24
20
3: 21-3=
18
2: 24-2=
22
25
3: 18-3=
15
2: 22-2=
20
30
3: 15-3=
12
2: 20-2=
18
35
3: 12-3=
9
2: 18-2=
16
40
3: 9-3=
6
2: 16-2=
14
45
3: 6-3=
3
2: 14-2=
12
50
3: 3-3=
0
2: 12-2=
10
Los últimos diez melones debió
de venderlos a 2 por 500
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1.2 Aritmética
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Conceptos Fundamentales
¿Cómo escapar de una torre?
9. Hace 300 años vivió un príncipe de corazón enfermo y excesivo orgullo. Éste
había prometido a su hija en matrimonio a un rico vecino, pero ésta tenía un plan
diferente. Enamorada de un lacayo, intentó huir con él a las montañas, pero fueron
capturados. El príncipe decidió ejecutarlos al día siguiente. Los encerró en una alta
torre junto con una muchacha, una sirviente que los había ayudado en su fallida
huida.
Mirando por la ventana, observaron que era imposible saltar y sobrevivir.
Sin embargo, había una cuerda, colgando de una polea, en cuyos extremos había
sendas cestas. Éstas habían sido utilizadas en el pasado para subir ladrillos y bajar
escombros. También había en la torre 13 trozos de cadena de unos 5 kilogramos
cada uno. Los prisioneros dedujeron que si una de las cestas llevaba una carga
superior en cinco kilogramos a la otra, la más pesada descendería suavemente al
suelo a la vez que la otra ascendía hacia la ventana. Sabiendo que los pesos de los
prisioneros eran, respectivamente, de 90, 50 y 40 kilogramos, ¿cómo podrían
escapar de la torre? En ningún momento una cesta en descenso puede pesar 5
kilogramos más que la otra. ¿Cuántas veces han bajado las cestas?
Solución
orden
1
2
3
4
5
6
7
8
Cesta baja con
7 cadenas = 35 Kg.
Persona de 40 kilos
9 cadenas = 45 Kg.
Persona de 50 Kg.
9 cadenas = 45 Kg.
Persona 90 Kg.
7 cadenas = 35 Kg.
Persona de 50 Kg.
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Cesta sube con
Vacía
7 cadenas = 35 Kg.
Vacía
9 cadenas = 45 Kg.
Vacía
Persona de 50 Kg. + 7 cadenas
Vacía
9 cadenas = 45 Kg.
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El Problema del Historiador
10. Josephus Flavius fue un famoso historiador judío de la primera centuria (37100). Cuentan que durante la guerra de los judíos y los romanos, él se quedó
atrapado, con otros cuarenta soldados judíos, en una cueva asediada por los
romanos y sin una posible vía de escape.
La leyenda dice que, prefiriendo suicidarse a ser capturados, los soldados
decidieron matarse entre ellos, pero Josephus y un amigo suyo no estaban de
acuerdo. Para sobrevivir Josephus sugirió que se procediera del siguiente modo:
Todos ellos debían colocarse en círculo, numerándose del 1 al 41, y empezando a
contar por el primero toda tercera persona sería asesinada hasta que sólo quedara
una persona que debería suicidarse. Josephus salvó su vida y la de su amigo
colocándose en el lugar 31 y 16 respectivamente. Comprueba que las dos últimas
personas que quedaron fueron Josephus y su amigo.
1º
1
4
7
10
13
16
19
22
25
28
31
34
37
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2º
2
5
8
11
14
17
20
23
26
29
32
35
38
3º
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
39
1º
40
2
7
11
16
20
25
29
34
38
2
8
16
2º
41
4
8
13
17
22
26
31
35
40
4
11
17
3º
1
5
10
14
19
23
28
32
37
41
7
13
20
1.2 Aritmética
1º
22
29
35
2
11
22
31
2
16
31
4
31
16
2º
25
31
38
4
16
25
35
4
22
35
16
35
31
3º
26
34
40
8
17
29
38
11
25
2
22
4
35
7