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1.4. Progresiones
1.4.1. Progresiones Aritméticas
1.4.1.1 Introducción
Es una sucesión de números llamados términos por ejemplo:
1) 2, 4, 6, 8,10,…
2) 27, 24, 21,18,…
En estos dos ejemplos podemos observar que ha partir del primer número, podemos
obtener los términos sucesivos mediante la suma de una cantidad constante llamada
razón, así tenemos que en el primer caso el número a sumarse es dos, mientras que en
el segundo caso es menos tres.
Llamemos:
a= Primer Término
r= Razón
l= Último Término
n= Número de Términos
Escribamos una progresión aritmética. De forma general:
1) a
2) a+r
3) (a+r) +r
4) (a+2r) +r= a+3r
En consecuencia una progresión aritmética, nos quedaría de la siguiente manera:
a,
a+r,
a+ ar,
a + 3r, …
En consecuencia el último término sería
l= a+ (n-1) r
Ejemplo:
Calcular el último término de la siguiente progresión geométrica formada por diez
términos:
3, 6, 9,...
DATOS
a= 3
r=3
n=10
l=?
DESARROLLO
l= a+(n-1) r
l=3+ (10-1)3
l=3+9 3
l=3+27
l=30
1.4.2. Fórmula de la suma de una progresión aritmética de n términos
Formemos una progresión aritmética que contenga n términos
A, a+r, a+2r…….., a+(n-3) r, a+(n-2) r, a+ (n-1) r
Esta expresión también la podemos poner de la siguiente manera
A, a+r, a+2r,…….., l-2r, l-r, l
Representemos por S a la suma de los términos de una progresión aritmética
1. S= a+ (a+r) + (a+2r) +…... + (l-2r) + (l-r) +l
Vamos a esta expresión a invertir
2. S= l+ (l-r) + (l-2r) +……., + (a+2r) + (a+r) +a
Sumemos el uno y el dos:
S= a+ (a+r) + (a+2r) +…..+ (l-2r) + (l-r) +l
S= l+(l-r)+(l-2r)+……….+(a+2r)+(a+r)+a
2S= (a+l)+(a+l)+(a+l)+….+(a+l)+(a+l)+(a+l)
2S= n (a+l)
Cuando se conoce el último término
Existen ocasiones en que no se conoce el último término, en tal caso procedemos de la
siguiente manera:
1
2
Cuando no se conoce el último término
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Encontrar el dúo décimo término y la suma de los 12 primeros términos de la
siguiente progresión aritmética:
6, 11, 16, 21,…
DATOS
a= 6
r= 5
n= 12
l= ?
DESARROLLO
l= a+(n-1) r
l= 6+ (12-1) 5
l= 6+ (11)5
l= 6+55
l= 61
12
6 61
2
S= 6(67)
S= 402
12
26 12 1 5
2
612 11 5
612 55
S= 6(67)
S= 402
DEBER Nº 2
1.- Hallar el quinceavo término y la suma de los primeros 15 de las siguientes
progresiones:
a) 2, 8, 14, 20,…
b) 3, 8, 13, 18,…
2.- Hallar la suma de:
a) Los 10 primeros términos: 160, 148, 136, 124,…
b) Los 12 primeros términos: 600, 546.76, 493.52;…
3.- Hallar la suma de:
a) Los primeros doscientos enteros positivos
b) Los primeros cien números pares
4.- Demostrar que ! 1 " #$
·
1.4.3. Aplicación de las progresiones aritméticas al crecimiento empresarial
Supongamos que una empresa crece en periodos cortos en forma de progresiones
aritméticas, esto significa que la progresión de la empresa crece o decrece cada año, el
mismo número de unidades, este supuesto no es rigurosamente cierto, pero con
frecuencia es una buena aproximación a la realidad
DEBER Nº 3
1.- Una empresa comienza primero produciendo 100 unidades en el primer año, y la
producción crece en 20 unidades cada año. Cuánto producirá la firma en el cuarto año.
Cuál será la suma total de la producción en los tres primeros años
2.-Una empresa produce 200 unidades en el primer año, incrementa su producción 50
cada año. ¿Cuánto producirá en el quinto año? Cuanto producirá la empresa en el
décimo año ¿Cuál es la suma total de su producción en los siete primeros años?
3.-Una empresa produjo 10000 en el primer año y baja su producción en 500 unidades
cada año
a) Cuánto producirá en el quinto año?
b) Cuando producirá cero unidades?
c) Cuál es la suma total producida hasta que la firma deje de funcionar?
4.-Una empresa comienza produciendo 700 unidades, en el primer año, produce 1500
unidades, en el quinto:
a) En cuánto incrementa la producción cada año?
b) Cuándo producirá la empresa 2100 unidades?
c) Encontrar la producción total en los 10 primeros años
1.4.4. Progresión Geométrica
Es una sucesión finita de números llamados términos
Ejemplo:
1) 4, -8, 16, -32, 64, -128,…
2) 729, 486, 324,…
En este caso tenemos que cualquiera de los números posteriores se obtiene
multiplicando el número anterior por una cantidad constante llamada razón; en el
primer caso la razón es menos dos y en el segundo caso la razón es dos tercios.
Llamemos:
a= Primer Término
r= Razón
m= Números de Términos
l= Último Término
Escribamos ahora una progresión geométrica en términos generales
1º T= a
2º T= a· 3º T=a. r. r= a. 4º T= . r = a. &
5º T= & . r = a. '
La progresión podría quedar de la siguiente manera:
, . , . , . & , . ' , ….
Si tuviéramos una progresión geométrica de n términos el último término sería:
. +
1.4.4.1 Suma de n términos de una progresión geométrica
Formemos una progresión geométrica que contenga n términos
, , ,…. a +, a +$
Si representamos por S a la suma de todos los términos de una progresión geométrica
tendremos:
+&+a + +$
Multipliquemos por r a los dos miembros de la progresión anterior:
1) +& + +$
2) , +a & +…. +a + +$ Restemos término a término la expresión 1 y la expresión 2
+& + +$
, & + +$ -a S-rs= a
, 1 r< 1
r>1
l= a+
rl= a +$ . r
rl= a r<1
r>1
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Encontrar el décimo término y la suma de los 10 primeros términos de la siguiente
progresión aritmética.
4, -8, 16, -32,….
DATOS
a= 4
n=10
r=-2
l= ?
DESARROLLO
l= a.+
- 4. 2$/+$
- 4. 20
l= 4. -512
l= -2.048
4 42$/
12
4 41024
3
4 4096
3
S= -1364
4092
3
DEBER Nº 4
Encontrar el noveno término y la suma de los 9 primeros términos, de las siguientes
progresiones geométricas:
a) 243, 81, 27, …
b) (1);(1.05);(. 34 ;…..
C) 6, 2,2/3,….
d) 1, 5, 25, ….