Download UNIDAD II. NÚMEROS COMPLEJOS 2.1.Forma

Algebra Universitaria
Im
UNIDAD II. NÚMEROS COMPLEJOS
2.1.Forma binómica
b
z = a + bi
z
Definición de un número complejo. Es número formado por la suma de
un número real y un número imaginario (indicado con la letra i).
θ
La forma binomial de un número complejo (Z) es: Z =a + bi
Donde i = −1
Ejemplos de números complejos son:
i.
1+i
parte real “1” parte imaginaria “i”
ii.
2+4i
parte real “2” parte imaginaria “4i”
iii.
2i
parte real “0” parte imaginaria “2i”
iv.
4
Se considera un numero real, ya que “0i” es la parte
imaginaria (NO TIENE PARTE IMAGINARIA)
Igualdad de un número complejo: Dos números complejos (z1 y z2) son
iguales z1 = a+bi y z2 = c + di; si y solo si: a = c y b = d.
Conjugado de un número complejo: Un número complejo z1 = a + bi
tiene un conjugado definido como: z2 = a – bi.
Representación gráfica. Para representar un número complejo, se usa
el plano formado por los ejes horizontal que representa los números
reales (Re) y el eje vertical que representa el plano complejo o
imaginario (Im).
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
a
Donde:
Im.
Re.
Z = a + bi
a
b
z
θ
Re
Eje de los números imaginarios (vertical)
Eje de los números reales (horizontal)
Número complejo
valor real (escala en Re)
valor imaginario (escala Im)
Valor absoluto o norma del número complejo
z = a 2 + b 2 representa la distancia desde el origen al
punto donde se encuentra el número complejo en el
plano Re - Im.
Ángulo formado entre el eje de los reales (Re) y el trazo
de la norma del número complejo z . Se puede calcular
con la ecuación:
θ = tan-1(b/a)
Ejemplo: Para el número complejo: z = 2 + 6i determine:
a) Su norma z
b) Su ángulo θ
1
Algebra Universitaria
Operaciones y sus propiedades. Las operaciones de los números
complejos son las siguientes. Sean z1 = a1 + b1i y z2 = a2 + b2i
Suma: z1+z2 = (a1+a2)+(b1+b2)i
Resta: z1- z2 = (a1-a2)+(b1-b2)i
Multiplicación: z1z2 = (a1+b1i)*(a2+b2i)
z1 a1 + b1i
=
z2 a2 + b2i
Division:
z1 a1 + b1i  a2 − b2i 
=


z2 a2 + b2i  a2 − b2i 
(NOTA: hay que multiplicar y dividir por el conjugado de z2)
Propiedades de los conjugados.
Para el número complejo z = a + bi el conjugado es z’ es z’ = a – bi
Demuestra las siguientes propiedades con: z1 = 1+3i; z2 = 3+4i
Ejemplo: Para los números complejos z1 = 2+5i y z2 = 10+2i realizar:
i.
z1+z2
ii.
z1-z2
iii.
z1*z2
iv.
z1/z2
v.
z12
3.- El doble conjugado de un número es igual a si mismo: (z1’)’=z1
Si z1 y z2 son dos números complejos
1.- El conjugado de la suma: (z1 + z2)’ = z1’+ z2’
También: (z1+z2+z3+…zn)’=z1’+z2’+z3’+…+zn’
2.- El conjugado de la multiplicación: (z1*z2)’=z1’*z2’
También: (z1*z2*…zn)’=z1’*z2’*…*zn’
4.- El conjugado de un número z pertenece a los reales siempre que sea
igual a su conjugado
z=a+bi pero si b = 0 entonces
z=a+0i y z’ = a-0i por lo tanto z = z’
Puedes consultar la siguiente referencia de google books:
Matemáticas para las ciencias aplicadas Escrito por Erich
Steiner
http://books.google.com.mx/books?id=uxauLevnXxUC&pg=PA193&dq=numeros+complejos&lr=&ei=qZaVSuybPImGzATtl-HOBw#v=onepage&q=&f=false
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
2
Algebra Universitaria
Práctica en clase 2.1. Forma binómica número complejo. Realice
las siguientes operaciones con los siguientes números complejos:
z1 = 3 + 10i y z2 = 1+i
i.
z1+z2
ii.
z1-z2
iii.
z1*z2
iv.
z1/z2
v.
z12=z1*z1
De forma opcional, puedes investigar en la biblioteca alguna referencia
que contenga el tema revisarlo, aplicarlo en la tarea y colocarlo en tu
bibliografía con las rubricas APA; usa la utilidad en WORD para
hacerlo; si no sabes como puedes ver este video:
http://www.youtube.com/watch?v=0MaRBJ66kso
Elabore una PRÁCTICA DE EJERCICIOS siguiendo las rubricas
correspondientes:
http://marcelrzm.comxa.com/Rubricas/Rubricas.htm
Puede enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes
direcciones: [email protected]; [email protected] y
[email protected]; [email protected]
Colocar en ASUNTO: “Práctica en clase 2.1. Forma binómica número
complejo.”
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
3