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X OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICA 2010
PRUEBAS PRESENCIALES
CUARTO GRADO
PARTE I: En los problemas del 1-8, marque sólo la opción correcta.
Problema 1: Un abuelo reparte entre sus cuatro nietos su colección de monedas
antiguas. A cada uno de los nietos le da la misma cantidad de monedas. Escoger entre
los siguientes números cuántas monedas pudo haber tenido el abuelo en su colección.
A) 14
B) 18
C) 28
D) 33
Problema 2: ¿Cuántos triángulos hay en la figura?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 42
E) 8
Problema 3: En el gráfico vemos una serie de dibujos que
se armaron usando cuadraditos. ¿Cuántos cuadraditos
tendrá el cuarto dibujo?
A) 4
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
Problema 4: En la estrella de la figura, los lados de cada
triángulo miden lo mismo que los lados del cuadrado. ¿Cuál es
el perímetro de la estrella?
A) 8
B) 10
C) 14
D) 16
E) 20
Problema 5: En un cumpleaños hay 15 pedazos de pastel. Nueve chicos tienen un
pedazo cada uno, un chico no tiene nada y los demás chicos tienen dos pedazos cada
uno. ¿Cuántos chicos hay en el cumpleaños?
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) No se puede determinar
Problema 6: Héctor debe multiplicar un número por 10, pero se equivoca y lo divide
por 10. Con esto obtiene como resultado 500. ¿Cuál habría sido el resultado si Héctor
no se hubiera equivocado al hacer la operación?
A) 5
B) 50
C) 5000
D) 50000
E) No se puede determinar
Problema 7: Un canguro tarda 6 segundos por cada 4 saltos que da. ¿En cuánto
tiempo el canguro dará 14 saltos?
A) 20
B) 21
C) 22
D) 23
E) No se puede determinar
Problema 8: Xochilt tiene 2010 tarjetas, de estas la mitad son rojas, la tercera parte
son verdes, y el resto son azules. ¿Cuántas tarjetas azules tiene Xochilt?
A) 334
B) 335
C) 336
D) 340
E) 241
PARTE II: Resuelva los problemas 9 y 10 argumentando detalladamente sus
soluciones.
Problema 9: Una caja con 30 bolitas pesa 650 gramos. Con 10 bolitas más la caja
pesaría 800 gramos. ¿Cuál es el peso de la caja vacía?
Problema 10: El rectángulo de la figura está formado por
cuadrados de tres tipos. Si el perímetro de uno de los
cuadrados de menor tamaño es 8 centímetros, ¿cuál es
el área de la figura?
QUINTO GRADO
PARTE I: En los problemas del 1-8, marque sólo la opción correcta.
Problema 1: El producto de tres números es 140. El producto del primero por el
segundo es 28, y la suma del primero y el tercero es 7. Entonces, la suma de los tres
números es igual a
A) 9
B) 16
C) 20
D) 21
E) Otra respuesta
Problema 2: ¿Cuántos de los siguientes 60 números son múltiplos de 60?
84, 2(84), 3(84), ... , 59(84), 60(84)
A) 18
B) 30
C) 15
D) 12
E) Otra cantidad
Problema 3: Empezando por el punto P, nos movemos a lo
largo de las aristas del cubo de la figura, siguiendo la
dirección de la flecha. Al final de cada arista hay que elegir
entre ir a la derecha o a la izquierda. Si suponemos que se
elige alternadamente ir a la derecha o a la izquierda,
¿después de cuántas aristas volveremos al punto P por
primera vez?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 9
E) 12
Problema 4: Se tienen tres cajas, una blanca, otra verde y la tercera roja. Una de ellas
contiene una barra de chocolate, otra una manzana y la otra está vacía. Se sabe que la
barra de chocolate está en la caja blanca o en la roja, y que la manzana no está en la
verde. La caja donde está el chocolate es:
A) Blanca
B) Roja
C) Verde
D) Roja o blanca
E) Imposible saberlo
Problema 5: En la figura se muestran tres cuadrados
colocados uno a la par de otro, ¿cuál de las siguientes
relaciones es correcta?
A) El área sombreada es mayor al área no sombreada.
B) El área sombreada es menor que el área no sombreada.
C) El área sombreada es igual que el área no sombreada.
D) Es posible determinar la relación entre el área sombreada y el área no sombreada
solamente si se sabe las dimensiones de los cuadrados.
E) No es posible determinar la relación entre el área sombreada y el área no
sombreada.
Problema 6: ¿Cuántos triángulos hay en la figura?
A) 5
B) 6
C) 8
D) 9
E) 10
Problema 7: En un grupo de danza hay 39 chicos y 23 chicas. Cada semana, se
incorporan al grupo 6 chicos y 8 chicas. Después de varias semanas, el número de
chicas y chicos en el grupo se ha igualado. ¿Cuántas personas hay en el grupo al
finalizar esas semanas?
A) 144
B) 154
C) 164
D) 174
E) 184
Problema 8: Un número es llamado capicúa si se lee igual de izquierda a derecha
como de de derecha a izquierda; por ejemplo, el número 12321 es capicúa. ¿Cuál es el
menor número de cifras que se deben borrar del número 12323314 para convertirlo en
capicúa?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
PARTE II: Resuelva los problemas 9 y 10 argumentando detalladamente sus
soluciones.
Problema 9: El rectángulo de la figura está formado por
cuadrados de tres tipos. Si el perímetro del rectángulo es
220 centímetro, ¿cuál es su área?
Problema 10: En el extremo de cada rama de cierto arbusto hay una hoja o una flor. El
arbusto crece de la siguiente manera: si hoy hay una hoja en el extremo de una rama,
el próximo año desaparecerá la hoja y aparecerá una flor en ese lugar; si hoy hay una
flor en el extremo de una rama, el próximo año desaparecerá la flor y aparecerán dos
ramas nuevas con hojas en sus extremos. Si el arbusto tiene hoy 80 flores y el año
pasado tenía 70, ¿cuántas hojas tendrá dentro de dos años?
SEXTO GRADO
PARTE I: En los problemas del 1-8, marque sólo la opción correcta.
Problema 1: Hay perros y gatos en la casa. El número de patas de los gatos es el
doble del número de narices de los perros. Entonces, el número de gatos es
A) El doble del número de perros
B) Igual al número de perros
C) La mitad del número de perros
D) Un cuarto del número de perros
E) Un sexto del número de perros
Problema 2: Un ciclista ha recorrido dos tercios de su trayecto cuando se le poncha
una llanta. Decide terminar su recorrido a pie, pero este tramo del viaje le toma el doble
de tiempo del que hizo en bicicleta. ¿Cuántas veces más rápido anda en bicicleta que a
pie?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
Problema 3: En promedio, se inspira y expira 0.5 litros de aire cada vez que se respira.
Se respira unas 16 veces por minuto, es decir, 960 veces por hora. ¿Cuántos litros de
aire se respiran en diez años?
A) 4 204 800
B) 3 504 000
C) 4 208 256
D) 84 165 120
E) 42 071 040
Problema 4: Si la longitud del lado de cada cuadrito es 1
centímetro, ¿cuál es el área de la letra N?
A) 14
B) 15
C) 16
D) 17
E) 18
Problema 5: Hugo miente siempre en martes, jueves y sábados y el resto de los días
de la semana dice siempre la verdad. Si un día en particular mantenemos la siguiente
conversación:
Pregunta: ¿Qué día es hoy?
Respuesta: Sábado.
Pregunta: ¿Qué día será mañana?
Respuesta: Miércoles.
¿De qué día de la semana se trata?
A) Domingo B) Martes
C) Miércoles
D) Jueves
E) No se puede saber.
Problema 6: El área del cuadrado grande es 1 ¿Cuánto vale el
área del cuadradito negro?
A)
1
100
B)
1
300
C)
1
600
D)
1
900
E)
1
1000
Problema 7: El producto de cuatro enteros positivos y distintos es 100. ¿Cuánto vale
su suma?
A) 10
B) 12
C) 15
D) 18
E) 20
Problema 8: Los números 1/3 y 1/5 están situados en la recta numérica, como se
muestra en la figura
.
¿Dónde está el número 1/ 4?
A) a
B) b
C) c
D) d
E) e
PARTE II: Resuelva los problemas 9 y 10 argumentando detalladamente sus
soluciones.
Problema 9: Una alfombra mágica, de forma rectangular, después de cumplirle un
deseo a su dueño, se reduce a la mitad de su longitud y a la tercera parte de su ancho.
Al cabo de tres deseos la alfombra tiene un área de 4m2. Si su ancho inicial era de 9m,
¿cuál era su largo inicial? ¿Y su perímetro inicial?
Problema 10: Shafira quiere regalar 42 duces entre sus primos de tal forma que cada
uno reciba una cantidad distinta de dulces. ¿Cuál es el máximo número de primos a los
que Shafira podrá repartir dulces?
SÉPTIMO GRADO
PROBLEMA 1:
En la figura mostrada, ABEF es un rectángulo y ABCD es un cuadrado. El área del
rectángulo es 63cm² y el área del cuadrado es 49cm². Encuentre el perímetro del
rectángulo.
PROBLEMA 2:
Se han coloreado los cuadrados de una cuadrícula de 7x7 de colores blanco y negro
de la siguiente manera:
¿Cuántos cuadrados blancos se necesitarán para colorear una cuadrícula de 15x15
que se pinta de la misma manera?
PROBLEMA 3:
Considere 48 canicas repartidas en tres montones. Se realizan los tres pasos
siguientes (en ese orden):
x Del primer montón se pasan al segundo montón tantas canicas como hay en el
segundo.
x Del segundo montón se pasan al tercero tantas canicas como hay en el tercero.
x Del tercer montón se pasan al primero tantas canicas como hay en el primero.
Al finalizar, los tres montones terminan con el mismo número de canicas. Encuentre el
número de canicas que había al inicio en el primer montón.
PROBLEMA 4:
A partir de la terna (a, b, c) se obtiene una secuencia de ternas a través de sucesivas
WUDQVIRUPDFLRQHVGHWLSRDEFĺD2b, a-b +c, b-c). Por ejemplo, a partir de (1, 2, 3)
se obtiene la siguiente secuencia: ĺ-ĺ-ĺ-64, 12, -4)«
Si se comienza con (1,1,1) como la primera terna ordenada de una secuencia, ¿cuál
será la suma de los tres términos de la terna que ocupará la posición 2010?
PROBLEMA 5:
En una cuadrícula de 3x3 se colocan los números del 1 al 9. Se puede realizar la
siguiente operación sobre los números de la cuadrícula: seleccionar cuatro casillas y
sumarle o restarle dos a los números escritos en ellas. Luego de efectuar varias veces
la operación permitida, ¿es posible llegar a tener escritos los números del 10 al 18 en la
cuadrícula? Justifique su respuesta.
OCTAVO GRADO
PROBLEMA 1:
Valentín construyó una tabla de 2010 filas y 2010 columnas, rellenando una casilla con
1 si el número de la fila divide al número de la columna, y con 0 si el número de la fila
no divide al número de la columna. Así, por ejemplo, la casilla de la fila 2 y la columna 4
fue llenada con 1, porque 2 divide a 4 y la casilla de la fila 3 y la columna 5 fue llenada
con 0 porque 3 no divide a 5.
1
2
3
1
1
0
0
2
1
1
0
3
1
0
1
4
1
1
0
5
1
0
0
6 « 2009 2010
1
1
1
1
0
1
1
0
1
«
2010 0 0 0 0 0 0
0
1
a) ¿Cuál es la suma de los números escritos en la fila 5?
b) ¿Cuál es la suma de los números escritos en la columna 60?
PROBLEMA 2:
Según la receta del médico, Matías debe tomar todo el contenido de un frasco de
píldoras en cuatro días, de la siguiente manera: el primer día, la mitad del total; el
segundo día, un tercio de lo que queda; el tercer día, un cuarto de lo que queda y el
cuarto día seis píldoras. ¿Cuántas píldoras había originalmente en el frasco?
PROBLEMA 3:
En un juego de tiro al blanco, con un tablero como el de la figura, cada participante
arroja una flecha verde, una flecha roja y una flecha azul. La flecha verde triplica el
puntaje del sector en que cae. La flecha roja duplica el puntaje del sector en que cae.
La flecha azul asigna el puntaje anotado en el sector en que cae. El puntaje de cada
participante
se
calcula
sumando
el
puntaje
de
cada
flecha.
¿Cuáles son los distintos puntajes que se pueden obtener?
PROBLEMA 4:
En la figura, cada triángulo pequeño tiene área 1. ¿Cuál es el área de la región
sombreada?
PROBLEMA 5:
En una laguna mágica hay dos especies de anfibios: lagartijas, las cuales siempre
dicen la verdad; y ranas, las cuales siempre mienten. Cuatro anfibios (Brian, Cris, Pipo
y Mike) viven juntos en la laguna, y dicen las siguientes afirmaciones:
-%ULDQ³0LNH\\RVRPRVGHGLVWLQWDVHVSHFLHV´
-CULV³3LSR HVXQDUDQD´
-Pipo: ³&ULVHVXQDUDQD´
-0LNH³'HQRVRWURVFXDWURDOPHQRVGRVVRQODJDUWLMDV´
Encuentre la cantidad de ranas que hay en la laguna.
NOVENO GRADO
PROBLEMA 1:
El promedio de cuatro números es 12 y el promedio de dos de ellos es 8, determine el
promedio de los dos números restantes.
PROBLEMA 2:
En la figura, los puntos T y S son los centros de las circunferencias, AB=10, PQ=3 y M
es el punto medio de AB. Encuentre el valor de r.
PROBLEMA 3:
Matilde organizó una fiesta y compró cierta cantidad de nueces. Cada bolsa trae 1
gruesa de nueces (144 nueces). A cada uno de los invitados se les repartió 17 nueces
y sobró 1 nuez. Si se sabe Matilde invitó a menos de 200 personas, ¿a cuántas
personas invitó exactamente?
PROBLEMA 4:
Se dice que un número es capicúa si se leen igual de izquierda a derecha como de
derecha a izquierda, por ejemplo, 1234321 es un numero capicúa. Pedro sumó todos
los números capicúas de cuatro cifras, pero se olvidó de sumar uno de ellos. Si obtuvo
como resultado 490776, hallar el número capicúa que olvidó sumar.
PROBLEMA 5:
Ana escribió los números naturales del 1 hasta el n en algún orden, sean A 1, A2«$n,
esos números en el orden en que Ana los escribió. Si n es impar, ¿el producto
siguiente es par o impar? Justifique su respuesta.
(A1-1) (A2-«$n-n)
DÉCIMO GRADO
PROBLEMA 1:
Si se le suma 1 al numerador y al denominador de una fracción se obtiene 8/9. Si se
suma 1 al numerador de la misma fracción y se le resta 3 al denominador se obtiene
7/10. Hallar la suma del numerador y denominador de la fracción.
PROBLEMA 2:
Si ‫ ݔ‬+ ‫ = ݕ‬1 y ‫ ݔ‬2 + ‫ ݕ‬2 = 2, calcular ‫ ݔ‬4 + ‫ ݕ‬4 .
PROBLEMA 3:
En el rectángulo ABCD, M, N, P y Q son puntos medios de los lados AB, BC, CD y DA,
respectivamente, O es la intersección de MP con NQ y T es punto medio del segmento
ON. Si el área del rectángulo ABCD es de 16 unidades cuadradas, calcular el área de
la región sombreada.
PROBLEMA 4:
Hallar un número tal que: al dividirlo por 2 deja residuo 1, al dividirlo por 3 deja residuo
2, al dividirlo por 4 deja residuo 3, al dividirlo por 5 deja residuo 4, al dividirlo por 6 deja
residuo 5, y al dividirlo por 7 deja residuo 0.
PROBLEMA 5:
7 muchachas y 7 muchachos fueron juntos a una fiesta. Al finalizar la fiesta, cada uno
de estos participantes escribe el número de personas con las que había bailado. Estos
números fueron: 3,3,3,3,3,5,6,6,6,6,6,6,6,6. Demuestre que alguien se equivocó al
escribir el número correspondiente.